Prof. dr hab. in. Mikoaj Busowicz Politechnika Biaostocka
Wydzia Elektryczny
STABILNO MODELI LINIOWYCH UKADÓW
CIGO-DYSKRETNYCH
Rozpatrzono problem badania asymptotycznej stabilnoci liniowych ukadów dy-namicznych cigo-dyskretnych. Podano komputerowe metody badania asympto-tycznej stabilnoci modelu Fornasiniego-Marchesiniego oraz modelu Roessera. Zaproponowane metody mog by stosowane do badania asymptotycznej stabil-noci innych znanych modeli ukadów cigo-dyskretnych. Rozwaania zilus-trowano przykadami liczbowymi.
STABILITY OF MODELS OF LINEAR CONTINUOUS-DISCRETE SYSTEMS
The problem of asymptotic stability of linear dynamic continuous-discrete systems is considered. Computer methods for asymptotic stability analysis of the For-nasin-Marchesini and the Roesser models are given. The methods proposed can be used for asymptotic stability analysis of the other known models of continuous-discrete systems. The considerations are illustrated by numerical examples.
1. WSTP
Ukadami cigo-dyskretnymi (hybrydowymi) nazywamy takie ukady dynamiczne, w których modelu matematycznym jedna cz zmiennych stanu jest z czasem cigym za druga cz jest z czasem dyskretnym, przy czym nie da si rozdzieli równa dynamiki opi-sujcych cz cig oraz cz dyskretn.
Ukadami hybrydowymi nazywa si te takie ukady, których dynamika jest opisywana za pomoc skoczonego zbioru modeli cigych, odpowiadajcym np. poszczególnym stanom pracy ukadu. W trakcie pracy ukadu nastpuj przeczenia pomidzy modelami cigymi, przy czym przeczenia nastpuj w chwilach dyskretnych w sposób zaleny lub te niezale-ny od aktualnego stanu procesu. Ukad hybrydowy mona zatem rozumie jako kombinacj logicznych przecze i róniczkowych lub rónicowych równa opisujcych ewolucj ci-gej czci wektora stanu [2]. Przykadami tak rozumianych ukadów hybrydowych s np. samochód z rczn skrzyni biegów [5] oraz protokó transmisji kontroli TCP opracowany w celu kontroli przepywu danych w sieci [4].
W ostatnich latach problematyka analizy i syntezy ukadów hybrydowych jest intensywnie rozwijana w literaturze wiatowej gównie ze wzgldu na potencjalne zastosowania praktycz-ne. Tej problematyce s powicone np. prace [1–5, 7–12]. Stabilno liniowych ukadów hybrydowych cigo-dyskretnych bya rozpatrywana w pracach [1, 14–16]. Problem modelo-wania oraz realizacji liniowych dodatnich ukadów hybrydowych cigo-dyskretnych by ana-lizowany w pracach [9, 10, 12].
W niniejszej pracy zostan podane komputerowe metody badania asymptotycznej stabilnoci dwóch podstawowych modeli liniowych ukadów cigo-dyskretnych, takich jak model For-nasiniego-Marchesiniego oraz model typu Roessera. Metody te mog by wykorzystane do badania asymptotycznej stabilnoci innych modeli rozpatrywanych ukadów.
W pracy bdziemy stosowa nastpujce oznaczenia: n mu - zbiór macierzy o wymiarach
2. WPROWADZENIE I SFORMUOWANIE PROBLEMU
Wemy pod uwag model Fornasiniego-Marchesiniego ukadu cigo-dyskretnego, którego równanie stanu ma posta [7, 8]
( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ),
x t i 1 A x t i0 A x t i1 A x t i2 1 Bu t i iZ, t, (1) gdzie x t i( , ) wx t i( , ) /wt, x t i( , )n, u t i( , )m za stae macierze A0, A1, A2, B maj
odpowiednie wymiary.
Warunki brzegowe dla równania (1) s nastpujce
x( , )0i x i( ), iZ oraz x t( , )0 x t( ), x t( , ) ( ),0 x t t. (2) Macierz charakterystyczna modelu Fornasiniego-Marchesiniego (1) wyraa si wzorem
H s z( , ) szIn A0sA1zA2 (3) za funkcja charakterystyczna tego modelu, któr oblicza si ze wzoru
w s z( , ) detH s z( , ) det[szIn A0sA1zA2], (4) jest wielomianem dwóch zmiennych niezalenych s i z. Mona j napisa w ogólnej postaci
w s z a s zkj k j j n k n ( , ) ¦ ¦ , 0 0 ann 1. (5)
Równanie stanu modelu typu Roessera ukadów cigo-dyskretnych ma posta [7, 8] ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ), x t i x t i A A A A x t i x t i B B u t i h v h v ª ¬ « « º ¼ » » ª ¬ « º ¼ »ª ¬ « « º ¼ » » ª ¬ « º ¼ » 1 11 12 21 22 1 2 t , iZ, (6) przy czym x t i ( , )h wx t ih( , ) /wt, wektory x t ih( , )n1 i x t iv( , )n2 s to, odpowiednio,
wektor horyzontalny i wertykalny, u t i( , )m jest wektorem wymusze, za A11n1un1,
A12 n1un2, A n n 21 2u 1, A n n 22 2u 2, B n m 1 1u , B n m 2 2u .
Warunki brzegowe dla równania (6) maj posta
x th( , )0 x th( ), x tv( , )0 x tv( ), t, (7a)
xh( , )0i x ih( ), xv( , )0i x iv( ), it 1, iZ. (7b) Macierz charakterystyczn H s z( , ) modelu Roessera (6) wyraa si wzorem
H s z sI A A A zI A n n ( , ) , ª ¬ « º ¼ » 1 2 11 12 21 22 (8) za funkcj charakterystyczn w s z( , ) detH s z( , ) modelu Roessera mona obliczy
korzy-stajc z jednego ze wzorów
w s z( , ) detH s z( , ) det{(zIn A ) det(sIn A )A (sIn A ))A },
2 22 1 11 21(adj 1 11 12 (9a)
w s z( , ) detH s z( , ) det{(sIn A ) det(zIn A ) A (zIn A ))A }.
1 11 2 22 12(adj 2 22 21 (9b)
w s z H s z a s zkj k j j n k n ( , ) det ( , ) ¦ ¦ , 0 0 2 1 an n 1 2 .1 (10)
Definicje stabilnoci rozpatrywanych modeli ukadów cigo-dyskretnych mona sformuo-wa w sposób podany poniej.
Definicja 1. Model Fornasiniego-Marchesiniego (1) ukadu cigo-dyskretnego bdziemy nazywa asymptotycznie stabilnym, jeeli przy u t i( , ){ 0 oraz ograniczonych warunkach brzegowych (2) zachodzi zaleno limi t, of|| ( , )||x t i 0, przy czym || ( , )||x t i oznacza norm wektora x t i( , ).
Definicja 2. Model Roessera (6) ukadu cigo-dyskretnego bdziemy nazywa asymptotycz-nie stabilnym, jeeli przy u t i( , ){ 0 oraz ograniczonych warunkach brzegowych zachodz zalenoci limi t, of||x t ih( , )|| 0 i limi t, of||x t iv( , )|| 0.
Na podstawie prac [14-16] moemy sformuowa ponisze twierdzenie.
Twierdzenie 1. Model Fornasiniego-Marchesiniego (1) (model Roessera (6)) ukadu cigo-dyskretnego jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian charaktery-styczny (4) (wielomian charakterycharaktery-styczny (9)) spenia warunek
w s z( , )z 0, Rest 0, | |zt 1 (11) . Wielomian w s z( , ) dwóch zmiennych niezalenych speniajcy warunek (11) bdziemy
na-zywa wielomianem stabilnym w sensie Hurwitza-Schura. W literaturze anglojzycznej taki wielomian nazywa si jako: C-D stable (continuous-discrete stable) [1] lub Hurwitz-Schur stable [14-16].
Bezporednie sprawdzenie warunku (11) nie jest moliwe, poniewa nie ma metod wyzna-czania zer wielomianów wielu zmiennych. Warunek ten mona sprawdzi porednio z wyko-rzystaniem m. in. oblicze komputerowych.
Róne metody sprawdzania spenienia warunku (11) zostay podane w pracy [1] oraz w pra-cach [14-16]. Bd one omówione w nastpnym punkcie.
Celem pracy jest podanie komputerowych metod badania asymptotycznej stabilnoci modeli Fornasiniego-Marchesiniego (1) oraz Roessera (6) ukadów cigo-dyskretnych.
3. ROZWIZANIE PROBLEMU
W dalszych rozwaaniach wykorzystamy poniszy rezultat udowodniony w pracy [13]. Wemy pod uwag wielomian P s d( , ) dwóch zmiennych niezalenych o postaci
P s d sn apqs dp q q m p n ( , ) ¦ ¦ . 0 0 1 (12)
Twierdzenie 2 [13]. Dla wielomianu (12) s sobie równowane ponisze warunki: 1) P s d( , )z 0, Rest 0, | |dd 1,
2) P s d( , )z 0, Res 0, | |d 1 i P s( , )1 z0, Rest 0, 3) P s d( , )z 0, Res 0, | |d d 1 i P s( , )1 z0, Rest 0,
Stosujc w wielomianie (12) podstawienie d z1 otrzymamy . ~ ) , ( ) , ( ~ 1 0 1 0 1 ¦ ¦ n p m q q p pq m n m z s a z s z s P z z s P (13)
Zauwamy, e | |d d 1 wtedy i tylko wtedy, gdy | | .zt 1
Z powyszych rozwaa oraz twierdze 1 i 2 wynika bezporednio nastpujce twierdzenie.
Twierdzenie 3. Ukad cigo-dyskretny o wielomianie charakterystycznym w s z( , ) jest asymptotycznie stabilny (zachodzi (11)) wtedy i tylko wtedy, gdy
1) w s( , )1 z0, Rest 0,
2) w s z( , )z 0, Res 0, | |z 1 lub 2a) w s z, ( , )z 0, Res 0, | |zt 1.
W pracy [1] pokazano, e warunek (11) jest speniony wtedy i tylko wtedy, gdy s spenione trzy ponisze warunki:
1. w s b( , )z 0 dla Re s t 0 i dla pewnej liczby b speniajcej warunek | |bt 1, 2. w a z( , )z 0 dla | |zt 1 i dla pewnej urojonej liczby a,
3. H( )s z 0 dla kadego urojonego s, przy czym wielomian H( )s wyznacza si w sposób podany w [1]. Sposób ten jest podobny do wyznaczania macierzy stabilnoci przy badaniu stabilnoci ukadów dyskretnych.
Zgodnie z pracami [14-16], warunek (11) jest równowany z dwoma warunkami: 1. w s( , )1 z dla Re s t 00
2. w(jZ, )z z 0 dla Z i | |zt 1.
Naley przy tym zaznaczy, e warunek 1. w pracy [14] zosta podany bdnie i mia posta: w s( , )0 z dla Re0 st 0 Poprawna posta tego warunku zostaa podana w póniejszych pra-. cach (np. [15]). Ponadto, w pracy [14] dowód równowanoci warunku (11) i powyszych warunków 1. i 2. zosta podany w sposób nieprecyzyjny.
Spenienie warunku 1) twierdzenia 3 oznacza, e wszystkie zera wielomianu w s( , )1 jednej zmiennej maj ujemne czci rzeczywiste, czyli ten wielomian jest asymptotycznie stabilny w sensie Hurwitza. Do badania jego stabilnoci mona stosowa kryterium stabilnoci Hu-rwitza.
Wielomian w s( , )1 oblicza si ze wzoru
w s( , )1 det[ (s In A1)(A0 A2)] (14) dla modelu Fornasiniego-Marchesiniego (1) oraz ze wzoru
w s H s sI A A A I A n n ( , )1 det ( , )1 det 1 2 11 12 21 22 ª ¬ « º ¼ » (15) dla modelu Roessera (6).
Ze wzoru (14) wynika, e jeeli A1 , to w sIn ( , )1 det[ ( A0A2)] jest sta. Oznacza to, e dla modelu Fornasiniego-Marchesiniego wielomian w s( , )1 (stopnia n-tego w przypadku ogólnym, tj. przy A z ), przy AI redukuje si do wielomianu zerowego stopnia. Taki I
Uwzgldniajc wzory (9) dla z 1 otrzymamy, e dla modelu Roessera (6) wielomian w s( , )1 mona obliczy korzystajc z jednej z poniszych zalenoci
w s( , )1 detH s( , )1 det{(In A ) det(sIn A ) A (sIn A ))A },
2 22 1 11 21(adj 1 11 12 (16a)
w s( , )1 detH s( , )1 det{(sIn A ) det(In A ) A (In A ))A }.
1 11 2 22 12(adj 2 22 21 (16b)
Wielomian w s( , )1 jest wielomianem stopnia n1 w przypadku ogólnym. Natomiast w przy-padku szczególnym A22 In
2 ze wzoru (16a) mamy w s( , )1 det{A21(adj(sIn1 A11))A12}.
Oznacza to, e przy A22 In
2 wielomian w s( , )1 ma stopie n1 . Taki przypadek wymaga 1
dodatkowych bada i nie bdzie analizowany w pracy.
Spenienie warunku 2a) twierdzenia 3 oznacza, e dla kadego ustalonego s ,jy yt 0, wie-lomian zespolony w jy z( , ) nie ma zer o wartoci bezwzgldnej wikszej lub równej jeden, czyli jest on asymptotycznie stabilny w sensie Schura.
Spenienie warunku 2) twierdzenia 3 oznacza natomiast, e dla kadego ustalonego z spenia-jcego warunek | |z 1 wielomian zespolony w s z( , ) jednej zmiennej s nie ma zer na osi uro-jonej. atwo zauway, e moemy przyj z exp( )jZ i Z[ ,0 2S], przy czym moemy ograniczy si do przedziau [ , ].0 S
Warunek 2) twierdzenia 3 jest wic równowany z warunkiem
w s( ,exp(jZ z 0)) , Res 0, Z [ , ],0 S (17) przy czym
w s( ,exp(jZ)) det[(sIn A2) exp(jZ)A0sA1] (18) dla modelu Fornasiniego-Marchesiniego (1) oraz
w s j sI A A A j I A n n ( ,exp( )) det exp( ) Z ª Z ¬ « º ¼ » 1 2 11 12 21 22 (19) dla modelu Roessera (6).
Twierdzenie 4. Ukad cigo-dyskretny o wielomianie charakterystycznym w s z( , ) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy
w s( ,exp(jZ z 0)) , Rest 0, Z [ , ].0 S (20)
Dowód. Warunek 2) twierdzenia 3 jest równowany z warunkiem (17). Jest on speniony wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zera zespolonego wielomianu w s( ,exp(jZ dla kadego)) ustalonego Z[ , ]0 S maj czci rzeczywiste ujemne albo czci rzeczywiste dodatnie. Za-uwamy, e dla Z 0 zespolony wielomian w s( ,exp(jZ redukuje si do wielomianu rze-)) czywistego w s( , ),1 który zgodnie z warunkiem 1) twierdzenia 3, musi mie wszystkie zera o ujemnych czciach rzeczywistych. Teza twierdzenia wynika zatem z powyszego oraz z fak-tu, e wartoci zer wielomianu w s( ,exp(jZ zmieniaj si w sposób cigy przy cigych)) zmianach wartoci parametru Z[ , ].0 S Ŷ
Algorytm 1.
Krok 1. Przyjmujemy odpowiednio may krok 'Z i dla kadego ustalonego Z[ , ]0 S (wy-znaczonego z zadanym krokiem 'Z) obliczamy zera wielomianu w s( ,exp(jZ)).
Krok 2. Rysujemy na paszczynie zmiennej zespolonej pooenia wyznaczonych zer w funk-cji parametru Z[ , ].0 S Otrzymamy w ten sposób linie zer. Ich liczba jest równa stopniowi wielomianu w s z( , ) ze wzgldu na zmienn s. Warunek (20) jest speniony wtedy i tylko wtedy, gdy wyznaczone linie zer le cakowicie w otwartej lewej pópaszczynie paszczy-zny zmiennej zespolonej.
Algorytm 1a.
Krok 1. Przyjmujemy odpowiednio may krok 'Z i dla kadego ustalonego Z[ , ]0 S obli-czamy zera O Zk( ) ( k 1 2, ,..., ) wielomianu w sn ( ,exp(jZ oraz najwiksz ich cz rze-)) czywist, tj. D Z( ) max{ReO Zk( ),k 1 2, ,..., }.n
Krok 2. Rysujemy na paszczynie ( , ( ))Z D Z wykres D Z( ), Z[ , ].0 S Warunek (20) jest speniony wtedy i tylko wtedy, gdy wyznaczony wykres ley poniej osi odcitych (wyzna-czone wartoci D Z( ) s ujemne).
Krok 2a. Obliczamy D max{ ( ):D Z Z[ , ]}.0 S Warunek (20) jest speniony wtedy i tylko wtedy, gdy D 0.
Rozpatrzymy teraz problem badania asymptotycznej stabilnoci rozpatrywanych modeli ukadów cigo-dyskretnych bez koniecznoci wyznaczania ich wielomianów charaktery-stycznych.
Twierdzenie 5. Jeeli A1z , to model Fornasiniego-Marchesiniego (1) ukadu cigo-In dyskretnego jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartoci wasne zespolonej macierzy Af( )Z maj ujemne czci rzeczywiste dla kadego Z[ , ],0 S gdzie
A I j A A j A A j A I j A f n n ( ) ( exp( ) ) ( exp( ) ) ( exp( ) )( exp( ) ) . Z Z Z Z Z 1 1 2 0 2 0 1 1 (21)
Dowód. Jeeli A1z , to macierz IIn nexp(jZ ) A1 jest nieosobliwa dla kadego Z[ , ].0 S Wtedy [( ) ] [ ][ ( ) ( )] [ ( )( ) ][ ] sI A e A sA I e A s I e A A e A s A e A I e A I e A n j n j n j j j n j n j 2 0 1 1 1 1 2 0 2 0 1 1 1 Z Z Z Z Z Z Z i ze wzoru (18) mamy w s e( , jZ) det(I en jZ A1) det(sIn Af( )),Z
co oznacza, e zerami wielomianu w s( ,exp(jZ s wartoci wasne macierzy (21). Teza )) wynika zatem z twierdzenia 4. Ŷ
Do sprawdzenia warunku twierdzenia 5 mona stosowa podane powyej algorytmy, w któ-rych naley bra pod uwag wartoci wasne macierzy (21) zamiast zer wielomianu
Przykad 1. Naley zbada asymptotyczn stabilno modelu Fornasiniego-Marchesiniego (1) ukadu cigo-dyskretnego o macierzach
A0 3 1 2 0 0 4 2 2 0 1 ª ¬ « « « º ¼ » » » . , A1 5 1 0 0 0 1 2 0 0 2 2 ª ¬ « « « º ¼ » » » . . , A2 2 4 1 0 0 0 3 0 2 1 ª ¬ « « « º ¼ » » » . . (22)
Do badania stabilnoci zastosujemy twierdzenie 5. Wartoci wasne macierzy (21) (przy ma-cierzach A0, A1 i A2 o postaciach (22)) obliczone dla ustalonych wartoci parametru
Z[ ,0 2S], zmieniajcych si z krokiem 'Z 0 015. S s pokazane na rys. 1. Tworz one , trzy linie wartoci wasnych. Warto D wyznaczona w sposób podany w Algorytmie 1a wy-nosi D 0 3341. . Oznacza to, e linie wartoci wasnych le na paszczynie zmiennej ze-spolonej na lewo od prostej pionowej przecinajcej o rzeczywist w punkcie D 0 3341. . Warunek twierdzenia 5 jest wic speniony i rozpatrywany model Fornasiniego-Marchesiniego ukadu cigo-dyskretnego jest asymptotycznie stabilny.
-1.1 -0.7 -0.3 -4 0 4 real im ag
Rys. 1. Wartoci wasne macierzy Af( ),Z Z[ , ]0 2S
Twierdzenie 6. Jeeli A22 In 2
z , to model Roessera (6) ukadu cigo-dyskretnego jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartoci wasne macierzy zespo-lonej Ar( )Z maj ujemne czci rzeczywiste dla kadego Z[ , ],0 S przy czym
Ar( )Z A11 A12(I en jZ A22)1A21.
2 (23)
Dowód. Jeeli A22 In 2
z , to macierz In j A
2exp( Z ) 22 jest nieosobliwa dla kadego Z[ , ].0 S Korzystajc z metod wyznaczania wyznacznika macierzy blokowej [6], otrzyma-my
det det( ) det( ( ) ).
sI A A A I e A I e A sI A A I e A A n n j n j n n j 1 2 2 1 2 11 12 21 22 22 11 12 22 1 21 ª ¬ « « º ¼ » » Z Z Z
Zatem w s e sI A A A I e A I e A sI A e j n n j n j n r j
( , Z) det Z det( Z ) det( ( Z)),
ª ¬ « « º ¼ » » 1 2 2 1 11 12 21 22 22 (24)
gdzie macierz Ar( )Z oblicza si ze wzoru (23).
Ze wzoru (24) wynika, e zerami wielomianu (19) s wartoci wasne macierzy (23). Teza wynika zatem z twierdzenia 4. Ŷ
Do sprawdzenia warunku twierdzenia 6 moemy zastosowa podane powyej algorytmy, w których naley bra pod uwag wartoci wasne macierzy (23) zamiast zer wielomianu
w s( ,exp(jZ)).
Przykad 2. Naley zbada asymptotyczn stabilno modelu Roessera (6) ukadu cigo-dyskretnego o macierzach A11 0 1 01 1 ª ¬ « º ¼ » . , A12 15 1 1 0 ª ¬ « º ¼ » . , A21 0 3 01 2 1 ª ¬ « º ¼ » . . , A22 0 5 0 5 2 4 ª ¬ « º ¼ » . . . (25)
Do badania stabilnoci zastosujemy twierdzenie 6. Wartoci wasne macierzy (23) obliczone dla ustalonych wartoci parametru Z[ ,0 2S] (zmieniajcych si z krokiem 'Z 0 01. S s) pokazane na rys. 2. Tworz one linie wartoci wasnych macierzy (23), przy czym warto D wyznaczona w sposób podany w Algorytmie 1a wynosi D 0 2319. . Linie wartoci wa-snych macierzy (23) le na paszczynie zmiennej zespolonej na lewo od prostej pionowej przecinajcej o rzeczywist w punkcie D 0 2319. , co oznacza, e rozpatrywany model Roessera ukadu cigo-dyskretnego jest asymptotycznie stabilny, zgodnie z twierdzeniem 6.
-3 -1.5 0 -0.5 0 0.5 real im ag
Rys. 2. Wartoci wasne macierzy Ar( ),Z Z[ , ]0 2S
Na rys. 3 zosta dodatkowo pokazany wykres najwikszych czci rzeczywistych wartoci wasnych O Zk( ) macierzy (23), tj. wykres D Z( ) max{ReO Zk( ),k 1 2 w funkcji , }
0 7 -1.4 -0.8 -0.2 Z D Z( ) Rys. 3. Wykres D Z( ), Z[ ,0 2S]
Zauwamy, e w rozpatrywanym asymptotycznie stabilnym modelu Roessera macierz A11 nie jest stabilna w sensie Hurwitza (jedna z jej wartoci wasnych s1 .10916, s2 .0 0916 jest dodatnia). Zatem stabilno w sensie Hurwitza macierzy A11 nie jest warunkiem ko-niecznym asymptotycznej stabilnoci modelu Roessera ukadu cigo-dyskretnego. Podany w pracy [14] rezultat stwierdzajcy, e macierz A11 musi by stabilna w sensie Hurwitza, aby by asymptotycznie stabilny model Roessera ukadu cigo-dyskretnego nie jest wic praw-dziwy.
4. UWAGI KOCOWE
W pracy rozpatrzono problem badania asymptotycznej stabilnoci liniowych ukadów hybry-dowych cigo-dyskretnych. Podano komputerowe metody badania stabilnoci w sensie Hurwitza-Schura wielomianu charakterystycznego ukadów cigo-dyskretnych oraz asymp-totycznej stabilnoci modelu Fornasiniego-Marchesiniego i modelu Roessera. Metody te mo-g by wykorzystane do badania stabilnoci innych modeli, takich jak model ogólny [7, 8], a take nowy model ogólny analizowany w pracach [9, 10].
W szczególnoci pokazano, e:
x wielomian charakterystyczny w s z( , ) jest stabilny w sensie Hurwitza-Schura wtedy i tylko wtedy, gdy jest speniony warunek (20) (twierdzenie 4),
x model Fornasiniego-Marchesiniego (1) przy A1z jest asymptotycznie stabilny wtedy In i tylko wtedy, gdy wszystkie wartoci wasne macierzy (21) maj ujemne czci rzeczywi-ste dla kadego Z[ , ]0 S (twierdzenie 5),
x modelu Roessera (6) przy A22 In 2
z jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartoci wasne macierzy (23) maj ujemne czci rzeczywiste dla kadego
Z[ , ]0 S (twierdzenie 6).
Proponowane metody badania stabilnoci mona uogólni na dodatnie ukady hybrydowe cigo-dyskretne.
Praca naukowa finansowana ze rodków Komitetu Bada Naukowych w latach 2007-2010 jako projekt badawczy nr N N514 1939 33.
LITERATURA
1. Bistritz Y.: A stability test for continuous-discrete bivariate polynomials, Proc. of the Int. Symp. on Circuits and Systems, vol. 3, pp. III682-685, 2003.
2. Czornik A.: Dynamika ukadów hybrydowych. Zesz. Nauk. Pol. lskiej, ser. Automaty-ka, z. 151, str. 31-36, 2008.
3. Dymkov M., Gaishun I., Rogers E., Gakowski K., Owens D. H.: Control theory for a class of 2D continuous-discrete linear systems, Int. J. Control, vol. 77, no. 9, pp. 847-860, 2004.
4. Hespanha J.: Stochastic Hybrid Systems: Application to Communication Networks. Techn. Report, Dept. of Electrical and Computer Eng., Univ. of California, 2004.
5. Johanson K., Lygeros J., Sastry S.: Modelling hybrid systems, in. Unbehauen H. (Ed): Encyklopedia of Life Support Systems, EOLSS, 2004.
6. Kaczorek T.: Wektory i macierze w automatyce i elektrotechnice. WNT, Warszawa 1998. 7. Kaczorek T.: Dodatnie ukady jedno- i dwuwymiarowe. Oficyna Wydawnicza
Politechni-ki WarszawsPolitechni-kiej, Warszawa 2000.
8. Kaczorek T.: Positive 1D and 2D Systems, Springer-Verlag, London 2002.
9. Kaczorek T.: Positive 2D hybrid linear systems. Bulletin of the Polish Academy of Sci-ences, Technical SciSci-ences, Vol. 55, No. 4, pp. 351-358, 2007.
10. Kaczorek T.: Realization problem for positive 2D hybrid systems. COMPEL, vol. 27, no. 3, pp. 613-623, 2008.
11. Kaczorek T., Marchenko V., Sajewski .: Solvability of 2D hybrid linear systems - com-parison of the different methods, Acta Mechanica et Automatica, vol. 2, no. 2, pp. 59-66, 2008.
12. Kaczorek T., Sajewski .: Wyznaczanie dodatniej realizacji na podstawie schematu zmiennych stanu liniowych ukadów hybrydowych. Mat. Konf. Nauk.-Techn. Automation 2007, Automatyzacja - Nowoci i Perspektywy, Warszawa 2007, PAR 2/2007 (CD-ROM).
13. Kamen E. W.: On the relationship between zero criteria for two-variable polynomials and asymptotic stability of delay differential equations. IEEE Trans. Automat. Control, vol. AC-25, no. 5, pp. 983-984, 1980.
14. Xiao Y.: Stability test for 2-D continuous-discrete systems, Proc. of the 40th IEEE Conf. on Decision and Control, vol. 4, pp. 3649-3654, 2001.
15. Xiao Y.: Robust Hurwitz-Schur stability conditions of polytopes of 2-D polynomials. Proc. of the 40th IEEE Conf. on Decision and Control, vol. 4, pp. 3643-3648, 2001.
16. Xiao Y.: Stability, controllability and observability of 2-D continuous-discrete systems, Proc. of the Int. Symp. on Circuits and Systems, vol. 4, pp. IV468-IV471, 2003.
