mgr inĪ. Tomasz Kalinowski
Studium Doktoranckie, Wydziaá Elektryczny PB prof. dr hab. inĪ. Mikoáaj Busáowicz
Politechnika Biaáostocka, Wydziaá Elektryczny
ODPORNA STABILNOĝû RODZINY WIELOMIANÓW NIECAàKOWITEGO STOPNIA O WSPÓàCZYNNIKACH WIELOLINIOWO ZALEĩNYCH OD NIEPEWNYCH PARAMETRÓW
W pracy rozpatrzono problem odpornej stabilnoĞci rodzin wielomianów charakte-rystycznych niecaákowitego stopnia, których wspóáczynniki zaleĪą wieloliniowo od niepewnych parametrów. Podano komputerowe metody badania odpornej stabil-noĞci. Proponowane metody bazują na warunku wykluczenia zera i na twierdze-niu o odwzorowatwierdze-niu, znanych z teorii odpornej stabilnoĞci rodzin wielomianów caákowitych stopni. RozwaĪania zilustrowano przykáadem.
ROBUST STABILITY OF FAMILLY OF FRACTIONAL DEGREE POLYNOMIALS WITH COEFICIENTS MULTILINARY DEPEDENT
ON UNCERTAIN PARAMETERS
The paper considers the problem of robust stability of families of fractional degree characteristic polynomials with coefficients multilinearly dependent on uncertain parameters. Computer methods for checking of robust stability are given. The methods proposed are based on the Zero Exclusion Condition and on the Mapping Theorem known from the theory of robust stability of families of nat-ural degree polynomials. The considerations are illustrated by example.
1. WSTĉP
W ostatnich latach teoria analizy i syntezy liniowych uk áadów nieca ákowitego rz Ċdu jest intensywnie rozwijana w literaturze Ğwiatowej, patrz np. [6] i cytowaną tam literaturĊ.
Problem badania stabilno Ğci oraz odpornej stabilno Ğci liniowych uk áadów nieca ákowitego rzĊdu byá rozpatrywany w wielu pracach. Przegl ąd dotychczasowych metod oraz nowe rezul-taty moĪna znaleĨü np. w pracach [2–9].
Warunki i m etody badania odpornej stabilno Ğci rodzin wielom ianów charakterystycznych niecaákowitego stopnia o wspó áczynnikach liniowo zale Īnych od niepewnych param etrów zostaáy podane w pracach [4, 7–9].
W niniejszej pracy rozpatrzym y problem odpornej stabilnoĞci rodzin wielomianów charakte-rystycznych nieca ákowitego stopnia o wieloliniowej strukturze zale ĪnoĞci wspó áczynników od niepewnych param etrów i podam y kom puterowe m etody badania odpornej stabilno Ğci. W rozwaĪaniach wykorzystam y rezultaty poprzednich prac autorów [7–9] oraz m onografiĊ [1]. Rozpatrywany problem nie byá dotychczas analizowany w literaturze.
2. SFORMUàOWANIE PROBLEMU
RozwaĪmy liniowy dynam iczny uk áad ci ągáy nieca ákowitego rz Ċdu o niepewnych param e-trach, którego wielomian charakterystyczny niecaákowitego stopnia ma postaü
, , ) ( ) , ( 0a s Q s w n i i i ¦ q D q q (1)
gdzie q [q1,q2,...,qm]T jest wektorem niepewnych param etrów, m jest ich liczb ą, wspó á-czynniki ) (qai (i 01,,...,n) są wieloliniowymi ciągáymi funkcjami swoich argumentów zaĞ
} ,..., 2 ,1 , ], , [ : { q q q q q k m Q q k k k k k (2) jest zbiorem wartoĞci niepewnych parametrów.
Nie zmniejszając ogólnoĞci rozwaĪaĔ bĊdziemy przyjmowaü, Īe liczby rzeczywiste Di speá-niają nierównoĞci D0 0 D1 ... Dn oraz an( !q) 0, qQ. Oznacza to, Īe dla kaĪdego ustalonego qQ wielomian w( qs, ) ma staáy stopieĔ .Dn
Przypomnijmy (np. [1]), Īe funkcjĊ f(q) nazywamy wieloliniową, jeĪeli jest ona liniowa ze wzglĊdu na ka Īdą zmienną qi osobno, przy ustalonych warto Ğciach wszystkich pozosta áych zmiennych qk, k ,12,...,m, k z .i W przypadku dwóch zm iennych funkcj Ċ wieloliniow ą nazywamy funkcją biliniową.
Wielomian charakterystyczny (1) o niepewnych wspó áczynnikach moĪna napisaü w postaci rodziny wielomianów
^
( , ):`
. ) , (s Q w s Q W q q (3)Ukáad dynamiczny o wielomianie charakterystycznym (1) jest odpornie stabilny wtedy i tyko wtedy, gdy rodzina wielom ianów (3) jest odpornie stabilna, tj. wielom ian (1) m a wszystkie zera o ujemnych czĊĞciach rzeczywistych dla kaĪdego ustalonego qQ.
Problem badania odpornej stabilno Ğci rodziny wielom ianów (3) nieca ákowitego stopnia o zaleĪnoĞci wieloliniowej wspó áczynników od niepewnych param etrów jest ogólniejszy i trudniejszy w porównaniu z problem em badania odpornej stabilno Ğci rodziny wielomianów o liniowej strukturze niepewno Ğci, rozpatrywanym w poprzednich pracach autorów [7–9]. W przypadku liniowej zale ĪnoĞci, w zbiorze warto Ğci niepewnych param etrów (2) istnieje podzbiór ,Qt zwany testującym, skáadający siĊ ze wszystkich krawĊdzi tego zbioru. Odporna
stabilnoĞü wielomianu w( qs, ) dla wszystkich qQt jest równowaĪna z odporną stabilnoĞcią
badanej rodziny. Oznacza to, Īe warunkiem koniecznym i wystarczającym odpornej stabilno-Ğci w przypadku liniowej struktury niepewno Ğci jest odporna stabilno Ğü wszystkich wielo-mianów krawĊdziowych, które odpowiadają krawĊdziom zbioru (2). Do sprawdzania ich od-pornej stabilno Ğci m ogą by ü wykorzystywane kom puterowe m etody podane w pracy [7], w której rozpatrywano problem badania odpornej stabilno Ğci wypuk áej kom binacji dwóch wielomianów niecaákowitych stopni lub metody funkcji testujących podane w [9].
W przypadku rodziny wielom ianów o wspó áczynnikach zale Īnych od niepewnych param e-trów w sposób ogólniejszy ni Ī liniowy nie da si Ċ okreĞliü zbioru testującego. W takim przy-padku o odpornej stabilno Ğci m ogą decydowa ü warto Ğci niepewnych param etrów po áoĪone nie tylko na krawĊdziach zbioru (2), ale równieĪ leĪące w jego wnĊtrzu.
Celem pracy jest podanie kom puterowych metod badania odpornej stabilno Ğci rodziny wie-lomianów (3) niecaákowitego stopnia o wspó áczynnikach wieloliniowo zaleĪnych od niepew-nych parametrów. Taki problem nie byá dotychczas rozpatrywany w literaturze. Do rozwiąza-nia wykorzystamy rezultaty znane z teorii odpornej stabilno Ğci rodzin wielomianów caákowi-tego stopnia, podane w monografii [1].
3. ROZWIĄZANIE PROBLEMU
Nie zm niejszając ogólno Ğci rozwa ĪaĔ bĊdziemy przyjm owaü, Īe wielom ian nom inalny ) , ( ) ( 0 0 s w s q
w rodziny (3) jest wielom ianem stabilnym, przy czym q0 [q10,q20,...,qm0]T
jest wektorem nominalnych wartoĞci niepewnych param etrów. StabilnoĞü wielomianu nomi-nalnego jest warunkiem koniecznym odpornej stabilnoĞci rodziny (3).
Zbiór (2) jest m-wymiarowym hiperprostopad áoĞcianem. Ma on K 2m wierzcho áków , ] ,..., , [ 1 2 m T k q q q q gdzie qr qr lub qr qr, r ,12,...,m.
KaĪdemu wierzchoákowi ,qk,k ,12,...,K zbioru (2) w zbiorze wielom ianów (3) odpowiada
wielomian wierzchoákowy . ) ( ) , ( ) ( 0 i k n i i k k s w s a s p q ¦ q (4)
Dla kaĪdej ustalonej liczby zespolonej z zbiór
w z Q( , ) { ( , ):w z q qQ} (5)
bĊdziemy nazywaü zbiorem wartoĞci rodziny wielomianów (3). Niech dla ustalonej liczby zespolonej z
} ,..., 2 , 1 ), ( { conv ) , (z Q p z k K c k (6)
oznacza wypukáy wielobok rozpi Ċty na punktach pk(z),k ,12,...,K, bĊdących wartoĞciami dla s z wielomianów wierzchoákowych (4).
Do badania odpornej stabilno Ğci rodziny (3) wielom ianów o wspó áczynnikach bĊdących cią-gáymi funkcjam i niepewnych param etrów, stopnia ca ákowitego lub nieca ákowitego, m oĪna stosowaü poniĪsze ogólne twierdzenie, np. [1, 7–9].
Twierdzenie 1. Rodzina (3) wielomianów staáego niecaákowitego stopnia o wspóáczynnikach
wieloliniowo zaleĪnych od niepewnych parametrów jest odpornie stabilna wtedy i tylko wte-dy, gdy wielomian nominalny w0(s) w(s,q0) jest stabilny i jest speániony warunek
), 0w(jZ,Q Zt0, (7)
zwany warunkiem wykluczenia zera.
Speánienie warunku (7) oznacza, Īe dla kaĪdego zespolonego z jZ ( tZ 0) z brzegu obsza-ru stabilnoĞci, początek ukáadu wspóárzĊdnych leĪy na p áaszczyĨnie zmiennej zespolonej na zewnątrz zbioru wartoĞci (5).
JeĪeli wspóáczynniki wielomianu (1) stopnia ca ákowitego lub nieca ákowitego zaleĪą liniowo od niepewnych param etrów, to dla ka Īdego zespolonego z zbiór warto Ğci (5) jest wypuk áym wielobokiem (6), tzn. w(z,Q) c(z,Q). W takim przypadku do badania odpornej stabilno Ğci rodziny wielomianów (3) sáuĪy twierdzenie krawĊdziowe [1, 8]. Zgodnie z tym twierdzeniem, rodzina wielomianów (3) o wspó áczynnikach liniowo zale Īnych od niepewnych param etrów jest odpornie stabilna wtedy i tylko wtedy, gdy s ą odpornie stabilne wszystkie wielom iany krawĊdziowe, odpowiadające poszczególnym krawĊdziom zbioru Q. Oznacza to, Īe w zbio-rze Q istnieje podzbiór testujący záoĪony z krawĊdzi tego zbioru.
W przypadku, gdy wspóáczynniki wielomianu (1) caákowitego stopnia zaleĪą wieloliniowo od niepewnych parametrów, w zbiorze Q nie da si Ċ okreĞliü podzbioru testuj ącego [1]. Mo Īna pokazaü, Īe powyĪsze zachodzi te Ī dla rodziny wielom ianów niecaákowitego stopnia. W ta-kim przypadku brzegi zbioru wartoĞci (5) skáadają siĊ nie tylko z odcinków linii prostych, ale teĪ z odcinków krzywoliniowych, b Ċdących odwzorowaniem za pom ocą funkcji w(jZ,q) punktów wewn Ċtrznych zbioru Q. Dlatego te Ī bezpo Ğrednie sprawdzenie warunku (7) dla rodziny (3) o wieloliniowej strukturze niepewnoĞci nie jest sprawą prostą.
Do sformuáowania warunków odpornej stabilno Ğci rodziny wielomianów (3) o wieloliniowej strukturze niepewno Ğci wykorzystam y tzw. twierdzenie o odwzorowaniu, udowodnione w pracy [10] (patrz te Ī [1]) w przypadku rodziny wielom ianów caákowitego stopnia. Twierdze-nie to jest teĪ sáuszne w przypadku rodziny wielomianów Twierdze-niecaákowitego stopnia.
Twierdzenie 2 (o odwzorowaniu). Je Ğli wspóáczynniki wielomianu (1) zale Īą wieloliniowo
od niepewnych parametrów, to dla kaĪdej liczby zespolonej z zachodzi zaleĪnoĞü ) , ( ) , (z Q c z Q w (8) lub równowaĪnie ), conv(w(z,Q)) c(z,Q (9)
przy czym w( Qz, ) (5) jest zbiorem wartoĞci rodziny wielom ianów (3), za Ğ c( Qz, ) jest
wy-pukáą powáoką tego zbioru.
Z twierdzeĔ 1 i 2 wynika nastĊpujący warunek dostateczny odpornej stabilnoĞci.
Twierdzenie 3. Rodzina (3) wielomianów staáego niecaákowitego stopnia o wspóáczynnikach
wieloliniowo zaleĪnych od niepewnych param etrów jest odpornie stabilna, je Īeli wielomian nominalny )w0(s) w(s,q0 jest stabilny i jest speániony warunek
), , (
0c jZ Q Zt0. (10)
Przy badaniu odpornej stabilno Ğci na bazie twierdze Ĕ 1 i 3 m ogą wystąpiü istotne trudno Ğci związane z faktem , Īe przy Zof zbiór warto Ğci w(jZ,Q) i wypuk áy wielobok c(jZ,Q)
dąĪąc do nieskoĔczonoĞci przyjmując coraz wi Ċksze wymiary. Z tego powodu, podobnie jak w przypadku rodziny wielom ianów caákowitego stopnia [1], wygodnie jest sform uáowaü wa-runki odpornej stabilnoĞci w odniesieniu do unormowanego zbioru wartoĞci.
Zgodnie z przyjĊtym zaáoĪeniem, wielomian nominalny w0(s) w(s,q0) rodziny (3) jest wie-lomianem stabilnym. MoĪna go napisaü w postaci
, ) ( ) , ( ) ( 0 0 0 0 s w s a s i w n i i D ¦ q q (11)
gdzie q0 [q10,q20,...,qm0]T jest wektorem nominalnych wartoĞci niepewnych parametrów. StabilnoĞü wielomianu (11) moĪna sprawdziü stosując poniĪszy lemat, udowodniony w [2].
Lemat 1. Wielomian (11) jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji
) ( ) ( ) ( 0 Z Z Z \ j w j w j odn (12)
przy Z zmieniającym siĊ od 0 do f nie okr ąĪa początku páaszczyzny zmiennej zespolonej ani teĪ nie przechodzi przez niego, przy czym wodn(s) jest stabilnym wielomianem odniesie-nia niecaákowitego stopodniesie-nia równego stopniowi wielomianu (11).
Wielomian ten moĪna wybraü np. w postaci [2]
, ) ( ) (s d s c n wodn D (13)
gdzie staáe c i d są dodatnie, przy czym moĪna przyjąü ).d an(q0
Niech z bĊdzie ustaloną liczbą zespoloną. Unormowanym (wzglĊdem ) (w0 z ) zbiorem
warto-Ğci rodziny (3) bĊdziemy nazywaü zbiór o postaci
}, : ) , ( ~ { ) , ( ~ z Q w z Q w q q (14) gdzie ), w~(z,q) w(z,q)/w0(z (15)
przy czym w0(z)z0 dla z jZ, Zt0, bowiem w0(s) w(s,q0) jest z za áoĪenia stabilnym wielomianem nominalnym.
Dla ustalonej liczby zespolonej z unorm owany wypuk áy wielobok (6) m oĪna zdefiniowa ü nastĊpująco
}. c~(z,Q) conv{~pk(z), k ,12,...,K (16)
Jest on rozpi Ċty na punktach b Ċdących wartoĞciami dla s z unormowanych wielomianów
wierzchoákowych
). ~pk(s) pk(s)/w0(s (17)
Z powyĪszego i twierdzenia o odwzorowaniu 2 wynika, Īe ). , ( ~ ) , ( ~ z Q c z Q w (18)
UwzglĊdniając powyĪsze rozwaĪania i uogólniając twierdzenia 1 i 3 otrzym amy nastĊpujące twierdzenia.
Twierdzenie 4. Rodzina (3) wielomianów staáego niecaákowitego stopnia o wspóáczynnikach
wieloliniowo zaleĪnych od niepewnych parametrów jest odpornie stabilna wtedy i tylko wte-dy, gdy wielom ian nominalny w0(s) w(s,q0) jest stabilny i jest spe ániony warunek wyklu-czenia zera dla unormowanego zbioru wartoĞci, o postaci
), 0w~(jZ,Q Zt0. (19)
Twierdzenie 5. Rodzina (3) wielomianów staáego niecaákowitego stopnia o wspóáczynnikach
wieloliniowo zaleĪnych od niepewnych param etrów jest odpornie stabilna, je Īeli wielomian nominalny )w0(s) w(s,q0 jest stabilny i jest speániony warunek
), , ( ~ 0c jZ Q Zt0. (20) Niech ,] 1 , 0 [ ), ( ~ ) ( ~ ) 1 ( ) , ( ~ s O O p s Op s O/ prk r k (21)
Zbiór wszystkich takich kombinacji moĪna zdefiniowaü jako }. , 2 ,..., 2 , 1 , ]; 1 , 0 [ : ) , ( { ) , (s p s r k K r k P / rk O O m (22)
Ze wzoru (16) wynika, Īe dla s z krawĊdzie wypukáego wieloboku ~c(z,Q) są odcinkami
linii prostych ~prk(z,O), O[01,,] przy czym w przypadku ogólnym nie ka Īdy taki odcinek jest krawĊdzią wieloboku ~c(z,Q). Zbiór kraw Ċdzi wieloboku c~(z,Q) jest wi Ċc podzbiorem
zbioru záoĪonego ze wszystkich odcinków ~prk(z,O), O[01,,] r,k 1,2,...,K 2m ,r k.
Z powyĪszego wynika, Īe krawĊdzie zbioru ~c(z,Q) są odwzorowaniami dla s z nie tylko krawĊdzi zbioru Q (2), ale teĪ jego przekątnych. Sáuszny jest wiĊc poniĪszy lemat.
Lemat 2. Rodzina wielomianów staáego niecaákowitego stopnia o wspó áczynnikach
wieloli-niowo zaleĪnych od niepewnych param etrów jest odpornie stabilna, je Īeli wszystkie kom bi-nacje (21) wielomianów naleĪących do zbioru (22) są odpornie stabilne.
Do badania odpornej stabilno Ğci poszczególnych wielom ianów (21) nale Īących do zbioru (22) moĪna stosowaü podane w pracach [4, 7] m etody badania odpornej stabilnoĞci wypukáej kombinacji dwóch wielomianów niecaákowitego stopnia. MoĪna teĪ stosowaü metody funkcji testujących podane w pracy [9], które um oĪliwiają jednoczesne badanie odpornej stabilno Ğci wszystkich wielomianów (21) naleĪących do zbioru (22).
UwzglĊdniając [9], odpowiednie warunki odpornej stabilno Ğci moĪna sformuáowaü w postaci poniĪszych lematów.
Lemat 3 . Rodzina wielom ianów (3) sta áego nieca ákowitego stopnia o wspó áczynnikach
zaleĪnych wieloliniowo od niepewnych param etrów jest odpornie stabilna, je Īeli wielomian nominalny ) (w0 s jest stabilny i jest speániony warunek
), d(Z)!0,Z: [0,f (23) gdzie funkcjĊ testującą d(Z) wyznacza siĊ ze wzoru
}, ) ( ), ( ), ( ), ( max{ ) (Z U Z U Z V Z V Z d (24) przy czym
}, U(Z) min{Re~pk(jZ),k ,12,...,K U(Z) max{Re~pk(jZ),k 1,2,...,K}, (25a)
}, V(Z) min{Im~pk(jZ),k ,12,...,K V(Z) max{Im~pk(jZ),k ,12,...,K}, (25b)
przy czym ~ Zpk(j ) oblicza siĊ ze wzoru (17) dla s jZ.
Lemat 4. Rodzina wielomianów (3) sta áego niecaákowitego stopnia o wspó áczynnikach
za-leĪnych wieloliniowo od niepewnych param etrów jest odpornie stabilna, je Īeli wielom ian nominalny ) (w0 s jest stabilny i jest speániony warunek
, , 0 ) (Z ! Z: B (26) gdzie }. ,..., 2 ,1 ), ( ~ min{Re ) ( p j k K B Z k Z (27)
Lemat 5. Rodzina wielomianów (3) sta áego niecaákowitego stopnia o wspó áczynnikach
za-leĪnych wieloliniowo od niepewnych param etrów jest odpornie stabilna, je Īeli wielom ian nominalny ) (w0 s jest stabilny i jest speániony warunek
, , 0 ) (Z ! Z: F (28)
gdzie dla ustalonego Z: funkcjĊ F(Z) oblicza siĊ ze wzoru
}, , ,..., 2 ,1 , |: ) ( ~ arg ) ( ~ arg {| max ) ( , p j p j r k K r k F r k k r Z Z S Z (29)
przy czym argz[S,S) jest argumentem liczby zespolonej z. Podsumowując powyĪsze rozwaĪania moĪna stwierdziü, Īe:
x wypukáy wielobok (16) w przypadku ogólnym jest nadm iarowy w stosunku do zbioru wartoĞci (14), tj. zachodzi warunek (18). Zatem spe ánienie warunku wykluczenia zera (20) jest tylko wystarczające do speánienia warunku wykluczenia zera (19),
x metody funkcji testuj ących bazuj ą gáównie na warunkach dostatecznych spe ánienia wa-runku (20), a wi Ċc warunki podane w lem atach 3, 4 i 5 s ą najczĊĞciej mocnymi warunka-mi dostatecznywarunka-mi odpornej stabilnoĞci rozpatrywanej rodziny wielowarunka-mianów.
Celem osáabienia tych warunków moĪna zastosowaü podejĞcie znane z teorii odpornej stabil-noĞci rodzin wielom ianów ca ákowitego stopnia o wspó áczynnikach wieloliniowo zale Īnych od niepewnych param etrów, opisane w [1]. W tym podejĞciu konstruuje si Ċ inny wielobok, nie koniecznie wypuk áy, który dla wszystkich zespolonych z dok áadniej aproksymuje zbiór wartoĞci (14) rodziny (3). Taki wielobok m oĪna otrzymaü dzieląc zbiór Q na podzbiory Qi
i dokonując aproksymacji kaĪdego z podzbiorów w~(z,Qi) za pom ocą wypukáego wieloboku ). , ( ~ i Q z c 4. PRZYKàAD
NaleĪy zbada ü odporn ą stabilno Ğü wielom ianu nieca ákowitego stopnia o wspó áczynnikach wieloliniowo zaleĪnych od niepewnych parametrów, o postaci
, 5 ) 25 . 1 ( ) 3 ( 2 ) , (s q q1q2s3 q1 q2 s9/7 q1q2 s7/6 s w qQ, (30)
przy czym zbiór wartoĞci niepewnych parametrów
]} 3 , 5 . 0 [ ], 5 , 5 . 0 [ : ] , [ { T 1 2 2 1 q q q q Q q (31)
jest na páaszczyĨnie ( q1, q2) jest prostokątem o wierzchoákach , 5 . 0 5 . 0 1 » ¼ º « ¬ ª q , 3 5 . 0 2 » ¼ º « ¬ ª q , 3 5 3 » ¼ º « ¬ ª q . 5 . 0 5 4 » ¼ º « ¬ ª q (32)
Za nom inalne warto Ğci niepewnych param etrów przyjm ijmy q10 2, q20 1. W ielomian
nominalny ma zatem postaü
. 5 25 . 4 5 4 ) ( 3 9/7 7/6 0 s s s s s w (33)
Do badania stabilno Ğci wielomianu nominalnego (38) zastosujem y lemat 1 przyjm ując wie-lomian odniesienia o postaci w (s) s4( 1)3.
Wykres funkcji (12), wyznaczony dla warto Ğci parametru Z zmieniających siĊ w przedziale ]
200 , 0
[ ze zm iennym krokiem , jest pokazany na rys.1. D ąĪy on do punktu ( j przy ,1 0) .
f o
Z W ykres nie obejm uje pocz ątku uk áadu wspó árzĊdnych, co oznacza, Īe wielom ian nominalny (33) jest stabilny, zgodnie z lematem 1.
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 Re Im
Rys. 1. Wykres funkcji (12)
Do badania odpornej stabilno Ğci rozpatrywanej rodziny wielom ianów zastosujem y m etody funkcji testujących. Wyznaczając wykresy funkcji F(Z) (29) i B(Z) (27) otrzym amy
prze-biegi pokazane na rys.unku 2.
0 20 40 60 80 100 120 -2 0 2 4 w F( w ) 0 20 40 60 80 100 120 -15 -10 -5 0 5 w B( w )
Rys. 2. Wykresy funkcji testujących ) (ZF i B(Z)
Z rysunku 2 wynika, Īe warunki lematów 4 i 5 nie są speánione i o odpornej stabilnoĞci rozpa-trywanej rodziny wielomianów nic nie moĪna powiedzieü.
Unormowany zbiór wartoĞci (14) oraz wypuk áy wielobok (16) dla s z j1 są pokazane na rysunku 3. Zbiór w~(j ,1Q) zosta á wyznaczony m etodą siatki przy dyskretyzacji warto Ğci parametru q1[0.5,5] z krokiem 'q1 0.1 oraz wartoĞci parametru q2[0.5,3] z krokiem
. 1 . 0
2
'q Brzegi prostokąta (31) zostaáy odwzorowane w odcinki linii prostych zaznaczone kolorem czerwonym. Natomiast odcinek zaznaczony czarn ą linią przerywana jest
odwzoro-waniem jednej z przek ątnych prostok ąta (31). Zauwa Īmy, Īe dla s warunek (19) jest j1 speániony, natomiast nie jest spe ániony warunek (20), bowiem wielobok ~c(j ,1Q) jest mocno nadmiarowy w stosunku do zbioru w~(j ,1Q).
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 Re Im A B C
Rys. 3. Unormowany zbiór wartoĞci )w~(j ,1Q (obszar zakropkowany) i zbiór ~c(j ,1Q)
(wie-lobok o wierzchoákach A, B i C)
Przeanalizujemy teraz problem odpornej stabilnoĞci wielomianu (30) sprawdzając graficznie, z zastosowaniem m etody siatki, spe ánienie warunku wykluczenia zera (19). W yznaczając zbiór )w~(jZ,Q dla warto Ğci parametru Z zmieniających siĊ w przedziale [0,10] z krokiem
25 . 0 Z
' (przy dyskretyzacji warto Ğci niepewnych param etrów jak w przypadku zbioru )
,1 ( ~ j Q
w ) i analizując jego poáoĪenia na páaszczyĨnie zmiennej zespolonej w pobliĪu
począt-ku ukáadu wspóárzĊdnych, otrzymamy wykresy pokazane na rysunpocząt-ku 4. Z rysunpocząt-ku 4 wynika, Īe pocz ątek uk áadu wspó árzĊdnych le Īy na zewn ątrz unorm owanego zbioru warto Ğci przy
]. 10 , 0 [
Z MoĪna sprawdziü, Īe powyĪsze zachodzi teĪ dla dowolnego Z!10. Oznacza to, ze warunek wykluczenia zera (19) jest spe ániony i rozpatrywana rodzina wielom ianów jest odpornie stabilna, zgodnie z twierdzeniem 4.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 Re Im
5. UWAGI KOēCOWE
W pracy rozpatrzono problem badania odpornej stabilnoĞci rodziny wielomianów charaktery-stycznych (3) niecaákowitego stopnia o wspó áczynnikach zaleĪnych wieloliniowo od niepew-nych parametrów. Podano komputerowe metody badania odpornej stabilnoĞci. Wykorzystano przy tym rezultaty znane z teorii odpornej stabilnoĞci rodzin wielomianów caákowitych stopni oraz poprzednie prace autorów [3, 6–9]. Rozpatrywano w nich uk áady, których wielom iany charakterystyczne m iaáy nieca ákowity stopie Ĕ wspó ámierny. Natom iast w niniejszej pracy rozpatrzono rodziny wielom ianów stopni nieca ákowitych niewspóámiernych. Rezultaty z za-kresu stabilno Ğci wielom ianów stopni nieca ákowitych wspó ámiernych pozostaj ą bowiem sáuszne (z pewnymi oczywistymi modyfikacjami) w przypadku wielom ianów stopni nieca á-kowitych niewspóámiernych, np. [4].
Praca naukowa finansowana ze Ğrodków Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa W yĪszego w latach 2007–2010 jako projekt badawczy nr N N514 1939 33.
6. BIBLIOGRAFIA
1. Busáowicz M.: Stabilno Ğü ukáadów liniowych stacjonarnych o niepewnych param etrach. Dziaá Wydawnictw i Poligrafii Politechniki Biaáostockiej, Biaáystok 1997.
2. Busáowicz M.: Frequency domain method for stability analysis of linear continuous-tim e fractional systems. W: Malinowski K., Rutkow ski L. (Eds): Recent Advances in Control and Automation, Academic Publishing House EXIT, Warszawa 2008, pp. 83–92.
3. Busáowicz M.: StabilnoĞü liniowych ciągáych ukáadów uáamkowych rzĊdu wspóámierne-go. Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2008, str. 475–484 ( CD-ROM).
4. Busáowicz M.: Robust stability of convex com bination of two fractional degree characte-ristic polynomials. Acta Mechanica et Automatica, 2008, vol. 2, No. 2, pp. 5–10.
5. Busáowicz M.: Stability analysis of linear continuoustim e fractional system s of com -mensurate order. Journal of Autom ation, Mobile Robotics and Intelligent System s, 2009, vol. 3, No. 1, pp. 16–21.
6. Busáowicz M.: Wybrane zagadnienia z zakresu liniowych ci ągáych ukáadów niecaákowi-tego rzĊdu. Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2010, str. 93–114 (CD-ROM).
7. Busáowicz M.: Kalinowski T.: Odporna stabilnoĞü liniowego ciągáego ukáadu uáamkowe-go rzĊdu wspóámierneuáamkowe-go o funkcji charakterystycznej zale Īnej liniowo od jedneuáamkowe-go nie-pewnego parametru. Pomiary Automatyka Robotyka, 2 (2008), str. 465–474 (CD-ROM). 8. Busáowicz M., Kalinowski T.: Odporna stabilno Ğü ciągáych ukáadów uáamkowego rzĊdu
wspóámiernego o funkcji charakterystycznej zale Īnej liniowo od niepewnych param e-trów. Pomiary Automatyka Robotyka, 2/2009, str. 388–397 (CD-ROM).
9. Busáowicz M., Kalinowski T.: Badanie m etodami funkcji testuj ących odpornej stabilno-Ğci ciągáych ukáadów uáamkowego rzĊdu wspóámiernego o funkcji charakterystycznej za-leĪnej liniowo od niepewnych param etrów. Pom iary Autom atyka Robotyka, 2/2010, str. 406–415 (CD-ROM).
10. Zadeh L. A., Desoer C. A.: Linear System s Theory – A State Space Approach. McGraw-Hill, New York 1963.
