liczb zespolonych
Niech X i Y b¸ed¸a zbiorami. Iloczynem kartezja´nskim tych zbior´ow nazywamy zbi´or X × Y = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ Y }. Dwuargumentowym dzia laniem na zbiorze X nazywamy dowolne odwzorowanie X × X → X oznaczane np symbolem ∗, , ⊕, ⊗, ·, + itp.
Grup¸a nazywamy dowolny zbi´or G wraz z dwuargumentowym dzia laniem ∗ spe lniaj¸acym warunki:
1. ∀x,y,z∈G (x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z),
2. ∃e∈G ∀x∈G x ∗ e = e ∗ x = x,
3. ∀x∈G∃y∈G x ∗ y = y ∗ x = e.
Je˙zeli ponadto ∀x,y∈G x ∗ y = y ∗ x, to G nazywamy grup¸a abelow¸a.
Nietrudno pokaza´c, ˙ze element e grupy G spe lniaj¸acy warunek (2) jest je-dyny i nazywa si¸e elementem neutralnym grupy G, za´s element y spe lniaj¸acy warunek (3) jest jednoznacznie wyznaczony przez element x i oznacza´c go b¸edziemy przez x−1 lub −x i nazywa´c elementem odwrotnym lub przeci-wnym. W dalszym ci¸agu b¸edziemy cz¸esto pomija´c znak dzia lania pisz¸ac po prostu xy zamiast x ∗ y
Cia lem nazywamy zbi´or K wraz z dwoma dwuargumentowymi dzia laniami + oraz · takimi, ˙ze:
1. (K, +) jest grup¸a abelow¸a (element neutralny oznaczamy tu przez 0, za´s element przeciwny do elementu x oznaczamy przez −x)
2. (K \ {0}, ·) jest grup¸a abelow¸a (element neutralny oznaczamy tu przez 1, za´s element odwrotny do elementu x 6= 0 oznaczamy przez x−1) 3. ∀x,y,z∈K x · (y + z) = (x · y) + (x · z), (y + z) · x = (y · x) + (z · x)
Przyk ladami cia l s¸a: Q, R, Q(√a), Z2, Z3.
Uwagi historyczne. Je˙zeli chodzi o cia lo liczb rzeczywistych, to ma le liczby naturalne znane by ly ju˙z na niskim poziomie rozwoju kultury i ich zakres
powi¸eksza l si¸e wraz z rozwojem. Konieczno´s´c pomiar´ow spowodowa la po-jawienie si¸e liczb wymiernych. Kilka wiek´ow przed Chrystusem Grecy znali liczby niewymierne (np. √2) i operowali nimi geometrycznie. Grecy nie znali jednak liczb ujemnych. 0 wprowadzili do matematyki Hindusi; w Eu-ropie zacz¸eto go u˙zywa´c dopiero w ´sredniowieczu. Liczby ujemne wprowad-zono w okresie odrodzenia. W XVI wieku nast¸epuje burzliwy rozw´oj nauki. W matematyce znaczy si¸e on silnym rozwojem algebry. W tym czasie po-dano wzory na obliczanie pierwiastk´ow r´owna´n stopnia 3 i 4 w terminach wsp´o lczynnik´ow takiego r´ownania przy wykorzystaniu operacji dodawania, odejmowania, mno˙zenia, dzielenia oraz wyci¸agania pierwiastk´ow stopnia 3 i 4. W og´olno´sci wzory te jednak mia ly zastosowanie w przypadku gdy umia lo si¸e policzy´c √−1. Tego jednak nie umiano, bowiem w zakresie liczb jakimi wtedy dysponowano w tym czasie nie znano liczby, kt´ora podniesiona do kwadratu dawa laby −1. Cz¸e´s´c matematyk´ow nie przejmowa la si¸e tym zak ladaj¸ac istnienie takiego pierwiastka i nazywaj¸ac go liczb¸a ”urojon¸a”. Oznaczano j¸a symbolem i. Wprowadzenie tych liczb do rozwa˙za´n nie mia lo w tym czasie ˙zadnego uzasadnienia logicznego ani oparcia o bezpo´sredni¸a intuicj¸e kierowan¸a przez zjawiska przyrodnicze. Powsta ly wskutek tego kon-trowersje. Jedni u˙zywali tych liczb bez ˙zadnego skr¸epowania mno˙z¸ac je przez liczby rzeczywiste i dodaj¸ac w formalny spos´ob:
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i, (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i i wszystko funkcjonowa lo - arytmetyka tych liczb nie doprowadzi la do ˙zadnej sprzeczno´sci. Logiczne uzasadnienie istnienia tych liczb dokonane zosta lo dopiero na pocz¸atku XIX wieku przez Gaussa.
W zbiorze R × R = {(a, b) : a, b ∈ R} wprowadzamy dzia lania (a, b) ⊕ (c, d) = (a + c, b + d), (a, b) (c, d) = (ac − bd, ad + bc).
Twierdzenie 1.1 (R × R, ⊕, ) jest cia lem w kt´orym r´ownanie X2 = −1
(tzn. X X = −1), gdzie −1 jest elementem przeciwnym do elementu neutralnego mno˙zenia , ma rozwi¸azanie. Elementy tego cia la nazywamy liczbami zespolonymi a samo cia lo cia lem liczb zespolonych.
Dow´od. Dow´od polega na bezpo´srednim sprawdzeniu aksjomat´ow cia la. Ka˙zd¸a liczb¸e zespolon¸a z = (a, b) mo˙zna zapisa´c w postaci
(a, b) = (a, 0) ⊕ ((b, 0) (0, 1))
i przedstawienie to jest jednoznaczne. Oznaczaj¸ac zatem (0, 1) przez i oraz uto˙zsamiaj¸ac liczb¸e zespolon¸a (x, 0) z liczb¸a rzeczywist¸a x, otrzymujemy przedstawienie dowolnej liczby zespolonej w postaci a + bi, przy czym przy powy˙zszych uto˙zsamieniach mno˙zenie i dodawanie takich liczb odbywa si¸e w my´sl wprowadzonych wcze´sniej regu l :
(a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i , (a + bi) · (c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i i mamy ponadto i2 = −1. W dalszym wi¸ec ci¸agu za zbi´or liczb zespolonych przyjmowa´c b¸edziemy zbi´or C = {a+bi : a, b ∈ R} z powy˙zszymi dzia laniami. Na liczbach zespolonych mo˙zna wykonywa´c szereg operacji.
Sprz¸e ˙zenie i jego w lasno´sci
− : C → C, a + bi = a − bi (1) z1 + z2 = ¯z1+ ¯z2, (2) z1 − z2 = ¯z1− ¯z2, (3) z1z2 = ¯z1z¯2, (4) 1/z = 1/¯z, (5) z1/z2 = ¯z1/¯z2.
(1) , (2 ) i (3) s¸a latwe i sprawdza si¸e je bezpo´srednim rachunkiem, (4) wynika z (3) za´s (5) z (3) i (4).
Cz¸e´s´c rzeczywista Re i cz¸e´s´c urojona Im Re, Im : C → R, Re(a + bi) = a, Im(a + bi) = b (1) Re(z1+ z2) = Re(z1) + Re(z2),
(2) Im(z1+ z2) = Im(z1) + Im(z2).
| | : C → R, |a + bi| =√a2+ b2 (1) Re(z) ≤ |z|, Im(z) ≤ |z|, (2) |z|2 = z ¯z, (3) |z1z2| = |z1||z2|, (4) |1/z| = 1/|z|, (5) |z1/z2| = |z1|/|z2|, (6) |z1 + z2| ≤ |z1| + |z2|, (7) ||z1| − |z2|| ≤ |z1− z2|, (8) |z1 + . . . + zn| ≤ |z1| + . . . + |zn|.
(2) Niech z = a + bi. Wtedy zz = · · · = |z|2.
(3) |z1z2|2 = (z1z2)(z1z2) = z1z1z2z2 = |z1|2|z2|2 = (|z1||z2|)2. (4) wynika z (3) a (5) z (3) i (4). (6) 1 = (z1 + z2)/(z1 + z2) = z1/(z1 + z2) + z2/(z1 + z2). Z w lasno´sci Re: 1 = Re(z1/(z1+ z2)) + Re(z2/(z1+ z2)) ≤ |(z1/(z1+ z2))| + |(z2/(z1+ z2))| = (|z1| + |z2|)/|z1+ z2|. (7) Mamy z2+ (z1− z2) = z1 a st¸ad |z1| = |z2+ (z1− z2)| ≤ |z2| + |z1− z2|. Zatem |z1− z2| ≥ |z1| − |z2|. Analogicznie |z1− z2| = |z2− z1| ≥ |z2| − |z1| = −(|z1| − |z2|).
Posta´c trygonometryczna liczb zespolonych Dla 0 6= z = a + bi mamy z = |z| Re(z) |z| + i Im(z) |z| ! =√a2+ b2 √ a a2+ b2 + i b √ a2+ b2 ! , przy czym a √ a2+ b2 !2 + √ b a2+ b2 !2 = 1. Istnieje wi¸ec dok ladnie jedno θ (0 ≤ θ < 2π) takie, ˙ze
cos θ = √ a
a2+ b2 sin θ =
b √
Zatem z = |z|(cos θ + i sin θ) i gdy 0 ≤ θ < 2π to przedstawienie to jest jed-noznaczne. θ nazywamy argumentem liczby zespolonej z i oznacza´c b¸edziemy arg(z).
Lemat 1.2 arg(z1z2) = arg(z1) + arg(z2) mod 2π.
Dow´od. Niech z1 = |z1|(cos θ1+ i sin θ1) oraz z2 = |z2|(cos θ2+ i sin θ2).
Wt-edy z1z2 = |z1||z2|((cos θ1cos θ2−sin θ1sin θ2)+i (cos θ1sin θ2+sin θ1cos θ2)) =
|z1||z2|(cos(θ1+ θ2) + i sin(θ1+ θ2)).
Wniosek 1.3 arg(zn) = n · arg(z) mod 2π. W szczeg´olno´sci zachodzi wz´or
(cos θ + i sin θ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
zwany wzorem de Moivre’a.
Dow´od. Indukcja matematyczna na n.
Pierwiastki z liczb zespolonych
Twierdzenie 1.4 Dla dowolnej liczby zespolonej z 6= 0 i liczby naturalnej n istnieje dok ladnie n r´o˙znych pierwiastk´ow. Je˙zeli z = |z|(cos θ + i sin θ) to wszystkie te pierwiastki wyra˙zaj¸a si¸e wzorem
wk = n q |z| cos θ + 2kπ n ! + i sin θ + 2kπ n !! dla k = 0, . . . , n − 1.
Dow´od. Niech w = |w|(cos ψ + i sin ψ) b¸edzie pierwiastkiem stopnia n z liczby z. Wtedy |z|(cos θ + i sin θ) = z = wn = |w|n(cos(nψ) + i sin(nψ)) a
st¸ad w = qn|z|, oraz
cos θ = cos(nψ), sin θ = sin(nψ) co implikuje nψ − θ = 2kπ dla pewnego k ∈ Z. Zatem
ψ = θ + 2kπ n
dla pewnego k ∈ Z.
Z drugiej strony dla dowolnego k ∈ Z wk = n q |z| cos θ + 2kπ n ! + i sin θ + 2kπ n !!
jest pierwiastkiem stopnia n z liczby z. W ko´ncu wk = wk0 ⇔ ( cosθ+2kπn = cosθ+2kn0π sinθ+2kπn = sinθ+2kn0π ⇔ 2(k−kn0)π = 2πm ⇔ k − k0 = nm dla pewnego m.
Zatem w0, w1, . . . , wn−1 s¸a wszystkimi pierwiastkami stopnia n z liczby z.
Wniosek 1.5 Dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje dok ladnie n r´o˙znych pierwiastk´ow stopnia n z 1 i wszystkie one maj¸a posta´c
εk = cos 2kπ n ! + i sin 2kπ n ! dla k = 0, . . . , n − 1.
Dow´od. 1 = cos 0+i sin 0 a zatem wniosek wynika z poprzedniego twierdzenia. Mamy εk = εk1. Pierwiastek εl stopnia n z jedno´sci o tej w lasno´sci, ˙ze
ka˙zdy inny pierwiastek stopnia n z jedno´sci daje si¸e przedstawi´c w postaci εpl dla pewnego 0 ≤ p < n nazywa si¸e pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z jedno´sci
Twierdzenie 1.6 εl= cos
2lπ
n
+ i sin2lπn jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia n z jedno´sci wtedy i tylko wtedy, gdy (n, l) = 1.
Dow´od. ⇒: Wtedy
s¸a r´o˙zne gdy˙z zawieraj¸a wszystkie pierwiastki stopnia n z jedno´sci. Gdyby istnia lo d > 1 takie, ˙ze d|n i d|l to
n = ds, l = dt dla pewnych t, s, gdzie s < n. Wtedy jednak εsl = (εl1)s = (ε1)ls = (ε1)dts = (εds1 )
t
= (εn1)t= 1t= 1.
⇐: (l, n) = 1. Wystarczy pokaza´c, ˙ze wszystkie elementy ci¸agu (1) s¸a r´o˙zne. Przypu´s´cmy, ˙ze εsl = εtl dla pewnych 0 ≤ s ≤ t < n. Wtedy
(
cosθ+2lsπn = cosθ+2ltπn sinθ+2lsπn = sinθ+2ltπn
co jest r´ownowa˙zne istnieniu m takiego, ˙ze (2π(t − s)l)/n = 2πm. Zatem (t − s)l = mn a st¸ad n|l(t − s). Poniewa˙z jednak (l, n) = 1, wi¸ec n|(t − s). Zatem t = s jako, ˙ze 0 ≤ t − s < n.
Wniosek 1.7 Zbi´or wszystkich pierwiastk´ow ustalonego stopnia n z jedynki
n
√
1 jest grup¸a ze wzgl¸edu na mno˙zenie. Pierwiastki pierwotne stopnia n z 1 s¸a generatorami tej grupy w tym sensie, ˙ze ka˙zdy inny pierwiastek stopnia n z 1 jest pot¸eg¸a takiego pierwiastka.
Dow´od. Niech z1, z2 ∈
n
√
1. Wtedy zn
1 = 1 oraz z2n = 1. St¸ad (z1z2)n =
z1nzn2 = 1 · 1 = 1. r´ownie˙z 1n = 1 a zatem 1 jest pierwiastkiem stopnia n z 1. W ko´ncu dla dowolnego z ∈ √n
1, (1/z)n= 1/(zn) = 1/1 = 1 a zatem √n
1 jest grup¸a. Druga cz¸e´s´c wniosku wynika wprost z definicji.
Interpretacja geometryczna liczb zespolonych
Liczby rzeczywiste mo˙zna uto˙zsamia´c z punktami osi liczbowej. Podob-nie liczby zespolone mo˙zna uto˙zsamia´c z punktami p laszczyzny. W pros-tok¸atnym uk ladzie wsp´o lrz¸ednych o ´srodku O = (0, 0)
liczbie zespolonej z = a + b i odpowiada punkt o wsp´o lrz¸ednych (a, b). W takiej sytuacji modu l liczby z jest r´owny d lugo´sci wektora ~Oz, za´s jej argu-ment pokrywa si¸e z k¸atem mi¸edzy tym wektorem a osi¸a odci¸etych.
|z| = d l. wektora ~0z
Analogiczn¸a interpretacj¸e maj¸a tak˙ze liczby sprz¸e˙zone oraz pierwiastki z 1. Niech θ = 2π/n
2
Przestrzenie liniowe
Niepusty zbi´or V nazywa si¸e przestrzeni¸a liniow¸a nad cia lem (K, +, ·) je´sli: (a) V jest grup¸a abelow¸a z pewnym dzia laniem ⊕,
(b) Okre´slone jest dzia lanie : K × V → V spe lniaj¸ace warunki: 1. ∀α∈K ∀v,w∈V α (v ⊕ w) = (α v) ⊕ (α w),
2. ∀α,β∈K ∀v∈V (α + β) v = (α v) ⊕ (β v),
3. ∀α,β∈K ∀v∈V (α · β) v = α (β v),
4. ∀v∈V 1 v = v.
Zbi´or V nazywamy zbiorem wektor´ow, ⊕ dzia laniem dodawania wektor´ow, dzia laniem mno˙zenia wektor´ow przez skalary. W dalszym ci¸agu dzia lania te b¸edziemy oznacza´c w taki sam spos´ob jak dla cia la tzn. np. dla α, β ∈ K, v, w ∈ V b¸edziemy pisa´c αβ(v + w) zamiast (α · β) (v ⊕ w) (z kontekstu b¸edzie wynika lo jakie dzia lanie b¸edziemy mieli na my´sli).
Przyk lady (1) Zbi´or wektor´ow w En n = 1, 2, 3 zaczepionych w ustalonym punkcie ze znanym ze szko ly dzia laniem dodawania takich wektor´ow i mno˙ze-nia ich przez liczb¸e jest przestrzeni¸a liniow¸a.
(2) K dowolne cia lo, V = {v} zbi´or jednoelementowy. Definiujemy v + v = v oraz αv = v dla dowolnego α ∈ K. V jest przestrzeni¸a zwan¸a przestrzeni¸a zerow¸a kt´or¸a oznacza´c b¸edziemy przez 0.
(3) V = K. Wtedy V jest przestrzeni¸a liniow¸a nad K. (4) Zbi´or Kn= {(a1, . . . , an) : ai ∈ K} z dzia laniami
(a1, . . . , an) ⊕ (b1, . . . , bn) = (a1+ b1, . . . , an+ bn)
α (a1, . . . , an) = (αa1, . . . , αan)
jest przestrzeni¸a liniow¸a zwan¸a n-wymiarow¸a przestrzeni¸a wsp´o lrz¸ednych. (5) Zbi´or K∞= {(a1, a2, . . .) : ai ∈ K} z dzia laniami
(a1, a2, . . .) ⊕ (b1, b2, . . .) = (a1+ b1, a2+ b2, . . .)
α (a1, a2, . . .) = (αa1, αa2, . . .)
jest przestrzeni¸a liniow¸a zwan¸a niesko´nczeniewymiarow¸a przestrzeni¸a wsp´o l-rz¸ednych.
Niepusty podzbi´or W przestrzeni liniowej V nad cia lem K nazywamy pod-przestrzeni¸a o ile αw + βw0 ∈ W dla dowolnych αβ ∈ K i w, w0 ∈ W
Niech V b¸edzie przestrzeni¸a liniow¸a nad cia lem K, za´s A = {vt : t ∈ T }
uk ladem wektor´ow z V . M´owimy, ˙ze v ∈ V jest kombinacj¸a liniow¸a wektor´ow uk ladu A o ile istnieje uk lad {αt: t ∈ T } element´ow cia la K takich, ˙ze αt= 0
dla prawie wszystkich t ∈ T (wszystkich z wyj¸atkiem sko´nczonej ilo´sci) taki, ˙ze
v =X
t∈T
αtvt
Twierdzenie 2.1 Niech A = {vt : t ∈ T } B¸edzie niepustym uk ladem
wek-tor´ow przestrzeni V . W´owczas zbi´or wszystkich kombinacji liniowych wek-tor´ow uk ladu A jest podprzestrzeni¸a przestrzeni V ; jest to najmniejsza (w sensie inkluzji) podprzestrze´n przestrzeni V zawieraj¸aca wszystkie wektory uk ladu A.
Dow´od. Niech U b¸edzie uk ladem z lo˙zonym ze wszystkich kombinacji lin-iowych wektor´ow uk ladu A. Poka˙zemy ˙ze U jest podprzestrzeni¸a przestrzeni V . Niech v =X t∈T αtvt w = X t∈T βtvt oraz α, β ∈ K. Wtedy αv + βw =X t∈T (ααt+ ββt)vt
Poniewa˙z p.w. αt, βt s¸a r´owne 0 wi¸ec p.w. ααt + ββt s¸a r´owne 0. St¸ad
αv + βw ∈ U a zatem U jest podprzestrzeni¸a.
Udowodnimy teraz drug¸a cz¸e´s´c twierdzenia. Niech W b¸edzie podprzestrze-ni¸a przestrzeni V zawieraj¸ac¸a wszystkie wektory uk ladu A. Trzeba pokaza´c, ˙ze U ⊆ W . Niech u = P
t∈T αtvt ∈ U . Wtedy prawie wszystkie αt s¸a r´owne
zero Zatem u = αt1vt1 + . . . + αtnvtn dla pewnych t1, . . . , tn ∈ T . Poniewa˙z
vt1, . . . , vtn ∈ W i poniewa˙z W jest podprzestrzeni¸a wi¸ec u =
P
t∈T αtvt∈ W .
Tym samym U ⊆ W .
Podprzestrze´n U wyst¸epuj¸ac¸a w powy˙zszym twierdzeniu nazywa´c b¸edziemy podprzestrzeni¸a rozpi¸et¸a na wektorach uk ladu A lub podprzestrzeni¸a genero-wan¸a przez A i oznacza´c j¸a b¸edziemy przez lin(A) lub lin{vt: t ∈ T }, za´s sam
zbi´or A jej uk ladem generator´ow. Przestrze´n posiadaj¸aca sko´nczony zbi´or generator´ow nazywamy skoczenie gemerowaln¸a.
Przyk lad. (α1, . . . , αn) = α1(1, . . . , 0) + . . . + αn(0, . . . , 1). Zatem Kn =
lin{e1, . . . , en}, gdzie ei = (0, . . . , i
1, . . . , 0)
Niech W b¸edzie podprzestrzeni¸a przestrzeni liniowej V , za´s v ∈ V . Wtedy zbi´or v + W = {v + w : w ∈ W } nazywamy warstw¸a podprzestrzeni W w przestrzeni V , za´s v reprezentantem tgej warstwy.
Lemat 2.2 W ⊆ V, v1, v2 ∈ V . Wtedy v1+ W = v2+ W ⇔ v1− v2 ∈ W .
Dow´od. ⇒: 0 ∈ W . Zatem v1 = v1+0 ∈ v1+W = v2+W a st¸ad v1 = v2+w.
Zatem v1− v2 ∈ W .
⇐: Niech v1− v2 = w ∈ W. Poka˙zemy, ˙ze v1 + W = v2+ W
⊆: x ∈ v1+ W ⇒ x = v1+ w1 = (v2+ w) + w1 = v2+ (w + w1) ∈ v2+ W
⊇: x ∈ v2+ W ⇒ x = v2+ w1 = (v1− w) + w1 = v1+ (w1− w) ∈ v1+ W .
Twierdzenie 2.3 Dowolne dwie warstwy s¸a albo roz l¸aczne albo r´owne. Dow´od. Przypu´s´cmy, ˙ze dwie warstwy v1 + W, v2 + W nie s¸a roz l¸aczne.
Wtedy istnieje x ∈ (v1+ W ) ∩ (v2+ W ). Zatem
x = v1+ w1, x = v2+ w2 dla pewnych w1, w2 ∈ W
St¸ad v1+ w1 = v2+ w2 czyli v1− v2 = w2− w1 ∈ W a zatem v1+ W = v2+ W
na mocy lematu.
Przestrze´n ilorazowa
Niech V b¸edzie podprzestrzeni¸a przestrzeni V nad cia lem K i niech V /W oznacza zbi´or wszystkich warstw. Dla H1 = v1+ W, H2 = v2 + W ∈ V /W
definiujemy
H1⊕ H2 = (v1+ v2) + W.
Definicja ta jest poprawna. Istotnie niech H1 = u1+W, H2 = u2+W . Wtedy
v1−u1 ∈ W, v2−u2 ∈ W . St¸ad (v1+v2)−(u1+u2) = (v1−u1)+(v2−u2) ∈ W
a zatem (v1+ v2) + W = (u1+ u2) + W . Analogicznie definiuje si¸e mno˙zenie
warstw przez elementy cia la K
α (v + W ) = (αv) + W i pokazuje si¸e, ˙ze jest ono poprawnie okre´slone.
Twierdzenie 2.4 Niech W b¸edzie przestrzeni¸a liniow¸a nad cia lem K. Wt-edy V /W z okre´slonymi wy˙zej dzia laniami ⊕ i jest przestrzeni¸a liniow¸a zwan¸a przestrzeni¸a ilorazow¸a.
Suma przestrzeni liniowych
Twierdzenie 2.5 Niech V1, V2 b¸ed¸a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej
V . W´owczas zbi´or
V1+ V2 = {v1+ v2 : v1 ∈ V1, v2 ∈ V2}
jest podprzestrzeni¸a przestrzeni V zwan¸a sum¸a podprzestrzeni V1 i V2.
Dow´od. (1) Niech v, w ∈ V1+ V2, α, β ∈ K. Wtedy v = v1+ v2, w = w1+ w2
dla pewnych v1, w1 ∈ V1 oraz v2, w2 ∈ V2. Zatem αv + βw = (αv1+ βw1) +
(αv2+ βw2) ∈ V1+ V2.
Przekr´oj podprzestrzeni
Twierdzenie 2.6 Niech V1, V2 b¸ed¸a podprzestrzeniami przestrzeni liniowej
V . W´owczas przekr´oj V1∩ V2 jest podprzestrzeni¸a przestrzeni V .
Dow´od. Niech v, w ∈ V1 ∩ V2 i α, β ∈ K. Wtedy v, w ∈ V1 a zatem
αv + βw ∈ V1. Analogicznie αv + βw ∈ V2. Zatem αv + βw ∈ V1∩ V2.
Suma prosta podprzestrzeni
M´owimy, ˙ze przestrze´n liniowa V jest sum¸a prost¸a swoich podprzestrzni V1
i V2 co oznaczmy V = V1⊕V2 o ile dowolny wektor v ∈ V da si¸e jednoznacznie
przedstawi´c w postaci sumy v = v1+ v2, gdzie v1 ∈ V1, v2 ∈ V2.
Twierdzenie 2.7 V = V1⊕ V2 wtedy i tylko wtedy gdy (1) V = V1+ V2 oraz
Dow´od. ⇒: (1) jest oczywista. (2): Niech v ∈ V1 ∩ V2. Wtedy v = v + 0
oraz v = 0 + v s¸a przedstawieniami wektora v ∈ V a zatem z jednoznaczno´sci tego przedstawienia v = 0
⇐: Niech v ∈ V b¸edzie dowolnym wektorem. Wtedy z (1) v = v1 + v2 dla
pewnych v1 ∈ V1i v2 ∈ V2. Niech teraz v = v10+v02. Wtedy v1−v10 = v20−v2 ∈
V1∩ V2 a st¸ad v1− v10 = 0, v 0
2− v2 = 0 czyli v1 = v10, v2 = v02.
M´owimy, ˙ze sko´nczony uk lad wektor´ow v1, . . . , vn jest liniowo niezale˙zny o
ile dla dowolnego uk ladu skalar´ow α1, . . . , αntakich, ˙ze α1v1+ . . . + αnvn= 0
mamy α1 = . . . = αn = 0. W przeciwnym wypadku uk lad ten nazywa si¸e
liniowo zale˙zny.
Przyk lad. Wektory e1, . . . , en ∈ Kn gdzie ei = (0, . . . , i
1, . . . , 0) s¸a liniowo niezale˙zne.
Uk lad wektor´ow {vt : t ∈ T } nazywamy liniowo niezale˙znym o ile ka˙zdy jego
sko´nczony poduk lad jest liniowo niezale˙zny.
Twierdzenie 2.8 Uk lad wektor´ow v1, . . . , vn przestrzeni liniowej V nad
lem K jest liniowo zale˙zny ⇔ dla pewnego k ∈ {1, . . . , n} wektor vk jest
kombinacj¸a liniow¸a pozosta lych wektor´ow.
Dow´od. ⇒: Uk lad v1, . . . , vnjest liniowo zale˙zny wi¸ec istniej¸a α1, . . . , αnnie
wszystkie r´owne zero takie ˙ze α1v1+ . . . + αnvn = 0. Przypu´s´cmy, ˙ze αk 6= 0.
Wtedy vk = β1v1+ . . . + βk−1vk−1+ βk+1vk+1+ . . . + βnvn, gdzie βi = αi/αk
⇐: Niech vk= α1v1+. . .+αk−1vk−1+αk+1vk+1+. . .+αnvn. Wtedy α1v1+. . .+
αk−1vk−1+ (−1)vk + αk+1vk+1+ . . . + αnvn = 0 podczas gdy nie wszystkie
wsp´o lczynniki w tej kombinacji s¸a r´owne 0. Zatem wektory v1, . . . , vn s¸a
liniowo zale˙zne.
Stwierdzenie 2.9 Uk lad sk ladaj¸acy si¸e z jednego wektora v ∈ V jest liniowo niezale˙zny ⇔ v 6= 0.
Dow´od. Latwy na ´cwiczenia.
Stwierdzenie 2.10 Dowolny uk lad wektor´ow v1, . . . , vn zawieraj¸acy wektor
Dow´od. Niech vk = 0. Wtedy 0v1+ . . . + 0vk−1+ 1vk+ 0vk+1+ . . . + 0vn = 0.
Niech V b¸edzie przestrzeni¸a liniow¸a nad cia lem K. Uk lad B = {vt : t ∈ T }
nazywa si¸e baz¸a przestrzeni V o ile 1. B jest liniowo niezale˙zny
2. Ka˙zdy uk lad wektor´ow A istotnie zawieraj¸acy B jest liniowo zale˙zny (tzn. zbi´or B jest maksymalnym, ze wzgl¸edu na inkluzj¸e, zbiorem lin-iowo niezale˙znym).
Przyk lad 2.11 Uk lad wektor´ow ei = (0, . . . , i
1, . . . 0) ∈ Kni = 1, . . . , n jest baz¸a przestrzeni Kn.
Twierdzenie 2.12 V przestrze´n liniowa nad cia lem K, A uk lad wektor´ow przestrzeni V . Nast¸epuj¸ace warunki s¸a r´ownowa˙zne:
(1) A jest baz¸a V ,
(2) A jest liniowo niezale˙zny i ka˙zdy wektor v ∈ V jest kombinacj¸a liniow¸a wektor´ow z A,
(3) A jest minimalnym zbiorm generator´ow przestrzeni V ,
(4) Ka˙zdy wektor przestrzeni V mo˙zna jednoznacznie zapisa´c w postaci kombinacji liniowej wektor´ow uk ladu A.
Dow´od. (1) ⇒ (2) Uk lad A jest liniowo niezale˙zny jako baza. Niech v ∈ V b¸edzie dowolnym wektorem. Je˙zeli v ∈ A to nie ma czego dowodzi´c; v = 1 · v. Za l´o˙zmy zatem, ˙ze v 6∈ A. Wtedy B = {v} ∪ A jest liniowo zale˙zny. Zatem istnieje sko´nczony poduk lad C uk ladu B liniowo zale˙zny. Poniewa˙z A jest liniowo niezale˙zny wi¸ec v ∈ C a zatem C = {v1, . . . , vn, v}. Zatem istniej¸a
α1, . . . , αn, α ∈ K nie wszystkie r´owne zero i takie, ˙ze α1v1+. . .+αnvn+αv =
0. Mamy α 6= 0 bowiem w przeciwnym wypadku powy˙zsza kombinacja staje si¸e kombinacj¸a α1v1+ . . . + αnvn = 0 przy czym nie wszystkie αi s¸a zerami
wbrew temu ˙ze ka˙zdy sko´nczony poduk lad uk ladu B jest liniowo niezale˙zny. Je˙zeli jednak α 6= 0 to v = (α1/α)v1+ . . . + (αn/α)vn.
(2) ⇒ (3) A jest zbiorem generator´ow przestrzeni V . Przypu´s´cmy niew-prost, ˙ze C jest zbiorem generator´ow przestrzeni V i jest istotnym podzbiorem zbioru A. Niech v ∈ A\C. W´owczas jednak v = α1v1+. . .+αnvndla pewnych
wektor´ow v1, . . . , vn ∈ C. Wtedy jednak (−1)v + α1v1 + . . . + αnvn = 0
jest nietrywialn¸a kombinacj¸a wektor´ow uk ladu A wbrew za lo˙zeniu o liniowej niezale˙zno´sci A.
(3) ⇒ (4) Niech v ∈ V . Wtedy z (3) v = α1v1 + . . . + αnvn dla pewnych
αi ∈ K. Niech ponadto v = β1v1 + . . . + βnvn dla pewnych βi ∈ K. Wtedy
(α1− β1)v1+ . . . + (αn− βn)vn = 0. Gdyby teraz αi 6= βi dla pewnego i to
vi by lby kombinacj¸a liniow¸a wektor´ow v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn i tym samym
A \ {vi} by lby zbiorem generator´ow V wbrew za lo˙zeniu o minimalno´sci A
(4) ⇒ (1) Niech C = {v1, . . . , vn} b¸edzie dowolnym sko´nczonym poduk ladem
uk ladu A i niech α1v1 + . . . + αnvn = 0. Poniewa˙z 0 = 0v1+ . . . + 0vn wi¸ec
na mocy (3) α1 = . . . = αn = 0. Zatem C jest liniowo niezale˙zny. Wobec
dowolno´sci C, A jest zatem liniowo niezale˙zny.
Twierdzenie 2.13 Ka˙zda przestrze´n liniowa V nad cia lem K posiada baz¸e. Dow´od. Dla przestrzeni sko´nczenie generowanych twierdzenie to wynika bezpo´srednio z warunku (3) powyszej charakteryzacji bazy. Dow´od w og´olnym przypadku wymaga znajomo´sci lematu Kuratowskiego–Zorna.
Uwaga 2.14 W daszym ci¸agu wyk ladu rozpatrywa´c b¸edziemy tylko prze-strzenie sko´nczenie wymiarowe (tzn. takie kt´ore posiadaj¸a sko´nczon¸a baz¸e) bez zaznaczania tego explicit´e.
Lemat 2.15 Niech
{v1, . . . , vn} (2)
tworzy baz¸e przestrzeni V i niech v = α1v1 + . . . + αnvn przy czym αj 6= 0.
Wtedy
{v1, . . . , vj−1, v, vj+1, . . . , vn} (3)
jest baz¸a V .
Dow´od. Mamy vj = β0v + β1v1 + . . . + βj−1vj−1+ βj+1vj+1+ . . . + βnvn,
gdzie β0 = 1/αj, βi = −αi/αj. Ka˙zdy wektor z V jest kombinacj¸a liniow¸a
wektor´ow (2) a wektor vj jest kombinacj¸a liniow¸a wektor´ow uk ladu (3).
Za-tem ka˙zdy wektor przestrzeni V jest kombinacj¸a liniow¸a wektor´ow uk ladu (3). Poka˙zemy, ˙ze (3) jest liniowo niezale˙zny. Niech
Podstawiaj¸ac v = α1v1+ . . . + αnvn otrzymujemy (γ1− α1γ)v1+ . . . + (γj−1−
αj−1γ)vj−1+αjγvj+(γj+1−αj+1γ)vj+1+. . . +(γn−αnγ)vn= 0 sk¸ad αjγ = 0
czyli γ = 0. Zatem γ1v1 + . . . + γj−1vj−1 + γj+1vj+1+ . . . γnvn = 0 a st¸ad
γ1 = . . . = γj−1 = γj+1 = . . . = γn = 0 Wobec tego uk lad (3) jest liniowo
niezale˙zny a zatem na mocy warunku (2) twierdzenia 2.12 uk lad (3) jest baz¸a przestrzeni V .
Twierdzenie 2.16 (Steinitza o wymianie) Niech {v1, . . . , vn} b¸edzie baz¸a
przestrzeni liniowej V nad cia lem K, za´s {w1, . . . , ws} uk ladem wektor´ow
li-niowo niezale˙znych. Wtedy (1) s ≤ n
(2) Istnieje n−s wektor´ow vikt´ore l¸acznie z w1, . . . , wstworz¸a baz¸e przestrzeni
V .
Dow´od. Indukcja na s:
Dla s = 0 twierdzenie jest oczywiste. Za l´o˙zmy zatem jego prawdziwo´s´c dla liczb < s.
Wektory w1, . . . , ws−1 s¸a liniowo niezale˙zne a zatem na mocy za lo˙zenia
indukcyjnego s − 1 ≤ n i istnieje n − (s − 1) = n − s + 1 wektor´ow vi
kt´ore l¸acznie z w1, . . . , ws−1 tworz¸a baz¸e przestrzeni V . Poka˙zemy, ˙ze
fakty-cznie s − 1 < n a wi¸ec s ≤ n. Istotnie gdyby s − 1 = n wi¸ec ju˙z wektory w1, . . . , ws−1 rozpina lyby przestrze´n V a zatem ws by lby kombinacj¸a liniow¸a
tych wektor´ow i tym samym wektory w1, . . . , wsby lyby liniowo zale˙zne wbrew
za lo˙zeniu.
Dla uproszczenia za l´o˙zmy, ˙ze wektorami tymi s¸a v1, . . . , vn−s+1 czyli baz¸a
V jest
v1, . . . , vn−s+1, w1, . . . , ws−1.
Wtedy
ws = α1v1+ . . . + αn−s+1vn−s+1+ βw1 + . . . + βs−1ws−1.
Pewien wsp´o lczynnik w tej kombinacji jest 6= 0. Gdyby wszystkie αi by ly
zerami to w1, . . . , ws by lyby liniowo zale˙zne wbrew za lo˙zeniu. Zatem αi 6= 0
dla pewnego i. Wtedy jednak na mocy lematu 2.15
v1, . . . , vi−1, vi+1, . . . , vn−s+1, . . . , ws−1, ws
Wniosek 2.17 Je˙zeli pewna baza przestrzeni V ma n element´ow to ka˙zda inna baza tej przestrzeni ma n element´ow.
Dow´od. Niech v1, . . . , vn oraz w1, . . . , wm b¸ed¸a bazami V . Wtedy
w1, . . . , wm liniowo niezale˙zne 2.16 =⇒ m ≤ n v1, . . . , vn liniowo niezale˙zne 2.16 =⇒ n ≤ m ⇒ n = m.
Liczb¸e element´ow dowolnej bazy przestrzeni V nazywamy jej wymiarem i oznacza´c b¸edziemy przez dimV .
Wniosek 2.18 Je˙zeli W jest podprzestrzeni¸a przestrzeni V , to dimW ≤ dimV.
Wniosek 2.19 Je˙zeli W jest podprzestrzeni¸a przestrzeni V to dimW = dimV wtedy i tylko wtedy gdy V = W .
Twierdzenie 2.20 Je˙zeli V1 i V2 s¸a podprzestrzeniami przestrzeni V , to
dim(V1+ V2) = dimV1+ dimV2− dim(V1∩ V2).
Dow´od. Niech {v1, . . . , vn} b¸edzie baz¸a V1∩V2. Wtedy na mocy twierdzenia
Steinitza o wymianie istniej¸a wektory v01, . . . , v0tv001, . . . , v00s przestrzeni V takie, ˙ze {v1, . . . , vn, v01, . . . , v0t} jest baz¸a V1 za´s {v1, . . . , vn, v100, . . . , vs00} jest baz¸a V2.
Poka˙zemy, ˙ze {v1, . . . , vn, v10, . . . , v 0 t, v 00 1, . . . , v 00 s} jest baz¸a V1+ V2.
Uk lad ten generuje V1+ V2: Istotnie niech v ∈ V1 + V2. Wtedy v = w1 +
w2, wi ∈ Vi. Niech w1 = α1v1 + . . . + αnvn+ α01v 0 1 + . . . + α 0 tv 0 t oraz w2 = β1v1+ . . . + βnvn+ β100v001 + . . . + βs00v00s. Wtedy v = w1+ w2 = (α1 + β1)v1+ . . . + (αn+ βn)vn+ α01v10 + . . . + α0tv0t+ β100v001 + . . . + βs00vs00.
Uk lad ten jest liniowo niezale˙zny: Istotnie niech α1v1+ . . . + αnvn+ α01v 0 1 + . . . + α 0 tv 0 t+ α 00 1v 00 1 + . . . + α 00 sv 00 s = 0 Wtedy α001v100+ . . . + αs00v00s = α1v1+ . . . + αnvn+ α01v 0 1+ . . . + α 0 tv 0 t ∈ V1∩ V2 a st¸ad −(α001v001+ . . . + α00svs00) = γ1v1+ . . . + γnvn. Zatem α001 = . . . = α 00 s = 0 a st¸ad tak˙ze α1 = . . . αn = α10 = . . . = α0t= 0.
3
Przekszta lcenia liniowe
Odwzorowanie ϕ : V → W przestrzeni liniowych nad cia lem K nazywamy przekszta lceniem liniowym lub homomorfizmem o ile
ϕ(α1v1+ α2v2) = α1ϕ(v1) + α2ϕ(v2).
dla dowolnych v1, v2 ∈ V, α1, α2 ∈ K. Je˙zeli ponadto
ϕ jest r´o˙znowarto´sciowe, to ϕ nazywamy monomorfizmem, ϕ jest ”na”, to ϕ nazywamy epimorfizmem,
ϕ jest r´o˙znowarto´sciowe oraz ”na”, to ϕ nazywamy izomorfizmem.
Stwierdzenie 3.1 Z lo˙zenie dw´och homomorfizm´ow jest homomorfizmem i przekszta lcenie odwrotne do izomorfizmu jest izomorfizmem.
Dow´od. Latwe ´cwiczenie.
Przyk lad 1. idV : V → V jest izomorfizmem.
Przyk lad 2. W ⊆ V podprzestrze´n. Wtedy w lo˙zenie i : W → V i(w) = w jest monomorfizmem.
Przyk lad 3. (1) ϕ : K3 → K3 ϕ(x
1, x2, x3) = (x1+ x2, x2+ x3, x1+ x3) jest
homomorfizmem i je´sli w ciele K, 2 6= 0 to jest to izomorfizm. (2) ψ : K3 → K3 ψ(x
1, x2, x3) = (x21, x2, x3) nie jest homomorfizmem
Stwierdzenie 3.2 Niech ϕ : V → W b¸edzie homomorfizmem. Wtedy Ker ϕ = {v ∈ V : ϕ(v) = 0} oraz Imϕ = {w ∈ W : ∃v∈V w = ϕ(v)}
s¸a podprzestrzeniami przestrzeni V i W zwanymi odpowiednio j¸adrem i obrazem ϕ. Ponadto ϕ jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy Ker ϕ = 0.
Dow´od. Latwe ´cwiczenie.
Twierdzenie 3.3 Niech ϕ : V → W b¸edzie homomorfizmem. Wtedy dimV = dimKer ϕ + dimImϕ.
Dow´od. Niech {v1, . . . , vs} oraz {w1, . . . , wt} b¸ed¸a bazami przestrzeni Ker ϕ
oraz Imϕ odpowiednio. Niech v01, . . . , v0t ∈ V b¸ed¸a takimi wektorami, ˙ze ϕ(v0i) = wi. Poka˙zemy, ˙ze {v1, . . . , vs, v10, . . . , v
0
t} jest baz¸a przestrzeni V .
Istotnie we´zmy dowolny v ∈ V . Wtedy ϕ(v) = β1w1 + . . . + βtwt dla
pewnych βi ∈ K. Zatem w = v −(β1v10+ . . . + βtvt0) ∈ Kerϕ. St¸ad w = α1v1+
. . .+αsvsdla pewnych αi ∈ K a zatem v = α1v1+. . .+αsvs+β1v10+. . .+βtv0t.
Niech teraz α1v1+ . . . + αsvs+ β1v10 + . . . + βtvt0 = 0 Wtedy 0 = ϕ(α1v1+
. . . + αsvs+ β1v01+ . . . + βtvt0) = β1ϕ(v10) + . . . + βtϕ(vt0) = β1w1+ . . . + βtwt
a zatem β1 = . . . = βt = 0. Wtedy jednak z wyj´sciowej kombinacji zostaje
α1v1+ . . . + αsvs = 0 a zatem tak˙ze α1 = . . . = αs= 0.
Przestrzenie liniowe V i W nazywamy izomorficznymi, co zapisujemy V ∼= W o ile istnieje izomorfizm ϕ : V → W .
Twierdzenie 3.4 Niech V b¸edzie przestrzeni¸a liniow¸a nad cia lem K oraz dimV = n. Wtedy V ∼= Kn.
Dow´od. Niech {v1, . . . , vn} b¸edzie baz¸a przestrzeni V oraz v ∈ V . Wtedy
istnieje dok ladnie jeden uk lad α1, . . . , αn ∈ K taki, ˙ze v = α1v1+ . . . + αnvn.
Definiujemy
ϕ : V → Knϕ(v) = (α1, . . . , αn)
(1) ϕ jest homomorfizmem: v, v0 ∈ V Wtedy v = α1v1 + . . . + αnvn oraz
v0 = α01v1+. . .+αn0vna st¸ad αv +α0v0 = (αα1+α0α01)v1+. . .+(α0αn+α0α0n)vn.
Zatem ϕ(αv + α0v0) = (αα1 + α0α01, . . . , α 0α
n + α0α0n) = α(α1, . . . , αn) +
α0(α01, . . . , αn) = αvϕ(v) + α0ϕ(v0)
(2) ϕ jest na: Niech α ∈ Kn b¸edzie dowolnym elementem. Wtedy α =
(α1, . . . , αn) dla pewnych αi ∈ K a zatem dla v = α1v1+ . . . + αnvn ϕ(v) = α
(3) ϕ jest r´o˙znowarto´sciowe: Niech v = α1v1+ . . . + αnvn oraz v0 = α01v1+
. . . + α0nvn b¸ed¸a dowolnymi wektorami z V i niech ϕ(v) = ϕ(v0). Wtedy z
okre´slenia ϕ, (α1, . . . , αn) = (α01, . . . , α 0
n) a zatem v = v 0
Stwierdzenie 3.5 Je˙zeli W jest podprzestrzeni¸a przestrzeni liniowej V nad cia lem K to przyporz¸adkowanie elementowi v ∈ V warstwy v + W wyznacza epimorfizm V → V /W zwany epimorfizmem kanonicznym.
Wniosek 3.6 dim V /W = dim V − dim W .
Dow´od. wniosek wynika z twierdzenia 3.3 gdy˙z W jest j¸adrem epimorfizmu kanonicznego V → V /W .
Twierdzenie 3.7 Niech ϕ : V → W b¸edzie homomorfizmem. Wtedy ist-nieje izomorfizm ϕ : V /Ker ϕ → Im ϕ.e
Dow´od. Niech U = Ker ϕ. Definiujemyϕ : V /U → Im ϕ nast¸epuj¸e aco: Niech
x ∈ V /Ker ϕ. Wtedy x = v + U dla pewnego v ∈ V . Przyjmujemy ϕ(x) =e
ϕ(v). Pokazuje si¸e ˙ze powy˙zsze odwzorowanie jest poprawnie okre´slone i jest izomorfizmem.
Struktura przekszta lce´n liniowych
Twierdzenie 3.8 (O strukturze przekszta lce´n liniowych) Niech V, W b¸ed¸a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K, v1, . . . , vnbaz¸a V , za´s w1, . . . , wn
dowolnym uk ladem wektor´ow przestrzeni W . Wtedy istnieje dok ladnie jedno przekszta lcenie liniowe ϕ : V → W takie, ˙ze ϕ(vi) = wi, i = 1, . . . , n.
Dow´od. Definiujemy ϕ : V → W nast¸epuj¸aco. Je˙zeli v ∈ V to v = α1v1+ . . . + αnvn dla pewnych α1, . . . , αn ∈ K wyznaczonych jednoznacznie.
Przyjmujemy ϕ(v) = α1w1+ . . . + αnwn. Latwo sprawdza si¸e wtedy, ˙ze
(1) ϕ liniowe, (2) ϕ(vi) = wi,
(3) ϕ jedyne.
Wniosek 3.9 Niech V, W b¸ed¸a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K, v1, . . . , vn baz¸a V , za´s ϕ1, ϕ2 : V → W przekszta lceniami liniowymi. Je˙zeli
ϕ1(vi) = ϕ2(vi), to ϕ1 = ϕ2.
Dla przestrzeni liniowych V, W nad cia lem K definiujemy L(V, W ) = {ϕ : V → W : ϕ przekszta lcenie liniowe}
Twierdzenie 3.10 L(V, W ) jest przestrzeni¸a liniow¸a nad cia lem K z laniami
Dow´od. Nale˙zy sprawdzi´c ˙ze ⊕, s¸a dzia laniami oraz aksjomaty przestrzeni liniowej.
Je˙zeli w powy˙zszej definicji W = K jest przestrzeni¸a 1-wymiarow¸a to ele-ment ϕ ∈ L(V, W ) nazywamy funkcjona lem liniowym, za´s sam¸a przestrze´n L(V, W ) przestrzeni¸a dualn¸a lub sprz¸e˙zon¸a do V i oznacza´c b¸edziemy przez V∗.
Twierdzenie 3.11 Je˙zeli ϕ : V → W jest homomorfizmem, to ϕ∗ : W∗ → V∗ okre´slone wzorem ϕ∗(f ) = f ◦ ϕ jest homomorfizmem.
Twierdzenie 3.12 (O bazie dualnej) dimV = dimV∗.
Dow´od. Niech v1, . . . , vn b¸edzie baz¸a V . Definiujemy v1∗, . . . , v ∗ n : V → K wzorem v∗i(vj) = δi,j = ( 1 i = j, 0 i 6= j.
(1) v∗1, . . . , vn∗ liniowo niezale˙zne: Je´sli α1 v∗1⊕ . . . ⊕ αn vn∗ = 0, to dzia laj¸ac
na vi otrzymujemy αi = 0
(2) Niech ϕ ∈ V∗ b¸edzie dowolnym elementem. Wtedy dla αi = ϕ(vi) mamy
ϕ = α1 v∗1 ⊕ . . . ⊕ αn vn∗
Baz¸e v∗1, . . . , vn∗ zdefiniowan¸a w dowodzie powy˙zszego twierdzenia nazywamy baz¸a dualn¸a lub baz¸a sprz¸e˙zon¸a do bazy v1, . . . , vn.
Macierze i dzia lania na macierzach
Macierz¸a nad cia lem K wymiaru m × n nazywamy rodzin¸e element´ow (αij)
cia la K, gdzie 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n. Macierz (αij) zapisywa´c b¸edziemy w
postaci tablicy: α11 α12 . . . α1n α21 α22 . . . α2n .. . αm1 αm2 . . . αmn
Zbi´or wszystkich macierzy wymiaru m × n nad cia lem K oznacza´c b¸edziemy przez Matm×n(K) a dla m = n przez Matn(K).
Twierdzenie 3.13 Matm×n(K) jest przestrzeni¸a liniow¸a nad cia lem K z
dzia laniami (αij)+(βij) = (αij+βij), α·(αij) = (α·αij). Ponadto Matm×n(K) ∼=
Kmn a w szczeg´olno´sci Mat
1×n(K) ∼= Kn oraz Matm×1(K) ∼= Km.
Dow´od. Izomorfizm Matm×n(K) → Kmn jest zadany przyporz¸adkowaniem:
(αij) 7→ (α11, . . . , α1n, α21, . . . , α2n, . . . , αm1, . . . , αmn). Dla A = α11 α12 . . . α1n α21 α22 . . . α2n .. . αm1 αm2 . . . αmn b¸edziemy oznacza´c αij = Aij.
Mamy odwzorowanie z lo˙zenia:
Matm×n(K) × Matn×k(K) → Matm×k(K).
Dla A ∈ Matm×n(K), B ∈ Matn×k(K) przyjmujemy
(AB)st = n
X
i=1
AsiBit
Przyk lad. Dla A = 2 1 0 0 1 1 ! i B = 2 2 1 0 0 1 mamy AB = 2 · 2 + 1 · 1 + 0 · 0 2 · 2 + 1 · 0 + 0 · 1 0 · 2 + 1 · 1 + 1 · 0 0 · 2 + 1 · 0 + 1 · 1 ! = 5 4 1 1 ! i analogicznie BA = 4 4 2 2 1 0 0 1 1 .
Ponadto mamy odwzorowanie transpozycji
Matm×n(K) → Matn×m(K)
okre´slone wzorem: t(A)ij = Aji. Macierz t(A) nazywa´c macierz¸a transponowan¸a
Przyk lad. Dla A = 2 1 0 0 1 1 ! mamy At= 2 0 1 1 0 1
Macierz A nazywamy symetryczn¸a o ile At = A. Wyr´o˙zniamy te˙z macierz
jednostkow¸a 1 0 . . . 0 0 1 . . . 0 .. . 0 0 . . . 1
kt´or¸a oznacza´c b¸edziemy przez E lub I.
Dla macierzy A ∈ Matn×n(K) macierz B ∈ Matn×n(K) tak¸a, ˙ze AB = BA =
I nazywamy macierz¸a odwrotn¸a i oznacza´c b¸edziemy przez A−1.
Lemat 3.14 Dla dowolnych A ∈ Matm×n(K), B, C ∈ Matn×k(K) oraz α ∈
K mamy A · (B + C) = A · B + A · C, A · (α · B) = α(A · B).
Dow´od. (A · (B + C))st = Pni=1Asi(B + C)it = Pni=1Asi(Bit + Cit) =
Pn
i=1AsiBit + Pi=1n AsiCit= (A · B)st+ (A · C)st
Lemat 3.15 Dla dowolnych A ∈ Matm×n(K), B ∈ Matn×k(K) oraz C ∈
Matk×l(K) mamy A · (B · C) = (A · B) · C
Dow´od. (A · (B · C))st = Pni=1Asi(B · C)it = Pni=1Asi(Pnj=1(BijCjt)) =
Pn
j=1(
Pn
i=1AsiBij)Cjt) = Pnj=1(A · B)sjCjt)) = ((A · B) · C)st
Reprezentacja macierzowa homomorfizmu
Niech V i W b¸ed¸a przestrzeniami liniowymi z bazami uporz¸adkowanymi BV = {v1, . . . , vn} oraz BW = {w1, . . . , wn} oraz niech ϕ : V → W b¸edzie
homomorfizmem. Stowarzyszamy z ϕ macierz MBV
BW(ϕ) kt´orej i-ta kolumna
sk lada si¸e ze wsp´o lczynnik´ow kombinacji ϕ(vi) w bazie BW tzn M BV
BW(ϕ) =
(αij) wtedy i tylko wtedy gdy ϕ(vi) = α1iw1 + . . . + αmiwm. Macierz t¸a
Przyk lad. Macierz¸a homomorfizmu f : K2 → K3 f (x, y) = (x, x+y, x+2y)
w bazach standardowych jest
1 0 1 1 1 2
Niech V b¸edzie przestrzeni¸a liniow¸a nad cia lem K z bazami uporz¸adkowanymi B = {v1, . . . , vn} oraz B0 = {v10, . . . , v0n} Macierz¸a przej´scia od B do B0
nazy-wamy macierz M↑BB0 kt´orej i-ta kolumna sk lada si¸e ze wsp´o lczynnik´ow kom-binacji wektora vi0 w bazie B tzn. M↑BB0 = (αij) wtedy i tylko wtedy gdy
v0i = α1iv1+ . . . + αn,ivn. Latwo pokaza´c,
Wniosek 3.16
M↑BB0 = MBB0(idV).
Twierdzenie 3.17 Niech ϕ : V → W b¸edzie homomorfizmem przestrzeni liniowych, BV = {v1, . . . , vn} i B0V = {v
0
1, . . . , v 0
n} bazami uporz¸adkowanymi
V za´s BW = {w1, . . . , wn} i BW0 = {w10, . . . , wn0} bazami uporz¸adkowanymi
W . Wtedy MB 0 V B0 W(ϕ) = M↑ BW B0 WM BV BW(ϕ)M↑ B0 V BV
Dow´od. Oznaczmy MBV
BW(ϕ) = A = (αij), M↑ B0 V BV = B = (βij) oraz M↑ BW B0 W = C = (γij). Wtedy ϕ(vi0) = ϕ(Pn r=1βrivr) = Pn r=1βriϕ(vr) = Pn r=1βri(Pms=1αsrws) = Pn r=1βri(Pms=1αsr(Pmt=1γtsw0t))) = Pm t=1( Pn r=1( Pm s=1(γt,sαsr))βri)wt0 = Pm t=1( Pn r=1((CA)trBri)wt0 = Pm t=1((CA)B)ti)wt0.
Zatem i-ta kolumna macierzy homomorfizmu ϕ w bazach BV0 oraz BW0 r´owna jest i-tej kolumnie macierzy CAB co ko´nczy dow´od twierdzenia.
Twierdzenie 3.18 Niech ϕ : V → W oraz ψ : W → U b¸ed¸a homomorfiz-mami przestrzeni liniowych, za´s BU, BV oraz BW bazami uporz¸adkowanymi
U, V i W . Wtedy MBV BU(ψ ◦ ϕ) = M BW BU (ψ)M BV BW(ϕ)
Dow´od. Niech BU = {u1, . . . , uk}, BV = {v1, . . . , vn} oraz BW = {w1, . . . , wm}
i oznaczmy MBV BW(ϕ) = A = (αij), M BW BU (ψ) = B = (βij). Wtedy (ψ ◦ ϕ)(vi) = ψ(ϕ(vi)) = ψ(Pm r=1αriwr) = Pm r=1αriψ(vr) = Pm r=1αri(Pks=1βsrus) = Pk s=1( Pm r=1βsrαri)us = Pk s=1(BA)si)us.
Zatem i-ta kolumna macierzy MBV
BU(ψ ◦ ϕ) r´owna jest i-tej kolumnie macierzy
MBW
BU (ψ)M
BV
BW(ϕ) co ko´nczy dow´od twierdzenia.
Wniosek 3.19 f : V → W jest izomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnych baz BV i BW przestrzeni V i W MBBWV(f ) jest odwracalna.
Dow´od. ⇒: Niech g : W → V b¸edzie homomorfizmem odwrotnym do f . Wtedy f ◦g = idW oraz g ◦f = idV. Zatem MBBWV(f )M
BW BV (g) = M BW BW(f ◦g) = MBW BW(idW) = E i analogicznie M BW BV (g)M BV BW(g) = E.
⇐: Niech BV i BW b¸ed¸a bazami uporz¸adkowanym przestrzeni V i W oraz
niech A = (αij) = MBBWV(f ). Niech B = (βij) = A
−1 i niech g : W → V
b¸edzie homomorfizmem zadanym wzorem g(wi) = Pns=1βsivs. Wtedy
f (g(wi)) = Pns=1βsif (vs) = Pn s=1βsi(Pnt=1αtswt) = Pn t=1( Pn s=1αt,sβsi)wt = Pn t=1(AB)ti)wt = wi. Analogicznie g(f (vi)) = g(Pns=1αs,iws = Pn s=1αs,ig(ws) = Pn s=1αs,i(Pnt=1βt,svt) = Pn t=1( Pn s=1βt,sαs,i)vt) = (Pn t=1(BA)t,i)vt = vi.
Wniosek 3.20 (1) Macierz przej´scia od bazy B do bazy B jest macierz¸a jednostkow¸a. (2) M↑B2 B1M↑ B3 B2 = M↑ B3 B1 (3) M↑B2 B1 jest odwracalna i (M↑ B2 B1) −1 = M↑B1 B2
Dow´od. (1) jest oczywista. (2) Niech M↑B2
B1 = A oraz M↑
B3
B2 = B. Wtedy na mocy wniosku 3.16, A =
MB2
B1(idV) oraz B = M
B3
B2(idV). Zatem na mocy 3.18, AB = M
B3 B1(idV) = M↑B3 B1 (3) Na mocy (2) i (1) M↑B2 B1M↑ B1 B2 = M↑ B1 B1 = E. Zatem istotnie (M↑ B2 B1) −1 = M↑B1 B2.
Przypomnijmy, ˙ze dla dowolnej przestrzeni V z baz¸a B = {v1, . . . , vn}
zdefiniowali´smy w twierdzeniu 3.12 baz¸e dualn¸a B∗ = {v∗1, . . . , vn∗} przestrzeni sprz¸e˙zonej V∗ = L(V, K) za´s w twierdzeniu 3.11 dla dowolnego homomor-fizmu f : V → W zdefiniowali´smy homomorfizm indukowany f∗ : W∗ → V∗
wzorem f∗(ϕ) = ϕ ◦ f .
Twierdzenie 3.21 Niech V i W b¸ed¸a przestrzeniami liniowymi nad cia lem K o bazach uporz¸adkowanych BV oraz BW oraz niech f : V → W b¸edzie
homomorfizmem. Wtedy MB ∗ W ∗ B∗ V ∗ (f ∗) = (MBV BW(f )) t, gdzie B∗ W∗ oraz BV∗∗ s¸a
bazami dualnymi do BW oraz BV.
Dow´od. Niech BV = {v1, . . . , vn}, BV∗∗ = {v1∗, . . . , v∗n}, BW = {w1, . . . , wm},
B∗
W∗ = {w∗1, . . . , wm∗}. Przypomnijmy, ˙ze vi∗ : V → K jest jednoznacznie
wyznaczone przez warunek v∗i(vj) = δij. Niech A = (αij) = M BV BW(f ). Wtedy f (vj) = Pms=1αsjws oraz f∗(wi∗) = w ∗ i ◦ f . Zatem (w ∗ i ◦ f )(vj) = w∗i(Pm s=1αsjws) = Pms=1αsjw∗i(ws) = αij i wobec tego f∗(w∗i) = αi1 v1∗ ⊕ . . . ⊕ αin vn∗.
Wniosek 3.22 Je˙zeli f : V → W jest izomorfizmem to f∗ : W∗ → V∗ jest
tak˙ze izomorfizmem.
Dow´od. f jest izomorfizmem ⇔ MBV
BW(f ) jest odwracalna ⇔ (M BV BW(f )) t = MB ∗ W ∗ B∗ V ∗ (f
Podsumowuj¸ac, maj¸ac dwie przestrzenie liniowe V i W wymiar´ow n i m odpowiednio i ustalaj¸ac ich bazy BV = {v1, . . . , vn} oraz BW = {w1, . . . , wm}
istnieje wzajemnie jednoznczna odpowiednio´s´c L(V, W ) ←→ Matm×n(K)
ustalona przez przyporz¸adkowania ϕ 7→ MBV
BW(ϕ) A 7→ ϕA,
4
Uk lady r´
owna´
n liniowych
Uk ladem r´owna´n liniowych o n zmiennych i wsp´o lczynnikach w ciele K nazy-wamy uk lad r´owna´n postaci:
α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn = β1 α21x1 + α22x2 + . . . + α2nxn = β2 .. . αm1x1 + αm2x2 + . . . + αmnxn = βm (∗)
gdzie αij, βi ∈ K. Uk lad (∗) nazywamy jednorodnym o ile β1 = . . . = βm = 0
i niejednorodnym w przeciwnym wypadku. Z uk ladem (∗) stowarzyszamy dwie macierze A = α11 α12 . . . α1n α21 α22 . . . α2n .. . αm1 αm2 . . . αmn Au = α11 α12 . . . α1n β1 α21 α22 . . . α2n β2 .. . αm1 αm2 . . . αmn βm
zwanymi macierz¸a i macierz¸a rozszerzon¸a uk ladu (∗).
M´owimy, ˙ze uk lad r´owna´n (∗) jest r´ownowa˙zny uk ladowi α011x1 + α120 x2 + . . . + α01nxn = β10 α021x1 + α220 x2 + . . . + α02nxn = β20 .. . α0l1x1 + αl20 x2 + . . . + α0lnxn = βl0 (∗0)
co zapisujemy (∗) ≡ (∗0) o ile ka˙zde r´ownanie uk ladu (∗0) mo˙zna otrzyma´c mno˙z¸ac najpierw ka˙zde r´ownanie uk ladu (∗) przez pewne elementy cia la K a nast¸epnie dodaj¸ac otrzymane r´ownania stronami i odwrotnie ka˙zde r´ownanie uk ladu (∗) mo˙zna otrzyma´c mno˙z¸ac najpierw ka˙zde r´ownanie uk ladu (∗0) przez pewne elementy cia la K a nast¸epnie dodaj¸ac otrzymane r´ownania stronami.
x1 + 2x2 = 1 x1 + x2 = 2 ) (A) x2 = −1 x1 + x2 = 2 ) (B) s¸a r´ownowa˙zne.
Rozwi¸azaniem uk ladu r´owna´n (∗) nazywamy taki ci¸ag (α1, . . . , αn)
ele-ment´ow cia la K, ˙ze po zast¸apieniu w r´ownaniach tego uk ladu niewiadomych x1, . . . , xn elementami α1, . . . , αn otrzymujemy r´owno´sci prawdziwe w ciele
K. Zbi´or rozwi¸aza´n uk ladu (∗) oznacza´c b¸edziemy symbolem Roz (∗).
Twierdzenie 4.1 R´ownowa˙zne uk lady r´owna´n maj¸a te same zbiory rozw¸aza´n. Dow´od. Niech (∗) ≡ (∗0). Zapiszmy skr´otowo
l1(x1, . . . , xn) = β1 l2(x1, . . . , xn) = β2 .. . lm(x1, . . . , xn) = βm (∗) l01(x1, . . . , xn) = β10 l02(x1, . . . , xn) = β20 .. . ls0(x1, . . . , xn) = βs0 (∗0)
Niech (α1, . . . , αn) ∈ Roz (∗) i niech li0(x1, . . . , xn) = βi0 b¸edzie dowolnym
r´ownaniem uk ladu (∗0). Wtedy
l0i(x1, . . . , xn) = δ1l1(x1, . . . , xn) + . . . + δmlm(x1, . . . , xn)
oraz βi0 = δ1β1+ . . . + δmβm. St¸ad
li0(α1, . . . , αn) = δ1l1(α1, . . . , αn)+. . .+δmlm(α1, . . . , αn) = δ1β1+. . .+δmβm = βi0.
Zatem Roz (∗) ⊂ Roz (∗0) i analogicznie pokazuje si¸e inkluzj¸e przeciwn¸a.
Zbi´or rozwi¸aza´n uk ladu r´owna´n liniowych (∗) traktujemy jako podzbi´or przestrzeni liniowej Kn. Stwierdzenie 4.2 Niech α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn = 0 α21x1 + α22x2 + . . . + α2nxn = 0 .. . αm1x1 + αm2x2 + . . . + αmnxn = 0 (∗∗)
b¸edzie jednorodnym uk ladem r´owna´n nad cia lem K. Wtedy Roz (∗∗) jest podprzestrzeni¸a przestrzeni Kn.
Dow´od. (pierwszy) Niech α, β ∈ K, ˜α = (α1, . . . , αn), ˜β = (β1, . . . , βn) ∈
Roz (∗∗) b¸ed¸a dowolnymi elementami. Niech jak wcze´sniej li(x1, . . . , xn) =
li(˜x) oznacza lew¸a stron¸e i-tego r´ownania uk ladu (∗∗). Wtedy li( ˜α) = li( ˜β) =
0 a zatem li(α ˜α + β ˜β) = αli( ˜α) + βli( ˜β) = 0. Zatem α ˜α + β ˜β ∈ Roz (∗∗).
(drugi) Niech A = (αij) b¸edzie macierz¸a uk ladu (∗) i niech ϕA : Kn →
Km b¸edzie homomorfizmem o macierzy A w bazach standardowych. Mamy
ϕA(ei) = (Ai)t. St¸ad ϕA(α1, . . . , αn) = ϕA(α1e1 + . . . + αnen) = α1(A1)t+
. . . + αn(An)t= (α1A1+ . . . + αnAn)t a zatem
(α1, . . . + αn) ∈ Roz (∗∗) ⇔ (α1, . . . + αn) ∈ KerϕA
St¸ad Roz (∗∗) = KerϕA. Wcze´sniej jednak pokazali´smy, ˙ze KerϕA jest
pod-przestrzeni¸a przestrzeni Kn. Twierdzenie 4.3 Niech α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn = β1 α21x1 + α22x2 + . . . + α2nxn = β2 .. . αm1x1 + αm2x2 + . . . + αmnxn = βm (∗)
b¸edzie uk ladem r´owna´n liniowych o wsp´o lczynnikach w ciele K i niech ˜α = (α1, . . . , αn) b¸edzie dowolnym rozwi¸azaniem tego uk ladu oraz niech (∗∗) b¸edzie
uk ladem jednorodnym stowarzyszonym z uk ladem (∗). Wtedy Roz (∗) = ˜α + Roz (∗∗)
tzn Roz (∗) jest warstw¸a w przestrzeni Kn.
Dow´od. Zapiszmy (∗) oraz (∗∗) w postaci l1(x1, . . . , xn) = β1 l2(x1, . . . , xn) = β2 .. . lm(x1, . . . , xn) = βm (∗) l1(x1, . . . , xn) = 0 l2(x1, . . . , xn) = 0 .. . lm(x1, . . . , xn) = 0 (∗∗)
Niech ˜ξ = (ξ1, . . . , ξn) ∈ Roz (∗). Wtedy ˜ξ − ˜α = ˜η ∈ Roz (∗∗) a st¸ad
˜
Niech teraz ˜ξ ∈ ˜α + Roz (∗∗). W´owczas ˜ξ = ˜α + ˜η gdzie ˜η ∈ Roz (∗∗) a wtedy li( ˜α + ˜η) = li( ˜α) + li(˜η) = βi+ 0 = βi czyli ˜ξ ∈ Roz (∗).
Niech α11 α12 . . . α1n α21 α22 . . . α2n .. . αm1 αm2 . . . αmn ∈ Matm×n(K) Macierz Aj = α1j α2j .. . αmj ∈ Matm×1(K)
nazywamy j-t¸a kolumn¸a macierzy A, za´s macierz
Ai = (αi1, αi2, . . . , αin) ∈ Mat1×n(K)
jej i-tym wierszem.
Na Ai mo˙zna patrze´c jak na elementy przestrzeni Km za´s na Ai jak na
elementy przestrzeni Kn
Rz¸edem wierszowym rw(A) (odp. kolumnowym rc(A)) macierzy A nazywamy
maksymaln¸a ilo´s´c liniowo niezale˙znych wierszy (odp. kolumn) tej macierzy. Wniosek 4.4 rw(A) = dim(lin(A1, . . . , Am)), rc(A) = dim(lin(A1, . . . , An)).
Przyk lad. Dla A = 1 1 1 0 1 1 0 0 ! i B = 2 2 1 0 0 1
Mamy rw(A) = 2 oraz
rc(A) = 2.
Lemat 4.5 Niech ϕ : V → W b¸edzie przekszta lceniem liniowym nad K i niech v1, . . . , vn b¸edzie baz¸a V . Wtedy Imϕ = lin(ϕ(v1), . . . , ϕ(v1)).
Dow´od. ⊆: Je´sli w ∈ Im(ϕ) to w = ϕ(v) dla pewnego v ∈ V . Wtedy v = α1v1+ . . . + αnvn dla pewnych αi ∈ K a st¸ad w = ϕ(v) = α1ϕ(v1) + . . . +
αnϕ(vn). ⊇: Niech w ∈ lin(ϕ(v1), . . . , ϕ(vn). Wtedy w = α1ϕ(v1) + . . . +
Twierdzenie 4.6 Dla A ∈ Matm×n(K), rw(A) = rc(A).
Dow´od. Niech A = (αi,j) i niech ϕA : Kn → Km b¸edzie
homomor-fizmem o macierzy A w bazach standardowych. Mamy ϕA(ei) = Ai a
za-tem ImϕA = lin(A1, . . . , An). St¸ad dim(ImϕA) = dim(lin(A1, . . . , An)) =
rc(A) ozn.
= p. Z twierdzenia 3.3 n = dimKn = dim(Imϕ
A) + dim(KerϕA) =
rc(A)+dim(Roz (∗∗)), gdzie (∗∗) jest uk ladem jednorodnym stowarzyszonym
z macierz¸a A. Niech q = rw(A) i niech Ai1, . . . , Aiq b¸edzie maksymalnym
uk ladem liniowo niezale˙znych wierszy. Wtedy ka˙zdy inny wiersz macierzy A jest kombinacj¸a liniow¸a powy˙zszych wierszy i tym samym uk lad (∗∗) jest r´ownowa˙zny uk ladowi αi11x1 + αi12x2 + . . . + αi1nxn = 0 αi21x1 + αi22x2 + . . . + αi2nxn = 0 .. . αiq1x1 + αiq2x2 + . . . + αiqnxn = 0 (∗∗0)
Wobec tego Roz (∗∗0) = Roz (∗∗). Niech A0 oznacza macierz uk ladu (∗∗0). Jak poprzednio dowodzimy, ˙ze n = dimKn = dim(Imϕ
A0) + dim(KerϕA0) =
dim(ImϕA0) + dim(Roz (∗∗0)). Zatem
p = rc(A) = n − dim(Roz (∗∗)) = n − dim(Roz (∗∗0)) = dim(ImϕA0) ≤ q.
Zatem rc(A) ≤ rw(A). Wobec dowolno´sci Macierzy A mamy tak˙ze rc(At) ≤
rw(At). Jednak rc(At) = rw(A) oraz rw(At) = rc(A). St¸ad rw(A) ≤ rc(A) a
zatem rw(A) = rc(A).
Rz¸edem r(A) macierzy A ∈ Matm×n(K) nazywamy wsp´oln¸a warto´s´c rz¸edu
wierszowego i kolumnowego.
Twierdzenie 4.7 (Kroneckera-Capelliego) Niech α11x1 + α12x2 + . . . + α1nxn = β1 α21x1 + α22x2 + . . . + α2nxn = β2 .. . αm1x1 + αm2x2 + . . . + αmnxn = βm (∗)
b¸edzie uk ladem niejednorodnym. W´owczas
Roz (∗) 6= ∅ ⇔ r(A) = r(Au),
gdzie A jest macierz¸a, za´s Au macierz¸a rozszerzon¸a uk ladu (∗). Je´sli ponadto
Roz (∗) 6= ∅ to Roz (∗) jest warstw¸a pewnej podprzestrzeni o wymiarze n − r(A) w przestrzeni Kn.
Dow´od. Napiszmy uk lad (∗) w postaci wektorowej: x1A1+ x2A2+ . . . + xnAn= An+1,
gdzie A1, . . . , An s¸a kolumnami macierzy A kt´ore traktujemy jak wektory
przestrzeni Km za´s An+1 jest kolumn¸a wyraz´ow wolnych β
1, . . . , βm ∈ K.
Wtedy (α1, . . . , αn) ∈ Kn jest rozwi¸azaniem uk ladu (∗) wtedy i tylko wtedy
gdy An+1 = α 1A1+ α2A2+ . . . + αnAn. Zatem Roz (∗) 6= ∅ ⇔ An+1 ∈ lin(A1, . . . , An) ⇔ lin(A1, . . . , An) = lin(A1, . . . , An, An+1) ⇔ dim(lin(A1, . . . , An)) = dim(lin(A1, . . . , An, An+1)) ⇔ r(A) = r(Au)
Dla dowodu drugiej cz¸e´sci twierdzenia zauwa˙zmy, ˙ze dla ˜α ∈ Roz (∗) mamy Roz (∗) = ˜α + Roz (∗∗). Z kolei pokazali´smy, ˙ze
n = dimKn = rc(A) + dimRoz (∗∗).
5
Wyznaczniki
Niech A = (αij) ∈ Matm×n(K) b¸edzie macierz¸a. Wygodnie zapisa´c macierz
tak¸a w postaci ci¸agu jej kolumn
A = (A1, . . . , An), gdzie Ai = α1,i α2,i .. . αm,i .
Wyznacznikiem stopnia n nazywamy funkcj¸e
det : Matn×n(K) = Matn(K) → K
spe lniaj¸ac¸a warunki:
(1) Dla dowolnych j ≤ n, α, β ∈ K det(A1, . . . , Aj−1, αAj+βA0j, Aj+1, . . . , An) =
αdet(A1, . . . , Aj−1, Aj, Aj+1, . . . , An) + βdet(A1, . . . , Aj−1, A0j, Aj+1, . . . , An)
(2) det(A1, . . . , An) = 0 je˙zeli Aj = Aj+1 dla pewnego j = 1, . . . n − 1
(3) Je˙zeli I jest macierz¸a jednostkow¸a to det(I) = 1.
P´o´zniej poka˙zemy istnienie i jednoznaczno´s´c wyznacznika. Potrzebne do tego b¸ad¸a pewne wiadomo´sci o permutacjach. Permutacj¸a zbioru n elemen-towego {1, . . . , n} nazywamy dowoln¸a bijekcj¸e
σ : {1, . . . n} → {1, . . . n}
Niech Snoznacza zbi´or wszystkich permutacji zbioru n elementowego. Wtedy
Sn jest grup¸a ze wzgl¸edu na dzia lanie superpozycji przekszta lce´n.
Zad. Por´owna´c powy˙zsz¸a definicj¸e z definicj¸a szkoln¸a
Permutacj¸e σ ∈ Snnazywamy cyklem d lugo´sci k o ile istnieje ci¸ag element´ow
1 ≤ i1, i2, . . . , ik ≤ n taki, ˙ze σ(i1) = i2, σ(i2) = i3, . . . , σ(ik−1) = ik, σ(ik) =
i1, oraz σ(j) = j dla j 6= i1, . . . , ik Zapisujemy wtedy σ = (i1, i2, . . . , ik).
Cykl d lugo´sci 2 nazywamy transpozycj¸a. Nietrudno udowodni´c nast¸epuj¸ace twierdzenie zwi¸azane z tymi poj¸eciami
Twierdzenie. Ka˙zda permutacja σ ∈ Sn jest z lo˙zeniem sko´nczonej ilo´sci
transpozycji. Przyk lad. Niech
σ = 1 2 3 4 5 6 7 8 9
2 4 1 5 3 7 6 9 8
!
Wtedy σ = (1, 2, 4, 5, 3)(6, 7)(8, 9) oraz (1, 2, 4, 5, 3) = (1, 3)(1, 5)(1, 4)(1, 2). Zatem σ = (1, 3)(1, 5)(1, 4)(1, 2)(6, 7)(8, 9). Zauwa˙zmy ponadto, ˙ze σ = (2, 4)(1, 3)(1, 5)(2, 4)(1, 4)(1, 2)(6, 7)(8, 9).
Twierdzenie. Je˙zeli σ = σ1· . . . · σs oraz σ = τ1· . . . · τts¸a dwoma rozk ladami
permutacji σ to (−1)s = (−1)t. Liczb¸e (−1)s nazywamy znakiem permutacji i oznacza´c b¸edziemy symbolem sgn(σ)
Twierdzenie. Ka˙zda permutacja jest z lo˙zeniem pewnej sko´nczonej ilo´sci transpozycji element´ow s¸asiednich.
Przyk lad. (2, 5) = (2, 3)(3, 4)(4, 5)(3, 4)(2, 3) Wniosek 5.1
(1) det(A1, . . . , Aj, Aj+1, . . . , An) = −det(A1, . . . , Aj+1, Aj, . . . , An), (2) det(A1, . . . , An) = 0 gdy Ak= Al dla pewnych k 6= l,
(3) det(A1, . . . , Ak, . . . , Al, . . . , An) = −det(A1, . . . , Al, . . . , Ak, . . . , An),
(4) det(Aσ(1), . . . , Aσ(n)) = sgn(σ)det(A1, . . . , An),
(5) det(A1, . . . , Aj+ αAk, . . . , Ak, . . . , An) = det(A1, . . . , An),
(6) det(A1, . . . , An) = 0 gdy pewna kolumna Aj sk lada si¸e z samych zer.
Lemat 5.2 Dla A = (αij), B = (βij) ∈ Matn×n(K) mamy
det(AB) = detAX
σıSn
sgn(σ)βσ(1),1· . . . · βσ(n),n
Dow´od. Niech AB = (H1, . . . , Hn). Wtedy
Hj = (AB)1j .. . (AB)nj = Pn s=1α1sβsj .. . Pn s=1αnsβsj = Pn s=1βsj α1s .. . αns =Pn s=1βsjAs
dla j = 1, . . . , n. Zatem det(AB) = det(H1, . . . , Hn) = det(Pn s=1βs1As, . . . ,Pns=1βsnAs) = det(Pn s1=1βs11A s1, . . . ,Pn sn=1βsnnA sn) = Pn s1=1. . . Pn sn=1βs11. . . βsnndet(A s1, . . . , Asn) = (∗)
Je˙zeli si = sj dla i 6= j to det(As1, As2, . . . , Asn) = 0. Zatem w powy˙zszym
sumowaniu wyst¸epuj¸a tylko sk ladniki dla kt´orych wyrazy s1, s2, . . . , sn s¸a
r´o˙zne. Dladowolnego takiego ci¸agu definiujemy permutacj¸e σ(i) = si. Wtedy
wracaj¸ac do naszej r´owno´sci mamy (∗) = P σ∈Snβσ(1)1. . . βσ(n)n)det(A σ(1), . . . , Aσ(n)) = P σ∈Snβσ(1)1. . . βσ(n)n)sgn(σ)det(A 1, A2, . . . , An) = det(A)P σ∈Snsgn(σ)βσ(1)1. . . βσ(n)n).
Twierdzenie 5.3 (o istnieniu i jednoznaczno´sci wyznacznika) Istnie-je dok ladnie Istnie-jedna funkcja D : Matn×n(K) → K spe lniaj¸aca warunki (1)–(3)
definicji wyznacznika. Ma ona posta´c:
D(A) = X
σ∈Sn
sgnσασ(1)1ασ(2)2. . . ασ(n)n
gdy A = (αij).
Dow´od. Dla dowodu istnienia nale˙zy sprawdzi´c, ˙ze powy˙zsza funkcja spe lnia warunki (1)–(3) definicji wyznacznika.
(1) Niech Bj = (β
ij). Wtedy D(A1, . . . , Aj−1, αAj + βBj, Aj+1, . . . , An) =
=P σ∈Snsgnσασ(1)1. . . ασ(j−1)j−1(αασ(j)j+ ββσ(j)j)ασ(j+1)j+1. . . ασ(n)n =αP σ∈Snsgnσασ(1)1. . . ασ(j−1)j−1ασ(j)j. . . ασ(n)n+ βP σ∈Snsgnσασ(1)1. . . ασ(j−1)j−1βσ(j)jασ(j+1)j+1. . . ασ(n)n =αD(A1, . . . Aj−1, Aj, Aj+1, . . . , An) + βD(A1, . . . Aj−1, Bj, Aj+1, . . . , An).
(2) Niech Aj = Aj+1 dla j < n. Wtedy D(A1, . . . An) =
=P
σ∈Snsgnσασ(1)1. . . ασ(j−1)j−1ασ(j)jασ(j+1)j+1ασ(j+2)j+2. . . ασ(n)n
=P
gdy˙z sk ladnik ασ(1)1. . . ασ(j−1)j−1ασ(j)jασ(j+1)jασ(j+2)j+2. . . ασ(n)n wyst¸epuje
2 razy dla dw´och permutacji r´o˙zni¸acych si¸e znakiem: mianowicie dla σ oraz σ0 = (σ(j), σ(j + 1)) ◦ σ.
(3) Niech I = (αij). Wtedy D(I) = Pσ∈Snsgnσασ(1)1ασ(2)2. . . ασ(n)n. Gdy
σ 6= id to σ(i) 6= i dla pewnego i a wtedy ασ(i)i = 0 i nie ma sk ladnika
odpowiadaj¸acego σ. Zatem D(I) = α11α22. . . αnn = 1.
Jednoznaczno´s´c: Mamy A = IA. St¸ad det(A) = det(IA) = det(I) X
σ∈Sn
sgnσασ(1)1. . . ασ(n)n = D(A).
Wniosek 5.4 (Twierdzenie Cauchyego) Dla A, B ∈ Matn(K)
det(A · B) = det(A) · det(B) Dow´od. Na mocy lematu
det(AB) = det(A)P
σ∈Snsgnσβσ(1)1. . . βσ(n)n
= det(A)det(B)
Wniosek 5.5 Dla A ∈ Matn×n(K), det(A) = det(At)
Dow´od. Poniewa˙z σ(k) = s ⇔ σ−1(s) = k wi¸ec
det(A) = P σ∈Snsgnσασ(1)1ασ(2)2. . . ασ(n)n = P σ∈Snsgnσα1σ−1(1)α2σ−1(2). . . αnσ−1(n) = P σ∈Snsgnσ −1α 1σ−1(1)α2σ−1(2). . . αnσ−1(n) = P σ∈Snsgnσ −1α 1σ(1)α2σ(2). . . αnσ(n),
gdzie druga r´owno´s´c wwynika z faktu, ˙ze dla σ = (i1, i2)(i3, i4) . . . (is−1, is),
σ−1 = (is−1, is) . . . (i3, i4)(i1, i2) a zatem sgnσ = sgnσ−1, za´s ostatnia st¸ad, ˙ze
gdy σ ”przebiega” ca le Sn to σ−1 tak˙ze przebiega ca le Sn.
Wniosek 5.6 Ka˙zde twierdzenie o wyznaczniku pozostaje prawdziwe gdy s lowo ”wiersz” zast¸api´c s lowem ”kolumna” i odwrotnie.
Twierdzenie 5.7 Niech A ∈ Matn×n(K). Wtedy r(A) = n wtedy i tylko
Dow´od. Niech A = (A1, . . . , An) = (α
ij). ⇒: Je˙zeli r(A) = n to A1, . . . , An
s¸a liniowo niezale˙zne a zatem tworz¸a baz¸e Kn. Zatem dla ka˙zdego k ≤ n
Ik = 0 .. . 1 .. . 0 = n X i=1 βikAi
dla pewnych βik ∈ K. Zatem
1 = det(I) = det(I1, . . . , In) = det(Pn i=1βi1Ai, . . . ,Pni=1βinAi) = det(Pn i1=1βi11A i1, . . . ,Pn in=1βinnA in) = det(Pn i1=1βi11A i1, . . . ,Pn in=1βinnA in) = Pn i1=1 Pn i2=1. . . Pn in=1βi11βi22. . . βinndet(A i1, Ai2, . . . , Ain) = (∗)
Je˙zeli teraz is = it dla s 6= t to det(Ai1, Ai2, . . . , Ain) = 0. Zatem sumowanie
odbywa si¸e faktycznie po ci¸agach (i1, i2, . . . , in) r´o˙znych element´ow zbioru
{1, 2, . . . n}. Ka˙zdy taki ci¸ag odpowiada pewnej permutacji i odwrotnie: (i1, i2, . . . , in) 7→ σ : σ(s) = is σ ∈ Sn7→ (σ(1), σ(2), . . . , σ(n)) Zatem (∗) = P σ∈Snβσ(1)1, βσ(2)2, . . . , βσ(n),ndet(A σ(1), Aσ(2), . . . , Aσ(n)) = P σ∈Snsgnσβσ(1)1, βσ(2)2, . . . , βσ(n),ndet(A) = det(A)(P σ∈Snsgnσβσ(1)1, βσ(2)2, . . . , βσ(n),n) a zatem det(A) 6= 0.
⇐: (niewprost) Przypu´s´cmy, ˙ze r(A) < n. Wtedy A1, A2, . . . , An s¸a liniowo
zale˙zne a st¸ad istnieje k ≤ n oraz αi ∈ K takie, ˙ze Ak = α1A1+. . . αk−1Ak−1+
αk+1Ak+1+ . . . αnAn. Zatem det(A1, . . . , An) = n X i=1,i6=k αidet(A1, . . . , Ak−1, Ai, Ak+1, . . . , An) = 0
Twierdzenie 5.8 (Cramera) Niech dany b¸edzie uk lad r´owna´n liniowych α1,1x1 + α1,2x2 + . . . + α1,nxn = β1 α2,1x1 + α2,2x2 + . . . + α2,nxn = β2 .. . αn,1x1 + αn,2x2 + . . . + αn,nxn = βn (∗) .
Niech A = (αij) b¸edzie macierz¸a tego uk ladu i niech ˇAi b¸edzie macierz¸a
pow-sta l¸a z A przez zast¸apienie i-tej kolumny kolumn¸a wyraz´ow wolnych. Wtedy je´sli r(A) = n to uk lad (∗) ma dok ladnie jedno rozwi¸azanie
(x1, . . . , xn) = det( ˜A1) det(A), . . . , det( ˜An) det(A) ! (∗∗) Dow´od. Na mocy tw. Kroneckera-Capelliego:
Roz(∗) 6= ∅ ⇔ r(A) = r(Au)
i gdy Roz(∗) 6= ∅ then Roz(∗) jest warstw¸a w Kn pewne podprzestrzeni wymiaru n − r(A). W naszym przypadku n = r(A) ≤ r(Au) ≤ n a zatem
n = r(A) = r(Au). Wobec tego je´sli r(A) = n to (∗) ma dok ladnie jedno
rozwi¸azanie. Poka˙zemy, ˙ze jest nim (∗∗). Napiszmy w tym celu uk lad (*) w postaci wektorowej
x1A1+ . . . + xnAn= B
Wtedy xiAi = B − (x1A1+ . . .xdiAi+ . . . + xnAn. St¸ad
xidet(A) = det(A1, . . . , xiAi, . . . , An)
= det(A1, . . . , B − (x1A1+ . . . +xdiAi+ . . . + xnAn), . . . An)
= det(A1, . . . , Ai−1, B, Ai+1, . . . , An) = det( ˜An)
Powy˙zszy dow´od pochodzi od S. Langa. Istnieje te˙z inny spos´ob oparty na rozwinceciu Laplace’a zwykle podawany w podr¸ecznikach z Algebry Liniowej, wydaje si¸e on jednak bardziej skomplikowany.
Dla macierzy A = (αij) ∈ Matn×n(K) niech Aij b¸edzie macierz¸a powsta l¸a z
A przez skre´slenie i-tego wiersza i j-tej kolumny. Element (−1)i+jdet(Aij)
Twierdzenie 5.9 (Laplace’a) Niech A = (αij) ∈ Matn×n(K). Wtedy dla dowolnego r = 1, . . . n det(A) = n X i=1 (−1)i+rαridet(Ari)
Dow´od. Na mocy twierdzenia 5.3 wystarczy pokaza´c, ˙ze funkcja Gr : Matn(K) → K; Gr(A) =
n
X
i=1
(−1)i+rαridet(Ari)
spe lnia warunki (1)-(3) definicji wyznacznika. (1) Niech A = (A1, . . . , Aj−1, Aj, Aj+1, . . . , An) = (α ij), B = (A1, . . . , Aj−1, Bj, Aj+1, . . . , An) = (β ij), C = (A1, . . . , Aj−1, αAj + βBj, Aj+1, . . . , An) = (γij)
Wtedy dla i 6= j, det(Cri) = αdet(Ari) + βdet(Bri). Zatem Gr(C) =
= Pn
i=1(−1)r+iγridet(Cri)
= Pj−1
i=1(−1)r+iγridet(Cri) + (−1)r+jγrjdet(Crj) +Pni=j+1(−1)r+iγridet(Cri)
= Pj−1
i=1(−1)r+iαri(αdet(Ari) + βdet(Bri)) + (−1)r+j(ααrj + ββrj)det(Arj)
+Pn
i=j+1(−1)r+iαri(αdet(Ari) + βdet(Bri)
= αPn
i=1(−1)r+iαridet(Ari) + βPni=1(−1)r+iβridet(Bri) = αGr(A) + βGr(B),
gdzie przedostatnia r´owno´s´c wynika z faktu, ˙ze dla i 6= j, αri = βri oraz
Arj = Brj
(2) Dla Aj = Aj+1, Gr(A) = Pn
i=1(−1)r+iαridet(Ari). Mamy jednak dla
i 6= j, j + 1, det(Ari) = 0, za´s det(Arj) = det(Arj+1) = 0 i αrj = αri+1. Zatem
Gr(A) = 0.
(3) Gdy I = (αij) to Gr(I) = Pni=1(−1)r+iαridet(Iri) = (−1)r+rαrrdet(Irr) =
(−1)2rdet(I) = 1.
Przyk lad. Dla (α) ∈ Mat1×1(K) mamy det(A) = α. Dla
A = α1,1 α1,2 α2,1 α2,2
mamy det(A) = α11α22− α12α2,1. W ko´ncu dla A = α1,1 α1,2 α13 α2,1 α2,2 α23 α3,1 α3,2 α33 mamy det(A) = α11(α22α32− α32α23) − α12(α21α33− α13α31) + α13(α21α32− α31α22) = α11α22α33 + α12α13α31 + α21α32α13 − (α11α23α32 + α12α21α33 + α13α22α31)
Wniosek 5.10 Niech A = (αij) ∈ Matn×n(K). Wtedy dla dowolnego r =
1, . . . , n det(A) = n X i=1 (−1)r+iαirdet(Air)
Dow´od. Niech At = B = (βij). Wtedy
det(A) = det(At) =Pn
i=1(−1)r+iβridet(Bri) = Pni=1(−1)r+iαirdet(Air).
Lemat 5.11 Niech A = (αij) ∈ Matn×n(K). Wtedy
n X i=1 (−1)k+iαlidet(Aki) = ( det(A) gdy k = l, 0 gdy k 6= l.
Dow´od. Dla k = l lemat wynika bezpo´srednio z twierdzenia Laplace’a. Niech zatem k 6= l i niech B powstaje z A przez zast¸apienie k-tego wiersza wierszem l-tym. Wtedy det(B) = 0. Rozwijaj¸ac teraz wyznacznik macierzy B wzgl¸edem k-tego wiersza mamy 0 = det(B) = Pn
i=1(−1)k+iβkidet(Bki) =
Pn
i=1(−1)k+iαlidet(Aki).
Macierz A ∈ Matn×n(K) nazywa si¸e nieosobliw¸a o ile det(A) 6= 0. Macierz¸a
odwrotn¸a do macierzy A ∈ Matn×n(K) nazywamy macierz B ∈ Matn×n(K)
tak¸a, ˙ze AB = BA = I. Nietrudno pokaza´c, ˙ze macierz odwrotna do macierzy A o ile istnieje to jest wyznaczona jednoznacznie i oznacza´c j¸a b¸edziemy przez A−1.
Twierdzenie 5.12 Macierz A ∈ Matn×n(K) jest niosobliwa wtedy i tylko
wtedy gdy istnieje macierz B odwrotna do A. Mamy przy tym B = (βij),
Dow´od. ⇐: Istnieje B ∈ Matn×n(K) taka, ˙ze AB = I. Wtedy z twierdzenia
Cauychyego 1 = det(I) = det(A)det(B) a zatem w szczeg´olno´sci det(A) 6= 0. ⇒: det(A) 6= 0. Definiujemy B = (βij) jak wy˙zej. Wtedy dla dowolnych
1 ≤ k, l ≤ n mamy
Pn
i=1αkiβil = Pni=1αki(−1)i+ldet(Ali)/det(A)
= det(A)1 Pn
i=1(−1)i+lαkidet(Ali)
L5.11 = 1
det(A)det(A) = 1 gdy k = i, 1
det(A) · 0 = 0 gdy k 6= i.
Zatem AB = I. Poka˙zemy, ˙ze BA = I. det(At) = det(A) 6= 0. Zatem na
mocy poprzedniej cz¸e´sci istnieje C ∈ Matn×n(K) taka, ˙ze AtC = I. Wtedy
I = It = (AtC)t = Ct(At)t = CtA. W ko´ncu Ct = CtI = Ct(AB) = (CtA)B = IB = B
Wniosek 5.13 Je˙zeli dla macierzy A, B ∈ Matn×n(K), AB = I to BA = I.
Przyk lad 1. Niech
A = 1 0 2 0 2 1 0 1 0 Wtedy A−1 = 1 −2 4 0 0 1 0 1 −2 Korzystali´smy tu ze wzoru:
βij = (−1)i+jdet(Aji)/det(A)
Przyk lad 2. Niech
x + 2z = 2 x + y − z = 0 2x + 2y + z = 3 (∗)
Wtedy A = 1 0 2 1 1 −1 2 2 1 , det(A) = 3 ⇒ Roz(∗) 6= ∅ Ax = 2 0 2 0 1 −1 3 2 1 , det(Ax) = 0 Ay = 1 2 2 1 0 −1 2 3 1 , det(Ay) = 3 Az = 1 0 2 1 1 0 2 2 3 , det(Az) = 3 Zatem x = 0, y = 1, z = 1 tzn Roz(∗) = {(0, 1, 1)}
Metody rozwi¸azywania uk lad´ow r´owna´n liniowych (I) Metoda wzor´ow Cramera
α1,1x1 + α1,2x2 + . . . + α1,nxn = β1 α2,1x1 + α2,2x2 + . . . + α2,nxn = β2 .. . αm,1x1 + αm,2x2 + . . . + αm,nxn = βm (∗)
(1) Sprawdzamy czy r(A) = r(Au). Je˙zeli nie to Roz(∗) = ∅.
(2) Za l´o˙zmy, ˙ze r(A) = r(Au) = r. Wybieramy r r´owna´n odpowiada¸acych r liniowo niezale˙znym wierszom macierzy A a nast¸epnie r niewiadomych odpowiadaj¸acych liniowo niezale˙znym kolumnom (mo˙zna to zrobi´c bo rc(A) =
rw(A)). Kolumny odpowiadaj¸ace pozosta lym niewiadomym przenosimy na
praw¸a stron¸e i traktujemy jak parametry. Dla dowolnych warto´sci tych parametr´ow otrzymujemy uk lad r r´owna´n z r niewiadomymi kt´orego macierz i macierz rozszerzona maj¸a ten sam rz¸ad r´owny r. Uk lad ten ma dok ladnie jedno rozwi¸azanie kt´ore mo˙zna znale´z´c ze wzor´ow Cramera.
Przyk lad. Niech x + 2z + w = 2 x + y − z = 0 2x + 2y + z + w = 3 2x + y + z + w = 2 (∗) Wtedy A = 1 0 2 1 1 1 −1 0 2 2 1 1 2 1 1 1 , Au = 1 0 2 1 2 1 1 −1 0 0 2 2 1 1 3 2 1 1 1 2 W macierzy Au w
4 = w1+ w2. Zatem r(Au) ≤ 3. Z drugiej strony
det 1 0 2 1 1 −1 2 2 1 = 3.
Zatem w1, w2, w3 s¸a liniowo niezale˙zne. St¸ad r(A) ≥ 3 a zatem 3 ≤ r(A) ≤
r(Au) ≤ 3 i tym samym r(A) = r(Au) = 3. Mamy przy tym (∗) ≡ (∗∗), gdzie
x + 2z + w = 2 x + y − z = 0 2x + 2y + z + w = 3 (∗∗) . Poniewa˙z det 1 0 2 1 1 −1 2 2 1 = 3
wi¸ec kolumny odpowiadaj¸ace zmiennym x, y, z s¸a liniowo niezale˙zne. Trak-tuj¸ac zmienn¸a w jako parametr otrzymujemy uk lad trzech r´owna´n z trzema niewiadomymi x + 2z = 2 − w x + y − z = 0 2x + 2y + z = 3 − w
