Podlaski Konkurs Matematyczny - 2007 Klasy Drugie

Podlaski Konkurs Matematyczny - 2007 Klasy Drugie

Rozwi azania zada´

n konkursowych 26 maja 2007 r.

1. Wyznaczy´c wszystkie liczby rzeczywiste a, dla kt´orych wielomiany f (x) = x⁵+ax³+x²+1 i g(x) = x⁴+ ax²+ x + 1 maja wsp´_, olny pierwiastek.

Rozwiazanie_,

Zauwa˙zmy, ˙ze je´sli x₀ jest wsp´olnym pierwiastkiem wielomian´ow f (x) i g(x), to x₀ jest r´ownie˙z pierwiastkiem wielomianu

h(x) = f (x) − xg(x) = 1 − x.

Wynika stad, ˙ze wsp´_, olnym pierwiastkiem rozwa˙zanych wielomian´ow mo˙ze by´c tylko liczba x₀ = 1. Poniewa˙z f (1) = g(1) = 3+a, otrzymujemy, ˙ze wielomiany f (x) i g(x) maja wsp´_, olny pierwiastek wtedy, gdy a = −3 i jest nim liczba x₀ = 1.



2. Niech a i b bed_, a ustalonymi liczbami naturalnymi i niech {x_{, n}} bedzie ciagiem okre´slonym_, wzorem

x_n = an + b dla n = 1, 2, 3, . . . .

Wykaza´c, ˙ze albo ˙zaden wyraz ciagu {x_{, n}} nie jest kwadratem liczby naturalnej, albo w ciagu_, tym istnieje niesko´nczenie wiele wyraz´ow, kt´ore sa kwadratami liczb naturalnych._,

Rozwiazanie_,

Zauwa˙zmy, ˙ze rozwa˙zany ciag {x_, n} jest ciagiem arytmetycznym o r´_, o˙znicy a. Przypu´s´cmy,

˙ze dla pewnej liczby naturalnej m, m-ty wyraz tego ciagu jest kwadratem liczby naturalnej_, k, tzn. x_m = k². Dla dowolnej liczby naturalnej l mamy x_m+l = x_m+ la = k²+ la. Z drugiej strony, poniewa˙z

(k + a)² = k²+ 2ka + a² = k²+ (2k + a)a

widzimy, ˙ze przyjmujac l = 2k + a otrzymamy x_{, m+2k+a} = (k + a)². Stad wynika, ˙ze je´sli_, liczba k² jest wyrazem ciagu {x_{, n}}, to r´ownie˙z liczby

(k + a)², (k + 2a)², (k + 3a)², (k + 4a)², . . . sa wyrazami ci_, agu {x_{, n}}.

 3. Na prostej `, w kt´orej zawarty jest bok BC tr´ojkata ABC, wybrano punkt M r´_, o˙zny od B i C. Punkty K i L sa ´srodkami okr_, eg´_, ow opisanych na tr´ojkatach ABM i AM C. Wykaza´_, c,

˙ze pole tr´ojkata KLM jest nie mniejsze ni˙z jedna czwarta pola tr´_, ojkata ABC. Przy jakim_, po lo˙zeniu punktu M tr´ojkat KLM ma najmniejsze pole?_,

Rozwiazanie_,

Punkt M mo˙ze le˙ze´c na boku BC lub poza nim (rysunki poni˙zej). W obu przypadkach rozumowanie jest podobne.

1

2

W przypadku, gdy M nale˙zy do boku BC katy ]ALM i ]ACM s_, a odpowiednio k_, atami_,

´srodkowym i wpisanym okregu opisanego na tr´_, ojkacie AM C opartymi na tym samym luku,_, wiec ]ALM = 2]ACB. Poniewa˙z punkty K, L nale˙z_, a do symetralnej odcinka AM , ]KLM =_,

1

2]ALM = ]ACB. Podobnie stwierdzamy, ˙ze ]LKM = ]ABC. W przypadku, gdy M le˙zy poza bokiem BC, kat ]ACM jest r´owny po lowie k_, ata ´srodkowego ]ALM opartego na_, luku AM nie zawierajacym punktu C, a wi_, ec po lowie k_, ata 360_, ^◦− ]ALM. Stad wynika, ˙ze_, ]ACB = ]KLM .

Tr´ojkaty KLM i ABC s_, a zatem podobne. Wystarczy wykaza´_, c, ˙ze skala podobie´nstwa jest nie mniejsza ni˙z _2.¹ W tym celu oznaczmy przez N rzut prostopad ly punktu L na bok AC.

Punkt N jest oczywi´scie ´srodkiem boku AC. W tr´ojkacie prostok_, atnym LN C przeciwpros-_, tokatna jest LC, wi_, ec LC ≥ N C. Poniewa˙z LC = LM , wi_, ec LM ≥_, ¹₂AC, przy czym r´owno´s´c zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy L = N , czyli w przypadku, gdy AC jest ´srednica_, okregu opisanego na tr´_, ojkacie AM C. Ma to oczywi´scie miejsce wtedy, gdy M jest spodkiem_, wysoko´sci tr´ojkata ABC opuszczonej z wierzcho lka A._,

. 

4. Dla danej liczby naturalnej n > 1, niech f (n) oznacza liczbe wszystkich par liczb natu-_, ralnych (x, y) spe lniajacych r´_, ownanie

1 x +1

y = 1 n.

Wykaza´c, ˙ze f (n) > 3 oraz wyznaczy´c wszystkie liczby naturalne n, dla kt´orych f (n) = 3.

Rozwiazanie_,

Poniewa˙z x, y, n sa liczbami naturalnymi, rozwa˙zane r´_, ownanie mo˙zna przekszta lci´c do postaci nx + ny = xy, a nastepnie do postaci iloczynowej:_,

(x − n)(y − n) = n².

Tak wiec ka˙zde rozwi_, azanie (x, y) wyznacza rozk lad liczby n_, ² na iloczyn dw´och czynnik´ow.

Odwrotnie, je´sli n² = a · b jest rozk ladem liczby n² na iloczyn dw´och czynnik´ow, to z postaci iloczynowej naszego r´ownania wynika, ˙ze wystarczy przyja´_,c x = n + a, y = n + b. Tak wiec_, liczba f (n) jest r´owna liczbie wszystkich naturalnych dzielnik´ow liczby n². Dla n > 1, liczba n² ma przynajmniej trzy r´o˙zne dzielniki: 1, n i n², a wiec f (n) > 3. Innymi s lowy, dla_, dowolnej liczby n > 1 mamy trzy pary (n + 1, n + n²), (2n, 2n), (n + n², n + 1) stanowiace_, rozwiazania r´_, ownania. Je´sli n nie jest liczba pierwsz_, a, to n_, ² ma wiecej ni˙z 3 r´_, o˙zne dzielniki i w´owczas f (n) > 3. Ostatecznie f (n) = 3 wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczba pierwsz_, a._,

 opracowanie: [pg]