Metody numeryczne w fizyce

Metody numeryczne w fizyce

FZP002934wcL

rok akademicki 2020/21 semestr letni

Wykład 7

Karol Tarnowski

karol.tarnowski@pwr.edu.pl

L-1 p. 220

• Zagadnienie początkowe

• Metoda Eulera

• Metody Rungego-Kutty

– metoda Heuna

– metoda punktu pośredniego – metoda rzędu czwartego

• Kontrola wielkość błędu

Plan wykładu

Typowe zagadnienie początkowe opisane jest równaniem

W zagadnieniu początkowym może występować więcej zmiennych

Zagadnienie początkowe

( ) ( )

= , , ₀ = ₀ . df g t f f t f dt

( ) ( )

= , , ₀ = ₀ .

d t t

dt

f g f f f

Metoda Eulera

( ) ( )

= , , ₀ = ₀ . df g t f f t f dt

( )

+ +

−  =

−

1 1

,

n n

n n n

n n

f f

g t f g

t t

+ −



1

n n

n

f f

h g

( )

+ ₁ = + + ²

n n n

f f hg O h

Metoda Eulera

U U

dN N

dt ^{= −} 

https://www.geogebra.org/classic/sb2fjudh

Metoda Heuna

U U

dN N

dt ^{= −} 

https://www.geogebra.org/classic/spkxdnwf

Metoda Heuna

( ⁺ ) ^ ( ) ⁺ ( 1 ⁺ 2 )

1

f t h f t 2 k k ( )

( )

=

= + +

1

2 1

,

, k hg t f

k hg t h f k

Metoda punktu pośredniego

U U

dN N

dt ^{= −} 

https://www.geogebra.org/classic/ykq4ynag

Metoda punktu pośredniego

( ⁺ ) ^ ( ) ⁺ 2

f t h f t k ⁼ ( )

 

=  + + 

 

1

1 2

,

2 , 2 k hg t f

h k

k hg t f

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

( ⁺ ) ^ ( ) ⁺ ( 1 ⁺ 2 )

1

f t h f t 2 k k ( ( ) )

( ( ) )

=

= + +

1

2 1

,

, k hg t f t

k hg t h f t k

( ⁺ ) ^ ( ) ⁺ 2

f t h f t k

( ( ) )

( )

=

 

=  + + 

 

1

1 2

,

2 , 2

k hg t f t h k

k hg t f t

( ⁺ ) ^ ( ) ^{+ } 1 1 ^{+ } 2 2

f t h f t k k ( ( ) )

( ^ ( ) ^ )

=

= + +

1

2 21 21 1

,

, k hg t f t

k hg t h f t k

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

( ⁺ ) ⁼ ( ) ⁺ _t ⁺ 2 ^{2 2} 2 _t ⁺ ( ) ³

df h d f

f t h f t h O h

dt dt

( )

= ,

df g t f dt

( ⁺ ) ⁼ ( ) ⁺ ( ^, ( ) ) ⁺ ₂ ^{2 +} ( ) ³

t

f t h f t hg t f t h d g O h dt

( ⁺ ) ⁼ ( ) ⁺ ( ( ) ) ^{+ }   ^  ^{+ }  ^   ⁺ ( )

2 3

, 2 _t

h g g df

f t h f t hg t f t O h

t f dt

( ⁺ ) ⁼ ( ) ^{+ } 1 1 ^{+ } 2 2

f t h f t k k

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

( ) ( ( ) )

( ^{ } )

 

=  + + 

2 21 , 21 ,

k h g t h f t hg t f t

( ( ) )

1 = ,

k hg t f t

( ( ) ) ^{ } ( ^{( )} ) ( )

   

=   +  +  +  

2

2 , 21 21 ,

t t

g g

k h g t f t h hg t f t O h

t f

( ( ) ) ^{   } ( ^{( )} ) ( )

= + + +

 

2 2 3

2 , 21 21 ,

t t

g g

k hg t f t h h g t f t O h

t f

( ^ ( ) ^ )

 

=  + + 

2 21 , 21 1

k h g t h f t k

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

( ) ( ) ( ( ) ) ( ^{( )} )

( )

 

 

+ = + + +

   

+    +    +

1 2

2 3

2 21

, ,

t

f t h f t hg t f t hg t f t

g g

h g O h

t f

( ( ) ) ^{    } ( )

= +    +    +

2 3

2 , 21

t

g g

k hg t f t h g O h

t f

( ( ) ) ^{   } ( ^{( )} ) ( )

= + + +

 

2 2 3

2 , 21 21 ,

t t

g g

k hg t f t h h g t f t O h

t f

( ( ) )

1 = ,

k hg t f t

( ⁺ ) ⁼ ( ) ^{+ } 1 1 ^{+ } 2 2

f t h f t k k

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego

( ) ( ) ( ) ( ( ) )

( )

 

 

+ = + + +

   

+    +    +

1 2

2 3

2 21

,

t

f t h f t hg t f t

g g

h g O h

t f

( ⁺ ) ⁼ ( ) ⁺ ( ( ) ) ^{+ }   ^  ^{+ }  ^   ⁺ ( )

2 3

, 2 _t

h g g df

f t h f t hg t f t O h

t f dt

 

 

+ =

 

 =



1 2

2 21

1 1 2







 =

 =

  =



1 2 1 2 2 1

21 1







 =

 =

  =



1 2

21 1 2

0

1

Metody Rungego-Kutty rzędu drugiego







 

 

+ =

 

 =



1 2

2 21

1 1 2







 =

 =

  =



1 2 1 2 1 2

21 1







 =

 =

  =



1 2

21 1 2

0 1

( ⁺ ) ^ ( ) ^{+ } 1 1 ^{+ } 2 2

f t h f t k k ( ( ) )

( ^ ( ) ^ )

=

= + +

1

2 21 21 1

,

, k hg t f t

k hg t h f t k

1

½ ½

½

0 1

Metody Rungego-Kutty

( ⁺ ) ^ ( ) ^{+ } 1 1 ^{+ } 2 2 ^{+ + } n n

f t h f t k k k

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( )

 

   

 

− −

= =

=

= + +

= + + + +

 

=  + + 

   

1

2 21 21 1

3 31 32 31 1 32 2

1 1

1 1

,

,

,

n

,

n ni ni i

i i

k hg t f t

k hg t h f t k

k hg t h h f t k k

k hg t h f t k

Metoda Rungego-Kutty rzędu czwartego

½

0 ½

0 0 1

1/6 1/3 1/3 1/6

( ) ( ) ( )

( ( ) )

( ) ( )

( ( ) )

+  + + + +

=

 

=   + +  

 

=   + +  

= + +

1 2 3 4

1

2 1

3 2

4 3

1 2 2

6 ,

1 1

2 , 2

1 1

2 , 2

,

f t h f t k k k k

k hg t f t

k hg t h f t k

k hg t h f t k

k hg t h f t k

Metoda Rungego-Kutty rzędu czwartego

( ) ( )

( ) ( ) ( )

+ = + +

+ = + +

5

ˆ 2 2 5

f t h f t h Ch f t h f t h C h

( ) ( )

= + − ˆ + + 15 ⁵

0 f t h f t h 16 Ch

( ) ( ) ( ) ( )

 

=  + − +   + − +

5 16 ˆ ˆ

Ch 15 f t h f t h f t h f t h

Metody adaptacyjne Rungego-Kutty

Metoda Rungego-Kutty-Fehlberga

Liczba obliczonych wartości funkcji 1 2 3 4 5 6 7 8

Maksymalny rząd metody 1 2 3 4 4 5 6 6

( ) ( )

( ) ( )

( )





 

=

=

− −

= =

+ = +

+ = +

 

=  + + 

 





 

6

1 6

1

1 1

1 1

ˆ :

:

: ,

i i i

i i i

i i

i ij ij j

j j

f t h f t k

f t h f t k

k hg t h f t k

Metody adaptacyjne Rungego-Kutty

Metoda Rungego-Kutty-Fehlberga

i 



- 

d

d

d

d

d

1 16

135

1 360

2 0 0 1

4 3 6656

12825 − 128 4275

3 32

9 32 4 28561

56430 − 2197 75240

1932

21967 − 7200 2197

7296 2197 5 − 9

50

1 50

439

216 −8 3680

513 − 845 4104

6 2

55

2

55 − 8

27 2 − 3544

2565

1859

4104 − 11

40

Metody adaptacyjne Rungego-Kutty

Metoda Rungego-Kutty-Fehlberga

( ) ( ) ( ^{ } )





=

= + − + = −







 ⁶

1

5

: ˆ

/128

i i i

i

e f t h f t h k

e

e Ch

e

Metody adaptacyjne Rungego-Kutty

ode23 Bogacki-Shampine

i 



d

d

d

1 2

9

7 24

2 1

3

1 4

1 2

3 4

9

1

3 0 3

4

4 0 1

8

2 9

1 3

4 9

( ) ( )

( ) ( )

( )

4

1 4

1

1 1

1 1

ˆ :

:

: ,

i i i

i i i

i i

i ij ij j

j j

f t h f t k

f t h f t k

k hg t h d f t d k





=

=

− −

= =

+ = +

+ = +

 

=  + + 

 





 

• Zagadnienie początkowe

• Metoda Eulera

• Metody Rungego-Kutty

Podsumowanie (1)

( ) ( )

= , ,

=

d t t

dt

f g f f f

( )

+ ₁ = + + ²

n n n

f f hg O h

( ⁺ ) ^ ( ) ^{+ } 1 1 ^{+ } 2 2

f t h f t k k

( ( ) )

( ^ ( ) ^ )

=

= + +

1

2 21 21 1

,

, k hg t f t

k hg t h f t k

• Metody Rungego-Kutty

• Kontrola wielkość błędu

Podsumowanie (2)

( ⁺ ) ^ ( ) ^{+ } 1 1 ^{+ } 2 2 ^{+ + } n n

f t h f t k k k

( ( ) )

( ( ) )

( ( ) )

( )

 

   

 

− −

= =

=

= + +

= + + + +

 

=  + + 

   

1

2 21 21 1

3 31 32 31 1 32 2

1 1

1 1

,

,

,

n

,

n ni ni i

i i

k hg t f t

k hg t h f t k

k hg t h h f t k k

k hg t h f t k