Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział na którym funkcja f (x) = x 3 + 6x 2 − 15x + 7 jest jednocześnie ściśle malej¸ aca i wypukła.

Analiza Matematyczna

Kolokwium 2 Zestaw B dr Stanisława Roguskiego Zadanie 1

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział na którym funkcja f (x) = x ³ + 6x ² − 15x + 7 jest jednocześnie ściśle malej¸ aca i wypukła.

Rozwi¸ azanie

Funkcja f (x) jako wielomian stopnia 3 jest ci¸ agła na prostej rzeczywistej (−∞ , ∞).

Istniej¸ a zatem ci¸ agłe pochodne funkcji do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie określone na tym przedziale. Funkcja jest ściśle malej¸ aca i wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ nierówności

 f ⁽¹⁾ (x) < 0 f ⁽²⁾ (x) > 0 St¸ ad

f ⁽¹⁾ (x) < 0 ↔ 3(x ² + 4x − 5) < 0 ↔ 3(x + 5)(x − 1) < 0 ↔ (−5 < x < 1) f ⁽²⁾ (x) > 0 ↔ 3(2x + 4) > 0 ↔ (x > −2)

Funkcja f (x) jest ściśle malej¸ aca i wypukła na przedziale (−2, 1).

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = −x + 4 i parabol¸ a y = x ² − 4x.

Patrz wykres.pdf oddzielny zał¸ acznik.

Rozwi¸ azanie

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań

 y = −x + 4 y = x ² − 4x

Otrzymujemy punkty wspólne prostej i paraboli (−1, 5), (4, 0).

Zauważmy że pole obszaru zawartego mi¸edzy prost¸ a i parabol¸ a można podzielić na trzy pola P ₁ , P ₂ , P ₃ .

Pole P 1 dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy dodatni¸ a cz¸eści¸ a prostej i dodatni¸ a gał¸ezi¸ a

1

paraboli. St¸ ad jego wartość

|P ₁ | = Z 0

−1

[(−x+4)−(x ² −4x)]dx = Z 0

−1

(4−3x−x ² )dx = −4(−1)−3(−1) ² /2+(−1) ³ /3 = 13/6 Pole P ₂ zawarte w zakresie 0 < x < 4 mi¸edzy prost¸ a i osi¸ a OX jest równe

|P 2 | = Z 4

0

[(−x + 4) − 0]dx = −(4) ² /2 + 4 · 4 = 8

Pole P ₃ zawarte w tym samym zakresie argumentu x mi¸edzy osi¸ a OX i ujemn¸ a gał¸ezi¸ a paraboli.

|P ₃ | = Z 4

0

[0 − (x ² − 4x)]dx = Z 4

0

(−x ² + 4x)dx = −(4) ³ /3 + 4 · 4 ² /2 = 32/3 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

|P | = 13

6 + 8 + 32

3 = 125

6 = 20 5 6 .

Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e

x→4 lim

 3x − 1 2x + 3



.

Rozwi¸ azanie Zauważmy, że

x→4 lim

 3x − 1 2x + 3



= [1 ^∞ ].

Do obliczenia granicy wykorzystujemy tożsamość,

f (x) ^g(x) = e g(x)lnf (x) dla f (x) > 0 w celu zastosowania reguły markiza de’Hospitala.

Otrzymujemy

x→4 lim

 3x − 1 2x + 3



x2−7x+12

= e ^lim

^ln (

) = e ^g gdzie

g = lim

x→4

ln ^3x−1 _2x+3

x ² − 7x + 12 = [ 0

0 ]H

2

[ln  3x − 1 2x + 3



]

= 2x + 3

3x − 1 · 3(2x + 3) − (3x − 1)2 (2x + 3) ² (x ² − 7x + 12)

= 2x − 7 St¸ ad

g = lim

x→4

(2x + 3)(6x + 9 − 6x + 2)

(3x − 1)(2x − 7)(2x + 3) ² = lim

x→4

11

(3x − 1)(2x − 7)(2x + 3) = 11

11 · 1 · 11 = 11 121 Granica

e ^g = e

=

√ e ¹¹

Zadanie 4 Prosz¸e obliczyć

Z

sin ³ x cos ⁴ xdx

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie

t = cos x, dt = − sin xdx

Z

sin ³ x cos ⁴ xdx = Z

sin ² x cos ⁴ x sin xdx = Z

(1 − cos ² x) cos ⁴ x sin xdx =

= − Z

(1 − t ² )t ⁴ dt = Z

(t ⁶ − t ⁴ )dt = cos ⁷ x

7 − cos ⁵ x 5 + C Zadanie 5

Prosz¸e obliczyć

Z 26x

(x − 2)(x ² + 6x + 10) dx Rozwi¸ azanie

Rozkładamy funkcj¸e podcałkow¸ a na sum¸e ułamków prostych:

x

(x − 2)(x ² + 6x + 10) = A

x − 2 + Bx + C

x ² + 6x + 10 = (A + B)x ² + (6A − 2B + C)x + (10A − 2C) (x − 2)(x ² + 6x + 10

3

St¸ ad







A + B = 0

6A − 2B + C = 1 10A − 2C = 0 Rozwi¸ azaniem układu jest

A = 1

13 , B = − 1

13 , C = 10 26 . Prosz¸e sprawdzić!

St¸ ad

Z x

(x − 2)(x ² + 6x + 10) dx = 2

Z 1

x − 2 dx +

Z −2x + 10

x ² + 6x + 10 dx = c 1 + c 2

c 1 = 2

Z 1

x − 2 dx = 2ln|x − 2| + E = ln(x − 2) ² + E c ₂ =

Z −2x + 10

x ² + 6x + 10 dx = −

Z 2x + 6 − 16

x ² + 6x + 10 dx = −

Z 2x + 6

x ² + 6x + 10 dx+16

Z dx

(x + 3) ² + 1 =

= −ln(x ² + 6x + 10) + 16 arctan(x + 3) + F

Czyli

Z 26x

x ² + 6x + 10 dx = ln(x − 2) ² − ln(x ² + 6x + 10) + 16 arctan(x + 3) + G =

= ln (x − 2) ²

x ² + 6x + 10 + 16 arctan(x + 3) + G gdzie G = E + F .

4