Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x 3 − 3x 2 − 24x + 4 jest ściśle rosn¸ aca i wkl¸esła.

(1)

Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy

Zestaw D Zadanie 1

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x ³ − 3x ² − 24x + 4 jest ściśle rosn¸ aca i wkl¸esła.

Rozwi¸ azanie

Funkcja f (x) jako wielomian stopnia 3 jest ci¸ agła na prostej rzeczywistej (−∞ , ∞).

Istniej¸ a zatem ci¸ agłe pochodne funkcji do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie określone na tym przedziale. Funkcja jest ściśle rosn¸ aca i wkl¸esła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ nierówności

f ⁽¹⁾ (x) > 0 f ⁽²⁾ (x) < 0

f ⁽¹⁾ (x) > 0 ↔ 3(x ² − 2x − 8) > 0 ↔ 3(x + 2)(x − 4) > 0 ↔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (4, ∞) f ⁽²⁾ (x) < 0 ↔ 6(x − 1) < 0 ↔ (x < 1)

Z rozwi¸ azania układu nierówności x ∈ (−∞, −2).

Funkcja f (x) jest wi¸ec rosn¸ aca i wkl¸esła na przedziale (−∞, −2).

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = x − 3 i parabol¸ a y = 3x − x ² . Patrz wykres 4.pdf oddzielny zał¸ acznik.

Rozwi¸ azanie

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań

y = x − 3 y = −x ² + 3x

Otrzymujemy punkty wspólne prostej i paraboli (−1, −4), (3, 0).

Zauważmy że pole obszaru zawartego mi¸edzy prost¸ a i parabol¸ a można podzielić na dwa pola P ₁ , P ₂ .

1

(2)

Pole P ₁ dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy ujemn¸ a gał¸ezi¸ a paraboli i prostej jest równe

|P ₁ | = Z 0

−1

[(0−x+3)−(0−3x+x ² )]dx = Z 0

−1

(3+2x−x ² )dx = −3·(−1)−(−1) ² −(−1) ³ /3 = 5 3 = 1 2

3 . Pole P 2 zawarte w zakresie argumentu 0 < x < 3 mi¸edzy dodatni¸ a gał¸ezi¸ a paraboli

i ujemn¸ a cz¸eści¸ a wykresu prostej.

|P ₂ | = Z 3

0

[(3x − x ² − 0) + 0 − (x − 3)]dx = Z 3

0

(3 + 2x − x ² )dx = 3 · 3 + 3 ² − 3 ³ /3 = 9 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

|P | = |P ₁ | + |P ₂ | = 1 2

3 + 9 = 10 2 3 . Uwaga: Pole można obliczyć, stosuj¸ ac jeden zapis całki Z 3

−1

[(3x−x ² )−(x+3)]dx = Z 3

−1

(3+2x−x ² )dx = 3·3+3 ² −3 ³ /3−3(−1)−(−1) ² +(−1) ³ /3 = 10 2 3 Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu

d _n = 4n ² + 3 sin(n) + 1 3n ² + 2n + 7 · (−1) ⁿ Rozwi¸ azanie

Do obliczenia granicy wykorzystamy twierdzenie o trzech ci¸ agach.

Przypomnijmy to twierdzenie.

”Jeśli a _n ≤ b _n ≤ c _n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a _n ), (b _n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag b n też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n ” Dla dostatecznie dużego n zachodzi nierówność

4n ² − 3 · 1 + 1

3n ² + 2n + 7 ≤ 4n ² + 3 sin(n) + 1

3n ² + 2n + 7 · (−1) ⁿ ≤ 4n ² + 3 · 1 + 1 3n ² + 2n − 7 Z twierdzenia o trzech ci¸ agach otrzymujemy

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n = 4

3

2

(3)

Zadanie 4 Prosz¸e obliczyć

Z

sin ⁵ x cos ² xdx

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie

t = cos x, dt = − sin xdx

Z

sin ⁵ x cos ² xdx = Z

sin ⁴ x cos ² x sin xdx = Z

(1 − cos ² ) ² cos ² x sin xdx =

= − Z

(1 − t ² ) ² t ² dt = − Z

(t ⁶ − 2t ⁴ + t ² )dt = − cos ⁷ x

7 + 2 cos ⁵ x

5 − cos ³ x 3 + C Zadanie 5

Prosz¸e obliczyć

Z 26x

(x + 3)(x ² − 4x + 5) dx Rozwi¸ azanie

Rozkładamy funkcj¸e podcałkow¸ a na sum¸e ułamków prostych:

x

(x + 3)(x ² − 4x + 5) = A

x + 3 + Bx + C

x ² − 4x + 5 = (A + B)x ² + (−4A + 3B + C)x + (5A + 3C) (x + 3)(x ² − 4x + 5)

St¸ ad







A + B = 0

−4A + 3B + C = 1 5A + 3C = 0 Rozwi¸ azaniem układu jest

A = −3

26 , B = 3

26 , C = 5 26 . Prosz¸e sprawdzić!

3

(4)

St¸ ad

Z 26x

(x + 3)(x ² − 4x + 5) dx = −3

Z 1

x + 3 dx +

Z 3x + 5

x ² − 4x + 5 dx = c ₁ + c ₂

c ₁ = −3

Z 1

x + 3 dx = −3ln|x + 3| + E = −ln|x + 3| ³ + E c ₂ =

Z 3x + 5

x ² − 4x + 5 dx = 3 2

Z 2x + 10/3

x ² − 4x + 5 dx = 3 2

Z 2x − 4 + 22/3

x ² − 4x + 5 dx = 3 2

Z 2x − 4

x ² − 4x + 5 dx+

+11

Z 1

(x − 2) ² + 1 dx = 3

2 ln(x ² − 4x + 5) + 11 arctan(x − 2) + F Ostatecznie

Z 26x

x ² − 4x + 5 dx = −ln|x + 3| ³ + 3

2 ln(x ² − 4x + 5) + 11 arctan(x − 2) + G =

= ln p(x ² − 4x + 5) ³

|x − 2| ³ + 11 arctan(x − 2) + G gdzie G = E + F .

Zadanie 6

Prosz¸e napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = sin(π2 ^x ) . w punkcie (−2, f (−2)).

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x 3 − 3x 2 − 24x + 4 jest ściśle rosn¸ aca i wkl¸esła.

Analiza Matematyczna Egzamin Podstawowy

Zestaw D Zadanie 1

Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x 3 − 3x 2 − 24x + 4 jest ściśle rosn¸ aca i wkl¸esła.

Rozwi¸ azanie

Funkcja f (x) jako wielomian stopnia 3 jest ci¸ agła na prostej rzeczywistej (−∞ , ∞).

Istniej¸ a zatem ci¸ agłe pochodne funkcji do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie określone na tym przedziale. Funkcja jest ściśle rosn¸ aca i wkl¸esła wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest układ nierówności

 f (1) (x) > 0 f (2) (x) < 0

f (1) (x) > 0 ↔ 3(x 2 − 2x − 8) > 0 ↔ 3(x + 2)(x − 4) > 0 ↔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (4, ∞) f (2) (x) < 0 ↔ 6(x − 1) < 0 ↔ (x < 1)

Z rozwi¸ azania układu nierówności x ∈ (−∞, −2).

Funkcja f (x) jest wi¸ec rosn¸ aca i wkl¸esła na przedziale (−∞, −2).

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = x − 3 i parabol¸ a y = 3x − x 2 . Patrz wykres 4.pdf oddzielny zał¸ acznik.

Rozwi¸ azanie

Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań

 y = x − 3 y = −x 2 + 3x

Otrzymujemy punkty wspólne prostej i paraboli (−1, −4), (3, 0).

Zauważmy że pole obszaru zawartego mi¸edzy prost¸ a i parabol¸ a można podzielić na dwa pola P 1 , P 2 .

1

Pole P 1 dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy ujemn¸ a gał¸ezi¸ a paraboli i prostej jest równe

|P 1 | = Z 0

−1

[(0−x+3)−(0−3x+x 2 )]dx = Z 0

−1

(3+2x−x 2 )dx = −3·(−1)−(−1) 2 −(−1) 3 /3 = 5 3 = 1 2

3 . Pole P 2 zawarte w zakresie argumentu 0 < x < 3 mi¸edzy dodatni¸ a gał¸ezi¸ a paraboli

i ujemn¸ a cz¸eści¸ a wykresu prostej.

|P 2 | = Z 3

0

[(3x − x 2 − 0) + 0 − (x − 3)]dx = Z 3

0

(3 + 2x − x 2 )dx = 3 · 3 + 3 2 − 3 3 /3 = 9 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

|P | = |P 1 | + |P 2 | = 1 2

3 + 9 = 10 2 3 . Uwaga: Pole można obliczyć, stosuj¸ ac jeden zapis całki Z 3

−1

[(3x−x 2 )−(x+3)]dx = Z 3

−1

(3+2x−x 2 )dx = 3·3+3 2 −3 3 /3−3(−1)−(−1) 2 +(−1) 3 /3 = 10 2 3 Zadanie 3

Prosz¸e obliczyć granic¸e ci¸ agu

d n = 4n 2 + 3 sin(n) + 1 3n 2 + 2n + 7 · (−1) n Rozwi¸ azanie

Do obliczenia granicy wykorzystamy twierdzenie o trzech ci¸ agach.

Przypomnijmy to twierdzenie.

”Jeśli a n ≤ b n ≤ c n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a n ), (b n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag b n też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a n = lim

n→∞ b n = lim

n→∞ c n ” Dla dostatecznie dużego n zachodzi nierówność

4n 2 − 3 · 1 + 1

3n 2 + 2n + 7 ≤ 4n 2 + 3 sin(n) + 1

3n 2 + 2n + 7 · (−1) n ≤ 4n 2 + 3 · 1 + 1 3n 2 + 2n − 7 Z twierdzenia o trzech ci¸ agach otrzymujemy

n→∞ lim a n = lim

n→∞ b n = lim

n→∞ c n = 4

3

2

Zadanie 4 Prosz¸e obliczyć

Z

sin 5 x cos 2 xdx

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie

t = cos x, dt = − sin xdx

Z

sin 5 x cos 2 xdx = Z

sin 4 x cos 2 x sin xdx = Z

(1 − cos 2 ) 2 cos 2 x sin xdx =

= − Z

(1 − t 2 ) 2 t 2 dt = − Z

(t 6 − 2t 4 + t 2 )dt = − cos 7 x

7 + 2 cos 5 x

5 − cos 3 x 3 + C Zadanie 5

Prosz¸e obliczyć

Z 26x

(x + 3)(x 2 − 4x + 5) dx Rozwi¸ azanie

Rozkładamy funkcj¸e podcałkow¸ a na sum¸e ułamków prostych:

x

(x + 3)(x 2 − 4x + 5) = A

x + 3 + Bx + C

x 2 − 4x + 5 = (A + B)x 2 + (−4A + 3B + C)x + (5A + 3C) (x + 3)(x 2 − 4x + 5)

St¸ ad





Prosz¸e znaleźć maksymalny przedział , na którym funkcja f (x) = x ³ − 3x ² − 24x + 4 jest ściśle rosn¸ aca i wkl¸esła.

f ⁽¹⁾ (x) > 0 f ⁽²⁾ (x) < 0

f ⁽¹⁾ (x) > 0 ↔ 3(x ² − 2x − 8) > 0 ↔ 3(x + 2)(x − 4) > 0 ↔ x ∈ (−∞, −2) ∪ (4, ∞) f ⁽²⁾ (x) < 0 ↔ 6(x − 1) < 0 ↔ (x < 1)

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego prost¸ a y = x − 3 i parabol¸ a y = 3x − x ² . Patrz wykres 4.pdf oddzielny zał¸ acznik.

y = x − 3 y = −x ² + 3x

Zauważmy że pole obszaru zawartego mi¸edzy prost¸ a i parabol¸ a można podzielić na dwa pola P ₁ , P ₂ .

Pole P ₁ dla x ∈ (−1, 0) zawarte jest mi¸edzy ujemn¸ a gał¸ezi¸ a paraboli i prostej jest równe

|P ₁ | = Z 0

[(0−x+3)−(0−3x+x ² )]dx = Z 0

(3+2x−x ² )dx = −3·(−1)−(−1) ² −(−1) ³ /3 = 5 3 = 1 2

|P ₂ | = Z 3

[(3x − x ² − 0) + 0 − (x − 3)]dx = Z 3

(3 + 2x − x ² )dx = 3 · 3 + 3 ² − 3 ³ /3 = 9 St¸ ad pole obszaru P zawartego mı¸edzy prost¸ a i parabol¸ a jest równe

|P | = |P ₁ | + |P ₂ | = 1 2

[(3x−x ² )−(x+3)]dx = Z 3

(3+2x−x ² )dx = 3·3+3 ² −3 ³ /3−3(−1)−(−1) ² +(−1) ³ /3 = 10 2 3 Zadanie 3

d _n = 4n ² + 3 sin(n) + 1 3n ² + 2n + 7 · (−1) ⁿ Rozwi¸ azanie

”Jeśli a _n ≤ b _n ≤ c _n dla dostatecznie dużych n i ci¸ agi (a _n ), (b _n ) maj¸ a równe granice, to ci¸ ag b n też ma granic¸e i zachodz¸ a równości

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n ” Dla dostatecznie dużego n zachodzi nierówność

4n ² − 3 · 1 + 1

3n ² + 2n + 7 ≤ 4n ² + 3 sin(n) + 1

3n ² + 2n + 7 · (−1) ⁿ ≤ 4n ² + 3 · 1 + 1 3n ² + 2n − 7 Z twierdzenia o trzech ci¸ agach otrzymujemy

n→∞ lim a _n = lim

n→∞ b _n = lim

n→∞ c _n = 4

sin ⁵ x cos ² xdx

sin ⁵ x cos ² xdx = Z

sin ⁴ x cos ² x sin xdx = Z

(1 − cos ² ) ² cos ² x sin xdx =

(1 − t ² ) ² t ² dt = − Z

(t ⁶ − 2t ⁴ + t ² )dt = − cos ⁷ x

7 + 2 cos ⁵ x

5 − cos ³ x 3 + C Zadanie 5

(x + 3)(x ² − 4x + 5) dx Rozwi¸ azanie

(x + 3)(x ² − 4x + 5) = A

x ² − 4x + 5 = (A + B)x ² + (−4A + 3B + C)x + (5A + 3C) (x + 3)(x ² − 4x + 5)

(x + 3)(x ² − 4x + 5) dx = −3

x ² − 4x + 5 dx = c ₁ + c ₂

c ₁ = −3

x + 3 dx = −3ln|x + 3| + E = −ln|x + 3| ³ + E c ₂ =

x ² − 4x + 5 dx = 3 2

x ² − 4x + 5 dx = 3 2

x ² − 4x + 5 dx = 3 2

x ² − 4x + 5 dx+

(x − 2) ² + 1 dx = 3

2 ln(x ² − 4x + 5) + 11 arctan(x − 2) + F Ostatecznie

x ² − 4x + 5 dx = −ln|x + 3| ³ + 3

2 ln(x ² − 4x + 5) + 11 arctan(x − 2) + G =

= ln p(x ² − 4x + 5) ³

|x − 2| ³ + 11 arctan(x − 2) + G gdzie G = E + F .

Prosz¸e napisać równanie stycznej do wykresu funkcji f (x) = sin(π2 ^x ) . w punkcie (−2, f (−2)).

Równanie stycznej w punkcie (x ₀ , f (x ₀ ))

(x ₀ )(x − x ₀ ) + f (x ₀ ) f (−2) = sin(π/4) =

(x) = π2 ^x ln(2) cos(π2 ^x ), f

(−2) = ^π