WYKŁAD 2 Algebra

Algebra

WYKŁAD 2

Liczbę zespoloną z  0 możemy przedstawić w postaci

 ^{cos  sin } 

| )

|

| ( |

|

| i r i

z b z

z a bi

a

z      

gdzie

r

moduł liczby zespolonej,



argument liczby zespolonej.

 Definicja

Przedstawienie

 ^{cos  i sin } 

r

z  

nazywamy postacią trygonometryczną liczby

Liczby zespolone

 Twierdzenie

Różne od 0 liczby zespolone

) sin

(cos

1

1

r  i 

z  

z

 r

(cos 

 i sin 

)

są równe wtedy i tylko wtedy, gdy





 k

Z k

r

r | | | ( ) 2

|



  





( tzn.: moduły liczb z

i z

^{są równe} , ^zaś argumenty są równe modulo 2  ).

Liczby zespolone

Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej Niech

z

 r

(cos 

 i sin 

)

z

 r

(cos 

 i sin 

)

)]

sin(

) [cos(

) cos

sin sin

(cos

) sin

sin cos

[(cos

)]

sin (cos

)][

sin (cos

[

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 1

2 2

2 1

1 1

2 1





























































i r

r i r r

i r

i r

z z

Stąd

)]

sin(

)

[cos(

2 1 2

1

z  r r     i   

z

Liczby zespolone

Dzielenie liczb zapisanych w postaci trygonometrycznej wykonujemy wg wzoru

)]

sin(

)

[cos(

2 1 2

1

     i   

r r z

z

Mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej polega na mnożeniu ich modułów i dodawaniu

argumentów.

Dzielenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej polega na dzieleniu ich modułów i odejmowaniu

argumentów.

Liczby zespolone

Postać kanoniczna liczby zespolonej jest

dogodna do wykonywania operacji dodawania (odejmowania).

Postać trygonometryczna jest wygodna

do wykonywania operacji mnożenia (dzielenia).

Liczby zespolone

Wzór de Moivre’a

Postać trygonometryczna liczby zespolonej jest

szczególnie przydatna przy podnoszeniu do potęgi i obliczaniu pierwiastka z tej liczby.

Jeżeli we wzorze na mnożenie liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej przyjmiemy z

z

= z

i rozszerzymy go na dowolną ilość liczb zespolonych, to otrzymamy wzór na n -tą ( n

N ) potęgę liczby

zespolonej zwany wzorem de Moivre’a

)) sin(

)

(cos( n  i n  z

z





Liczby zespolone

Wzór de Moivre’a pozwala w prosty sposób podnosić liczby zespolone do dowolnie wysokiej potęgi.

Przykład

Obliczyć

( 1  i )

Liczba ( 1  i ) ma przedstawienie trygonometryczne

 

 



 



 sin 4

cos 4 2

1  

i i

Stosując wzór de Moivre'a na potęgowanie liczb zespolonych otrzymujemy

4 sin 12

4 cos 12

) 2 ( )

1

(

 



 



   



 i  i 

Liczby zespolone

 Definicja

Pierwiastkiem

n

w

z

w z



 Twierdzenie

Jeżeli

^{w  r}  ^{cos   i sin } 

1 ...,

, 1 , 0 2 ,

2 sin

cos   



 



   

 k n

n i k

n r k

z

   

Wniosek

Każda, różna od zera liczba zespolona ma dokładnie

n

pierwiastków zespolonych stopnia

n

Liczby zespolone

Uwagi

Wszystkie pierwiastki mają ten sam moduł ⁿ

| z |

0

r 

| z |

Ponieważ

k

n n

n

k   

  2   2

, dla

n

są wierzchołkami wielokąta foremnego wpisanego w okrąg o promieniu

r 

| z |

środkowemu

n

 2

.

Liczby zespolone

Przykład

Rozwiązać równanie

z

 1

Rozwiązanie równania sprowadza się do znalezienia wszystkich pierwiastków trzeciego stopnia z 1 (istnieją oczywiście dokładnie trzy).

Ponieważ moduł liczby 1 jest równy 1, a argument 0, to korzystając ze wzoru na pierwiastki

n

2 . 3 1

3 sin 4 3

cos 4

2 ,

3 1

3 sin 2 3

cos 2

, 1 0

sin 0

cos

2 1

0

i i w

i i w

i w



 







 



















Liczby zespolone

2 3 1 i



2 3 1 i



0 1 Im

Re

Interpretacja geometryczna

Liczby zespolone

Przykład

Wyznaczyć pierwiastki liczby zespolonej

3 i



 



2 3 1

sin

, 0 cos

, 1



 









 i

Dla k = 0 ^{mamy 0 1(cos}₂ ^isin₂^)i

Dla k = 1 ^mamy

i i

i

i 2

1 2

3 sin 6

cos6 sin 6

cos 6 6 )

sin 7 6

(cos7

1 1     



 

 





 

 





        



Dla k = 2 ^mamy

i i

i

i 2

1 2

3 sin 6

cos6 2 6

6 sin 2

cos 6 )

sin11 6

(cos11

2 1    



 



 





 



 





        



Liczby zespolone

Wielomiany w dziedzinie zespolonej

 Definicja

Funkcję

W: C  C

n n

z a z

a a

z

W ( ) 



 ... 

gdzie

a

, a

, ... , a

 C ,  a

 0

n, nN {0}.

 Definicja

Miejscem zerowym (pierwiastkiem) wielomianu nazywamy każdą liczbę

z

C,

W(z

) = 0

Liczby zespolone

 Twierdzenie

Liczba

z

C

W

) ( z  z

 Definicja

Pierwiastek nazywamy

k

podzielny przez

( z  z

)

( z  z

)

Liczby zespolone

 Twierdzenie

Każdy wielomian zespolony stopnia dodatniego ma co najmniej jeden pierwiastek zespolony.

Wniosek

Wielomian stopnia

nN

n

Liczby zespolone

Wielomiany o współczynnikach rzeczywistych

 Twierdzenie

Jeżeli

z

wielomianu.

 Wniosek

Wielomian o współczynnikach rzeczywistych, stopnia

nieparzystego ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty.

 Twierdzenie

W dziedzinie liczb rzeczywistych każdy wielomian

o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.

z

Liczby zespolone

Przykłady

Rozwiązać równania

. 3 lub

3 9

9 0 9

2 2

2 2

i x

i x

i x

x x

















i x

i x

i x

x

2 1 2

1 16

16

0 5

2

2 1

2 2

























i x

i x

x

x x

x x

x x

x

x x

x

2 lub

2 lub

1

0 4 lub

0 1 0

) 4 )(

1 (

0 ) 1 (

4 ) 1 (

0 4 4

2 2

2

2 3









































Liczby zespolone

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ