SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14, 2012-06-03

SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 14, 2012-06-03

Całka powierzchniowa

Definicja gładkiego płata powierzchni

Gładkim płatem powierzchni nazywamy zbiór : S = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) ∈ D} , gdzie D ⊂ R² jest domknięty i ograniczony, jego brzeg jest krzywą kawałkami gładką zamkniętą, a funkcja g : U → R jest klasy C₁ , D ⊂ U , U jest otwarty.

Uwaga 1 Analogicznie definiujemy płaty powierzchni jako wykresy funkcji x = g(y, z) lub y = g(x, z) .

Uwaga 2 Brzegiem płata S nazywamy obraz brzegu zbioru D. Brzeg płata jest krzywą kawałkami gładką, zamknietą.

Definicja powierzchni kawałkami gładkiej

Zbiór S ⊂ R³ jest powierzchnią kawałkami gładką jeśli składa się ze skończonej liczby gładkich płatów powierzchni S = S₁∪ S₂∪ . . . S_n takich, że:

1. Część wspólna dowolnych dwóch różnych płatów Si ∩ Sj , i 6= j zbiorem pustym, jednym punktem lub krzywą gładką leżącą na brzegach obu płatów

2. Na brzegu każdego płata istnieje krzywa gładka leżąca jednocześnie na brzegu innego płata

Uwaga 1 Krzywe gładkie leżące tylko na jednym płacie (z wyjątkiem końców) tworzą brzeg powierzchni kawałkami gładkiej. Brzeg ten jest zbiorem pustym (dla powierzchni zamkniętej) albo jedną lub wieloma krzywymi kawałkami gładkimi zamkniętymi.

Uwaga 2 Powierzchnię kwałkami gładką można sobie wyobrażać jako uogólnioną powierzchnię wielo- ścianu: ściany zastępujemy płatami powierzchni, krawędzie - krzywymi gładkimi, ponadto część ścian możemy usunąć oraz porozcinać i posklejać ściany wzdłuż krawędzi.

Miara (pole powierzchni) płata powierzchni

Konstrukcja miary (pola powierzchni) na płatach powierzchni w R³podobna jest do konstrukcji długości krzywej. W powierzchnię należy wpisywać trójkąty (3 punkty zawsze leżą w jednej płaszczyżnie, a 4 nie muszą). Ponadto należy zwrócić uwagę, aby wszystkie trójkąty wipsywane w powierzchnię miały najmniejszy kąt większy od ustalonej liczby dodatniej.

Twierdzenie

Pole powierzchni płata S istnieje i jest równe: S =

Z Z

D

v u u

t1 + ∂g

∂x

!2

+ ∂g

∂y

!2

dx dy

Uwaga Pole powierzchni kawałkami gładkiej definiujemy jako sumę pól powierzchni płatów składo- wych.

Całka powierzchniowa (niezorientowana)

Konstrukcja całki powierzchniowej jest podobna do kontrukcji innych całek. Dzielimy powierzchnię kwałkami gładką na małe fragmenty. w każdym wybieramy dowolny punkt, konstruujemy sumę iloczy- nów wartości funkcji przez pole powierzchni fragmentu i przechodzimy do granicy. Żądamy, aby granica istniała i nie zależała od podziału powierzchni na fragmenty i od wyboru punktów w których obliczamy wartości funkcji podcałkowej.

Twierdzenie

Niech S = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) ∈ D} będzie gładkim płatem powierzchni. Niech ponadto f : S → R będzie funkcją ciągłą. Wtedy całka powierzchniowa z funkcji f po powierzchni S istnieje i jest równa:

Z Z

S

f dS =

Z Z

D

f (x, y, z(x, y))

v u u

t1 + ∂g

∂x

!2

+ ∂g

∂y

!2

dx dy

Uwaga 1: Całkę po powierzchni kawałkami gładkiej definiujemy jako sumę całek po płatach składo- wych. Całka ta nie zależy od sposobu podziału powierzchni na płaty.

Uwaga 2: Można też zdefiniować całkę powierzchniową niewłaściwą, pozwalającą (o ile będzie zbieżna) obliczać całki powierzchniowe z funkcji nieograniczonych, po zbiorach będącch nieskończoną sumą po- wierzchni kawałkami gładkich.

Przykład: Oblicz całkę powierzchniową

Z Z

S

z dS , gdzie powierzchnia S jest fragmentem paraboloidy

obrotowej: z = x²+ y² wyciętej walcem x²+ y² = ³₄ I =

Z Z

S

f dS =

Z Z

D

(x²+ y²)^q1 + (2x)²+ (2y)²dx dy gdzie zbiór D jest kołem: x²+ y² ¬ ³₄

Zmieniamy współrzędne na biegunowe:

I =

Z Z

D^∗

r²· r ·√

1 + 4r²dr dϕ =

Z Z

D^∗

r³√

1 + 4r²dr dϕ = Zbiór D^∗ : r ∈< 0,

√3

2 > , ϕ ∈< 0, 2π > - prostokąt, funkcja podcałkowa zależy tylko od r:

I =









√ 3

Z2

0

r³√

1 + 4r²dr









·





2π

Z

0

dϕ



=





4

Z

1

1 8

t − 1 4

√t dt



· [ϕ]^2π₀ = ₁₆^π

4

Z

1

t√ t −√

t dt = π 16

2

5t⁵² − 2 3t³²

4 1

= π

16

64 5 − 16

3 − 2 5 +2

3



= 29π 60

Stosujemy podstawienie: t = 1 + 4r² , dt = 8r dr

Własności całki powierzchniowej niezorientowanej

Jeśli S₁ , S₂ , S₁∪ S₂ są powierzchniami kawałkami gładkimi, a S₁∩ S₂ jest krzywą kawałkami gładką, a f, f1, f₂ : S → R funkcją ciągłą, to:

1 .

Z Z

S

f dS =

Z Z

S1

f dS +

Z Z

S2

f dS

2.

Z Z

S

(f₁+ f₂) dS =

Z Z

S

f₁dS +

Z Z

S

f₂dS 3.

Z Z

S

af dS = a

Z Z

S

f dS

Zastosowania całki powierzchniowej niezorientowanej Zakładamy, że poniższe całki istnieją (być może niewłaściwe).

Pole powierzchni: S =

Z Z

S

dS

Masa powierzchni : m =

Z Z

S

ρ dS , gdzie ρ(x, y, z) oznacza gęstość powierzchniową.

Moment statyczny powierzchni wzgledem płaszczyzny xy: m_xy =

Z Z

S

zρ dS

Moment bezwładności powierzchni wzgledem osi z: I_z =

Z Z

S

(x²+ y²)ρ dS

Całka powierzchniowa zorientowana

Orientacja gładkiego płata powierzchni

Orientacją gładkiego płata powierzchni S = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) ∈ D} nazywamy ciągłe pole wersorów ~n prostopadłych do tego płata. Są dwie orientacje płata:

1. Do góry (dodatnia) : ~n =

"

−∂g

∂x, −∂g

∂y, 1

# 1

s

(∂g

∂x)²+ (∂g

∂y)² + 1 2. Do dołu (ujemna) : ~n = −

"

−∂g

∂x, −∂g

∂y, 1

# 1

s

(∂g

∂x)²+ (∂g

∂y)²+ 1

Uwaga 1: Analogicznie określamy orientację płatów: x = g(y, z) i y = g(x, z) . Orientacja powierzchni kawałkami gładkiej

Powierzchnia kawałami gładka składa się ze skończonej ilości płatów gładkich. Każdy z nich ma dwie możliwe orientacje. Próbujemy uwgodnić orientacje płatów składowych w następujacy sposób:

1. Orientujemy brzeg każdego płata składowego (krzywą kawałkami gładką zamknietą) w sposób zgodny z orientacją płata następująco: patrząc na płat z góry, krzywa jest zorientowana w lewo (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).

2. Dwa sąsiednie płaty S₁ i S₂ mające wspólny brzeg będący krzywą kawałkami gładką K są zorien- towane zgodnie, jeśli orientacja krzywej K zgodna z orientacją płata S₁ jest przeciwna do orientacji krzywej K zgodnej z orientacją płata S₂

Jeśli da się uzgonić orietacje wszystkich płatów składowych, to taką uzgodnioną orientację, nazwyamy orientacją powierzchni kawałkami gładkiej,

Uwaga 1: Nie każda powierzchnia kawałkami gładka ma orientację. Takie powierzchnie nie majace orientacji nazywamy też powierzchniami jednostronnymi. Przykładem jest wstęga M¨obiusa.

Uwaga 2: Jeśli powierzchnia kawałkami gładka ma orientację, to ma też orientację przeciwną. Takie powierzchnie nazywamy powierzchniami dwustronnymi.

Uwaga 3: W przypadku powierzchni zamkniętych orientacje nazywamy zewnętrzną (na zewnątrz) i wewnętrzną.

Uwaga 4 Powierzchnię kwałkami gładką zoreintowaną można sobie wyobrażać jako uogólnioną po- wierzchnię wielościanu: ściany zastępujemy płatami powierzchni, krawędzie - krzywymi gładkimi, po- nadto część ścian możemy usunąć. Nie można jednak rozcinać i sklejać ścian.

Definicja całki powierzchniowej zorientowanej

Niech dana będzie powierzchnia kawałkami gładka zorientowana S , jej orintacja ~n. Niech ponadto dane będzie pole wektorowe ciągłe ~F : S → R³. Wtedy całką powierzchniową zorientowaną nazywamy:

Z Z

S

F · ~~ n dS

Uwaga 1: Funkcja podcałkowa jest iloczynem skalarnym pola ~F przez wersor normalny ~n , a całka jest całką powierzchniową niezorientowaną.

Uwaga 2: Stosowane są też inne oznaczenia:

Z Z

S

F · ~~ n dS =

Z Z

S

F cos α dS =

Z Z

S

P dy dz + Q dz dx + R dx dy

gdzie α oznacza kąt między wektorami ~F i ~n , a ~F = [P, Q, R]

Uwaga 3: Całkę powierzchniową zorientowaną nazwywamy też strumieniem pola ~F przez powierzchnię S

Uwaga 4: Wersor normalny ~n na brzegach płatów tworzących powierzchnię kawałkami gładką nie jest określony jednoznacznie, ale to nie wpływa na wartość całki ponieważ brzegi płatów mają miarę zero.

Twierdzenie Jeśli S = {(x, y, z) : z = g(x, y), (x, y) ∈ D} jest płatem powierzchniowym gładkim, a F = [P, Q, R] : S → R~ ³.jest polem wektorowym ciągłym to:

Z Z

S

P dy dz + Q dz dx + R dx dy = ±

Z Z

D

−P∂g

∂x − Q∂g

∂y + R

!

dx dy Przy czym znak + jest dla orientacji dodatniej, a − dla orientacji ujemnej.

Przykład Obliczyć

Z Z

S

x dy dz + y dz dx + z dx dy gdzie S jest częścią walca paraboloicznego z = x²

wyciętą przez płaszczyzny x = 0 , x = 1 , y = 0 , y = 2 zorientowaną do góry.

Powierzchnia jest płatem, g(x, y) = x² , zbiór D jest prostokątem x ∈< 0, 1 > , y ∈< 0, 2 >

Obliczamy:

∂g

∂x = 2x , ∂g

∂y = 0 .

Z Z

S

x dy dz + y dz dx + z dx dy = +

Z Z

D

−x · 2x − y · 0 + x^2 dx dy =

Z Z

D

−x²dx dy = −

Z1

0

x²dx ·

Z2

0

dy = −2 3

Zastosowania całki powierzchniowej zorientowanej

1. Jeżeli pole ~F = ~v jest polem prędkości cieczy, to strumień pola prędkości przez powierzchnię S jest równy objętości cieczy przepływającej przez tę powierzchnię w jednostce czasu.

2. Jeżeli pole ~F = ρ~v jest prędkością cieczy pomnożoną przez jej gęstość, to strumień pola prędkości przez powierzchnię S jest równy masie cieczy przepływającej przez tę powierzchnię w jednostce czasu.

Elementy teorii pola

Niech U ⊂ R³ .

Polem skalarnym nazywamy funkcję f : U → R . Jeśli P ∈ U to f (P ) jest liczbą.

Polem wektorowym nazywamy funkcję ~F : U → R³ . Jeśli P ∈ U to ~F (P ) jest wektorem.

Polem tensorowym (rzędu 2) nazywamy funkcję T : U → R³× R³ Jeśli P ∈ U to T (P ) macierzą 3x3 Uwaga: Pojęcie pola ma charater geometryczny czyli niezależny od układu współrzędnych. Przy zmia- nie układu współrzędnych np. przy jego obrocie zmieniają się współrzędne (funkcje) opisujące pole, ale samo pole się nie zmienia. Ponieważ wielkości fizyczne i rządzące nimi prawa nie zależą od układu współrzędnych, więc opisywane są za pomocą obiektów mających charakter geometryczny:

liczba, wektor , tensor ,pole skalarne, pole wektorowe, pole tensorowe.

Przykłady pól skalarnych:

1. Pole potencjału w przestrzeni

2. Pole energii potencjalnej w przestrzeni 3. Pole temperatury

4. Pole ciśnienia w w cieczy lub gazie.

5. Pole gęstości w gazie.

Przykłady pól wektorowych:

1. Pole sił przestrzeni

2. Pole prędkości w cieczy lub gazie 3. Pole elektryczne

4. Pole strumienia ciepła

Przykłady pól tensorowych:

1. Pole odkształceń w ciele stałym 2. Pole naprężeń w ciele stałym Operator Nabla

Pochodna pola tensorowego rzędu k jest polem tensorowym rzędu k + 1. Ta pochodna jest zwykle nazy- wana gradientem pola. Często używa się operacji różniczkowych tworzących tesnory rzędu mniejszego niż k + 1. Operacje te wygodnie jest zapisywać przy użyciu operatora Nabla:

∇ =

"

∂

∂x, ∂

∂y, ∂

∂z

#

Operator ten przy zmianach układu współrzędnych zachowuje się jak wektor.

Gradient pola skalarnego

Niech U ⊂ R³ będzie zbiorem otwartym, a f : U → R polem skalarnym klasy C1. Wtedy gradient pola skalarnego jest polem wektorowym:

F = gradf = ∇f~

Uwaga: Gradient odpowiada operacji mnożenia wektora przez liczbę.

Przykład: Oblicz gradient pola f (x, y, z) = x²yz + x ln z grad f = [2xyz + ln z, x²z, x²y + ^x_z]

Dywergencja pola wektorowego

Niech U ⊂ R³ będzie zbiorem otwartym, a ~F = [P, Q, R] : U → R³ polem wektorowym klasy C₁. Wtedy dywergencją tego pola nazywamy pole skalarne:

div ~F = ∇ · ~F = ∂P

∂x + ∂Q

∂y + ∂R

∂z

Uwaga: Dywergencja odpowiada operacji mnożenia skalarnego wektorów.

Interpretacja dywergencji

Pole wektorowe często ilustruje się graficznie rysując skierowne linie pola: linie w każdym punkcie styczne do wektora pola w tym punkcie. Ponadto gęstość linii pola jest proporcjonalna do długości wektora pola w danym punkcie. Jeśli dywergencja pola jest dodania w jakimś obszarze to w tym obszarze biorą początek nowe linie pola (czyli pole ma tam żródło). Jeśli dywergencja pola jest ujemna w jakimś obszarze to w tym obszarze kończą się linie pola. Jeśli dywergencja pola jest zerowa w jakimś obszarze to tyle samo linii pola wchodzi i wychodzi z tego obszaru. Dlatego dywergencję nazywa się też żródłowością pola.

Przykład: Oblicz dywergencję pola ~F (x, y, z) = [x², x + y², xyz]

div ~F = 2x + 2y + xy

Rotacja pola wektorowego

Niech U ⊂ R³ będzie zbiorem otwartym, a ~F = [P, Q, R] : U → R³ polem wektorowym klasy C₁. Wtedy rotacją tego pola nazywamy pole wektorowe:

rot ~F = ∇ × ~F =

i j k

∂

∂x

∂

∂y

∂

∂z

P Q R

=

"

∂R

∂y − ∂Q

∂z , ∂P

∂z − ∂R

∂x , ∂Q

∂x − ∂P

∂y

#

Uwaga 1: Rotacja odpowiada operacji mnożenia wektorowego wektorów.

Przykład: Oblicz rotację pola ~F (x, y, z) = [x²+ y², x + y + z, xyz]

Mamy: P = x²+ y² , Q = x + y + z , R = xyz

rot ~F = [xz − 1, 0 − yz, 1 − 2y]

Interpretacja rotacji

Pole prędkości bryły sztywnej obracającej się dookoła osi z w lewo z prędkością kątową ω jest równe:

~v(x, y, z) = [−ωy, ωx, 0]

Rotacja pola prędkości jest równa:

rot ~v = [0, 0, 2ω] = 2~ω

Widać, że dla bryły sztywnej rotacja pola prędkości w każdym punkcie jest równa podwojonej prędkości kątowej.

Niech będzie dane pole prędkość przepływu cieczy ~v(x, y, z). Ruch małej porcji cieczy bliskiej punktu P w krótkich odcinku czasu możemy rozłożyć na ruch postępowy i obrotowy. Wtedy:

~v(P ) - prędkość ruchu postępowego,

1

2rot ~v(P ) - prędkość kątowa (wektor - opisuje oś, kierunek i prędkość kątową) Przykłady zastosowań gradientu, dywergencji i rotacji

1. Jeżeli E(x, y, z) jest polem skalarnym energii potencjalnej wektorowego pola sił ~F (x, y, z) to zachodzi związek:

F = −grad E~

2. Jeżeli ρ(x, y, z) jest polem skalarnym gęstości masy, a ~E(x, y, z) polem wektorowym natężenia pola grawitacyjnego to zachodzi związek:

div ~E = Gρ , gdzie G - stała grawitacji

3. Jeżeli ~j(x, y, z) jest polem wektorowym gęstości prądu elektrycznego, a ~H(x, y, z) polem wektorowym natężenia pola magnetycznego to zachodzi związek:

rot ~H = ~j

4. Jeżeli ~r(x, y, z) jest położeniem punktu ciała nieodkształconego a ~R(x, y, z) jest położeniem tego samego punktu po odkształceniu to ~u(x, y, z) = ~R −~r jest przesunięciem punktu, a tensorem okształ- cenia nazywamy tensor:

ε_ij = 1 2

∂u_i

∂xj

+ ∂u_j

∂xi

!

czyli symetryczną część tensora grad~u Operator Laplace’a

Operatorem Laplace’a nazywamy operator:

4 = ∂²

∂x² + ∂²

∂y² + ∂²

∂z² = div(grad)

Prykład: Obliczyć 4f jeśli f (x, y, z) = x³z − y²z

∂²f

∂x² = 6xz

∂²f

∂y² = −2z

∂²f

∂z² = 0

4f = 6xz − 2z

Pewne związki między gradientem, dywergencją i rotacją

Twierdzenie Niech U ⊂ R³ będzie zbiorem otwartym, a f : U → R polem skalarnym klasy C2. Wtedy:

rot grad f = 0 Dowód:

grad f =

"

∂f

∂x,∂f

∂y,∂f

∂z

#

rot grad f =

"

∂²f

∂z∂y − ∂²f

∂z∂y , ∂²f

∂x∂z − ∂²f

∂z∂x, ∂²f

∂y∂x− ∂²f

∂x∂y,

#

= [0, 0, 0]

Uwaga: Twierdzenie to jest inaczej sformułowanym warunkiem koniecznym istnienia potencjału. Jeżeli pole ~F klasy C₁ jest potencjalne to rot ~F = 0

Twierdzenie Niech U ⊂ R³ będzie zbiorem otwartym, a ~F = [P, Q, R] : U → R³ polem wektorowym klasy C₂. Wtedy:

div rot ~F = 0 Dowód:

rot ~F =

"

∂R

∂y −∂Q

∂z , ∂P

∂z − ∂R

∂x , ∂Q

∂x −∂P

∂y

#

div rot ~F = ∂²R

∂y∂x − ∂²Q

∂z∂x + ∂²P

∂z∂y − ∂²R

∂x∂y + ∂²Q

∂x∂z − ∂²P

∂y∂z = 0

Potencjał pola wektorowego

Niech U ⊂ R³ będzie zbiorem otwartym, a ~F : U → R³ ciągłym polem wektorowym. Jeżeli istnieje funkcja ϕ : U → R (pole skalarne) klasy C1 taka, że

F = gradϕ~

to pole ~F nazywamy polem potecjalnym, . a funkcję ϕ potencjałem pola ~F

Uwaga 1: Pojęcie potencjału jest związane ze znanymi z fizyki pojęciami potencjału ienergii poten- cjalnej. W fizyce (mechanice) związek potencjału z polem sił definiuje się trochę inaczej:

F = −gradϕ~

Znak minus bierze się stąd, że bierzemy pod uwagę pracę siły zewnętrznej, która jest równa sile pola lecz przeciwnie skierowana.

Uwaga 2: Analogicznie definiuje się potencjał na płaszczyźnie R²

Przykład: Znajdź potencjał pola wektorowego ~F = (6x²yz, 2x³z + 4y, 2x³y + 12z³) Rozwiązujemy układ równań:



























∂ϕ

∂x = 6x²yz

∂ϕ

∂y = 2x³z + 4y

∂ϕ

∂z = 2x³y + 12z³

Zaczynamy od pierwszego równania:

ϕ(x, y, z) =

Z

6x²yz dx = 2x³yz + f (y, z) (stała całkowania nie zależy od x ale może zależaeć od y i z) Podstawiamy obliczone ϕ do drugiego równania:

2x³z +∂f

∂y = 2x³z + 4y Stąd:

f (y, z) =

Z

4y dy = 2y²+ g(z) czyli

ϕ(x, y, z) = 2x³yz + 2y²+ g(z)

Podstawiamy obliczone ϕ do trzeciego równania:

2x³y + g⁰ = 2x³y + 12z³ Stąd:

g(z) =

Z

12z³dz = 3z⁴+ C czyli

ϕ(x, y, z) = 2x³yz + 2y²+ 3z⁴+ C

Odpowiedź: Pole jest potencjalne i jego potencjał jest równy: ϕ(x, y, z) = 2x³yz + 2y²+ 3z⁴+ C Uwaga: Widać, że potencjał pola wektorowego nie jest jednoznaczny. Można do niego dodać dowolną stałą i dostaniemy też potencjał.

Przykład: Znajdź potencjał pola wektorowego ~F = (4xz, x³z − y, x + z) Rozwiązujemy układ równań:



























∂ϕ

∂x = 4xz

∂ϕ

∂y = x³z − y

∂ϕ

∂z = x + z

Zaczynamy od pierwszego równania:

ϕ(x, y, z) =

Z

4xz dx = 2x²z + f (y, z)

Podstawiamy obliczone ϕ do drugiego równania:

∂f

∂y = x³z − y

Równanie to nie ma rozwiązań, ponieważ lewa strona zależy tylko od y i z , prawa zależy też od x Odpowiedź: Pole nie jest potencjalne.

Własności pola potencjalnego

Niech ~F : U → R³ będzie polem potencjalnym o potencjale ϕ . Wtedy dla każdej krzywej kawałkami gładkiej K ⊂ U o początku w punkcie A i końcu w punkcie B:

Z

K

F d~~ r = ϕ(B) − ϕ(A)

czyli cała krzywoliniowa skierowana nie zależy od drogi, a tylko od początku i końca. Ponadto całka po drodze zamkniętej jest równa 0.

Przykład Oblicz całkę

ZB

A

4(x + y) dx + 4(x − z) dy + 2(z − 2y) dz , A(0, 0, 0) , B(1, 2, 1)

W treści nie ma podanej krzywej łaczącej punkty A i B . Jeżeli pole jest potencjalne, to całka ta nie zależy od drogi. Gdyby pole nie było potencjalne - wtedy nie zadanie nie ma jednoznacznego rozwiązania.

Szukamy potencjału:



























∂ϕ

∂x = 4(x + y)

∂ϕ

∂y = 4(x − z)

∂ϕ

∂z = 2(z − 2y) ϕ(x, y, z) =

Z

4(x + y) dx = 2x²+ 4xy + f (y, z) Podstawiamy obliczone ϕ do drugiego równania:

4x + ∂f

∂y = 4x − 4z

Stąd:

f (y, z) =

Z

−4z dy = −4yz + g(z) czyli

ϕ(x, y, z) = 2x²+ 4xy − 4yz + g(z)

Podstawiamy obliczone ϕ do trzeciego równania:

−4y + g⁰ = 2z − 4y Stąd:

g(z) =

Z

2z dz = z²+ C

Pole jest potencjalne i potencjał jest równy: ϕ = 2x²+ 4xy − 4yz + z²+ C Stąd wynika, że całka nie zależy od drogi i jest równa:

ZB

A

4(x + y) dx + 4(x − z) dy + 2(z − 2y) dz = ϕ(B) − ϕ(A) = 3 + C − C = 3 Warunek konieczny istnienia potencjału

Niech U ⊂ R³ będzie zbiorem otwartym, a ~F : U → R³ polem wektorowym klasy C₁. Jeżeli pole to jest potencjalne to:

rotF = 0

Warunek dostateczny istnienia potencjału

Niech U ⊂ R³ będzie zbiorem otwartym i jednospójnym , a ~F : U → R³ polem wektorowym klasy C₁. Jeżeli rotF = 0 to pole jest potencjalne.

Uwaga: Zbiór jest jednospójny wtedy i tylko wtedy, gdy każdą krzywą zamkniętą zawartą w tym zbiorze można ściągnąć do punktu.

Przykład: Pokaż, że pole ~F = (4xz, x³z − y, x + z) nie jest potencjalne.

Sprawdzamy warunek konieczny:

∂P

∂y = 0

∂Q

∂x = 3x²z Widać, że ∂Q

∂x − ∂P

∂y 6= 0 czyli rotF 6= 0

Warunek konieczny nie jest spełniony, więc pole nie jest potencjalne.

Twierdzenie Gaussa

Niech U ⊂ R³ będzie zbiorem otwartym, a ~F : U → R³ polem wektorowym klasy C1. Niech V ⊂ R³ bę- dzie zbiorem otwartym ograniczonym, którego brzeg S jest powierzchnią kawałkami gładką zorientowną zewnętrznie, oraz V ∪ S ⊂ U . Wtedy:

Z Z

S

F · ~~ n dS =

Z Z

V

Z

div ~F dx dy ddz Twierdzenie Stokes’a

Niech U ⊂ R³ będzie zbiorem otwartym, a ~F : U → R³ polem wektorowym klasy C1. Niech S ⊂ R³ bę- dzie powierzchnią kawałkami gładką zorientowaną, a jej brzeg K krzywą kawałkami gładką, zamkniętą, zorientowaną zgodnie z S. Niech S ⊂ U . Wtedy:

I

K

F · ~~ s ds =

Z Z

S

(rot ~F ) · ~n dS

Przykład zastosowania: równanie ciągłości

Niech ~v(t) : U → R³ będzie zmiennym w czasie polem wektorowym prędkości gazu, a ρ(t) : U → R polem skalarnym gęstości gazu. (~v(x, y, z, t) ; ρ(x, y, z, t)). Niech oba pola będą klasy C₁ na U × R

Niech V będzie kulą o środku w punkcie P i promieniu r , a S jej brzegiem - sferą zorientowną zewnętrznie. Niech V ∪ S ⊂ U .

Wtedy strumień

Z Z

S

(ρ~v) · ~n dS jest równy ilości masy wypływającej z kuli V w jednostce czasu. Z zasady zachowania masy jest on równy zmniejszeniu się masy m gazu w kuli V w jednostce czasu:



 Z Z

S

(ρ~v) · ~n dS



 dt = − dm

Z Z

S

(ρ~v) · ~n dS = −dm dt

Masa gazu w kuli jest równa:

m =

Z Z

V

Z

ρ dx dy dz

Mamy więc równanie:

Z Z

S

(ρ~v) · ~n dS + d dt

Z Z

V

Z

ρ dx dy dz = 0

Stosujemy twierdzenie Gaussa i zamieniamy kolejność operacji różniczkowania po czasie i całkowania:

Z Z

V

Z

div(ρ~v) dx dy dz +

Z Z

V

Z ∂ρ

∂tdx dy dz = 0

Z Z

V

Z

div(ρ~v) + ∂ρ

∂t

!

dx dy dz = 0

Ponieważ kula V była dowolna, więc funkcja podcałkowa musi być równa 0:

div(ρ~v) +∂ρ

∂t = 0

Jest to równanie ciągłości (lub zasada zachowania masy) w postaci różniczkowej. Przy okazji widać, że równanie ciągłości w postaci całkowej ma bardziej naturalną interpretację fizyczną, ale bardziej skom- plikowany zapis matematyczny. Równanie w postaci różniczkowej ma prostszy zapis matematyczmy.