SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 5, 2013-03-25

SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 5, 2013-03-25

Formy kwadratowe

Przykład: Obliczyć energię kinetyczną bryły sztywnej obracającej się z prędkością kątową −→ω = (ω_x, ω_y, ω_z) , oś obrotu przechodzi przez początek układu współrzędnych.

Bryłę sztywną potraktujemy jako układ skończonej liczby punktów materialnych o masach mi , umiesz- czonych w punktach −→r_i = (x_i, y_i, z_i) .

Prędkości tych punktów są równe:

−

→v i = −→ω × −→ri = (ziωy − yiωz, xiωz− ziωx, yiωx− xiωy) Energia kinetyczna bryły:

E =^X

i

1

2m_iv²_i = 1 2

X

i

m_i(z_i²ω_y²+y_i²ω²_z−2y_iz_iω_yω_z+x²_iω_z²+z_i²ω²_x−2x_iz_iω_xω_z+y_i²ω_x²+x²_iω_z²−2x_iy_iω_xω_y) = 1

2(Ixxω_x²+ Iyyω_y²+ Izzω_z²+ 2Ixyω_xω_y + 2Iyzω_yω_z+ 2Ixzω_xω_z) gdzie:

I_xx =^X

i

m_i(y²_i + z_i²) , I_yy =^X

i

m_i(x²_i + z_i²) , I_zz =^X

i

m_i(x²_i + y_i²) Ixy = Iyx= −^X

i

mixiyi , Ixz = Izx= −^X

i

mixizi , Iyz = Izy = −^X

i

miyizi

Widać, że eneria kinetyczna, jest formą kwadratową prędkości kątowej. Forma dwuliniowa symetryczna I odpowiadająca formie kwadratowej podwojonej energii kinetycznej nazywa się tensorem momentu bezwładności.

Definicja: Niech dana będzie macierz kwadratowa B oraz wektor (macierz kolumnowa) v 6= 0 oraz λ ∈ R. Jeżeli zachodzi równaość:

B · v = λv to λ nazywamy wartością własną, a v wektorem własnym odpowiadającym λ .

Twierdzenia: Niech dana będzie forma dwuliniowa symetryczna b w przestrzni skończenie wymiarowej U . Formie odpowiada macierz B . Wtedy istnieje baza przestrzni U taka, że miacierz formy dwuliniowej B⁰ w tej bazie jest diagonalna. Elementy tej bazy są wektorami własnymi macierzy B

Definicja: Niech dana będzie forma kwadratowa q : U → R. Forma ta jest:

dodatnia ⇐⇒ (∀u ∈ U ) u 6= 0 =⇒ q(u) > 0 ujemna ⇐⇒ (∀u ∈ U ) u 6= 0 =⇒ q(u) < 0

dodatnio określona ⇐⇒ (∃ε > 0)(∀u ∈ U ) q(u) ­ ε||u||² ujemnie określona ⇐⇒ (∃ε > 0)(∀u ∈ U ) q(u) ¬ −ε||u||²

nieokreślona ⇐⇒ (∃u₁ ∈ U ) q(u₁) > 0 oraz (∃u₂ ∈ U ) q(u₂) < 0

Twierdzenie Forma kwadratowa określona na R^k jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jest dodatnia. Forma kwadratowa jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy jest ujemna.

Uwaga: Twierdzenie to jest prawdziwe w przestrzeniach skończenie wymiarowych. W przestrzeniach nieskończnie wymiarowych twierdzenie to nie zachodzi.

Badanie określoności formy kwadratowej Niech q : R^k → R będzie formą kwadratową.

Twierdzenie 1

Forma q jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy [B_ij] są dodatnie.

Forma q jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartości własne macierzy [Bij] są ujemne.

1

Forma q jest nieokreślona wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją zarówno dodatnie jak i ujemne wartości własne macierzy [Bij] .

Twierdzenie 2

Forma q jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie minory główne macierzy [B_ij] są dodatnie.

Forma q jest ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy znaki minorów głównych macierzy [B_ij] tworzą ciąg: (– + – + – + ....).

Wzór Taylora

Twierdzenie: (Wzór Taylora)

Niech będzie dana funkcja f : D → R , gdzie D ⊂ R^k , oraz punkt x0 ∈ intD. Niech istnieje f⁰⁰(x0) . Wtedy istnieje funkcja ε : D → R taka, że

f (x) − f (x₀) = df (x₀) + ¹₂d²f (x₀) + ε(x)||dx||² oraz

x→xlim0

ε(x) = 0

Uwaga: Wzór Taylora przybliża funkcję wielomianem stopnia drugiego.

Ekstrema lokalne funkcji wielu zmiennych

Definicja: Niech będzie dana funkcja f : D → R oraz punkt x₀ ∈ D gdzie D ⊂ R^k ,. Mówimy, że x₀ jest minimum lokalnym f wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje kula K(x₀, r) taka, że dla każdego x ∈ D ∩ K(x₀, r) zachodzi nierówność:

f (x) ­ f (x₀)

Jeśli ponadto f (x) > f (x₀) dla x 6= x₀ to takie minimium nazywamy minimum lokalnym właściwym Uwaga: Jeśli zmienimy znak nierówności to dostaniemy definicję maksimum.

Badanie ekstremów lokalnych funkcji Twierdzenie (Warunek konieczny)

Niech będzie dana funkcja f : D → R , punkt x₀ ∈ intD. Niech istnieje pochodna f⁰(x₀). Jeżeli funkcja f ma ekstremum lokalne w punkcie x₀ to f⁰(x₀) = 0.

Uwaga 1: Bardzo ważnym założeniem jest to, aby punkt x₀ leżał we wnętrzu dziedziny D . Uwaga 2: Warunek f⁰(x₀) = 0 można inaczej zapisać:

f⁰(x0) = 0 ⇐⇒ df (x0) = 0 ⇐⇒ gradf (x0) = 0 ⇐⇒ ∂f

∂x_i(x0) = 0 , i = 1, 2, . . . k Twierdzenie (Warunek dostateczny)

Niech będzie dana funkcja f : D → R , punkt x₀ ∈ intD. Niech w otoczeniu x₀ istnieje druga pochodna f⁰⁰(x) i jest ciągła w x₀. Niech f⁰(x₀) = 0 . Wtedy:

1. Jeżeli forma kwadratowa d²f (x₀) jest dodatnio określona to f ma minimum lokalne właściwe w punkcie x₀.

2. Jeżeli forma kwadratowa d²f (x₀) jest ujemnie określona to f ma maksimum lokalne właściwe w punkcie x₀.

3. Jeżeli forma kwadratowa d²f (x₀) jest nieokreślona to f nie ma ektremum lokalnego w punkcie x₀. Taki punkt nazywamy punktem siodłowym funkcji f .

Uwaga 1: Bardzo ważnym założeniem jest to, aby punkt x₀ leżał we wnętrzu dziedziny D . 2

Uwaga 2: Jeśli istnieje zerowa wartość własna macierzy formy, a pozostałe są nieujemne to badając drugą pochodnąą nie potrafimy rozstrzygnąć czy ekstremum istnieje. Podobnie w przypadku wartości zero i niedodatnich. Sekwencja znaków minorów dla takich przypadków jest następująca : początek z sekwecji mininum, a potem same zera, lub początek z sekwencji maksimum i potem same zera.

Przykład: Znaleźć ekstrema lokalne funkcji f (x, y) = 6xy − x²y − xy² Dziedzina R² jest zbiorem otwartym a funkcja jest klasy C².

Korzystamy z warunku koniecznego:















∂f

∂x = 0

∂f

∂y = 0

Obliczamy pochodne cząstkowe:

∂f

∂x = 6y − 2xy − y²

∂f

∂y = 6x − x²− 2xy

( y(6 − 2x − y) = 0 x(6 − x − 2y) = 0

Rzowiązaniem tego układu są cztery punkty P₁(0, 0) , P₂(0, 6) , P₃(6, 0) , P₄(2, 2)

Z warunku koniecznego wynika, że ekstrema mogą być tylko w tych punktach.

Obliczamy drugie pochodne:

∂²f

∂x² = −2y

∂²f

∂y² = −2x

∂²f

∂x∂y = 6 − 2x − 2y

Badamy macierz drugich pochodnych (formy kwadratowej) w punkcie P₁(0, 0) : f⁰⁰(P₁)

"

0 6 6 0

#

Znaki wyznaczników:

W1 = 0 , W2 = −36 < 0

Funkcja f (x, y) ma więc w punkcie P₁ punkt siodłowy.

Badamy macierz drugich pochodnych w punkcie P₂(0, 6) : f⁰⁰(P₂)

"

−12 −6

−6 0

#

Znaki wyznaczników:

W₁ = −12 < 0 , W₂ = −36 < 0

Funkcja f (x, y) ma więc w punkcie P₂ punkt siodłowy.

Badamy macierz drugich pochodnych w punkcie P3(6, 0) : f⁰⁰(P3)

"

0 −6

−6 −12

#

Znaki wyznaczników:

W₁ = 0 , W₂ = −36 < 0

Funkcja f (x, y) ma więc w punkcie P3 punkt siodłowy.

Badamy macierz drugich pochodnych w punkcie P₄(2, 2) : f⁰⁰(P₁)

"

−4 −2

−2 −4

#

3

Znaki wyznaczników:

W₁ = −4 < 0 , W2 = 12 > 0

Funkcja f (x, y) ma więc w punkcie P₄ maksimum lokalne

Znaki wyznaczników dla k = 2 (2 zmienne) i k = 3 (3 zmienne) Minumum: (+,+) , (+,+,+)

Maksimum: (-,+) , (-,+,-)

Nie wiadomo: (+,0) , (0,0) , (-, 0) , (+,+,0) , (+,0,0) , (0,0,0) , (-,+,0) , (-,0,0)

Punkt siodłowy - pozostałe: (+,-) , (-,-) , (0,-) , (+,+,-) , (+,-,?) , (+,0,+) , (+,0,-) , (-,+,+) , (-,-,?) , (-,0,+) , (-,0,-) , (0,-,?) , (0,0,+) , (0,0,-)

Znaki wartości własnych macierzy f⁰⁰ dla k = 2 (2 zmienne) i k = 3 (3 zmienne) - kolejność nieistotna

Minumum: (+,+) , (+,+,+) - wszystkie dodatnie Maksimum: (-,-) , (-,-,-) - wszystkie ujemne

Punkt siodłowy: (+,-) , (+,-,?) - przynajmniej jedna dodadnia i przynajmniej jedna ujemna

Nie wiadomo: (+,0) , (0,0) , (-, 0) , (+,+,0) , (+,0,0) , (0,0,0) , (-,-,0) , (-,0,0) - dodatnie i zera lub ujemne i zera

4