SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 9, 2013-04-29
Miara
Pojęcie miary jest uogólnieniem pojęć: długość, pole powierzchni, objętość. Okazuje się, że nie dla każdego podzbioru prostej można określić jego długość, nie dla każdego podzbioru płaszczyzny można określić jego pole i.t.p. Zbiory dla których miara jest określona będziemy nazywać zbiorami mierzalnymi.
Definicja rodziny zbiorów mierzalnych:
Niech dany będzie zbiór X. Niepustą rodzinę M pozbiorów X nazywamy rodziną zbiorów mierzalnych jeśli dla każdych zbiorów A, B ∈ M zachodzi A ∪ B ∈ M oraz A \ B ∈ M
Definicja miary:
Niech dana będzie rodzina zbiorów mierzalnych M . Miarą nazywamy funkcję m : M →< 0, ∞) o własności:
Jeśli A, B ∈ M oraz A ∩ B = ∅ to m(A ∪ B) = m(A) + m(B) Własności miary i zbiorów mierzalnych:
1. Zbiór pusty ∅ jest mierzalny i m(∅) = 0
2. Jeśli A, B ∈ M oraz m(A ∩ B) = 0 to m(A ∪ B) = m(A) + m(B) 3. Jeśli A, B ∈ M to m(A ∪ B) = m(A) + m(B) − m(A ∩ B)
4. Jeśli A, B ∈ M oraz A ⊂ B to m(A) ¬ m(B) Przykłady miar:
1. X = R , miarą m jest dłogość
2. X = R2 , miarą m jest pole powierzchni 3. X = R3 , miarą m jest objętość
4. X - dowolny zbiór skończony, M rodzina wszystkich podzbiorów X, miarą m(A) zbioru A ⊂ X jest liczba jego elementów.
5. X - dowolny zbiór skończony, M rodzina wszystkich podzbiorów X, miarą m(A) zbioru A ⊂ X jest liczba jego elementów podzielona przez liczbę elementów X. Tę miarę nazwyamy prawdopodobień- stwem.
Miara Jordana na płaszczyźnie
Kontrukcja miary Jordana i rodziny zbiorów mierzalnych
1. Dla prostokąta P =< a, b > × < c, d > definiujemy miarę w zwykły sbosób m(P ) = (b − a)(d − c) 2. Niech A ⊂ R2 będzie zbiorem ograniczonym. Ustalmy liczbę naturalną n.
3. Niech xi = i
2n , yi = i
2n , i ∈ Z. Tworzymy na płaszczyźnie liniami x = xi oraz y = yj siatkę prostokątów Pij =< xi, xi+1> × < yj, yj+1 >
4. Niech mn oznacza sumę miar wszystkich prostokątów Pij ⊂ A zawartych w A. Jeżeli nie ma ani jednego takiego prostokąta, to mn= 0
5. Niech mn oznacza sumę miar wszystkich prostokątów przecinających A , (Pij ∩ A 6= ∅).
6. Zbiór A jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞mn = lim
n→∞mn . Miarą Jordana zbioru A nazywamy m(A) = lim
n→∞mn. Uwaga 1: Granicę lim
n→∞mn nazywamy miarą wewnętrzną, a lim
n→∞mn miarą zewnętrzną. Granice te istnieją ponieważ ciągi są monotoniczne i ograniczone.
Uwaga 2: Miarę oznaczamy też |A| = m(A)
Własności miary Jordana i zbiorów mierzalnych w sensie Jordana:
1. Jeśli A i B są mierzalne, to A ∩ B , |A ∪ B| , A \ B też są mierzalne 2. Jeśli A jest mierzalny, to jego brzeg ∂A też jest mierzalny oraz |∂A| = 0 3. Jeśli A i B są mierzalne, oraz |A ∩ B| = 0 to |A ∪ B| = |A| + |B|
4. Izometrie (obroty, przesunięcia) nie zmieniają miary.
5. Jednokładność o skali k zwiększa miarę k2 razy.
6. Znanae wzory na pole trójkąta, wielokątów, koła określają jednocześnie miarę Jordana tych zbiorów.
7. Każdy pozdbiór zbioru miary zero jest mierzalny i ma miarę równą zero.
Przykłady zbiorów niemierzalnych:
1. Zbiór nieograniczony
2. Zbiór A = ((0, 1) \ Q) × ((0, 1) \ Q) . Dla tego zbioru m = 0 , m = 1 a więc miara zewnętrzna i wewnętrzna są różne czyli A nie jest mierzalny.
Obszary normalne
Definicja: Zbiór A ⊂ R2 nazywamy obszarem normalnym względem osi x wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje przedział < a, b > oraz funkcje ciągłe g1, g2 :< a, b >→ R , g1(x) < g2(x) dla x ∈ (a, b) takie, że
A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈< a, b > , y ∈< g1(x) , g2(x) >}
Uwaga 1: Analogicznie można zefiniowć obszar normalny względem osi y Twierdzenie Obszar normalny jest mierzalny, a jego miara jest równa:
|A| =
b
Z
a
(g2(x) − g1(x)) dx
Uwaga: Zwykle zajmujemy się zbiorami dającymi się podzielić na skończoną ilość obszarów normal- nych.
Przykład: Obliczyć miarę zbioru A ograniczonego krzywymi: xy = 1 , x = 1 , x = e , y = 0 Zbiór A jest obszarem normalnym względem osi Ox. Mamy: a = 1 , b = e , g1(x) = 0 , g2(x) = x1 A :
( 1 ¬ x ¬ e 0 ¬ y ¬ x1
|A| =
Ze
1
(1
x − 0) dx =hln |x|ie
1 = ln e − ln 1 = 1
Całka podwójna (Riemanna)
Niech dany będzie zbiór mierzalny A ⊂ R2 oraz ograniczona funkcja f : A → R. Całkę powójną konstruujemy następująco:
1. Ustalamy liczbę naturalną n ∈ N 2. Niech xi = i
2n , yi = i
2n , i ∈ Z. Tworzymy na płaszczyźnie liniami x = xi oraz y = yj siatkę prostokątów Pij =< xi, xi+1> × < yj, yj+1 >
3. W każdym prostokącie zawartym w A (Pij ⊂ A) wybieramy punkt ξij ∈ Pij 4. Definiujemy sumę Riemanna Sn =P
ij
f (ξij)|Pij|, obejmującą wszystkie prostokąty Pij zawarte w A.
Jeżeli nie ma ani jednago takiego prostokąta, to Sn = 0 5. Obliczamy granicę lim
n→∞Sn. Mówimy, że istnieje całka podwójna funkcji f na zbiorze A wtedy i tylko wtedy gdy granica ta istnieje i nie zależy od wyboru punktów ξij. Calka podwójna jest równa tej granicy:
ZZ
A
f (x, y) dx dy = lim
n→∞Sn
Uwaga 1: Ponieważ funkcja jest ograniczona, a zbiór mierzalny więc wpływ prostokątów przecinających zbiór ale nie zawartych w zbiorze A nie jest istotny (ich pole dąży do zera).
Uwaga 2: Położenie punktów definiującyh siatkę prostokątów xi i yj nie jest ważne, pod warunkiem że ich rozmiary dążą do zera.
Własności całki podwójnej:
1. Jeżeli A jest mierzalny a f : A → R ograniczona i ciągła istnieje całka powdójna:
ZZ
A
f (x, y) dx dy
2. Jeżeli |A| = 0 , a f : A → R ograniczona to
Z Z
A
f (x, y) dx dy = 0 3. Jeżeli zbiory A, B są mierzalne oraz |A ∩ B| = 0 to
ZZ
A∪B
f (x, y) dx dy =
ZZ
A
f (x, y) dx dy +
Z Z
B
f (x, y) dx dy
Całka z lewej strony istniej wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie całki z prawej strony.
4. Jeżeli f, g : A → R , f ¬ g i istnieją obie całki to
ZZ
A
f (x, y) dx dy ¬
ZZ
B
g(x, y) dx dy
5. Jeżeli f, g : A → R , istnieje całka z f i funkcja ograniczona g różni się od f na zbiorze miary zero:
(|{(x, y) ∈ A : f (x, y) 6= g(x, y)}| = 0) to całka z g też istnieje oraz całki te są równe
ZZ
A
f (x, y) dx dy =
ZZ
B
g(x, y) dx dy
6. Jeżeli f, g : A → R , a ∈ R i istnieją całki z f i g to istnieją poniższe całki:
ZZ
A
f (x, y) ± g(x, y) dx dy =
ZZ
A
f (x, y) dx dy ±
Z Z
A
g(x, y) dx dy
ZZ
A
af (x, y) dx dy = a
Z Z
A
f (x, y) dx dy
Całka iterowana
Twierdzenie: Niech dany będzie obszar normalny
A = {(x, y) ∈ R2 : x ∈< a, b >, y ∈< g1(x), g2(x) >} oraz funkcja ciągła f : A → R. Wtedy istnieją całka powójna oraz całka iterowana i są sobie równe:
ZZ
A
f (x, y) dx dy =
b
Z
a
g2(x)
Z
g1(x)
f (x, y) dy
dx
Uwaga 1: W całce wewnętrznej po dy zmienną x traktujemy jak stałą (parametr).
Uwaga 2: Jeżeli zbiór A jest jednocześnie normalny względem osi y to isnieje też analogiczna całka iterowna: wewnętrzna po x, zewnętrzna po y i całki te są sobie równe.
Przykład: Oblicz całkę
ZZ
A
(x + y) dx dy , gdzie zbiór A jest ograniczony krzywymi:
y = x2 , y = 0 , x = 1
Sposób 1: Zbiór A jest obszarem normalnym względem osi x. Opisujemy go w postaci normalnej:
x ∈< 0, 1 > - jest to rzut zbioru A na oś x
y ∈< 0, x2 > - jest to przekrój zbioru A prostą równoległą do osi y w punkcie x Mamy: g1(x) = 0 , g2(x) = x2
Fukcja f (x, y) = x + y jest ciągła, więc całka podwójna jest równa całce iterowanej:
ZZ
A
(x + y) dx dy =
Z1
0
x2
Z
0
(x + y) dy
dx Obliczamy całkę wewnętrzną:
x2
Z
0
(x + y) dy =
"
xy +y2 2
#x2
0
= x3+x4 2 Obliczamy całkę zewnętrzną:
1
Z
0
(x3+x4
2 ) dx =
"
x4 4 +x5
10
#1
0
= 7 20 Odpowiedź:
ZZ
A
(x + y) dx dy = 7 20
Sposób 2: Zbiór A jest obszarem normalnym względem osi y. Opisujemy go w postaci normalnej:
x ∈< 0, 1 > - jest to rzut zbioru A na oś y y ∈<√
y, 1 > - jest to przekrój zbioru A prostą równoległą do osi x w punkcie y Mamy: g1(y) =√
y , g2(y) = 1
Funkcja f (x, y) = x + y jest ciągła, więc całka podwójna jest równa całce iterowanej:
ZZ
A
(x + y) dx dy =
1
Z
0
1
Z
√y
(x + y) dx
dy Obliczamy całkę wewnętrzną:
Z1
√y
(x + y) dx =
"
x2 2 + xy
#1
√y
= 1
2 + y − y 2 − y√
y = 1 2 +y
2 − y√ y
Obliczamy całkę zewnętrzną:
1
Z
0
(1 2+ y
2 − y√
y) dy =
y 2 +y2
4 − 2y52 5
1
0
= 7 20 Odpowiedź:
ZZ
A
(x + y) dx dy = 7 20 Przykład: Oblicz całkę
ZZ
A
xy dx dy , gdzie zbiór A jest dany nierównościami: xy ¬ 4 ; y x ; y ¬ 4x Dzielimy zbiór A na dwie części:
A1:
x ∈< 0, 1 >
y ∈< x, 4x >
i A2:
x ∈< 1, 2 >
y ∈< x,x4 >
Mamy:
Z Z
A
xy dx dy =
ZZ
A1
xy dx dy +
ZZ
A2
xy dx dy Obliczamy pierwszą całkę:
Z Z
A1
xy dx dy =
1
Z
0
4x
Z
x
xy dy
dx =
1
Z
0
"
xy2 2
#4x
x
dx =
1
Z
0
15x3 2 dx =
"
15x4 8
#1
0
= 15 8 Obliczamy drugą całkę:
ZZ
A2
xy dx dy =
2
Z
1
4
Zx
x
xy dy
dx =
2
Z
1
"
xy2 2
#4x
x
dx =
2
Z
1
8 x −x3
2
!
dx =
"
8 ln |x| − x4 8
#2
1
= 8 ln 2 − 2 + 1
8 = 8 ln 2 − 15 Odpowiedź: 8
ZZ
A
xy dx dy = 15
8 + 8 ln 2 −15
8 = 8 ln 2 Całkowanie po prostokącie:
Jeżeli zbiór A jest prostokątem: A =< a, b > × < c, d >, a funkcja podcałkowa jest iloczynem ciągłych funkcji jednej zmiennej: f (x, y) = g(x)h(y) to całka podwójna jest równa iloczynowi całek:
ZZ
A
g(x)h(y) dx dy =
b
Z
a
g(x) dx
·
d
Z
c
h(y) dy
Przykład: Obliczyć
ZZ
A
4y
x2+ 1dx dy , gdzie A jest prostokątem: A : 0 ¬ x ¬ 1 , 0 ¬ y ¬ 2 .
ZZ
A
4y
x2+ 1dx dy =
1
Z
0
1 x2+ 1dx
·
2
Z
0
4y dy
=harc tg xi1
0·h2y2i2
0 = π
4 · 8 = 2π
Zmiana zmiennych w całce podwójnej
Niech dana będzie funkcja Φ : U → V , gdzie U, V ⊂ R2 . Przekształcenie (x, y) = Φ(s, t) oznaczamy też:(
x = x(s, t) y = y(s, t)
Aby to przekształcenie było poprawną zmianą zmiennych musi spełniać pewne warunki:
1. Φ jest bijekcją 2. U, V - otwarte 3. Φ jest klasy C1
4. Wyznacznik macierzy |Φ0(s, t)| 6= 0 w każdym punkcie U Wtedy przekształcenie odwrotne też jest klasy C1
Uwaga 1: Macierz Φ0(s, t) nazywamy macierzą Jakobiego, a jej wyznacznik jakobianem. Stosuje się często też oznaczenia:
J = ∂(x, y)
∂(s, t) = |Φ0| =
∂x
∂s
∂x
∂t
∂y
∂s
∂y
∂t
Uwaga 2: Jakobiany przekształcenia Φ i przekształcenia odwrotnego są związane zależnością:
∂(x, y)
∂(s, t) · ∂(s, t)
∂(x, y) = 1 Zmiana pola (miary)
Zbamy jak zachowuje się pole obszaru przy zmianie zmiennych. W tym celu przekształćmy mały pro- stokąt P =< s, s + ds > × < t, t + dt > , P ⊂ U . Jeśli zmiany x, y przybiżymy różniczkami, to obrazem prostokąta P będzie równoległobok P0 rozpięty przez wektory:
~a = ∂x
∂s,∂y
∂s
!
ds
~b = ∂x
∂t,∂y
∂t
!
dt
Pole tego równoległoboku jest równe:
|P0| = |
i j k
∂x
∂s
∂y
∂s 0
∂x
∂t
∂y
∂t 0
| ds dt = |J| ds dt = |J| · |P |
Wniosek: Pole małego obszaru w nowych zmiennych (s, t) pomnożone przez moduł jakobianu daje pole obrazu - obszaru w starych zmiennych (x, y) . Można to zapisać symbolicznie:
dx dy = |J | ds dt
Zmiana zmiennych w całce podwójnej
Niech A ⊂ V , a funkcja f : A → R. Oznaczmy przez A∗ przeciwobraz A : Φ(A∗) = A. Wtedy
ZZ
A
f (x, y) dx dy =
ZZ
A∗
f (x(s, t), y(s, t))|J | ds dt
przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.
Uwaga Czasem, aby spełnione były wszystkie założenia o zmianie zmiennych trzeba usunąć ze zbioru A jakiś podzbiór. Jeśli podzbiór ten jest miary zero to operacja ta nie zmienia całki.
Przykłady zmiany zmiennych Zmiana liniowa
( x = as + bt + x0 y = cs + dt + y0
U = R2 , V = R2 , |J | = |ad − bc| 6= 0
Przekształcenie takie przy odpowiednim doborze parametrów opisuje między innymi: przesunięcia, obroty i jednokładności.
Przykład: Oblicz całkę
ZZ Z
A
ex−y
x + y + 2dx dy , gdzie zbiór A jest dany: |x| + |y| ¬ 1 . Zmieniamy zmienne na:
s = x + y , t = x − y Stąd
x = s+t2 , y = s−t2 Obliczamy jakobian:
J =
∂x
∂s
∂x
∂t
∂y
∂s
∂y
∂t
=
1 2
1 1 2 2 −12
= −12
I jego moduł: |J | = 12
Zbiór A∗ =< −1, 1 > × < −1, 1 >
Stąd I =
Z Z
A
ex−y
x + y + 2dx dy =
ZZ
A∗
et s + 2 · 1
2ds dt
Całkujemy po prostokącie, a funkcja podcałkowwa jest iloczynem funkcji jednej zmiennej:
I = 1 2
Z1
−1
etdt
·
Z1
−1
1 s + 2ds
= 1 2
heti1
−1· [ln |s + 2|]1−1 = 1
2(e − e−1) ln 3
Współrzędne biegunowe
( x = r cos ϕ y = r sin ϕ
U : r ∈ (0, ∞) , ϕ ∈ (0, 2π) V = R2\ (< 0, ∞) × {0}) ,
|J| = r
Aby zastosować współrzędne biegunowe musimy wyciąć z płaszczyzny półprostą. Miara każdego ogra- niczonego podzbioru tej półprostej jest równa zero, więc nie wpływa na całkę.
Przykład: Oblicz całkę
ZZ
A
q
x2+ y2dx dy , gdzie zbiór A jest ograniczony okręgiem: x2+ y2 = 1 . Zmieniamy zmienne na biegunowe:
x = r cos ϕ , x = r sin ϕ Jakobian jest równy:
J = r
Zbiór A∗ : r ∈< 0, 1 > , ϕ ∈< 0, 2π > (Nie ma znaczenia czy bierzemy przedziały otwarte czy domknięte - różnica jest zbiorem miary zero)
Stąd I =
Z Z
A
q
x2+ y2dx dy =
Z Z
A∗
r · r dr dϕ =
ZZ
A∗
r2dr dϕ
Całkujemy po prostokącie, a funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji jednej zmiennej:
I =
Z1
0
r2dr
·
Z2π
0
dϕ
=
"
r3 3
#1
0
· [ϕ]2π0 = 2π 3 Współrzędne eliptyczne
Współrzędne eliptyczne można potraktować jako złożenie przekształcenia liniowego i zmiany zmiennych na biegunowe.
( x = ar cos ϕ y = br sin ϕ a, b > 0 są stałe.
U : r ∈ (0, ∞) , ϕ ∈ (0, 2π) V = R2\ (< 0, ∞) × {0}) ,
|J| = abr
Przykład: Oblicz całkę
ZZ
A
x2dx dy , gdzie zbiór A jest ograniczony elipsą: x42 + y2 = 1 . Zmieniamy zmienne na eliptyczne:
x = 2r cos ϕ , x = r sin ϕ Jakobian jest równy:
J = 2r
Zbiór A∗ : r ∈< 0, 1 > , ϕ ∈< 0, 2π >
Stąd I =
Z Z
A
x2dx dy =
Z Z
A∗
4r2cos2ϕ · 2r dr dϕ =
ZZ
A∗
8r3cos2ϕ dr dϕ
Całkujemy po prostokącie, a funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji jednej zmiennej:
I = 8
1
Z
0
r3dr
·
2π
Z
0
cos2ϕ dϕ
= 8
"
r4 4
#1
0
·
2π
Z
0
1 + cos 2ϕ
2 dϕ =
ϕ + sin 2ϕ 2
2π 0
= 2π
