SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 2, 2012-03-04
Granica funkcji Definicja granicy funkcji:
Niech będzie dana funkcja f : D → V , gdzie D ⊂ U ,U, V są przestrzeniami unormowanymi oraz punkt x0 ∈ U będący punktem skupienia zbioru D i punkt y ∈ V . Wtedy
x→xlim0
f (x) = y ⇐⇒ lim
n→∞f (xn) = y dla każdego ciągu punktów xn ∈ D takiego, że xn 6= x0 i
n→∞lim xn = x0
Uwaga: Granicę funkcji dla U = R2nazywa się też granicą podwójną, a dla U = R3 nazywa się granicą potrójną.
Przykład obliczania granicy funkcji dla U = R2, V = R3 lim
(x1,x2)→(0,0)
x21+ cos x2, e2x1+x2, 2 + x1x2 1 + x1− x2
= lim
(x1,x2)→(0,0)x21+ cos x2, lim
(x1,x2)→(0,0)e2x1+x2, lim
(x1,x2)→(0,0)
2 + x1x2 1 + x1− x2
!
= (1, 1, 2) Granica kierunkowa
Niech x będzie punktem skupienia D ⊂ U . Niech f : D → W , gdzie U, W - przestrzenie unormowana.
Niech v ∈ U , v 6= 0. Wtedy granicą kierunkową funkcji f w kierunku wektora v w punkcie x nazywamy ( o ile istnieje) granicę:
limt→0g(t) , gdzie g(t) = f (x + vt)
Uwaga: Takie podejście stosuje się bardzo często dla funkcji wielu zmiennych. Ustalając kierunek v możemy badać funkcję jednej zmiennej co jest znacznie prostsze. Należy jednak zachować ostrożność przy wyciąganiu wniosków o własnościach funkcji wielu zmiennych.
Twierdzenie: Niech f : D → W , x0 ∈ int(D ∪ {x0}) i niech istnieje granica lim
x→x0
f (x) . Wtedy dla każdego v ∈ U , v 6= 0 istnieje granica kierunkowa w kierunku tego wektora i jest równa lim
x→x0
f (x).
Uwaga: Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe. Z istnienia i równości granic kierunkowych we wszystkich kierunkach nie wynika jeszcze istnienie granicy w przestrzeni wektorowej. Np. funkcja f (x, y) = x2y
x4+ y2 w punkcie (0, 0) Przykład: Obliczyć granicę
(x1,xlim2)→(0,0)f (x1, x2) , gdzie f (x1, x2) = x1x2 x21+ x22
Pokażemy, że ta funkcja nie ma granicy. Wybieramy dowolny wektor v = (v1, v2) 6= (0, 0) i obliczamy granicę w kierunku wektora v.
limt→0g(t) , gdzie g(t) = v1tv2t
v21t2+ v22t2 = v1v2
v12+ v22 limt→0g(t) = v1v2
v12+ v22
Widać, że granica ta zależy od wyboru wektora v . Np. dla v = (1, 0) jest równa 0, a dla v = (1, 1) jest równa 1
2. Wynika stąd, że granica lim
(x1,x2)→(0,0)f (x1, x2) nie istnieje.
Ciągłość funkcji Definicja:
Funkcja f : D → W , gdzie D ⊂ U , oraz U, W są przestrzeniami unormowanymi jest ciągła w punkcie x0 ∈ D wtedy i tylko wtedy, gdy lim
x→x0
f (x) = f (x0) lub x0 jest punktem izolowanym D.
Funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła dla każdego x0 ∈ D.
Przykłady funkcji ciągłych na całej dziedzinie:
f (x, y) = x + y f (x, y) = x − y f (x, y) = xy f (x, y) = x
y
f (x, y) = xy , x > 0 f (x1, x2, . . . xk) = x1 f (x1, x2, . . . xk) = x2
f (A, B) = A · B , A, B są macierzami f (A, B) = A + B , A, B są macierzami f (x, A) = x · A , A jest macierzą, a x ∈ R
f : U → V , U, V unormowane, f liniowa, U -skończenie wymiarowa Twierdzenie:
Niech f : Df → V , gdzie Df ⊂ W oraz g : Dg → Df , gdzie Dg ⊂ U będą funkcjami ciągłymi (U, W, V są przestrzeniami unormowanymi). Wtedy funkcja f (g(x)) : Dg → V jest też funkcja ciągłą.
Twierdzenie:
Niech f : Df → W , gdzie Df ⊂ U , U, W są przestrzeniami unormowanymi. Niech W będzie skończenie wymiarowa. Ustalamy bazę BW tej przestrzeni. Wtedy możemy zapisać f (x) w tej bazie: f (x) = (f1(x) , f2(x) , . . . , fn(x)) . Funkcja f jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy są ciągłe wszystkie funkcje fi , i = 1, 2, . . . , n.
Przykład: Poniższa funkcja jest funkcją ciągłą na swojej dziedzinie:
f (x, y) = x2y
x + cos(xy), xyex−y, y2+ x ln(y −q3x − 5y)
!
Pochodna
Pochodna funkcji jednej zmiennej rzeczywistej
Definicja: Niech f : D → W , D ⊂ R i x ∈ intD . Wtedy pochodną f nazywamy granicę ( o ile istnieje):
f0(x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
Twierdzenie: Jeżeli W jest skończeni wymiarowa i f (x) = (fh 1(x) , f2(x) , . . . , fk(x)) w pewnej bazie, to pochodna f0(x) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją fi0(x) , i = 1, 2, . . . , k i jest równa:
f0(x) = (f10(x) , f20(x) , . . . , fk0(x))
Przykład 1: Niech położenie ciała w chwili t będzie równe: ~r(t) = (cos 3t , sin 3t , t2) . Obliczyć prędkość i przyśpieszenie tego ciała.
~v(t) = ~r(t)0 = ((cos 3t)0, (sin 3t)0, (t2)0) = (−3 sin 3t , 3 cos 3t , 2t) .
~a(t) = ~v(t)0 = ((−3 sin 3t)0, (3 cos 3t)0, (2t)0) = (−9 cos 3t , 9 sin 3t , 2) .
Twierdzenie: Jeżeli istnieją w punkcie x ∈ R pochodne funkcji u, v o wartościach w R3 oraz funkcji A, B o wartościach macierzowych, to:
(u · v)0 = u0· v + u · v0 (u × v)0 = u0× v + u × v0
(A · B)0 = A0· B + A · B0
Przykład 1: Niech U będzie ortonormalnym układem współrzędnych na płaszczyźnie, a U0 układem powstałym z obrotu U o kąt φ(t) w lewo. Niech φ(0) = 0. Niech ~r0(t) będą współrzędnymi położenia ciała w układzie U0. Niech ~v0(0) będzie prędkością, a ~a0(0) będzie przyśpieszeniem w układzie U0. Obliczyć prędkość i przyśpieszenie tego ciała w układzie U .
Mamy:
~r(t) = Oφ(t)· ~r0(t) , gdzie
Oφ(t) jest macierzą obrotu o kąt φ(t),
~r(t) i ~r0(t) są macierzami kolumnowymi wektora położenia w układach U i U0 Mamy
~v(t) = ˙~r(t) = ˙Oφ(t)· ~r0(t) + Oφ(t)· ˙~r0(t) = ˙Oφ(t)· ~r0(t) + Oφ(t)· ~v0(t) Obliczmy pochodną macierzy:
O˙φ(t) =
" cos φ − ˙˙ sin φ sin φ˙ cos φ˙
#
=
"
− sin φ · ˙φ − cos φ · ˙φ cos φ · ˙φ − sin φ · ˙φ
#
= ˙φ ·
"
− sin φ − cos φ cos φ − sin φ
#
= φ ·˙
"
cos(π2 + φ) − sin(π2 + φ) sin(π2 + φ) cos(π2 + φ)
#
= ω(t) · O(π
2+φ(t))
Stąd:
~v(t) = ω(t) · O(π
2+φ(t))· ~r0(t) + Oφ(t)· ~v0(t) Ponieważ, φ(0) = 0 więc O(π2+φ(0))= Oπ
2 oraz Oφ(0))= I. Stąd:
~v(0) = ω(0) · Oπ
2 · ~r0(0) + ~v0(0)
Widać, że przy transformacji z układu obracającego do prędkości w tym układzie ~v0(0) należy dodać:
ω(0) · Oπ
2 · ~r0(0) - prędkość liniową związaną z prędkością kątową układu U0 . Obliczamy przyśpieszenie:
~a(t) = ˙ω(t) · O(π
2+φ(t))· ~r0(t) + ω(t) · ˙O(π
2+φ(t))· ~r0(t) + ω(t) · O(π
2+φ(t))· ˙~r0(t) + ˙Oφ(t)· ~v0(t) + Oφ(t)· ˙~v0(t) = ε(t) · O(π
2+φ(t))·~r0(t) + ω2(t) · O(π+φ(t))·~r0(t) + ω(t) · O(π
2+φ(t))·~v0(t) + ω(t) · O(π
2+φ(t))·~v0(t) + Oφ(t)·~a0(t) = ε(t) · O(π
2+φ(t))· ~r0(t) + ω2(t) · O(π+φ(t))· ~r0(t) + 2ω(t) · O(π
2+φ(t))· ~v0(t) + Oφ(t)· ~a0(t) Korzystamy z tego, że ˙O(π
2+φ(t)) = ω(t) · O(π
2+π2+φ(t))= ω(t) · O(π+φ(t)) Stąd:
~a(0) = ε(0) · Oπ
2 · ~r0(0) + ω2(0) · Oπ· ~r0(0) + 2ω(0) · Oπ
2 · ~v0(0) + ~a0(0)
Widać, że przy transformacji z układu obracającego do przyśpieszania w tym układzie ~a0(0) należy dodać:
ε(0) · Oπ
2 · ~r0(0) - przyśpieszenie liniowe związane z przyśpieszeniem kątowym układu U0 , ω2(0) · ˙Oπ · ~r0(0) - przyśpieszenie dośrodkowe,
2ω(0) · Oπ
2 · ~v0(0) - przyśpieszenie Coriolisa.
Pochodna kierunkowa
Definicja: Niech będzie dana funkcja f : D → W , gdzie D ⊂ U , punkt x leżący wewnątrz zbioru D (x ∈ intD ) wektor v ∈ U , v 6= 0. Wtedy pochodną kierunkową funkcji f w punkcie x i w kierunku v nazywamy (o ile istnieje):
fv0(x) = g0(0)
||v|| , gdzie g(t) = f (x + tv)
Przykład: Obliczyć pochodną kierunkową funkcji f (x, y) = x
y w punkcie P (2, 1) w kierunku wektora
~v = (1, −1)
g(t) = f (2 + t, 1 − t) = 2 + t 1 − t g0(t) = 1 − t + 2 + t
(1 − t)2 = 3 (1 − t)2
g0(0) = 3 f~v0(P ) = 3
√2
Pochodne cząstkowe
W dalszym ciągu wykładu ograniczymy się do przestrzeni Rkdla argumentów funkcji i Rmdla wartości.
W przestrzeniach tych korzystamy z baz standardowych: e1 = (1, 0, 0, . . . , 0) , e2 = (0, 1, 0, . . . , 0) . . . , Bez większych zmian można także przeprowadzić podobne konstrukcje w dowolnej przestrzeni unormo- wanej skończenie wymiarowej. W przestrzeni nieskończenie wymiarowej konstrukcja jest trochę bardziej skomplikowana, ale podobna.
Definicja: Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk , punkt x leżący wewnątrz zbioru D. Wtedy pochodną cząstkową funkcji f względem zmiennej xi nazywamy pochodną kierunkową, w kierunku wektora ei
∂f
∂xi(x) = fe0i(x)
Uwaga 1 Obliczając pochodną cząstkową względem xi , pozostałe zmienne traktujemy jak stałe.
Uwaga 2 Stosowane są też inne oznaczenia pochodnych cząstkowych:
∂f
∂xi(x) = fx0i(x) = fxi(x)
Przykład 1 Obliczyć pochodne cząstkowe f (x, y) = x2y3+ 2x4− 4y
∂f
∂x = 2xy3+ 8x3
∂f
∂y = 3x2y2− 4
Przykład 2 Obliczyć pochodne cząstkowe f (x, y, z) = (x + y
z , x ln y)
∂f
∂x = (1 z, ln y)
∂f
∂y = (1 z,x
y)
∂f
∂z = (−x + y z2 , 0)
Pochodna Definicja:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk , punkt x leżący wewnątrz zbioru D. Wtedy pochodną funkcji f w punkcie x, f0(x) nazywamy przekształcenie liniowe L : Rk→ Rm takie, że:
h→0lim
f (x + h) − f (x) − L(h)
||h|| = 0
Jeżeli takie przekształcenie istnieje to mówimy, że funkcja f jest różniczkowalna w punkcie x (ma pochodną). Jeżeli nie istnieje to funkcja f nie jest różniczkowalna w punkcie x (nie ma pochodnej).
Uwaga 1 Pochodnej f0(x) odpowiada macierz o m wierszach i k kolumnach. Jest to macierz prze- kształcenia liniowego L w standardowych bazach.
Uwaga 2 Jeżeli k = 1 to pochodną można utożsamiać z elementem przestrzeni wartości funkcji f . Jeżeli m = 1 to pochodną można utożsamiać z elementem przestrzeni argumentów funkcji f . W ogólnym przypadku k > 1 , m > 1 pochodna jest elementem przestrzeni k · m wymiarowej.
Uwaga 3 Dla ustalonego x elementy tej macierzy są stałymi liczbami rzeczywistymi. Jeśli zmienia się punkt x to elementy tej macierzy też mogą sie zmieniać; wtedy pochodną trzeba traktować jak macierz funkcji lub jak funkcję o wartościach macierzowych.
Definicja:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk jest zbiorem otwartym. Mówimy, że funkcja jest różniczkowalna wtedy i tylko wtedy, gdy jest różniczkowalna dla każdego x ∈ D .
Związek różniczkowalności z ciągłością Twierdzenie:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk jest zbiorem otwartym. Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w x ∈ D to jest w tym punkcie ciągła. Jeżeli jest różniczkowalna (na całej dziedzinie) to jest ciągła.
Związek pochodnej z pochodnymi cząstkowymi i kierunkowymi Z istnienia pochodnej wynika istnienie pochodnych cząstkowych i kierunkowych.
Twierdzenie:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk , punkt x leżący wewnątrz zbioru D i niech istnieje pochodna funkcji f w punkcie x, f0(x). Wtedy dla każdego niezerowego wektora v ∈ Rk istnieje pochodna kierunkowa fv0(x) i jest ona równa:
fv0(x) = f0(x) · v
||v||
Uwaga 1 Z tego twierdzenia wynika, że istnieją wszystkie pochodne cząstkowe i są równe:
∂f
∂xi(x) = f0(x) · ei
Uwaga 2 Oznaczmy f (x) = (f1(x), f2(x), . . . fm(x)) . Wtedy pochodna funkcji jest równa:
f0(x) =
"
∂fi
∂xj(x)
#
, i = 1, 2, . . . m, j = 1, 2, . . . k
Z istnienia pochodnych cząstkowych nie wynika jeszcze istnienie pochodnej. Trzeba dodatkowo założyć ich ciągłość.
Twierdzenie:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk, punkt x ∈ intD. Jeżeli w pewnym otoczeniu x istnieją wszystkie pochodne cząstkowe funkcji f i są ciągłe w punkcie x to istnieje pochodna funkcji f w punkcie x.
Twierdzenie:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rkjest zbiorem otwartym. Jeżeli istnieją i są ciągłe wszystkie pochodne cząstkowe funkcji f na zbiorze D to funkcja f jest różniczkowalna na tym zbiorze i jej pochodna jest funkcją ciągłą na D. Taką funkcję nazywamy funkcją klasy C1 na D .
Przykład: Znaleźć pochodną funkcji f (x1, x2) = (x21x2, 3x1+ x32, x1− x2) w punkcie x(1, −1) Mamy:
f0(x1, x2) =
∂f1
∂x1
∂f1
∂x2
∂f2
∂x1
∂f2
∂x2
∂f3
∂x1
∂f3
∂x2
=
2x1x2 x21 3 3x22
1 −1
Pochodna istnieje, bo wszystkie pochodne cząstkowe są ciągłe. W punkcie (1, −1) pochodna jest równa:
f0(1, −1) =
−2 1
3 3
1 −1
