SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 4, 2013-03-18
Pochodna funkcji złożonej
Niech g : Dg → Df , gdzie Dg ⊂ Rk , f : Df → Rn , gdzie Df ⊂ Rm . Niech x0 ∈ int Dg , y0 = g(x0) ∈ int Df . Jeżeli funkcja g jest rózniczowalna w x0 , a funkcja f w y0 to złożenie tych funkcji h(x) = f (g(x)) jest różniczkowalne w x0 i zachodzi równość:
h0(x0) = f0(y0) · g0(x0)
Uwaga: Jeżeli pochodne traktujemy jak macierze to f0(y0) · g0(x0) oznacza iloczyn macierzy. Jeżeli jak przekształcenie liniowe, to złożenie tych przekształceń.
Zapiszemy powyższy wzór za pomocą pochodnych cząstkowych. Niech h0(x0) =
"
∂hj
∂xi
(x0)
#
, f0(y0) =
"
∂fj
∂yl
(y0)
#
, g0(x0) =
"
∂gl
∂xi
(x0)
#
Wtedy:
∂hj
∂xi(x0) =
m
X
l=1
∂fj
∂yl(y0) · ∂gl
∂xi(x0)
Przykład 1: Niech x = (x1, x2) , y = (y1, y2) = g(x1, x2) = (x1cos x2, x1sin x2) , f (y) = y12+ y22 . Obliczyć pochodną złożenia h(x) = (f (g(x))0 w punkcie x0(2,π6)
Mamy y0 = g(x0) = g(2,π6) = (2 · cosπ6, 2 · sinπ6) = (√ 3, 1) h0(x0) = f0(y0) · g0(x0)
∂f
∂y1 = 2y1 , ∂f
∂y1(√
3, 1) = 2√ 3
∂f
∂y2 = 2y2 , ∂f
∂y2(√
3, 1) = 2 f0(y0) = [2√
3 2]
Oznaczamy: g1(x1, x2) = x1cos x2 , g2(x1, x2) = x1sin x2
Wtedy
g0(x0) =
∂g1
∂x1
∂g1
∂x2
∂g2
∂x1
∂g2
∂x2
=
cos x2 −x1sin x2 sin x2 x1cos x2
=
√3
2 −1
1 2
√3
Czyli
h0(x0) = f0(y0) · g0(x0) = [2√ 3 2] ·
√3
2 −1
1 2
√3
= [4 0]
Ponieważ h0(x0) =
"
∂h
∂x1(x0) ∂h
∂x2(x0)
#
Więc:
∂h
∂x1(x0) = 4
∂h
∂x2(x0) = 0
Przykład 2: Niech f : R → R będzie dowolną funkcją klasy C1. Sprawdzić, ze funkcja:
h(x1, x2) = f (x21− x2) spełnia równanie różniczkowe cząstkowe:
∂h
∂x1 + 2x1· ∂h
∂x2 = 0
Obliczamy pochodną funkcji złożonej h(x1, x2) = f (g(x1, x2)) , gdzie g(x1, x2) = x21− x2. 1
Niech x = (x1, x2) , y = x21 − x2
∂h
∂x1(x) = f0(y) · ∂g
∂x1(x) = 2x1· f0(y)
∂h
∂x2(x) = f0(y) · ∂g
∂x2(x) = −f0(y) Podstawiamy do równania:
2x1· f0(y) − 2x1· f0(y) = 0 0 = 0 - równanie jest spełnione
Pochodne cząstkowe wyższych rzędów
Definicja:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk jest zbiorem otwartym i niech istnieje pochodna cząstkowa ∂f
∂xi(x) na D . Pochodną traktujemy jak funkcję g(x) = ∂f
∂xi(x) , g : D → Rm . Pochodne cząstkowe tej funkcji (o ile istnieją) nazywamy pochodnymi cząstkowymi rzędu drugiego funkcji f .
∂2f
∂xi∂xj(x) = ∂g
∂xj(x)
Uwaga 1: Podobnie można zdefiniować wyższe pochodne.
Uwaga 2: Dla k = 2 istnieją 2 pochodne cząstkowe rzędu 1, 4 rzędu 2, 8 rzędu 3 i.t.d. Dla k = 3 istnieją 3 pochodne cząstkowe rzędu 1, 9 rzędu 2, 27 rzędu 3 i.t.d.
Przykład: Niech f (x1, x2) = x31x22+ 4x2 . Obliczmy drugie pochodne cząstkowe:
Pierwsze pochodne:
∂f
∂x1 = 3x21x22 , ∂f
∂x2 = 2x31x2+ 4 Drugie pochodne:
∂2f
∂x21 = 6x1x22 , ∂2f
∂x1∂x2 = 6x21x2 , ∂2f
∂x2∂x1 = 6x21x2 , ∂2f
∂x22 = 2x31 Pochodne wyższych rzędów
Definicja:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk jest zbiorem otwartym i niech istnieje pochodna f0(x) na D . Pochodną można traktować jak funkcję g(x) = f0(x) , g : D → Rm·k ( wartości fej funkcji są macierzami m × k mającymi m · k elementów). Pochodną tej funkcji (o ile istnieje) nazywamy drugą pochodną funkcji f .
f00(x) = g0(x)
Uwaga 1: Podobnie można zdefiniować wyższe pochodne.
Uwaga 2: Pierwsza pochodna jest macierzą m × k . Druga jest macierzą trójwymiarową m × k × k . Trzecia jest macierzą czterowymiarową m × k × k × k i.t.d.
Związek pochodnych wyższych rzędów z pochodnymi cząstkowymi
Twierdzenie:
Niech będzie dana funkcja f = (f1, f2, . . . fm) : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk jest zbiorem otwartym i niech istnieje druga pochodna f00(x) w x ∈ D. Wtedy istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego oraz:
f00(x) =
"
∂2fl
∂xi∂xj
(x)
#
, l = 1, 2, . . . m , i, j = 1, 2, . . . k
2
Ponadto pochodne mieszane nie zależą od kolejności:
∂2f
∂xi∂xj(x) = ∂2f
∂xj∂xi(x)
Uwaga 1: Podobne związki zachodzą dla wyższych pochodnych.
Uwaga 2: Jeżeli wymiar przetrzeni wartości m = 1. To druga pochodna jest macierzą dwuwymiarową kwadratową symetryczną f00(x) =
"
∂2f
∂xi∂xj(x)
#
. Jeśli m > 1 lub obliczamy pochodną rzędu większgo niż 2, dostajemy macierz wielowymiarową - wtedy wypisujemy jej elementy z odpowiednimi indeksami.
Przykład: Niech f (x1, x2, x3) = x31x22x3+ 4x2x3 . Obliczmy pierwszą i drugą pochodną w P (1, 2, −1):
Pierwsze pochodne cząstkowe:
∂f
∂x1 = 3x21x22x3 , ∂f
∂x2 = 2x31x2x3+ 4x3 , ∂f
∂x3 = x31x22+ 4x2 Pierwsza pochodna
f0(x) = [3x21x22x3, 2x31x2x3+ 4x3, x31x22+ 4x2] f0(P ) = [−12, −8, 0]
Drugie pochodne cząstkowe:
∂2f
∂x21 = 6x1x22x3 , ∂2f
∂x22 = 2x31x3 , ∂2f
∂x23 = 0 , ∂2f
∂x1∂x2 = ∂2f
∂x2∂x1 = 6x21x2x3 , ∂2f
∂x1∂x3 = ∂2f
∂x3∂x1 = 3x21x22 ,
∂2f
∂x2∂x3 = ∂2f
∂x3∂x2 = 2x31x2+ 4 , Druga pochodna
f00(x) =
∂2f
∂x21
∂2f
∂x1∂x2
∂2f
∂x1∂x3
∂2f
∂x2∂x1
∂2f
∂x22
∂2f
∂x2∂x3
∂2f
∂x3∂x1
∂2f
∂x3∂x2
∂2f
∂x23
=
6x1x22x3 6x21x2x3 3x21x22 6x21x2x3 2x13x3 2x31x2+ 4
3x21x22 2x31x2+ 4 0
f00(P ) =
−24 −12 12
−12 −2 8
12 8 0
Twierdzenie:
Niech będzie dana funkcja f : D → Rm , gdzie D ⊂ Rk jest zbiorem otwartym i niech istnieją wszystkie pochodne cząstkowe rzędu drugiego funkcji f na D. Niech ponadto pochodne te są funkcjami ciągłymi na D. Wtedy istnieje druga pochodna f i jest ciągła na D (mówimy, że f jest funkcją klasy C2 na D) . Uwaga: Podobne twierdzenie zachodzi dla wyższych pochodnych.
Forma dwuliniowa
Definicja: Niech V będzie przestrzenią wektorową. Przekształcenie b : V × V → R nazywamy formą dwuliniową wtedy i tylko wtedy, gdy b jest liniowa ze względu na każdy ze swoich argumentów:
∀(λ1, λ2 ∈ R)∀(u1, u2, v ∈ V )
b(λ1u1+ λ2u2, v) = λ1b(u1, v) + λ2b(u2, v)
3
b(v, λ1u1+ λ2u2) = λ1b(v, u1) + λ2b(v, u2)
Uwaga 1: Analogicznie definiuje się formy wieloliniowe.
Uwaga 2: Formy dwuliniowe nazywa się też tensorami drugiego rzędu.
Definicja Forma dwuliniowa b jest:
symetryczna ⇐⇒ ∀(u, v ∈ V ) b(u, v) = b(v, u) antysymetryczna ⇐⇒ ∀(u, v ∈ V ) b(u, v) = −b(v, u)
Jeśli przestrzeń jest n-wymiarowa i ustalimy bazę tej przestrzeni, to: formie b odpowiada macierz B taka, że
b(u, v) = Pn
i,j=1
bijuivj = UTBV , gdzie U = [u1, u2, . . . un]T , V = [v1, v2, . . . vn]T Jeśli b jest formą dwuliniową symetryczną, to jej macierz B też jest symetryczna.
Forma kwadratowa
Jeśli b jest symetryczną formą dwuliniową to funkcję q : U → R q(u) = b(u, u) nazywamy formą kwadratową.
Uwaga: Forma dwuliniowa symetryczna jest jednoznacznie wyznaczona przez odpowiadającą jej formę kwadratową.
Druga różniczka
Definicja
Niech będzie dana funkcja f =: D → R , gdzie D ⊂ Rk jest zbiorem otwartym i niech istnieje druga pochodna f00(x) w x ∈ D. Wtedy drugą różniczką funkcji f w punkcie x nazywamy formę kwadratową d2f : Rk→ R :
Uwaga Macierzą formy kwdratowej d2f jest macierz pochodnych cząstkowych drugiego rzędu.
d2f =
k
X
i,j=1
∂2f
∂xi∂xj
dxidxj = DXT · f00· DX , gdzie DX = [dx1, dx1, . . . , dxk]
Przykład: Obliczyć pierwszą i drugą różniczkę funkcji f (x1, x2) = x21
x2 w punkcie P (2, 1) Obliczamy pierwsze pochodne cząstkowe:
∂f
∂x1 = 2x1 x2 = 4
∂f
∂x2 = −x21 x22 = −4 Pierwsza różniczka f : df = 4dx1 − 4dx2
Obliczamy drugie pochodne cząstkowe:
∂2f
∂x21 = 2 x2 = 2
∂2f
∂x22 = 2x21 x32 = 8
∂2f
∂x1∂x2 = −2x21 x22 = −8 Druga różniczka f :
d2f (P ) = 2(dx1)2+ 8(dx2)2− 16dx1dx2
4
