SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 11, 2013-05-13
Miara Jordana w Rk
Konstrukcja miary Jordana i rodziny zbiorów mierzalnych w Rk
1. Dla k-wymiarowego prostopadłościanu P =< a1, b1 > × < a2, b2 > × · · · < ak, bk > definiujemy miarę w zwykły sbosób m(P ) = (b1− a1) · (b2− a2) · . . . (bk− ak)
2. Niech A ⊂ Rk będzie zbiorem ograniczonym. Ustalmy liczbę naturalną n.
3. Niech xik = i
2n , i ∈ Z , k = 1, 2, . . . k. Tworzymy w Rk siatkę k-wymiaroweych prostopadłościanów Pi1,i2,...ik =< xi11, xi11+1 > × < x2i2, xi22+1 > × · · · < xikk, xikk+1 >
4. Niech mn oznacza sumę miar wszystkich prostokątów Pi1,i2,...ik ⊂ A zawartych w A. Jeżeli nie ma ani jednago takiego prostakąta, to mn = 0
5. Niech mn oznacza sumę miar wszystkich prostokątów przecinających A , (Pi1,i2,...ik∩ A 6= ∅).
6. Zbiór A jest mierzalny wtedy i tylko wtedy, gdy lim
n→∞mn = lim
n→∞mn . Miarą Jordana zbioru A nazywamy m(A) = lim
n→∞mn. Uwaga 1: Granicę lim
n→∞mn nazywamy miarą wewnętrzną, a lim
n→∞mn miarą zewnętrzną. Granice te istnieją ponieważ ciągi są monotoniczne i ograniczone.
Uwaga 2: Miarę oznaczamy też |A| = m(A)
Własności miary Jordana i zbiorów mierzalnych w sensie Jordana:
1. Izometrie (obroty, przesunięcia) nie zmieniają miary.
2. Jednokładność o skali j zwiększa miarę jk razy.
3. W R3 wzory na objętości wielościanów, stożka, kuli, walca jednocześnie miarę Jordana tych zbiorów.
4. Jeśli zbiór A jest mierzalny to jego brzeg też jest mierzalny i ma miarę zero.
5. Każdy pozdbiór zbioru miary zero jest mierzalny i ma miarę równą zero.
Całka Riemanna w Rk
Niech dany będzie zbiór mierzalny A ⊂ Rk oraz ograniczona funkcja f : A → R. Całkę k-krotną Riemanna konstruujemy następująco:
1. Ustalamy liczbę naturalną n 2. Niech xik = i
2n , i ∈ Z , k = 1, 2, . . . k. Tworzymy w Rk siatkę k-wymiaroweych prostopadłościanów Pi1,i2,...ik =< xi11, xi11+1 > × < x2i2, xi22+1 > × · · · < xikk, xikk+1 >
3. W każdym prostopadłościanie zawartym w A (Pi1,i2,...ik ⊂ A) wybieramy punkt (x1, x2, . . . xk) ∈ Pi1,i2,...ik
4. Definiujemy sumę Riemanna Sn = P
i1,i2,...ik
f (x1, x2, . . . xk)|Pi1,i2,...ik|, obejmującą wszystkie prostopa- dłościany Pi1,i2,...ik zawarte w A. Jeżeli nie ma ani jednago takiego prostopadłościanu, to Sn= 0 5. Obliczamy granicę lim
n→∞Sn. Mówimy, że istnieje całka Riemanna funkcji f na zbiorze A wtedy i tylko wtedy gdy granica ta istnieje i nie zależy od wyboru punktów (x1, x2, . . . xk). Całka k-krotna Riemanna jest równa tej granicy:
Z Z
A
. . .
Z
f (x1, x2, . . . xk) dx1dx2. . . dxk= lim
n→∞Sn
Uwaga 1: Ponieważ funkcja jest ograniczona a zbiór mierzalny więc wpływ prosopadłościanów pokry- wających brzeg nie jest istotny (ich miara dąży do zera).
Uwaga 2: Położenie punktów definiującyh siatkę prostopadłościanów nie jest ważne, pod warunkiem że ich rozmiary dążą do zera.
Uwaga 3: Całkę k-krotną oznaczamy też krócej:
Z Z
A
. . .
Z
f (x1, x2, . . . xk) dx1dx2. . . dxk=
Z
A
f (x) dx gdzie x = (x1, x2, . . . xk) , a zbiór A ⊂ Rk
Własności całki k-krotnej:
1. Jeżeli A ⊂ Rk jest mierzalny a f : A → R ograniczona i ciągła istnieje całka k-krotna:
Z
A
f (x) dx
2. Jeżeli |A| = 0 , a f : A → R ograniczona to
Z
A
f (x) dx = 0 3. Jeżeli zbiory A, B są mierzalne oraz |A ∩ B| = 0 to
Z
A∪B
f (x) dx =
Z
A
f (x) dx +
Z
B
f (x) dx
Całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieją obie całki z prawej strony.
4. Jeżeli f, g : A → R , f ¬ g i istnieją obie całki to
Z
A
f (x) dx ¬
Z
B
g(x) dx
5. Jeżeli f, g : A → R , istnieje całka z f i funkcja g różni się od f na zbiorze maiary zero (|{(x) ∈ A : f (x) 6= g(x)}| = 0) to całka z g też istnieje oraz całki te są równe
Z
A
f (x) dx =
Z
B
g(x) dx
6. Jeżeli f, g : A → R , a ∈ R i istnieją całki z f i g to istnieją poniższe całki:
Z
A
f (x) ± g(x) dx =
Z
A
f (x) dx ±
Z
A
g(x) dx
Z
A
af (x) dx = a
Z
A
f (x) dx
Obszary normalne w R3
Definicja: Zbiór A ⊂ R3 nazywamy obszarem normalnym względem płaszczyzny xy wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje obszar normalny A0 ⊂ R2 oraz funkcje ciągłe i ograniczone g1, g2 : A0 → R , g1 ¬ g2 takie, że
A = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ A0, z ∈< g1(x, y), g2(x, y) >}
Uwaga 1: Analogicznie można zefiniowć obszar normalny względem innych płaszczyzn.
Uwaga 2: Obszar normalny jest mierzalny i jego miara jest równa:
|A| =
Z Z
A0
(g2(x) − g1(x)) dx dy
Uwaga 3: Zwykle całkujemy po zbiorach dających się podzielić na skończoną ilość obszarów normal- nych.
Uwaga 4: Podobnie można zdefinować obszary normalne względem innych płaszczyzn oraz obszary normalne w Rk.
Całka iterowana
Potraktujmy przestrzeń Rk jako iloczyn kartezjański przestrzeni Rk = Rk1×Rk2. Oznaczmy x = (x1, x2) ,gdzie x ∈ Rk, x1 ∈ Rk1 , x2 ∈ Rk2. Niech dany będzie zbiór mierzalny A ⊂ Rk oraz funkcja f : A → R.
Oznaczmy:
A0 = {x1 ∈ Rk1 : istnieje x2 ∈ Rk2 : (x1, x2) ∈ A} - rzut zbioru A na przestrzeń Rk1
Ax1 = {x2 ∈ Rk2 : (x1, x2) ∈ A} - przekrój zbioru A dla ustalonego x1 Wtedy:
Z Z
A
f (x1, x2) dx1dx2 =
Z
A0
Z
Ax1
f (x1, x2) dx2
dx1 Przy założeniu, że wszyskie całki istnieją.
Szczególny, często spotykany przypadek całki iterownaej (k1 = 2 , k2 = 1) opisuje twierdzenie poniższe:
Twierdzenie: Niech dany będzie obszar normalny względem płaszczyzny xy : A = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ A0, z ∈< g1(x, y), g2(x, y) >} oraz funkcja ciągła f : A → R. Wtedy istnieją całka potrójna oraz całka iterowana i są sobie równe:
Z Z
A
Z
f (x, y, z) dx dy dz =
Z Z
A0
g2(x,y)
Z
g1(x,y)
f (x, y, z) dz
dx dy
Uwaga: W całce wewnętrznej po dz zmienne x i y traktujemy jak stałe.
Przykład 1: Oblicz całkę
Z Z
A
Z 1
(x + y + z + 1)3 dx dy dz , gdzie zbiór A jest ograniczony powierzch- niami: x = 0 , y = 0 , z = 0 , x + y + z = 1
Zbiór A (czworościan) jest obszarem normalnym względem płaszczyzny xy. Górną powierchnią ograni- czającą a jest: z(x, y) = 1 − x − y. Dolną powierzchnią ograniczającą jest z(x, y) = 0. Rzut zbioru A0 na płaszczyznę xy jest ograniczony krzywymi: x = 0 ,y = 0 - powiercznie walcowe i x + y = 1 - rzut przecięcia powierczchni ograniczjących A na płaszczyznę xy. Jest to trójkąt - obszarem normalnym względem osi x . Opisujemy zbiór A następująco:
x ∈< 0, 1 > - jest to rzut zbioru A0 na oś x
y ∈< 0, 1 − x > - jest to przekrój zbioru A0 dla ustalonego x
z ∈< 0, 1 − x − y > - jest to przekrój zbioru A dla ustalonych x i y Fukcja f (x, y, z) = 1
(x + y + z + 1)3 jest ciągła i ograniczona.
Z Z
A
Z 1
(x + y + z + 1)3 dx dy dz =
1
Z
0
1−x
Z
0
1−x−y
Z
0
1
(x + y + z + 1)3 dz
dy
dx Obliczamy pierwszą całkę (wewnętrzną):
1−x−y
Z
0
1
(x + y + z + 1)3 dz =
"
−1
2(x + y + z + 1)2
#1−x−y
0
= −1
2(2)2 + 1
2(x + y + 1)2 = 1
2(x + y + 1)2 − 1 8 Obliczamy drugą całkę:
1−xZ
0
1
2(x + y + 1)2 −1 8
!
dy =
"
− 1
2(x + y + 1) −1 8y
#1−x
0
= −1 4 − 1
8(1 − x) + 1
2(x + 1) = 1 2(x + 1) + 1
8x − 3
Obliczamy trzecią całkę:zmienne8
1
Z
0
1
2(x + 1)+ 1 8x − 3
8
!
dx =
1
2ln |x + 1| + 1
16x2−3 8x
1 0
= 1
2ln 2 + 1 16− 3
8 = 1
2ln 2 − 5 16 Odpowiedź:
Z Z
A
Z 1
(x + y + z + 1)3 dx dy dz = 1
2ln 2 − 5 16 Przykład 2: Oblicz całkę I =
Z Z
A
Z Z
dx1dx2dx3dx4 , gdzie zbiór A : x12+ x22+ x23+ x24 ¬ 1
Z Z
A
Z Z
dx1dx2dx3dx4 =
Z Z
A0
Z Z
Ax1x2
dx3dx4
dx1dx2
Zbiór A0 - rzut A na płaszczyznę x1x2 jest kołem o promieniu 1: x21+ x22 ¬ 1
Zbiór Ax1x2 - przekrój A dla ustalonych x1 i x2jest kołem o promieniuq1 − x21− x22: x23+x24 ¬ 1−x21−x22 Całka wewnętrzna jest równa polu zbioru Ax1x2 :
Z
Ax1x2
dx3dx4 = π(1 − x21− x22) Stosujemy współrzędne biegunowe:
I =
Z Z
A0
π(1 − x21− x22) dx1dx2 =
Z Z
A∗
π(1 − r2)r dr dϕ = π
Z1
0
(r − r3) dr ·
Z2π
0
dϕ = π
"
r2 2 −r4
4
#1
0
· [ϕ]2π0 = π1
42π = 1 2π2
Uwaga: Obliczona całka jest czterowymiarową miarą (objętością) kuli czterowymiarowej.
Całka iterowana - szczególny przypadek
Jeśli zbiór A jest w postaci: A = {(x, y, z) ∈ R3 : (x, y) ∈ A0, z ∈< a, b) >} a funkcja f (x, y, z) = f1(x, y) · f2(z) , A0 jest mierzalny a f1 i f2 są ciągłe to całka iterowana jest równa iloczynowi całek:
Z Z
A
Z
f (x, y, z) dx dy dz =
Z Z
A0
f1(x, y) dx dy
·
b
Z
a
f2(z) dz
Przykład Oblicz całkę
Z Z
A
Z x
y(1 + z2)dx dy dz gdzie A jest prostopadłościanem:
x ∈< 0, 1 > , y ∈< 1, e > , z ∈< 0,√ 3 >
Funkcja podcałkowa jest iloczynem funkcji jednej zmiennej i całkujemy po prostopadłościanie więc:
Z Z
A
Z x
y(1 + z2)dx dy dz =
Z1
0
x dx
·
Ze
1
1 ydy
·
√
Z3
0
1 1 + z2dz
=
"
x2 2
#1
0
·[ln y]e1·[arc tg z]
√3
0 = 1
2·1·π 3 = π
6
Zmiana zmiennych w całce k-krotnej
Niech dana będzie funkcja Φ : U → V , gdzie U, V ⊂ Rk . Przekształcenie to spełnia warunki:
1. Φ jest bijekcją 2. U, V - otwarte 3. Φ jest klasy C1
4. Wyznacznik macierzy |Φ0(t)| 6= 0 w każdym punkcie U Wyznacznik ten oznaczamy J (t) = |Φ0(t)| i nazywamy jakobianem.
Niech A ⊂ V , a funkcja f : A → R. Oznaczmy przez A∗ przeciwoboraz A : Φ(A∗) = A. Wtedy
Z
A
f (x) dx =
Z
A∗
f (x(t))|J (t)| dt
przy czym całka z lewej strony istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.
Uwaga 1 Stosujemy skrócone oznaczenia: zmienne x i t należą do Rk więc powyższe całki są całkami k-krotnymi.
Uwaga 2 Czasem, aby spełnione były wszyskie założenia o zmianie zmiennych trzeba usunąć ze zbioru A jakiś pozbiór. Jeśli podzbiór ten jest miary zero to operacja ta nie zmienia całki.
Przykłady zmiany zmiennych w R3
Zmiana liniowa
x y z
= A
x y z
+ B
U = R3 , V = R3 , |J | = | det A| 6= 0
Przekształcenie takie przy odpowiednim doborze parametrów opisuje między innymi: przesunięcia, obroty, symetrie płaszczyznowe, symetrie osiowe i jednokładności.
Współrzędne walcowe
x = r cos ϕ y = r sin ϕ z = z
|J| = r r > 0 ϕ ∈ (0, 2π) z ∈ (−∞, ∞)
Uwaga 1: Zakres zmienności zmiennych r i ϕ można zastąpić przedziałami domkniętymi (zmiana jest zbiorem miary zero).
Uwaga 2: Zakres zmienności zmiennej i ϕ można zastąpić dowolnym przedziałem o długości 2π np.
(−π, π)
Uwaga 3: Współrzędne walcowe stosuje się zwykle jeśli zbiór A jest bryłą obrotową.
Uwaga 4: Powierzchnie stałego r to walce o osi z, powierzchnie stałego z to płaszczyzny prostopadłą do osi z, powierzchnie stałego ϕ to półpłaszczyzny których krawędzią jest oś z.
Przykład: Oblicz całkę
Z Z
A
Z
x2dx dy dz , gdzie zbiór A jest ograniczony powierzchniami:
z = x2+ y2 - walec, z =√
x2 + y2 - stożek
Zmieniamy zmienne na walcowe I =
Z Z
A
Z
x2dx dy dz =
Z Z
A∗
Z
r2cos2ϕ · r dr dϕ dz =
Z Z
A∗
Z
r3cos2ϕ dr dϕ dz Zbiór A∗ jest ograniczony w nowych zmiennych (r, ϕ, z) powierzchniami:
z = r2 - walec paraboliczny z = r - płaszczyzna
Do tego dodajemy standardowe ograniczenia współrzędnych walcowych:
r > 0 ϕ ∈ (0, 2π)
Rzut zbioru A∗ na oś ϕ jest przedziałem (0, 2π) . Dla ustalonego ϕ przekrój (płaszczyzną równoległą do płaszczyzny rz ) jest ograniczony krzywymi: z = r2 - parabola i z = r - prosta. Znajdujemy punkty przecięcia:
r = r2 r(r − 1) = r = 0 lub r = 1
Rzut przekroju na oś r : < 0, 1 >
Przekrój dla ustalonego r jest przedziałem < r2, r >
Stąd:
A∗ :
ϕ ∈ (0, 2π) r ∈ (0, 1 >
z ∈< r2, r >
Zamieniamy całkę potrójną na iterowaną:
I =
Z 2π 0
Z 1
0
Z r
r2
r3cos2ϕ dz
dr
dϕ
Z r r2
r3cos2ϕ dz = r3cos2ϕ [z]rr2 = r3cos2ϕ(r − r2) = r4cos2ϕ − r5cos2ϕ
Z 1 0
(r4cos2ϕ − r5cos2ϕ) dr = cos2ϕ
1 5r5− 1
6r6
1 0
= 1
30cos2ϕ I =
Z 2π 0
1
30cos2ϕ dϕ = 1 30
Z 2π 0
1 + cos 2ϕ
2 dϕ = 1
60
ϕ + sin 2ϕ 2
2π 0
= π 30 Całka potrójna po zbiorze symetrycznym
Jeżeli zbiór po którym całkujemy jest symetryczny (np. ma płaszczyznę symetrii) i jednocześnie funkcja podcałkowa w punktach symetrycznych ma albo tę samą albo przeciwną wartość to można uprościć obliczanie całki.
Twierdzenie
Niech dana będzie izometria Φ : R3 → R3 (np. symetria, obrót, przesunięcie). Izometria spełnia wszyst- kie założenia do zmiany zmiennych, a jej jakobian J = 1.
Niech ponadto zbiór A ⊂ R3 da się podzielić na zbiory A = A1 ∪ A2 takie, że A2 = Φ(A1) oraz
|A1∩ A2| = 0 . Oznaczmy P0 = Φ(P ) - punkt symetryczny do P dla P ∈ A1 Wtedy:
1. Jeśli f (P0) = −f (P ) oraz istnieje
Z Z
A
Z
f (x, y, z) dx dy dz to
Z Z
A
Z
f (x, y, z) dx dy dz = 0 2. Jeśli f (P0) = f (P ) to
Z Z
A
Z
f (x, y, z) dx dy dz = 2
Z Z
A1
Z
f (x, y, z) dx dy dz , przy czym całka z lewej strony isnieje wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje całka z prawej strony.
Przykład: Oblicz
Z Z
A
Z x3
x2+ yz + 4dx dy dz gdzie A : x2+ y2+ z2 ¬ 1
Zbiór A jest symetryczny względem płaszczyzny yz. Punkt symetryczny do P = (x, y, z) : P0 = (−x, y, z)
f (P0) = f (−x, y, z) = (−x)3
(−x)2+ yz + 4 = − x3
x2+ yz + 4 = −f (P )
Całka istnieje ponieważ A jest mierzalny (obszar normalny) a f jest ciągła i ograniczona na A.
Stąd:
Z Z
A
Z x3
x2 + yz + 4dx dy dz = 0
