SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 7, 2012-04-15

SIMR 2012/2013, Analiza 2, wykład 7, 2012-04-15

Hiperpowierzchnie

Definicja: Hiperpowierzchnią k - wymiarową nazywamy taki zbiór H ⊂ R^k+m , że dla każdego punktu x ∈ H istnieje zbiór otwarty U ⊂ R^k+m taki, że x ∈ U oraz istnieje zbiór otwarty V ⊂ R^k oraz ciągła funkcja g : V → R^m taka, że zbiór H ∩ U jest wykresem funkcji g (po permutacji współrzędnych) czyli:

H ∩ U = {(x, g(x)) : x ∈ V } .

Jeśli dodatkowo funkcja g jest klasy C¹ to hiperpowierzchnię nazywamy gładką.

Uwaga 1: Hiperpowierzchnie 1-wymiarowe to krzywe, 2-wymiarowe to powierzchnie

Uwaga 2: Hiperpowierzchnie mogą składać się ze skończenie lub nieskończenie wielu rozłącznych części

Uwaga 3: Definicja hiperpowierzchni jest równocześnie definicją wymiaru stosowaną w analizie, a hiperpowierzchnia są zbiorami, dla których pojęcie wymiaru ma sens.

Uwaga 4: Liczba stopni swobody układu mechanicznego jest wymiarem hiperpowierzchni stanów układu.

Twierdzenie: H ⊂ R^k+m jest hiperpowierzchnią k - wymiarową wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego punktu x ∈ H istnieje zbiór otwarty U ⊂ R^k+m taki, że x ∈ U i zbiór otwarty V ⊂ R^k oraz bijekcja g : V → U ∩ H taka, że funkcja g i funkcja odwrotna g⁻¹ są ciągłe. Jeśli dodatkowo g jest klasy C¹ i rząd macierzy [g⁰] jest równy k to H jest hiperpowierzchnię gładką.

Twierdzenie: Niech g : D → R^m , D ⊂ R^k+m jest zbiorem otwartym, a g jest klasy C¹. Niech H = {x ∈ D : f (x) = 0} . Jeżeli dla każdego x ∈ H rząd macierzy [g⁰] jest równy m to H jest hiperpowierzchnię gładką k - wymiarową.

Sposoby opisywania hiperpowierzchni

Hiperpowierzchnie zwykle są opisywane jednym z 3 sposobów:

1. sposób - jako wykres funkcji : H = {(x, g(x)) : x ∈ D} , g : D → R^m, D ⊂ R^k(z możliwą permutacją współrzędnych)

2. sposób - w postaci parametrycznej : H = {g(t) : t ∈ D} , g : D → R^k+m , D ⊂ R^k 3. sposób - postać uwikłana: H = {x : g(x) = 0} , g : D → R^m , D ⊂ R^k+m

Uwaga 1: Jeżeli hiperpowierzchnię opisujemy jako wykres funkcji, to zwykle musimy podzielić ją na kilka części. Należy wtedy uważnie sklejać te części.

Uwaga 2: Jeżeli hiperpowierzchnię opisujemy w postaci parametrycznej, należy uważać na istnie- nie i ciągłość funkcji odwrotnej g⁻¹, oznaczające, że parametrom dalekim t₁ i t₂ dalekim od siebie odpowiadają dalekie wartości x1 i x2

Przykład 1: Opiszemy na 3 sposoby ten sam okrąg H - hiperpowierzchnia 1 wymiarowa na płaszczyźnie R² 2 -wymiarowej.

1. sposób - postać uwikłana:

g(x₁, x₂) = x²₁+ x²₂− 1 , D = R² - otwarty, g jest klasy C^∞

Z tego nie wynika jeszcze, że H = {(x₁, x₂) : x²₁+ x²₂ − 1 = 0} jest hiperpowierzchnią gładką. Aby to sprawdzić obliczamy

g⁰ = [2x₁, 2x₂]

Rząd tej macierzy jest równy 1 dla (x₁, x₂) 6= (0, 0) i 0 w punkcie (0, 0). Punkt (0, 0) nie należy do H , a więc w każdym punkcie H rząd macierzy g⁰ jest równy 1, czyli H jest hiperpowierzchnią gładką 1-wymiarową.

2. sposób - wykres funkcji:

Niestety nie można opisać globalnie całego zbioru jako wykres jednej funkcji. Można jednak podzielić H na cztery części (niekoniecznie rozłączne) i każdą z nich potraktować jak wykres funkcji:

H = H₁∪ H₂∪ H₃∪ H₄

H₁ = {(x₁, g₁(x₁)) : x₁ ∈ (−1, 1)} , g₁(x₁) =^q1 − x²₁ H₂ = {(x₁, g₂(x₁)) : x₁ ∈ (−1, 1)} , g₂(x₁) = −^q1 − x²₁ H₃ = {(g₃(x₂), x₂) : x₂ ∈ (−1, 1)} , g₃(x₂) =^q1 − x²₂ H₄ = {(g₄(x₂), x₂) : x₂ ∈ (−1, 1)} , g₄(x₂) = −^q1 − x²₂

Wszystkie funkcje są klasy C^∞ więc H jest hiperpowierzchnią gładką 1 -wymiarową.

Proszę zwrócić uwagę na to, że nie da się w tym opisie nie da się podzielić H na mniej niż cztery części.

3. sposób - w postaci parametrycznej:

Tym razem dzielimy H na dwie części.

H = H₁∪ H₂

H₁ = {(g₁(t), g₂(t)) : t ∈ (0, 2π)} , g₁(t) = cos t , g₂(t) = sin t H₂ = {(g₁(t), g₂(t)) : t ∈ (−π, π)} , g₁(t) = cos t , g₂(t) = sin t

Funkcje g₁ i g₂ są klasy C^∞ , funkcja odwrotna do g = (g₁, g₂) jest ciągła. Badamy rząd macierz g⁰ g⁰ = [− sin t, cos t] czyli rząd macierzy g⁰ jest w każdym punkcie równy 1 (cos t i sin t nie mogą być jednocześnie równe 0) a więc H jest hiperpowierzchnią gładką 1 -wymiarową.

Przykład 2: Opiszemy na 3 sposoby powierzchnię stożkową H - hiperpowierzchnia 2 wymiarowa w przestrzeni R³ 3 -wymiarowej.

1. sposób - postać uwikłana:

H = {(x₁, x₂, x₃) : g(x₁, x₂, x₃) = 0} , g(x₁, x₂, x₃) = x²₁+ x²₂− x²₃ , D = R³ - otwarty, g jest klasy C^∞ Obliczamy

g⁰ = [2x1, 2x2, −2x3]

Rząd tej macierzy jest równy 1 dla (x₁, x₂, x₃) 6= (0, 0, 0) i 0 w punkcie (0, 0, 0). Punkt (0, 0, 0) należy do H, a więc nie można stwierdzić, że H jest hiperpowierzchnią gładką 2-wymiarową. Jeżeli jednak wyrzucimy punkt P (0, 0, 0) ze zbioru H, czyli z dziedziny: D1 = R³ − {(0, 0, 0)} to otrzymamy hiper- powierzchnię gładką 2-wymiarową H − P . Oczywiste jest, że punkt P (0, 0, 0) - wierzchołek stożka jest punktem osobliwym H.

Uwaga: Z tego, że rząd g⁰(P ) jest mniejszy niż 1 nie wynika jeszcze, że punkt P jest punktem osobliwym H. Wynika tylko, że może być punktem osobliwym. Jeśli natomiast rząd g⁰(P ) jest równy jeden to punkt P jest punktem regularnym H.

2. sposób - jako wykres funkcji:

Również wyrzucamy wierzchołek stożka P (0, 0, 0) , a resztę dzielimy na dwie części:

H − P = H₁∪ H₂

H₁ = {(x₁, x₂, g₁(x₁, x₂)) : (x₁, x₂) ∈ D} , g₁(x₁, x₂) = ^qx²₁+ x²₂ , D = R²− {(0, 0)} - otwarty H₂ = {(x₁, x₂, g₂(x₁, x₂)) : (x₁, x₂) ∈ D} , g₂(x₁, x₂) = −^qx²₁+ x²₂ , D = R²− {(0, 0)} - otwarty g₁ i g2 są klasy C^∞ , a więc H − P jest hiperpowierzchnią gładką 2-wymiarową.

3. sposób - sposób - w postaci parametrycznej:

Również wyrzucamy wierzchołek stożka P (0, 0, 0) , a resztę dzielimy na dwie części:

H − P = H₁∪ H₂

H₁ = {(g₁(r, φ), g₂(r, φ), g₃(r, φ)) : (r, φ) ∈ D} , g₁(r, φ) = r cos φ , g₂(r, φ) = r sin φ , g₃(r, φ) = r, D = (R − {0}) × (0, 2π) - otwarty

H₂ = {(g1(r, φ), g2(r, φ), g3(r, φ)) : (r, φ) ∈ D} , g1(r, φ) = r cos φ , g2(r, φ) = r sin φ , g3(r, φ) = r, D = (R − {0}) × (−π, π) - otwarty

Funkcje g₁ , g₂ i g₃ są klasy C^∞, funkcja odwrotna do g = (g₁, g₂, g₃) jest ciągła. Badamy rząd macierz g⁰

g⁰ =







cos φ −r sin φ sin φ r cos φ

1 0







Wyznacznik z pierwszych dwóch wierszy jest równy r , r 6= 0 więc rząd macierzy g⁰ jest w każdym punkcie równy 2, a więc H − P jest hiperpowierzchnią gładką 2-wymiarową.

Ekstrema warunkowe

Dana jest funkcja f : D → R , D = R^k+m oraz zbiór H ⊂ R^k+m . Szukamy ekstremów lokalnych f na zbiorze D ∩ H . Uwaga: H zwykle nie jest zbiorem otwartym, ale jest hiperpowierzchnią gładką k-wymiarową. W zależności os sposobu opisu hiperpowierzchni korzystamy nastepujących twierdzeń:

H jako wykres funkcji:

Twierdzenie: Niech H = {(x, g(x)) : x ∈ D_g} , g : D_g → R^m , D_g ⊂ R^k , g jest ciągła, a H ⊂ D . Niech x₀ ∈ Dg . Wtedy funkcja f ma minimum lokalne na zbiorze H w punkcie (x₀, g(x₀)) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja h(x) = f (x, g(x)) ma minimum lokalne w punkcie x₀ .

Uwaga 1: W twierdzeniu tym nie ma założenia, że D_g jest otwarty i f oraz g są różniczkowalne. Zwykle jednaak badamy ekstrema funkcji h za pomocą pochodnych, a więc potrzebujemy tych dodatkowych założeń.

Uwaga 2: Jeśli dzielimy zbiór H na części i następnie stosujemy twierdzenie do każdej częsci osobno, należy zwrócić uwagę czy w otoczeniu punktów ekstremalnych jednej części nie ma punktów innej części.

H w postaci parametrycznej:

Twierdzenie: Niech g : Dg → H , H ⊂ R^k+m , Dg ⊂ R^k , g jest bijekcją, g jest ciągła, g⁻¹ jest ciągła i H ⊂ D . Niech t₀ ∈ D_g . Wtedy funkcja f ma minimum lokalne na zbiorze H w punkcie g(t₀) wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja h(t) = f (g(t)) ma minimum lokalne w punkcie t₀ .

Uwaga1: W twierdzeniu tym nie ma założenia, że Dg jest otwarty i f oraz g są różniczkowalne. Zwykle jednak badamy ekstrema funkcji h za pomocą pochodnych, a więc potrzebujemy tych dodatkowych założeń.

Uwaga 2: Jeśli dzielimy zbiór H na części i następnie stosujemy twierdzenie do każdej częsci osobno, należy zwrócić uwagę czy w otoczeniu punktów ekstremalnych jednej części nie ma punktów innej części.

H w postaci uwikłanej:

Twierdzenie (Mnożniki Lagrange’a): Niech H = {x : g(x) = 0} , g : D_g → R^m , D_g ⊂ R^k+m , D_g i D są zbiorami otwartymi, H ⊂ D , f i g są klasy C¹. Niech x₀ ∈ H i niech rząd macierzy g⁰(x₀) = m.

Jeśli funkcja f ma ekstremum lokalne na zbiorze H w punkcie x0 to f⁰(x0) = λ · g⁰(x0) dla pewnego λ ∈ R^m

Uwaga1: Korzystając z tego twierdzenie możemy tylko znaleźć punkty stacjonarne. Twierdzenie nie pozwala stwierdzić czy mamy minimium, maksimum czy brak ekstremum. Można to stwierdzić ko- rzystając z twierdzenia o funkcjach uwikłanych, ale wzory są dosyć skomplikowane. W niektórych zastosowaniach wystarczy znalezienie punktów stacjonarnych.

Uwaga 2: Punkty w których rząd macierzy g⁰(x0) jest mniejszy od m są też punktami podejrzanymi o istnienie ekstremum. Zwykle sa to punkty osobliwe hiperpowierzchni H.

Uwaga 3: Jeśli oznaczymy g = (g₁, g₂, . . . g_m) to warunek rząd macierzy g⁰(x₀) = m można zapisać:

wektory gradg1(x0) , gradg2(x0) , . . . gradgm(x0) są liniowo niezależne.

a warunek f⁰(x₀) = λ · g⁰(x₀) zapisać:

gradf (x₀) = λ₁gradg₁(x₀) + λ₂gradg₂(x₀) + . . . λ_mgradg_m(x₀)

Przykład: Znaleźć ektrema lokalne funkcji f (x, y) = x²− y² na zbiorze H = {(x, y) : x²+ y² = 1}

Sposób 1: Mnożniki Lagrange’a: znajdziemy tylko punkty stacjonarne.

g(x, y) = x²+ y²− 1 , D = D_g = R² - zbiory otwarte, f, g są klasy C^∞ gradg = [2x, 2y] jest różny od [0, 0] na H.

gradf = [2x, −2y]

gradf = λgradg

Dostajemy układ równań na punkty stacjonarne:







2x = λ2x

−2y = λ2y x²+ y²− 1 = 0

Rozwiązaniami tego układu są następujące trójki Q = (x, y, λ) : Q₁(0, 1−1) , Q₂(0, −1, −1) , Q₃(1, 0, 1) , Q₄(−1, 0, 1). Ekstrema lokalne f na H mogą więc być tylko w punktach (x, y): P₁ = (0, 1) , P₂ = (0, −1) , P₃ = (1, 0) , P₄ = (−1, 0) .

Sposób 2: Parametryzacja

Wyrzucamy punkt P (1, 0). Wtedy H₁ = {(cos t, sin t), t ∈ (0, 2π)}

h(t) = f (cos t, sin t) = cos²t − sin²t = cos 2t

Szukamy ekstremów funkcji h na zbiorze (0, 2π). Zbiór jest otwarty, a funkcja klasy C^∞ więc rozwią- zujemy równanie:

h⁰(t) = 0

−2 sin 2t = 0 t = kπ

2

W dziedzinie leżą punkty t₁ = π

2 , t₂ = π , t₃ = 3π 2 .

Badamy kiedy h⁰(t) > 0 czyli −2 sin 2t > 0 . Widać, że w t₁ h ma minimum lokalne, w t₂ maksimu lokalne i w t₃ minimum lokalne.

Aby zbadać punkt P musimy użyć paramteryzacji otoczenia P : H2 = {(cos t, sin t), t ∈ (−^π₃,^π₃)}

Funkcje są takie same, tylko inny przedział więc analogicznie dostajemy w punktie t₄ = 0 maksimum lokalne

Wniosek: Funkcja f ma na zbiorze H ekstrema lokalne: w P1 = (cos t1, sin t₁) = (0, 1) minimum lokalne, w P₂ = (cos t₂, sin t₂) = (−1, 0) maksimum lokalne, w P₃ = (cos t₃, sin t₃) = (0, −1) minimum lokalne, w P₄ = (cos t₄, sin t₄) = (1, 0) maksimum lokalne.

Uwaga: Ponieważ funkcje opisujące H₁ i H2 są takie same, a zmienia się tylko przedział, więc zwykle nie dzieli się okręgu na dwie części tylko albo bierzemy przedział t ∈ (0, 2π > lub (−ε, 2π + ε). W pierwszym przypadku dziedzina nie jest otwarta, w drugim niektóre punkty są uwzględniane 2 razy.

Sposób 3: Wykres funkcji

Dzielimy zbiór H na cztery części H = H₁∪ H₂∪ H₃∪ H₄

Szukamy ekstremów na H₁ = {(x, g₁(x)) : x ∈ (−1, 1) , y = g₁(x)} , g₁(x) =√ 1 − x² Wtedy

h(x) = f (x, g₁(x)) = x²− (1 − x²) = 2x²− 1 , x ∈ (−1, 1)}

Rozwiązujemy równanie h⁰(x) = 0 4x = 0

x = 0

Badamy znak h⁰⁰(x) h⁰⁰(x) = 4 > 0

Funkcja h ma minimum lokalne w x = 0 . A więc funkcja f ma minimum lokalne na zbiorze H₁w punkcie P₁ = (0, h(0)) = (0, 1), a więc ma minimum lokalne na zbiorze H w punkcie P₁ = (0, h(0)) = (0, 1), Analogicznie znajdujemy pozostałe ekstrema na:

H₂ = {(x, y) : x ∈ (−1, 1) , y = g₂(x)} , g₂(x) = −√ 1 − x² H₃ = {(x, y) : y ∈ (−1, 1) , x = g₃(y)} , g₃(y) =√

1 − y²

H₄ = {(x, y) : y ∈ (−1, 1) , x = g₄(y)} , g₄(y) = −√ 1 − y²