Zadanie 1. Wyliczy¢:

ANALIZA I

14 i 17 pa¹dziernika 2014 Semestr zimowy

Lista IV

Przeliczalno±¢, kresy, bijekcje Javier de Lucas

Zadanie 1. Wyliczy¢:

• S +∞

n=1

 ₃

n , _n ⁴  .

• T +∞

n=1

 _n

n+1 , _n ⁵ + ₁₀ ⁿ 

• S

t∈[2,3] A _t oraz T _t∈[2,3] A _t , gdzie: A t = [t, 2t] × [−t, t] .

Zadanie 2. Pokaza¢, »e funkcja f : X → Y , gdzie X =]0, 1[ , Y = [−2, 2] \ {−1, 1}

f (x) =



 

 

−3x − 1, x ∈]0, ¹ ₃ ], 3x, x ∈] ¹ ₃ , ² ₃ ], 6x − 5, x ∈] ² ₃ , 1[

jest bijekcj¡. Znale¹¢ f ⁻¹ (x) .

Zadanie 3. Udowodni¢, »e zbiór {x ∈ N : 10|x} jest przeliczalny.

Zadanie 4. Korzystaj¡c z funkcji f(x) =

( 2x, x ∈ N,

−2x − 1, x ∈ Z \ N pokaza¢ przeliczalno±¢ zbioru Z.

Zadanie 5. Dowie±¢, »e ka»dy zbiór rozª¡cznych, poªo»onych na prostej odcinków jest przeliczalny.

Zadanie 6. Omówi¢ po raz nty dowód przek¡tniowy Cantora nieprzeliczalno±ci odcinka ]0, 1[ .

Zadanie 7. Pokaza¢, »e zbiór warto±ci funkcji f(x) = _1+x ^x

, x ∈ R jest nieograniczony.

Zadanie 8. Pokaza¢, »e zbiór liczb postaci m √

5 − n , m, n ∈ N jest nieograniczony z góry.

Zadanie 9. Pokaza¢, »e funkcja f(x) = x sin x, x ∈]0, +∞[ nie jest ograniczona z góry ani z doªu.

Zadanie 10. Wyka», »e kres górny zbioru liczb postaci _1+x ^x , gdzie x ∈ R + = {x ∈ R|x >

0} jest równy 1.

Zadanie 11. Wyka», »e liczba 2 nie jest kresem górnym zbioru liczb postaci ³ⁿ⁺¹ _2n+1 , n ∈ N.

1