Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Analiza Matematyczna Kolokwium 2 Zestaw A

Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć

Z x ³

p(1 + x ² ) ³ dx.

Rozwi¸ azanie

Stosujemy podstawienie y = x ² . R √ _x

(1+x

)

dx = ¹ ₂ R √ _y

(1+y)

dy

Otrzyman¸ a całk¸e obliczamy metod¸ a całkowania przez cz¸eści

1 2

R √ _y

(1+y)

dy = − R ((1 + y) ^−1/2 ) ⁰ ydy = −(1 + y) ^−1/2 y + R (1 + y) ^−1/2 1dy =

= −(1 + y) ^−1/2 y + 2(1 + y) ^1/2 + C = ^{√ −x}

1+x

+ 2 √

1 + x ² + C.

Zadanie 2

Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x ² i g(x) = −x ² oraz proste x = −1, x = 1.

Rozwi¸ azanie

Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY, st¸ ad jego pole P (O)

|P (O)| = R 1

−1 (x ² − (−x ² ))dx = 2 R 1

0 2x ² dx = ⁴ ₃ . lub

|P (O)| = R 1

−1 (x ² − (−x ² ))dx = 4 R 1

0 x ² dx = ⁴ ₃ . Zadanie 3

Prosz¸e wyznaczyć punkty przegi¸ecia i obszary wypukłości wykresu funkcji f (x) = 2e ^−x

.

1

Rozwi¸ azanie

Obliczamy pochodn¸ a drugiego rz¸edu funkcji f (x).

f ⁰ (x) = −4xe ^−x

, f ”(x) = −4e ^−x

+8x ² e ^−x

= 4e ^−x

(2x ² −1) = 4e ^−x

( √

2x−1)( √

2x+1).

f ”(x) < 0, gdy x ∈ (−1/ √

2, 1/ √ 2).

f ”(x) > 0, gdy x ∈ (−∞, −1/ √

2) ∪ (1/ √

2, ∞).

Wykres funkcji f (x) posiada wi¸ec dwa punkty przegi¸ecia (−1/ √

2, e ^−1/2 ), (1/ √

2, e ^−1/2 ) i jest wypukły w przedziałach (−∞, −1/ √

2) ∪ (1/ √

2, ∞) oraz wkl¸esły na przedziale (−1/ √

2, 1/ √ 2).

Zadanie 4

Prosz¸e napisać trzy pierwsze wyrazy z reszt¸ a R 3 rozwini¸ecia Maclaurina dla funkcji f (x) = e ^x

^+4x+3 .

Rozwi¸ azanie

f (x) = f (0) + f ⁽¹⁾ (0)x + (f ⁽²⁾ (0) x ²

2! + f ⁽³⁾ (c) x ³ 3! . gdzie c ∈ [0, x].

Obliczamy kolejne pochodne funkcji f (x) do rz¸edu trzeciego wł¸ acznie.

f (0) = e ³ .

f ⁽¹⁾ (x) = (2x + 4)e ^x

^+4x+3 , f ⁰ (0) = 4e ³ .

f ⁽²⁾ (x) = 2e ^x

^+4x+3 + (2x + 4) ² e ^x

^+4x+3 = e ^x

^+4x+3 (4x ² + 16x + 18), f ”(0) = 18e ³ . f ⁽³⁾ (x) = (2x + 4)e ^x

^+4x+3 (4x ² + 16x + 18) + e ^x

^+4x+3 (8x + 16) =

= e ^x

^+4x+3 (8x ³ + 48x ² + 88x + 88).

f ⁽³⁾ (c) = e ^c

^+4c+3 (8c ³ + 48c ² + 88c + 88).

St¸ ad

f (x) = e ^x

^+4x+3 = e ³ + 4e ³ x + 9e ³ x ² + (8c ³ + 48c ² + 88c + 88) e ^c

^+4c+3

6 .

gdzie c ∈ [0, x].

2