Analiza Matematyczna Kolokwium 2 Zestaw C
Zadanie 1 Prosz¸e obliczyć
Z x 2 √
x 3 − 1dx.
Rozwi¸ azanie
Stosujemy podstawienie: y = √
x 3 − 1. St¸ad y 2 = x 3 − 1 i 2ydy = 3x 2 dx.
Otrzymujemy
Z x 2 √
x 3 − 1dx = 2 3
Z
y 2 dy = 2
9 y 3 + C = 2 9
p (x 3 − 1) 3 + C.
Zadanie 2
Prosz¸e obliczyć pole obszaru ograniczonego przez wykresy funkcji f (x) = x 2 , g(x) = 1−x 2 i h(x) = 2.
Rozwi¸ azanie
Zauważmy, że obszar O jest symetryczny wzgl¸edem osi OY.
Rozwi¸ azuj¸ ac układ równań y = x 2 i y = 1 − x 2 , otrzymujemy punkty wspólne parabol (− √
2/2, 1/2), ( √
2/2, 1/2).
Rozwi¸ azuj¸ ac układ y = x 2 i y = 2, otrzymujemy punkty wspólne paraboli i prostej (− √
2, 2), ( √ 2, 2).
St¸ ad pole obszaru
|P (O)| = 2 Z
√ 2/2
0
(2 − (1 − x 2 ))dx + 2 Z
√ 2
√ 2/2
(2 − x 2 )dx = 2 √ 2.
1
Zadanie 3
Prosz¸e wyznaczyć punkty przegi¸ecia i obszary wypukłości wykresu funkcji f (x) = 1
e x − 1 .
Rozwi¸ azanie
Dziedzin¸ a funkcji jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych różnych od zera.
Obliczamy pochodn¸ a drugiego rz¸edu funkcji f (x).
f 0 (x) = −e x (e x − 1) −2 = (e −ex−1)
x 2. f ”(x) = (ex−1)e (e
x−1)
x(e
4x+1) . f ”(x) > 0, gdy x ∈ (0, ∞).
−1)e (e
x−1)
x(e
4x+1) . f ”(x) > 0, gdy x ∈ (0, ∞).
f ”(x) < 0, gdy x ∈ (−∞, 0).
Wykres funkcji f (x) jest wkl¸esły na przedziale (−∞, 0) ,
wypukły na przedziale (0, ∞) i nie posiada punktów przegi¸ecia.
Zadanie 4
Prosz¸e oszacować bł¸ ad, jaki popełnia si¸e bior¸ ac
1
2 − 1 8 + 24 1 − 64 1 + 160 1 zamiast log 3 2 . Rozwi¸ azanie
Obliczamy kolejne pochodne do rz¸edu szóstego wł¸ acznie funkcji f (x) = ln(1 + x) jej rozwini¸ecia w szereg Maclaurina.
Mamy
f (x) = ln(1 + x), f (0) = 0;
f (1) (x) = 1+x 1 , f (1) (0) = 1;
f (2) (x) = (1+x) −1 2, f (2) (0) = −1;
f (3) (x) = (1+x) 2 3, f (3) (0) = 2;
f (4) (x) = (1+x) −6 4, f (4) (0) = −6;
f (5) (x) = (1+x) 24 5, f (5) (0) = 24;
f (6) (x) = (1+x) −1206, f (6) (c) = (1+c) −1206, c ∈ [0, 1 2 ];
, c ∈ [0, 1 2 ];
Bł¸ ad bezwzgl¸edny oszacowania
|log 3 2 − ( 1 2 − 1 8 + 24 1 − 64 1 + 160 1 )| = | −120(
1 2
