Zakres materiału

Zofia Zieli ´nska-Kolasi ´nska Analiza matematyczna – granica ci ˛agu Instytut Matematyki

Wydział Nauk ´Scisłych i Przyrodniczych

Uniwersytet Przyrodniczo-Humanistyczny w Siedlcach

CWICZENIA ´

granica ci ˛agu, własno´sci granic, liczba e

Zeby w jak najwi˛ekszym stopniu skorzysta´c z ´cwicze ´n, wszystko to, co jest w cz˛e´sci teore-˙ tycznej (oznaczenia, terminologia, twierdzenia, wzory) trzeba rozumie´c i zna´c na pami˛e´c.

Zakres materiału

1. Obliczanie granic ci ˛agów podstawowych typów:

(a) stały,

(b) o wyrazie ogólnym postaci an = ^w_w¹⁽ⁿ⁾

2(n), gdzie deg(w₁) =deg(w2), (c) o wyrazie ogólnym postaci an = ^w_w¹⁽ⁿ⁾

2(n), gdzie deg(w₁) >deg(w2), (d) o wyrazie ogólnym postaci an = ^w1(n)

w2(n), gdzie deg(w₁) <_deg(w₂)_,

(e) o wyrazie ogólnym w postaci ró ˙znicy pierwiastków drugiego stopnia lub podobnej, którego granic ˛e oblicza si ˛e przy wykorzystaniu wzoru(a−b) = ^a2_a⁻₊^b_b²,

(f) o wyrazie ogólnym w postaci ró ˙znicy pierwiastków trzeciego stopnia lub podobnej, którego granic ˛e oblicza si ˛e przy wykorzystaniu wzoru a−b= ^a3−b3

a²+ab+b²,

(g) o wyrazie ogólnym postaci ilorazu wyra ˙ze ´n z pot ˛egami, którego granic ˛e oblicza si ˛e poprzez wył ˛aczenie wspólnej pot ˛egi przed nawias i skrócenie jej (analogicznie jak w przypadku ilo- razu wielomianów),

(h) którego granic ˛e oblicza si ˛e korzystaj ˛ac z twierdzenia o trzech ci ˛agach,

(i) w którego wyrazie ogólnym wyst ˛epuje n-ta suma cz ˛e´sciowa szeregu geometrycznego lub arytmetycznego,

(j) którego wyraz ogólny da si ˛e sprowadzi´c do wyra ˙zenia 1+a_n
an¹

w pewnej pot ˛edze, przy zachowaniu zało ˙ze ´n, gwarantuj ˛acych zbie ˙zno´s´c wyra ˙zenia do e,

(k) {a_n}, w przypadku którego o istnieniu granicy wnioskuje si ˛e na podstawie warunku ^an_a⁺¹

n

  <

q dla pewnego q∈ _R;

2. Znajomo´s´c twierdzenia o ci ˛agło´sci działa ´n arytmetycznych;

Oznaczenia i terminologia

1. Niesko ´nczony ci ˛ag liczbowy Je ˙zeli ka ˙zdej liczbie naturalnej n zostanie przyporz ˛adkowana jedna liczba rzeczywista un, to mówimy, ˙ze został okre´slony niesko ´nczony ci ˛ag liczbowy.

2. Wyraz ci ˛aguLiczby u₁, u₂, . . . nazywamy wyrazami ci ˛agu.

3. Wyraz ogólny ci ˛aguSymbol unnazywamy wyrazem ogólnym ci ˛agu.

4. Granica sko ´nczonaCi ˛ag niesko ´nczony{u_n}ma granic˛e g (d ˛a˙zy do granicy g), je ˙zeli dla ka ˙zdej liczby dodatniej ε mo ˙zna znale´z´c w ci ˛agu (istnieje w ci ˛agu) takie miejsce N, ˙ze dla ka ˙zdego n ≥ N zachodzi nierówno´s´c

|u_n−g| <_ε.

Notacja:

u_n →g, gdy n→_∞, lub lim

n→_∞u_n= g.

5. Granica niesko ´nczona∞^{Ci ˛}ag niesko ´nczony{u_n}ma granic˛e∞ (plus niesko´nczono´s´c) (d ˛a˙zy do plus niesko ´nczono´sci), je ˙zeli dla ka ˙zdej liczby M≥0 mo ˙zna znale´z´c w ci ˛agu (istnieje w ci ˛agu) takie miejsce N, ˙ze dla ka ˙zdego n≥N zachodzi nierówno´s´c

un> M.

Notacja:

un→_{∞, gdy n}→_∞, lub lim

n→_∞un=_∞.

6. Granica niesko ´nczona −_∞ Ci ˛ag niesko ´nczony {u_n} ma granic˛e −∞ (minus niesko´nczono´s´c) (d ˛a˙zy do minus niesko ´nczono´sci), je ˙zeli dla ka ˙zdej liczby M ≥ 0 mo ˙zna znale´z´c w ci ˛agu (istnieje w ci ˛agu) takie miejsce N, ˙ze dla ka ˙zdego n≥N zachodzi nierówno´s´c

un< −M.

Notacja:

un → −_{∞, gdy n}→_∞, lub lim

n→_∞un= −_∞.

7. Nie ka˙zdy ci ˛ag niesko ´nczony ma granic˛eNa przykład ci ˛ag 1, 0, 1, 0, . . . nie ma granicy.

8. Ci ˛ag zbie˙znyCi ˛ag niesko ´nczony, który ma granic ˛e sko ´nczon ˛a, nazywamy ci ˛agiem zbie˙znym.

9. Ci ˛ag rozbie˙znyCi ˛ag niesko ´nczony, który nie ma granicy sko ´nczonej, nazywamy ci ˛agiem rozbie˙z- nym. W szczególno´sci je ˙zeli ci ˛ag {u_n}d ˛a ˙zy do +∞, to mówimy, ˙ze jest rozbie˙zny do plus niesko´n- czono´sci i podbnie mówimy o ci ˛agu rozbie˙znym do minus niesko ´nczono´sci.

10. Ci ˛ag geometryczny Ci ˛ag geometryczny, to ci ˛ag liczbowy {a_n}, którego ka ˙zdy kolejny wyraz od drugiego pocz ˛awszy jest iloczynem wyrazu poprzedniego i pewnej stałej q nazwanej ilorazem ci ˛agu:

a_n =q·a_n−1dla n>1.

11. Ci ˛ag arytmetycznyCi ˛ag arytmetyczny, to ci ˛ag liczbowy {a_n}, w którym ka ˙zdy kolejny wyraz od drugiego pocz ˛awszy jest sum ˛a wyrazu bezpo´srednio go poprzedzaj ˛acego oraz ustalonej liczby r zwanej ró˙znic ˛a ci ˛agu:

a_n=a_n−1+r dla n>1.

Twierdzenia

1. Ci ˛agło´s´c działa ´n arytmetycznychJe ˙zeli ci ˛ag {an}ma granic ˛e a i ci ˛ag{bn}ma granic ˛e b, to

nlim→_∞(a_n+b_n) =a+b, lim

n→_∞(a_n−b_n) =a−b, lim

n→_∞(a_nb_n) =ab, oraz przy zało ˙zeniu, ˙ze b6=0 i b_n6=0 (n=1, 2, . . .),

nlim→_∞

a_n bn

= ^a b.

2. Je ˙zeli licznik i mianownik ułamka s ˛a wielomianami tego samego stopnia wzgl ˛edem zmiennej naturalnej n, to granica takiego ułamka przy n→∞ równa si˛e stosunkowi współczynników przy najwy ˙zszych pot ˛egach n.

3. Je ˙zeli mianownik ułamka jest wielomianem stopnia wy ˙zszego wzgl ˛edem zmiennej naturalnej n ni ˙z licznik, to granica takiego ułamka przy n→∞ równa si˛e zeru.

4. Je ˙zeli licznik ułamka jest wielomianem stopnia wy ˙zszego wzgl ˛edem zmiennej naturalnej n ni ˙z mianownik, to warto´s´c bezwzgl ˛edna ułamka d ˛a ˙zy do niesko ´nczono´sci.

5. Je ˙zeli ci ˛ag{a_n}o wyrazach nieujemnych ma granic ˛e a, to ci ˛ag{√^p

a_n}, gdzie p jest ustalon ˛a liczb ˛a naturaln ˛a, ma granic ˛e√^p

a:

nlim→_∞a_n =a, gdzie a_n≥0 ⇒ lim

n→_∞

√p

a_n= √^p a.

6. Dla ci ˛agu a_n =√ⁿ

a, gdzie a>0, zachodzi

nlim→_∞

√n

a=1.

7. Dla ci ˛agu a_n = 1+ ¹_n
ⁿ, zachodzi

nlim→_∞

 1+ ¹

n

n

= e≈2, 71828 . . .

8. Dla ci ˛agu 1+a_n
an¹

, zachodzi

nlim→_∞



1+a_n_an¹

=e ≈2, 71828 . . . , o ile lim

n→_∞a_n=0 i a_n 6=0.

9. Dla ci ˛agu an =√ⁿ

n zachodzi

nlim→_∞

√n

n =1.

10. Je ˙zeli dla ci ˛agu{an}istnieje granica

nlim→_∞

a_n+1

a_n    

=q<1, to lim

n→_∞a_n=0.

11. Je ˙zeli dla ci ˛agu{a_n}istnieje granica

nlim→_∞

a_n+1

an

=q>1, to lim

n→_∞|an| = +∞, a wi˛ec ci ˛ag jest rozbie˙zny.

12. Ci ˛ag o wyrazie ogólnym un= qⁿma sko ´nczon ˛a granic ˛e tylko dla−1<q≤1, przy czym:

• Je ˙zeli−₁<q<_{1, to lim}

n→_∞qⁿ=_0.

• Je ˙zeli q=_{1, to lim}

n→_∞qⁿ =_1.

13. Twierdzenie o trzech ci ˛agach Je ˙zeli istnieje takie n₀ ∈ N, ˙ze wyrazy ogólne trzech ci ˛agów {a_n},{u_n},{b_n}spełniaj ˛a dla n≥n₀ nierówno´s´c

a_n≤u_n≤b_n i je ˙zeli ci ˛agi{an}i{bn}maj ˛a wspóln ˛a granic ˛e g, tzn.

nlim→_∞a_n= _lim

n→_∞b_n= g, to ci ˛ag{un}ma t ˛e sam ˛a granic ˛e, czyli

nlim→_∞u_n= g.

14. Suma pierwszych n wyrazów ci ˛agu geometrycznego Niech a ∈ R b ˛edzie pierwszym wy- razem ci ˛agu geometrycznego, a q ∈ R jego ilorazem. Suma pierwszych n ∈ N wyrazów ci ˛agu geometrycznego dana jest wzorem

S_n =a+aq+. . .+aqⁿ⁻¹ = (

a¹₁⁻₋^q_qⁿ dla q6=1, na dla q=_1.

15. Suma pierwszych n wyrazów ci ˛agu arytmetycznegoDany jest ci ˛ag arytmetyczny a₁, a₂, . . . Suma pierwszych n∈N wyrazów ci ˛agu arytmetycznego dana jest wzorem

S_n =a₁+a₂+. . .+a_n=n·^a1+a_n 2 .

Przydatne wzory

1. (a+b)(a−b) =a²−b², 2. a+b= ^a2_a⁻₋^b_b²_,

3. a−b= ^a2_a⁻₊^b_b²,

4. (a−b)(a²+ab+b²) =a³−b³, 5. a−b= ^a3−b3

a²+ab+b²,

6. a²+ab+b²= ^a3_a⁻₋^b_b³, 7. 1+₂+_{. . .}+n= ⁿ⁽ⁿ₂⁺¹⁾_,

8. 1²+2²+. . .+n²= ^n(n+1)(₆²ⁿ⁺¹⁾, 9. 1³+2³+. . .+n³=^n(n₂^+1)2.

Zadania

1. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu stałego (a) a_n=1 dla wszystkich n ∈_N, (b) bn= −1 dla wszystkich n∈_N,

(c) c_n= a∈R dla wszystkich n∈_N.

2. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym

(a) u_n= ^2n2−3n+5

3+7n−6n², (b) u_n= _n+ⁿ₁,

(c) u_n= ⁴ⁿ₆₋⁻_5n³, (d) u_n= ^2n3−4n−1

6n+3n²−n³, (e) un= ^(n−1)(n+3)

3n²+5 , (f) u_n= _(4n⁽₋²ⁿ₁₎₍⁻_3n¹⁾²₊₂₎,

(g) u_n = ₍ ^(2n−1)3

4n−1)²(1−5n), (h) u_n =^2n_3n⁻₊³₁^2,

(i) un =^5n_3n⁻₋²₁^3, (j) u_n = ⁽

√n+3)² n+1 , (k) u_n =

√

1+2n²−√ 1+4n²

n ,

(l) u_n=^q3n_n+⁻₁₀²,

(m) un= ³ q n−1

8n+₁₀, (n) un=

√ n²+4 3n−2 , (o) un=

√n²−1

√3

n³+1. 3. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym

(a) un= ^4n3−5n+1

3n⁵+_2n²−4, (b) u_n= ⁿ²⁻¹

3−n³,

(c) u_n = ^{√ 1}

4n²+7n−2n, (d) un = _n³− ^√10

n,

(e) u_n=

√n−2 3n+5.

4. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym

(a) u_n= ²ⁿ_15n²⁻⁵ⁿ₋₃⁺⁸, (b) un = ⁿ⁻₃¹⁰_{, (c) un}= ²⁻_3n⁵ⁿ₊⁻₁₅¹⁰ⁿ².

5. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym

(a) u_n= ⁽⁻_2n−¹⁾₁ⁿ, (b) u_n = ⁽⁻_2n^0,8₋₅⁾ⁿ, (c) u_n= ²ⁿ⁺⁽⁻_n ¹⁾ⁿ.

6. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym (a) a_n= (0, 99)ⁿ.

7. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym (a) u_n=√

4n²+5n−7−2n, (b) un=√

n+₂−√ n, (c) un=√

n²+n−n,

(d) u_n=n−√

n²+5n, (e) un=√

3n²+_2n−₅−n√ 3, (f) un=3n−√

9n²+6n−15.

8. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym (a) u_n=√³

n³+2n²+4−√³ n³+1, (b) un=n√³

2−√³

2n³+_5n²−_7,

(c) u_n=√³

n³+4n²−n.

9. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym (a) u_n= ³²ⁿ_9n⁺₊¹⁻₄⁷,

(b) un= ⁴₂ⁿ_2n⁻¹₋⁻₇⁵,

(c) u_n= ⁵₄^·_·³₉²ⁿ_n+⁻₇¹, (d) un= ^{3·22n+2−10}

5·4ⁿ⁻¹+₃ ,

(e) u_n= ⁻⁸ⁿ⁻¹

7ⁿ⁺¹ , (f) un= ²ⁿ⁺₃¹_n⁻+³2ⁿ⁺²,

(g) u_n= ^3₂^n2n+1−1

3ⁿ⁺¹−1.

10. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym (a) u_n= √ⁿ

3ⁿ+5ⁿ+7ⁿ, (b) u_n= √ⁿ

3ⁿ+2ⁿ,

(c) u_n =√ⁿ

10ⁿ+9ⁿ+8ⁿ, (d) un =√ⁿ

10¹⁰⁰−^qn ₁₀¹₁₀₀,

(e) u_n= ⁿ q 2

3

n

+ ³₄
ⁿ.

11. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym (a) u_n= ^1+2+...+n

n² , (b) un = ^12+22+...+n2

n³ , (c) un= ^13+23+...+n3

n⁴ , 12. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym

(a) un= ¹⁺

1 2+¹

22+...+_2n¹ 1+¹₃+¹

32+...+_3n¹ , (b) u_n = ^{1+a+a2+...+an}

1+¹₄+¹

42+...+_4n¹ , (c) un= ¹

n^k + ²

n^k +. . .+ ⁿ

n^k.

13. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym (a) u_n= 1+ ⁴_n
ⁿ,

(b) un= _n+ⁿ₁
ⁿ_, (c) u_n= 1+ ²_n
ⁿ,

(d) u_n = 1− ¹

n²

n

, (e) u_n = ⁿ⁺_n^5
n,

(f) u_n = 1− ³_n
ⁿ,

(g) un= 1−_n^4
−n+3, (h) u_n= ⁿ²⁺⁶

n²

n²

, (i) u_n= ⁿ²⁺²

2n²+1

n²

.

14. Obliczy´c granic ˛e ci ˛agu o wyrazie ogólnym u_n= ⁿ₂¹⁰_n. 15. Czy ci ˛ag nieograniczony zawsze zmierza do+_{∞ lub}−_∞?

16. Poda´c przykład ci ˛agu ograniczonego, a rozbie ˙znego.

Bibliografia

1. Analiza matematyczna w zadaniach cz. I W. Krysicki, L. Włodarski