Wstęp do matematyki, 2021/2022 ćwiczenia 1.
13 października 2021
1. Wskaż wszystkie elementy i podzbiory każdego z następujących zbiorów:
a) {N, {N}},
b) {∅, {{∅}}, {∅, {∅}} ∖ {∅}, {∅} ∩ {∅, {∅}}}.
2. Udowodnij, że dla dowolnych zbiorów A, B, C:
a) (A ∪ B) ∖ C = (A ∖ C) ∪ (B ∖ C) b) A∪ B = A △ B △ (A ∩ B)
c) A∩ (B △ C) = (A ∩ B) △ (A ∩ C)
d) A= B wtedy i tylko wtedy, gdy A △ B = ∅ e) jeśli A△ B = C, to B = A △ C
3. Czy prawdą jest, że dla dowolnych zbiorów A, B zachodzi równość(A ∖ B) ∪ B = A?
4. (ℶ) Sprawdź, czy prawdą jest, dla dowolnych zbiorów A, B, C, zachodzi równoważność: (B △ C) ∩ A ⊆ B, wtedy i tylko wtedy, gdy B∩ C ∩ A ⊇ C ∩ A. Jeśli tak, udowodnij, jeśli nie – podaj kontrprzykład.
5. Udowodnij, że jeśliA jest dowolną rodziną zbiorów, to:
a) dla każdego A∈ A, ⋂ A ⊆ A,
b) dla każdego zbioru C, takiego, że dla każdego A∈ A, C ⊆ A, zachodzi C ⊆ ⋂ A.
A więc⋂ A jest największym w sensie zawierania zbiorem zawartym w każdym elemencie rodziny A.
6. (ℷ) Oznaczenie: niech ⟨a, b⟩ = {{a}, {a, b}}. Udowodnij, że ⟨a, b⟩ = ⟨c, d⟩ wtedy i tylko wtedy, gdy a = c i b= d.
1
