Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 8. Mocne prawo wielkich liczb

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna 8. Mocne prawo wielkich liczb

Ćw. 8.1 Niech X₁, X₂, . . . będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładach N (0, 1).

Oblicz granicę

n→∞lim

X₁²+ . . . + X_n² n

1. P -prawie wszędzie,

2. według prawdopodobieństwa, 3. w L².

Ćw. 8.2 Niech X₁, X₂, ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach Poissona z parametrem λ. Zbadaj zbieżność P -p.w. ciągu

1 n

n

X

i=1

X_i² .

Ćw. 8.3 Niech X₁, X₂, ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednos- tajnym na odcinku (0, π). Zbadaj zbieżność P -p.w. ciągu

Y_n = Pn

i=1X_i Pn

i=1sin X_i .

Ćw. 8.4 Niech X₁, X₂, ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednos- tajnym na odcinku (−1, 1). Znajdź granicę prawie wszędzie ciągu

Y_n= Pn

i=1(X2i−1− X2i)² Pn

i=1|X_i| .

Ćw. 8.5 Niech X₁, X₂, ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie jednos- tajnym na odcinku (0, 1). Znajdź granicę prawie wszędzie ciągu

Yn= (X1X2...Xn)ⁿ¹ . Ćw. 8.6 Znajdź granicę prawie wszędzie ciągu

Y_n= 1 2n

2n

X

i=1

X_i^{(1+(−1)i+1)} ,

gdzie {X_i}_i=1,2,... jest ciągiem iid o rozkładzie jednostajnym na odcinku (0, 2).

Ćw. 8.7 Oblicz granicę

n→∞lim Z 1

0

. . . Z 1

0

x³₁ + x³₂+ . . . + x³_n

x₁ + x₂+ . . . + x_n dx₁. . . dx_n.