Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr¦cznik Analiza matematyczna 2. De nicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa.
Wykªad 3. Szeregi pot¦gowe.
Szeregi funkcyjne.
De nicja Szeregiem funkcyjnym na zbiorze X ⊂ R nazywamy wyra»enie postaci
f1(x) + f2(x) + f3(x) + · · · + fn(x) + · · · =
∞
X
n=1
fn(x),
gdzie {fn}n∈N jest ci¡giem funkcji okre±lonych na zbiorze X ⊂ R.
Uwaga Zamiast pisa¢
∞
X
n=1
fn(x)b¦dziemy pisa¢ krótko
∞
X
n=1
fn. De nicja Mówimy, »e szereg funkcyjny
∞
X
n=1
fnjest zbie»ny w punkcie x0∈ X, je±li istnieje wªa±ciwa granica ci¡gu sum cz¦±ciowych {Sn(x0)}n∈N. T¡ granic¦ nazywamy sum¡ szeregu funkcyjnego i oznaczamy j¡ tym samym symbolem, co szereg:
n→∞lim Sn(x0) = lim
n→∞
n
X
k=1
fk(x0) =
∞
X
n=1
fn(x0).
Mówimy, »e szereg funkcyjny
∞
X
n=1
fn jest zbie»ny punktowo na zbiorze A ⊂ R, je±li szereg ten jest zbie»ny w ka»dym punkcie x0∈ A.
Uwaga Inaczej mówi¡c, szereg funkcyjny
∞
X
n=1
fn jest zbie»ny w punkcie x0, je»eli szereg liczbo- wy
∞
X
n=1
fn(x0) jest zbie»ny. Do badania tej zbie»no±ci mo»na stosowa¢ wszystkie poznane do tej pory kryteria zbie»no±ci szeregów liczbowych (Cauchy'ego, d'Alemberta, porównawcze, ilorazowe i caªkowe).
De nicja szeregu pot¦gowego. Przedziaª zbie»no±ci.
De nicja Szereg funkcyjny postaci
∞
X
n=0
cn(x − x0)n, gdzie x ∈ R,
nazywamy szeregiem pot¦gowym o ±rodku x0∈ R i wspóªczynnikach cn∈ R, n ∈ N.
Uwaga Przyjmujemy konwencj¦, »e dla x = x0jest (x − x0)0= 1.
1
De nicja Promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego nazywamy liczb¦ R okre±lon¡ wzorem:
0, gdy lim
n→∞
p|cn n| = ∞ 1
n→∞lim
p|cn n|, gdy 0 < lim
n→∞
p|cn n| < ∞
∞, gdy lim
n→∞
p|cn n| = 0
Uwaga Promie« zbie»no±ci R mo»e te» by¢ obliczany ze wzorów
R = lim
n→∞
1
p|cn n| lub R = lim
n→∞
cn cn+1
, o ile granice w tych wzorach istniej¡.
Twierdzenie (Cauchy'ego-Hadamarda)
Niech 0 < R < ∞ b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego
∞
X
n=0
cn(x − x0)n. Wtedy szereg ten jest zbie»ny bezwzgl¦dnie w ka»dym punkcie przedziaªu (x0− R, x0+ R)i rozbie»ny w ka»dym punkcie zbioru (−∞, x0− R) ∪ (x0+ R, ∞).
Uwaga
• Na ko«cach przedziaªu (x0− R, x0+ R)szereg mo»e by¢ zbie»ny lub rozbie»ny.
• Je»eli R = 0 to szereg jest zbie»ny tylko w punkcie x0.
• Je»eli R = ∞, to szereg jest zbie»ny bezwzgl¦dnie na caªej prostej R.
• Zbiór tych x ∈ R, dla których szereg pot¦gowy
∞
X
n=0
cn(x − x0)n jest zbie»ny, nazywamy jego przedziaªem zbie»no±ci.
Przykªady Znale¹¢ przedziaªy zbie»no±ci szeregów pot¦gowych:
1.
∞
X
n=1
√n(x + 1)n n + 1 , 2.
∞
X
n=1
(5x − 10)n, 3.
∞
X
n=1
xn nen,
Szereg Taylora. Szereg Maclaurina.
De nicja Niech funkcja f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rz¦du. Szereg pot¦gowy
∞
X
n=0
f(n)(x0)
n! (x − x0)n= f (x0) +f0(x0)
1! (x − x0) +f00(x0)
2! (x − x0)2+ . . .
nazywamy szeregiem Taylora funkcji f o ±rodku w punkcie x0. Je»eli x0= 0to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina.
2
Uwaga Przypomnijmy, »e n-ta reszta Rn(x)we wzorze Taylora (czyli reszta Lagrange'a) dla funkcji f jest postaci
Rn(x) = f(n)(c)
n! (x − x0)n, gdzie c ∈ (x0, x)lub c ∈ (x, x0).
Twierdzenie (o rozwijaniu funkcji w szereg Taylora) Je»eli
1. funkcja f ma na otoczeniu O punktu x0 pochodne dowolnego rz¦du oraz 2. dla ka»dego x ∈ O granica lim
n→∞Rn(x) = 0, to f (x) =
∞
X
n=0
f(n)(c)
n! (x − x0)n dla ka»dego x ∈ O.
Uwaga W zaªo»eniu 2. punkt c zale»y od n i od x. Zamiast tego mo»na przyj¡¢, »e wszystkie pochodne funkcji f s¡ wspólnie ograniczone, tzn. »e istnieje liczba dodatnia M taka, »e
|fn(x)| ≤ M dla ka»dego n ∈ N ∪ {0} oraz dla ka»dego x ∈ O.
Szeregi Maclaurina niektórych funkcji elementarnych 1
1 − x =
∞
X
n=0
xn= 1 + x + x2+ x3+ . . . dla |x| < 1,
ex=
∞
X
n=0
xn
n! = 1 + x 1!+x2
2! +x3
3! + . . . dla x ∈ R,
sin x =
∞
X
n=0
(−1)n
(2n + 1)!x2n+1= x −x3 3! +x5
5! −x7
7! + . . . dla x ∈ R,
cos x =
∞
X
n=0
(−1)n
(2n)!x2n= 1 − x2 2! +x4
4! −x6
6! + + . . . dla x ∈ R.
Rozwini¦cia innych funkcji elementarnych znale¹¢ mo»na np. w podr¦czniku M. Gewerta i Z. Sko- czylasa Analiza matematyczna 2. De nicje, twierdzenia, wzory.
Przykªady Znale¹¢ szeregi Maclaurina podanych funkcji i okre±li¢ przedziaªy ich zbie»no±ci:
1. f (x) = 5
1 + 2x, 2. f (x) = x2e−x, 3. f (x) = sinx
2, 4. f (x) = x3 16 − x2.
Twierdzenie (o jednoznaczno±ci rozwini¦cia funkcji w szereg pot¦gowy) Je»eli f(x) =
∞
X
n=0
cn(x − x0)n dla ka»dego x z pewnego otoczenia punktu x0, to
cn= f(n)(x0)
n! dla n = 0, 1, 2, · 3
Uwaga
1. Inaczej mówi¡c, je»eli na otoczeniu punktu funkcja jest sum¡ pewnego szeregu pot¦gowego, to jest to jej szereg Taylora.
2. Znaj¡c rozwini¦cie funkcji w szereg pot¦gowy f(x) =
∞
X
n=0
cn(x − x0)n i korzystaj¡c z powy»szego twierdzenia, mo»na obliczy¢ warto±¢ pochodnej
f(n)(0) = cn· n!.
Przykªady
Korzystaj¡c z rozwini¦¢ Maclaurina funkcji elementarnych, obliczy¢ wskazanie pochodne:
1. f(50)(0), dla funkcji f(x) = x2cos x, 2. f(2015)(0), dla funkcji f(x) = xe−x, 3. f(10)(0), dla funkcji f(x) = x sin2 x2.
Twierdzenie (o ró»niczkowaniu i caªkowaniu szeregów pot¦gowych) Niech 0 < R ≤ ∞ b¦dzie promieniem zbie»no±ci szeregu pot¦gowego
∞
X
n=0
cnxn. Wtedy:
1.
∞
X
n=0
cnxn
!0
=
∞
X
n=1
ncnxn−1dla ka»dego x ∈ (−R, R),
2.
x
Z
0
∞
X
n=0
cntn
!
=
∞
X
n=0
cn
n + 1xn+1dla ka»dego x ∈ (−R, R).
Przykªady Wyznaczy¢ szeregi pot¦gowe f0(x)oraz
x
Z
0
f (t) dtdla funkcji:
1. f (x) = 1
1 + x3, 2. f (x) = sin x2.
Przykªady Stosuj¡c twierdzenie o ró»niczkowaniu i caªkowaniu szeregów pot¦gowych, obliczy¢
sumy szeregów:
1.
∞
X
n=2
n(n + 1) 5n , 2.
∞
X
n=0
1 (n + 1)3n.
4
