Ćwiczenia nr 9, RP, 13.5.2020 Różne rodzaje zbieżności Zadanie 1. Zmienna losowa X ma wariancję σ2< ∞. Udowodnij, że
P(|X − EX| > 3σ) ¬ 1 9.
Zadanie 2. Udowodnij, że jeśli 1 ¬ p < p0, to kXkp¬ kXkp0, gdzie kXkp= (E|X|p)1/p.
Zadanie 3. Niech zmienna losowa ma skończoną wartość oczekiwaną. Udowodnij, że E|X − t| jest najmniejsza, gdy t jest medianą.
Zadanie 4. Dla zmiennej losowej X kładziemy
Xn := X1{|X|<n}+1 nX.
Czy Xn P
−→ X? Czy Xn
−−→ X? Cz Xp.n. n zbiega do X w L1?.
Zadanie 5. Niech (Xn: Ω → R) będzie ciągiem zmiennych losowych. Udowodnij, że {ω ∈ Ω : limn→∞Xn(ω) = X(ω)} jest zdarzeniem.
Zadanie 6. Udowodnij, że Xn
−−→ X wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ε > 0 mamyp.n.
N →∞lim P(
∞
[
n=N
|Xn− X| > ε) = 0.
Zadanie 7. Niech (Xi) będzie ciągiem zmiennych losowych, a (εn) malejącym ciągiem liczb zbieżnym do zera.
Udowodnij, że jeśli
∞
X
n=1
P(|Xn− X| > εn) < ∞, to Xn zbiega do X (p.n.).
Zadanie 8. Udowodnij, że granica według prawdopodobieństwa jest wyznaczona jednoznacznie.
Zadanie 9. Niech Xn P
−→ X, Yn P
−→ Y . Udowodnij, że (a) Xn+ Yn P
−→ X + Y , (b) Xn· Yn P
−
→ X · Y.
Czy powyższe implikacje są prawdziwe, jeśli zbieżność w P zamienimy na zbieżność w Lp? Zadanie 10. (a) Udowodnij nierówność
P(|X| ε) ¬ Eg(|X|) g(ε) , gdzie g : [0, ∞) → R jest dowolną funkcją niemalejącą.
(b) Udowodnij, że Xn P
−→ X wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg E |Xn− X|
1 + |Xn− X|
jest zbieżny do zera.
Zadanie 11. Niech ρ(X, Y ) = E1+|X−Y ||X−Y | , gdzie X, Y są zmiennymi losowymi. Udowodnij, że ρ jest metryką zupełną na przestrzenie wszystkich zmiennych losowych m a(Ω, F , P). Proszę zauważyć, że Xn −→ X ⇔P ρ(Xn, X) → 0.
Zadanie 12. Niech ρ0(X, Y ) = E min(|X−Y |, 1). Uzasadnij, że limn→∞ρ0(Xn, X) = 0 ⇐⇒ limn→∞ρ(Xn, X).
1
Zadanie 13. Niech λ ∈ [0, 1] i EX 0, 0 < EX2< ∞. Udowodnij, że
P(X > λEX) (1 − λ)2(EX)2 EX2
Zadanie 14. Wykazać, że ciąg (Xn) jest zbieżny według prawdopodobieństwa do pewnej zmiennej losowej X wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych ε, ε0 > 0 istnieje N , że dla m, n > N zachodzi P(|Xn− Xm| >
ε) < ε0.
Zadanie 15. Niezależne zmienne losowe (Xn) mają ten sam rozkład dwupunktowy P(Xn= 1) = P(Xn= 0) =
1
2. Udowodnij, że (Xn) nie jest zbieżny p.n. Czy (Xn) jest zbieżny według prawdopodobieństwa?
Zadanie 16. Rozważmy niezależne zmienne losowe X1, X2, . . ., przy czym Xn ma rozkład jednostajny na zbio- rze {1, 2, . . . , n}. Czy zmienne 1/Xn zbiegają prawie na pewno?A jeśli Xn∼ U ({1, 2, . . . , n2}) ?
Zadanie 17. Przypuśćmy, że ciąg zmiennych losowych (Xn) zbiega do zmiennej losowej X względem prawdo- podobieństwa. (Xn P
−→ X). Udowodnij, że istnieje podciąg (Xnk) zbieżny p.n. do X.
Zadanie 18. Udowodnij, że jeśli Xn L
p
−−→ X, Yn−L−→ Y , gdzie 1 < p, q są takie, żeq 1p+1q = 1, to Xn·Yn−L−→ X ·Y .1
2
