1
Wykład XVI Mechanika kwantowa
Jednowymiarowy problem rozpraszania
Rozważamy rozpraszanie cząstek padających na barierę potencjału pokazaną na rysunku.
Rozwiązanie równania Schrödingera dla x<0 ma postać rozwiązania swobodnego, czyli
− ±
= exp ( )
) ,
( i Et px
A x
t h
ψ ,
gdzie p jest pędem cząstki,
m E p
2
2
= jej energią, a A stałą normalizacyjną.
Przyjmujemy, że p>0, więc rozwiązanie z minusem odpowiada fali poruszającej się w prawo, a rozwiązanie z plusem odpowiada fali poruszającej się w lewo.
Rozwiązanie dla x<0 wybieramy w postaci
−
+
=
h h
B ipx A ipx
x) exp exp
ϕ( ,
gdzie pierwszy człon odpowiada cząstkom padającym na barierę, drugi zaś cząstkom odbitym od bariery. Pominęliśmy tutaj zależność czasową, tzn. ϕ(x)
jest rozwiązaniem równania Schrödingera bez czasu. Rozwiązanie dla x >a
odpowiadające cząstkom poruszającym się w prawo ma tylko jeden człon
=
h C ipx x) exp
ϕ( .
Aby lepiej zrozumieć sens stałych A, B i C obliczmy prąd prawdopodo- bieństwa
−
= (, ) *(, ) (, )
) , ( 2 *
) ,
( t x
dx x t d dx
x t x d im t
x t
S ψ ψ ψ
h ψ
odpowiadający rozwiązaniom dla x<0 i dla x >a. Znajdujemy
( )
<
<
−
=
. ,
, 0 ,
) , (
2 2 2
x a m C
p
x B m A
p x t S
2
Wykład XVI cd. Mechanika kwantowa
A zatem prąd prawdopodobieństwa równy jest kwadratowi modułu stałej normalizacyjnej razy prędkość. Uzasadnia to zdefiniowanie współczynników odbicia od bariery (R) (reflection) i przejścia przez barierę (T) (transmission) jako
2 2 2
2
,
A T C A
R≡ B ≡ .
Aby znaleźć współczynniki odbicia i przejścia, należy określić rozwiązanie w obszarze 0<x <a. Jego postać zależy od tego, czy energia cząstki jest większa czy mniejsza niż wysokość bariery.
1) E > V0
−
+
=
h h
F ikx D ikx
x) exp exp
ϕ( , k = 2m(E−V0)
2) E < V0
−
+
=
h h
F x D x
x χ χ
ϕ( ) exp exp , χ= 2m(V0 −E).
Musimy teraz „zszyć” rozwiązania w x=0 i x =a. Żądamy, aby funkcja falowa i jej pochodna były ciągłe. Rozważamy kolejno przypadek 1) i 2).
1) Przypadek E > V0
Warunki zszycia mają postać
x=0, A+B=D+F, p(A−B)=k(D−F)
x =a,
=
−
+
h h
h
C ipa F ika
Dexp ika exp exp ,
=
−
−
h h
h
pC ipa F ika
D ika
k exp exp exp .
Mamy 4 równania na 5 stałych normalizacyjnych A,B,C,D,F, możemy więc wyrazić stałe B,C,D,F przez stałą A. Równania zapisujemy jako
=
−
−
=
−
+
−
=
−
+
= +
. exp exp
exp
, exp exp
exp
), (
,
h h
h
h h
h
C ipa k p F ika
D ika
C ipa F ika
D ika
F p D B k A
F D B A
3
Wykład XVI cd. Mechanika kwantowa
Dodając i odejmując stronami równania 1) i 2) oraz 3) i 4) dostajemy
= −
−
+
=
+ +
= −
+ −
= +
. 2 exp
exp
, 2 exp
exp
2 , 2
2 , 2
h h
h h
C ipa k
p k F ika
C ipa k
p k D ika
p F k D p
p k B p
p F k D p
p k A p
Z pierwszego równania wyznaczamy
−
+ −
= F
p k A p k p D p
2
2 i podstawiamy do
równania trzeciego. Dzieląc teraz stronami równanie trzecie przez czwarte dostajemy
p k
p k ika p
k p F
A k p
p
−
= +
−
+ − exp 2 h
2
2 ,
co daje
A p ika k
p k
p k F p
2
2exp 2 ( )
) (
) ( 2
−
−
− +
= −
h
.
Teraz z pierwszego równania wyznaczamy
+
− −
= D
p k A p k p F p
2
2 i podstawiamy
do równania trzeciego. Dzieląc stronami czwarte równanie przez trzecie dostajemy
p k
p k ika p
k p D A k p
p
+
= −
−
+
− − exp 2 h
2
2 ,
co daje
ika A p
k p k
p k D p
−
− +
= +
2 h exp ) ( ) (
) ( 2
2 2
.
Mając wyznaczone stałe D i F możemy znaleźć stosunki C/A oraz B/A. Pierwszy z nich znajdujemy podstawiając znalezione D i F do, odpowiednio, trzeciego lub czwartego równania. Tak otrzymujemy
−
− +
−
=
h h
p ika k p k
a p k pk i
A C
2 exp ) ( ) (
) exp (
4
2 2
.
4
Wykład XVI cd. Mechanika kwantowa
Stosunek B/A znajdujemy podstawiając znalezione D i F do drugiego równania
( )
−
− +
−
−
=
h h p ika k p k
k ika p A B
2 exp ) ( ) (
2 exp 1
2 2
2 2
.
Współczynniki odbicia i przejścia przyjmują postać
1 2
0 2 0 2
2
)sin (
1 4
−
+ −
=
≡ h
ka V
E E
V A
T C ,
1
2 2
0 0 2
2
sin 1 ) ( 1 4
−
+ −
=
≡
h V ka
V E E A
R B .
Zauważmy, że T + R=1, co wyraża zasadę zachowania prawdopodobieństwa – cząstka może się odbić od bariery lub przez nią przejść. Zauważmy też, że klasycznie mielibyśmy T =1,R=0dla przypadku E > V0. Kwantowo
1
=
T ,R=0występuje, gdy ka=0,
π
h,2π
h,3π
h,K czyli pod barierą mieści się całkowita liczba połówek fali de Borglie’a. Warto też zauważyć, że granicaV0
E → nie jest osobliwa. Mamy wtedy
1
2 2 0
1 2
−
+
= h
a
T mV ,
1
2 0
2 2
1
−
+
= mVa
R h
.
2) Przypadek E < V0
Zauważmy, że wystarczy w końcowych wzorach zamienić k na −iχ, co daje
+
−
−
−
−
=
h h
p a i p i
a ip ip
A C
χ χ χ
χ χ
2 exp ) ( ) (
) exp (
4
2 2
,
( )
+
−
−
− +
=
h h p a i p i
p a
A B
χ χ χ
χ χ
2 exp ) ( ) (
2 exp 1
2 2
2 2
.
Współczynniki odbicia i przejścia równe są
1 2
0 2 0 2
2
)sinh (
1 4
−
+ −
=
≡ h
ka E
V E
V A
T C ,
1
2 2
0 0 2
2
sinh 1 ) ( 1 4
−
+ −
=
≡
h V ka
E V E A
R B .
Tak jak poprzednio mamy T+ R=1. Zauważmy też, że klasycznie mielibyśmy
=0
T ,R=1dla przypadku E < V0. Kwantowo natomiast T >0, co oznacza zachodzenie zjawiska tunelowego przejścia pod barierą.
