Wykład VIII Mechanika kwantowa

1

Wykład VIII Mechanika kwantowa

Dwucząstkowe równanie Schrödingera

Dwucząstkowa funkcja falowa (t,r₁,r₂)

2 2 1, ) , (t r r

 - gęstość prawdopodobieństwa znalezienia w chwili czasu t cząstki 1 w punkcie r1 i cząstki 2 w punkcie r2.

Dwucząstkowe równanie Schrödingera

Funkcja falowa (t,r₁,r₂) spełnia równanie Schrödingera

) , , ( ) ( ) , ( ) , 2 (

) 2 , , ˆ ( ) , , (

2 1 2

1 2

2 1 1 2

2 2

1 1 2 2

1 2

1 r r r r r r r r r

r V t V t V t

m t m

t H

i  t  



 



       



 

  



) , ( _i

i t

V r - energia potencjalna i-tej cząstki, i1,2, wynikająca z oddziaływania z zewnętrznym polem sił;

) (r₁r₂

V - energia potencjalna pary cząstek związana z ich oddziaływaniem wzajemnym.

Separacja ruchu względnego i ruchu środka masy Zakładamy, że V_i(t,r_i)0 i wprowadzamy zmienne:











 

2 1

2 2 1 1

r r r

r R r

M m m

















r R r

r R

r

M m M m

1 1

2 1

M m₁m₂

Wyrażamy R,r,r₁,r₂ przez współrzędne kartezjańskie









) , , (

) , , (

z y x

Z Y X r

R









) , , (

) , , (

2 2 2 2

1 1 1 1

z y x

z y x r

r

i obliczamy

x X M m x x

x X x X

x 

 



 







 











 ₁

1 1

1

, M X x

m x x

x X x X

x 

 



 







 







 



 ₂

2 2

2

,

2 2 2

1 2 2 2 1 2 1

2 1 2

2M X x x m

X M m x

X M m

x 

 





 



 



 







 







 



 



 ,

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2 2 2

2M X x x m

X M m x

X M m

x 

 





 



 



 







 







 



 



 .

- położenie środka masy - położenie względne

2

Wykład VIII cd. Mechanika kwantowa

A zatem ₂

2 2

2 2

2 2

2 2 1 2

1

1 1

1 1

x X

M x m x

m 

 



 



 





 M

m m_{1 2}

  - masa zredukowana układu cząstek, m₁m₂  m₁.

Ponieważ ₂

1 2 2 1 2 2 1 2

1 x y z

 



 



 

 i ₂

2 2 2 2 2 2 2 2

2 x y z

 



 



 

 , ostatecznie dostajemy

r

M R

m

m       

 1 1

1 1

2 2 1 1

.

W nowych zmiennych dwucząstkowe równanie Schrödingera przybiera postać

) , , ( ) 2 (

2 )

, ,

( ^{2 2}

r R r r

R V t

M t

i t ^{R r} 



 

 



    

 

  

 .

Dokonując separacji zależności od czasu tak jak w przypadku jednocząstkowego równania Schrödingera, otrzymujemy dwucząstkowe równanie Schrödingera bez czasu

) , ( )

, ( ) 2 (

2

2 2

r R r

R

r  

 ^{V U}

M

r

R  



 



    

,

gdzie (t,R,r)e^iUt(R,r), a U jest całkowitą energią pary cząstek.

Zakładamy teraz, że funkcję (R,r) można przedstawić w postaci

) ( ) ( ) ,

(R r  R  r

  i rozseparowujemy zależność od R od zależność od r w równaniu Schrödingera bez czasu:

) ( ) ( ) 1 ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 2 (

) ( ) 2 (

) (

2 2

r r R

R r

R r r R

R

r       

 



      

 V U

M

r

R 



U M V

E E

U

r

R    

 













 







 









 





 



 ( ) ( )

2 ) ( ) 1 2 (

) (

1 ^{2 2}

r r r

R R 



 

 .

Widzimy, że pierwszy człon zależy tylko R, a drugi tylko od r, więc muszą się równać odpowiednio dobranym stałym, aby równanie było spełnione dla

każdego R i r. Dostajemy więc dwa równania Schrödingera bez czasu:











 



 



  



 



) ( ) ( ) 2 (

) ( ) ( ) 2 (

2 2

r r

r

R R



 





E V

E M U

r R





- swobodny ruch środka masy pary cząstek - ruch względny pary cząstek