Monotoniczność funkcji 1. Cele lekcji

Monotoniczność funkcji 1. Cele lekcji

a) Wiadomości

1. Uczeń zna związek pomiędzy monotonicznością funkcji określonej i różniczkowalnej w przedziale (a, b) a znakiem jej pochodnej.

2. Uczeń zna związek pomiędzy znakiem pochodnej funkcji a monotonicznością funkcji w przedziale (a, b).

b) Umiejętności

1. Uczeń potrafi zastosować odpowiednie twierdzenia do wyznaczania przedziałów monotoniczności funkcji.

2. Uczeń na podstawie wykresu funkcji potrafi podać przedziały otwarte, w których pochodna funkcji przyjmuje wartości dodatnie, ujemne.

3. Uczeń potrafi na podstawie wykresu pochodnej funkcji określić monotoniczność tej funkcji.

4. Uczeń potrafi połączyć przedstawione wykresy pewnych funkcji z wykresami pochodnych tych funkcji.

2. Metoda i forma pracy

Metoda problemowa, forma pracy: praca samodzielna, praca z całą klasą.

3. Środki dydaktyczne

Karty pracy.

4. Przebieg lekcji

a) Faza przygotowawcza

1. Powtórzenie wiadomości związanych z monotonicznością funkcji – pojęcie funkcji rosnącej, malejącej, nierosnącej, niemalejącej w zbiorze A.

2. Zapoznanie uczniów z tematem i objaśnienie form pracy stosowanych w trakcie lekcji.

3. Rozdanie uczniom kart pracy.

b) Faza realizacyjna

1. Wypełnienie przez uczniów pierwszej części karty pracy.

2. Wspólna analiza uzyskanych wyników – badanie związków między monotonicznością funkcji a znakiem jej pochodnej.

3. Zapisanie odpowiednich twierdzeń.

4. Część druga kart pracy – rozwiązywanie zadań.

c) Faza podsumowująca

Podsumowanie wiadomości – utrwalenie treści stosowanych twierdzeń.

5. Bibliografia

1. M. Karpiński, M. Dobrowolska, M. Braun, J. Lech, Matematyka III, GWO, Gdańsk 2004.

2. R. J. Pawlak, A. Rychlewicz, K. Żylak, Matematyka krok po kroku. Podręcznik dla klasy III liceum ogólnokształcącego. Zakres rozszerzony, Res Polona, wyd. I, Łódź

1

6. Załączniki

Karta pracy.

KARTA PRACY

Monotoniczność funkcji

Część pierwsza – wiadomości wstępne

Poniższe rysunki przedstawiają wykresy funkcji i wykresy ich pochodnych. Określ na ich podstawie przedziały monotoniczności poszczególnych funkcji oraz znak odpowiadających im pochodnych. Przeanalizuj zebrane dane i spróbuj ustalić związek między monotonicznością funkcji a znakiem jej pochodnej.

f

f '

g

g'

h

h'

Twierdzenie 1.

a) Jeśli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale (a, b) jest w tym przedziale rosnąca (lub niemalejąca), to jej pochodna w każdym punkcie tego przedziału ma wartość nieujemną.

b) Jeśli funkcja f określona i różniczkowalna w przedziale (a, b) jest w tym przedziale malejąca (lub nierosnąca), to jej pochodna w każdym punkcie tego przedziału ma wartość niedodatnią.

Twierdzenie 2.

Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale (a, b).

3

a) Jeśli ^f'

 





b) Jeśli f^'

 





c) Jeśli ^f'

 





d) Jeśli f^'

 





Jaką funkcją jest, według powyższego twierdzenia, funkcja f przedstawiona na wykresie?

Twierdzenie 3.

Niech f będzie funkcją różniczkowalną w przedziale





a) Jeśli f^'

 











 



b) Jeśli ^f'

 











 



Część druga – rozwiązywanie zadań

Zad. 1. Rysunek przedstawia wykres funkcji f . Na podstawie tego wykresu podaj przedziały, w których pochodna przyjmuje wartości dodatnie oraz przedziały, w których pochodna przyjmuje wartości ujemne.

(Nauczyciel przygotowuje odpowiedni wykres, dobrze byłoby zaznaczyć na nim tzw. „ostrza”, fragment funkcji stałej)

Zad. 2. Na podstawie wykresów funkcji ^{f ', g', h'} określ przedziały monotoniczności funkcji ^{f ,g} oraz h.

f '

g'

h'

Zad. 3. Na rysunkach a, b, c przedstawione są wykresy funkcji, a na rysunkach A, B, C przedstawiono wykresy pochodnych tych funkcji. Dla każdej funkcji wskaż wykres jej pochodnej.

5

a

b

c

A

B

C

Zad. 4. Funkcja f i jej pochodna są określone w zbiorze

^{R \}   ^{ 1 3,}

 f^'

 





 f^'

 



 

 

 



 ^{f '}

 



 



7

Spróbuj naszkicować przypuszczalny wykres tej funkcji.

Zad. 5.

O funkcji f wiadomo, że jest określona i różniczkowalna w R, ₂^11



 



f oraz jej pochodna ma wykres

przedstawiony na rysunku. Czy funkcja ta ma miejsce zerowe w przedziale 



 



 ,1 2

1 ? Odpowiedź uzasadnij.

f'

7. Czas trwania lekcji

45 minut

8. Uwagi do scenariusza

1. Zadania przedstawione są jedynie wstępem do badania monotoniczności funkcji. Należy jeszcze przeprowadzić co najmniej jedną lekcję poświęconą temu zagadnieniu. Badamy monotoniczność funkcji określonych wzorami.

2. W miarę możliwości należy przeprowadzić dowody twierdzeń.

3. Zadanie domowe z podręcznika lub zbioru zadań.