Zadania z teorii pola I (zestaw 6 - środa, 17.11.2010)

Zadania z teorii pola I (zestaw 6 - środa, 17.11.2010)

36. Proszę rozwiązać równania Killinga ∇^𝛼𝜉𝛽+ ∇^𝛽𝜉𝛼 = 0 dla następujących metryk:

(a) 𝑑𝑠² = 𝑑𝑥²+ 𝑑𝑦², (b) 𝑑𝑠² = 𝑑𝜃²+ sin²𝜃𝑑𝜙².

37. Proszę pokazać, że jeśli 𝜉 spełnia równanie Killinga to ∇^𝛼∇𝛽𝜉𝜆 = 𝑅𝜇𝛼𝛽𝜆𝜉^𝜇 .

38. Geodetyki w geomerii Schwarzschilda. Równania geodezyjnej w parametryzacji afinicznej można otrzymać z zasady wariacyjnej dla lagranżjanu 𝐿 = (1/2)𝑔𝛼𝛽˙𝑥^𝛼˙𝑥^𝛽. Dla metryki Schwarzschilda mamy:

𝐿 = −1 2

(

1 − 2𝑀 𝑟

)

˙𝑡²+1 2

(

1 −2𝑀 𝑟

)⁻¹

˙𝑟² +1

2𝑟²˙𝜃²+1

2𝑟²sin²𝜃 ˙𝜙². Definiujemy 𝜅 = −𝐿 i dalej rozważamy 2 przypadki:

(a) geodetyki zerowe: 𝐿 = −𝜅 ≡ 0,

(b) geodetyki czasowe; w parametryzacji czasem własnym: 𝐿 = −𝜅 ≡ −1/2.

Proszę pokazać, że:

(a) Ruch cząstek odbywa się w płaszczyźnie (tzn. geodetyki leżą w płaszczyźnie). Wskazówka:

skorzystać z równania Lagranga-Eulera dla 𝜃 z warunkami początkowymi (𝜃, ˙𝜃) = (𝜋/2, 0).

(b)

𝐸 = (

1 −2𝑀 𝑟

)

˙𝑡 oraz 𝐽 = 𝑟²𝜙˙

są całkami ruchu. Wskazówka: skorzystać z równań Lagranga-Eulera dla 𝑡 oraz 𝜙.

(c) Korzystając z punktu (b) pokazać, że ˙𝑟 spełnia równanie:

1

2˙𝑟²+ 𝑉 (𝑟) = 1

2𝐸², gdzie 𝑉 (𝑟) = 1 2

(

1 − 2𝑀 𝑟

) ( 𝐽² 𝑟² + 2𝜅

) ,

a więc ruch radialny jest opisany takim samym rówaniem jak ruch dla cząstki o jednos- tkowej masie i energii 𝐸²/2 w potencjale 𝑉 (𝑟) w mechanice klasycznej.

39. Korzystając z wyników zadania 38 proszę wyliczyć kąt, o jaki zakrzywia się trajektoria fotonu w geometrii Schwarzschilda. Wskazówki:

(a) Zdefiniować parametr 𝑏 = 𝐽/𝐸 i pokazać, że dla 𝑏 > 𝑏_𝑐 = 3√

3𝑀 trajektoria fotonu nadlatującego z daleka ma punkt zwrotny w 𝑟 = 𝑟⁰; znaleźć związek pomiędzy 𝑏 i 𝑟⁰. (b) Proszę pokazać, że trajektoria takiego fotonu spełnie równanie

𝑑𝜙 𝑑𝑟 = 𝐽

𝑟² [

𝐸²− 𝐽 𝑟²

(

1 − 2𝑀 𝑟

)]⁻¹/2

.

(c) Zdefiniować kąt ugięcia fotonu jako 𝛿𝜙 = 2

∫ ^∞

𝑟⁰

𝑑𝜙

𝑑𝑟 𝑑𝑟 − 𝜋 - uzasadnić tą definicję.

(d) W powyższej całce zamienić zmienną całkowania na 𝑥 = 𝑟⁰/𝑟 a następnie, rozwiajając wyrażenie podcałkowe w pierwszym rzędzie w małym parametrze 𝜀 = 2𝑀/𝑟0, pokazać że

𝛿𝜙 = 4𝑀 𝑟⁰ + 𝒪

(( 2𝑀 𝑟⁰

)²) .

40. Korzystając z wyniku poprzedniego zadania proszę wyliczyć ugięcie dla fotonu ślizgającego się po powierzchni Słońca.

(𝐺/𝑐² = 0.74 ⋅ 10⁻²⁸ cm/g).

A. Rostworowski http://th.if.uj.edu.pl/ arostwor/