Definicja 1.1 (funkcja mierzalna) Niech (X, M) - przestrzeń mierzalna. Funkcję f : X 7−→

Wykład 10

1 Funkcje mierzalne

Przez ¯ R będziemy oznaczali zbiór liczb rzeczywistych uzupełniony o dwa elementy: −∞, +∞.

Przyjmujemy, że przedziały (a, +∞ >, < −∞, a), a ∈ R są zbiorami otwartymi w ¯ R.

Definicja 1.1 (funkcja mierzalna) Niech (X, M) - przestrzeń mierzalna. Funkcję f : X 7−→

R nazywamy mierzalną względem σ-ciała M (lub krótko M − mierzalną), jeśli f ¯ ⁻¹ (G) ∈ M dla każdego zbioru G otwartego w ¯ R.

Uwaga: definicja ta przenosi się bezpośrednio na odwzorowania o wartościach w dowolnej przestrzeni metrycznej (a nawet topologicznej :-))

Przykład:

• Dowolna funkcja stała jest mierzalna.

• Jeśli f : R → R jest ciągła, to jest mierzalna.

Twierdzenie 1.1 Jeśli A ∈ M oraz f : A → ¯ R, to następujące warunki są równoważne:

a) funkcja f jest M-mierzalna;

b) dla każdego przedziału P postaci P =< −∞, a), a ∈ R zachodzi:

(*)

f ⁻¹ (P ) ∈ M;

c) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P =< −∞, a >, a ∈ R;

d) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P = (a, +∞ >, a ∈ R;

e) (*) zachodzi dla każdego przedziału P postaci P =< a, +∞ >, a ∈ R.

Twierdzenie 1.2 Niech f : X → ¯ R - M - mierzalna, g : R → ¯ R - ciągła. Wtedy złożenie ¯ g ◦ f jest M - mierzalne.

Twierdzenie 1.3 Jeśli funkcja f : A → ¯ R jest M-mierzalna, to: ∀ a∈ ¯ R zbiory {x ∈ X : f (x) = a}, {x ∈ X : f (x) 6= a} są mierzalne

Twierdzenie 1.4 Jeśli funkcje f, g : A → ¯ R są M-mierzalne oraz suma f +g jest wykonalna (tzn. dla żadnego x ∈ A liczby f (x) i g(X) nie są jednocześnie nieskończonościami różnych znaków), to jest ona funkcją mierzalną. Podobnie dla funkcji f − g,

f · g, max{f, g}, min{f, g}.

Definicja 1.2 Częścią nieujemną funkcji f nazywamy funkcję f ⁺ = max{f, 0}, a częścią niedodatnią f ⁻ = max{−f, 0}.

Stwierdzenie 1.1 Następujące warunki są równoważne:

1

(i) f jest mierzalna;

(ii) f ⁺ i f ⁻ są mierzalne;

(iii) |f | i jedna z funkcji f ⁺ , f ⁻ jest mierzalna.

Definicja 1.3 (granica górna i dolna) Niech (f _n ) _n∈N będzie ciągiem funkcji o wartościach w ¯ R określonych na przestrzeni X. Granicą górną ciągu funkcyjnego (f ⁿ ) _n∈N nazywamy funk- cję:

lim sup

n→∞ f _n (x) = lim

n→∞ (sup{f _n+k (x) : k ∈ N}).

Analogicznie, granicą dolną nazywamy funkcję:

lim inf

n→∞ f n (x) = lim

n→∞ (inf{f n+k (x) : k ∈ N}).

Zauważmy, że granice te zawsze istnieją (skończone lub nie), gdyż ciągi:

(sup{f n+k (x) : k ∈ N}) n∈N , (inf{f _n+k (x) : k ∈ N}) n∈N

są monotoniczne (odpowiednio nierosnący i niemalejący). Bezpośrednio z definicji wynika następujące

Stwierdzenie 1.2

∀ _x∈X lim inf

n→∞ f _n (x) ¬ lim sup

n→∞

f _n (x),

przy czym powyższa nierówność staje się równością wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje granica lim n → ∞f _n (x) (i jest ona wtedy oczywiście równa granicy dolnej i górnej).

Stwierdzenie 1.3 Niech (f _n ) _n∈N będzie ciągiem funkcji o wartościach w ¯ R określonych na przestrzeni X M-mierzalnych. Wtedy funkcje lim sup _n→∞ f _n i lim inf _n→∞ f _n są mierzalne.

Ponadto zbiór A = {x ∈ X : lim _n→∞ f _n (x)istnieje} jest mierzalny i granica lim _n→∞ f _n jest funkcją mierzalną.

2 Konstrukcja całki Lebesgue’a

Uwaga: mówiąc ”funkcja nieujemna” mamy na myśli funkcję ze zbioru X ⊂ R o wartościach w ¯ R + .

Definicja 2.1 funkcją charakterystyczną zbioru A ⊂ X nazywamy funkcję χ _A : X → R określoną wzorem:

χ A (x) =

( 1 dla x ∈ A 0 dla x / ∈ A

Definicja 2.2 Funkcją prosta nazywamy funkcję o skończonym zbiorze wartości.

Każdą funkcję prosta można przedstawić w następującej postaci:

f =

n

X

i=1

a _i χ _A

, gdzie A _i = {x ∈ X : f (x) = a _i }

2

Twierdzenie 2.1 Jeśli f jest nieujemną funkcją mierzalną, to istnieje niemalejący ciąg f _n funkcji prostych nieujemnych i mierzalnych, takich że ∀ x∈X lim n→∞ f _n (x) = f (x).

Definicja 2.3 Niech f n = ^{P n} _i=1 a i χ A

- nieujemna funkcja prosta mierzalna określona na zbiorze X. Całką funkcji f względem miary µ nazywamy liczbę (skończoną lub nie):

Z

X

f (x)dµ =

n

X

i=1

a _i µ(A _i ).

Definicja 2.4 Niech f -nieujemna, mierzalna funkcja, f _n - ciąg nieujemnych mierzalnych funkcji prostych zbieżnych punktowo do f . Całką na zbiorze X funkcji f względem miary µ nazywamy liczbę:

Z

X

f (x)dµ(x) = lim

n→∞

Z

X

f _n (x)dµ(x).

Definicja 2.5 Niech f - funkcja mierzalna. Jeśli przynajmniej jedna z wielkości:

Z

X

f ⁺ (x)dµ(x);

Z

X

f ⁻ (x)dµ(x) jest skończona, to całką funkcji f względem miary µ nazywamy:

Z

X

f (x)dµ(x) =

Z

X

f ⁺ (x)dµ(x) −

Z

X

f ⁻ (x)dµ(x).

Definicja 2.6 Funkcję mierzalną f nazywamy całkowalną w sensie Lebesgue’a na zbiorze A jeśli:

Z

A

f (x)dµ(x) jest skończona.

Definicja 2.7 Niech A ⊂ X. Całkę na mierzalnym zbiorze A ⊂ X funkcji f względem miary µ definiujemy:

Z

A

f (x)dµ(x) =

Z

X

f (x)χ _A (x)dµ(x)

3