Proponowane tematy prac magisterskich
• Czy algorytmy liniowe sa optymalne dla zada´, n liniowych?
Algorytmy rozwiazuj, ace zadania liniowe takie jak ca lkowanie czy aproksymacja funkcji, zwykle zale˙za liniowo od danych. (Przyk ladem s, a kwadratury.) Powstaje wi, ec pytanie, czy zawsze tak jest, tzn. czy algorytmy optymalne sa zawsze liniowe. Odpowied´, z zale˙zy oczywi´scie od danego zadania i przyjetego modelu b l, edu i kosztu algorytmu. To raczej, teoretyczna praca; polega laby na zebraniu i jednolitym opracowaniu wynik´ow na ten temat.
(Leszek Plaskota)
• Metody quasi Monte-Carlo dla ca lkowania funkcji wielu zmiennych
Wsp´o lczesne skomplikowane modele matematyczne zjawisk rzeczywistych wymagaja, czesto obliczania ca lki (warto´sci oczekiwanej) funkcji bardzo wielu zmiennych. Na-, rzucajace si, e metody tensorowe bazuj, ace na kwadraturach dla funkcji jednej zmien-, nych nie sa ˙zadnym rozwi, azaniem problemu ze wzgl, edu na zjawisko przekle´, nstwa wy- miaru. Powszechnie stosowana jest wiec niedeterministyczna metoda Monte-Carlo,, kt´orej zbie˙zno´s´c nie zale˙zy od wymiaru. Szybko´s´c zbie˙zno´sci nie jest jednak impo- nujaca, a poza tym wynik ma charakter losowy. Dlatego w ostatnich latach metody, Monte Carlo sa zast, epowane metodami quasi-Monte Carlo (QMC), kt´, ore sa szybciej, zbie˙znymi deterministycznymi odpowiednikami Monte Carlo. Praca polega laby na opi- sie istoty metod QMC i praktycznym zastosowaniu kilku jej wariant´ow.
(Leszek Plaskota)
• Testy numeryczne metody dekompozycji obszaru dla metody hp-DGFEM
Zadanie polega na eksperymentalnym zbadaniu zale˙zno´sci r´ownoleg lej efektywno´sci metody dekompozycji obszaru w rozbiciu na bardzo wiele ma lych zada´n. Co´s dla os´ob lubiacych programowa´, c i chcacych zapozna´, c sie z tym, jak wykorzystuje si, e, r´ownoleg lo´s´c w rozwiazywaniu zada´, n in˙zynierskich. Publikowalne, je´sli wyniki oka˙za, sie ciekawe.,
(Piotr Krzy ˙zanowski)
• Modelowanie przep lywu przez naczynie krwiono´sne
Praca aplikacyjna, z wykorzystaniem pakietu oblicze´n numerycznych FEniCS. Nale˙zy dokona´c optymalizacji kata odej´scia wszczepionego naczynia krwiono´snego tak, by zmi-, nimalizowa´c pewna funkcj, e celu, opisan, a przez medyka. Perspektywa dalszej wsp´, o lpracy.
(Piotr Krzy ˙zanowski)
1
• Metoda Schwarza dla zadania liniowej elastyczno´sci
Tematem jest popularna metoda r´ownoleg lego rozwiazywania zadania liniowej ela-, styczno´sci. Do wyboru wariant polegajacy na szczeg´, o lowym rozpisaniu dowod´ow lub wariant polegajacy na implementacji i testach metody w MATLAB-ie lub Octave., (Leszek Marcinkowski)
• Wymierne krzywe geometrycznie sklejane
G ladka krzywa lub powierzchnia mo˙ze by´c opisana przy uzyciu nie-g ladkich parame- tryzacji. Z drugiej strony, g ladko´s´c (tj. istnienie wielu ciag lych pochodnych) parame-, tryzacji nie gwarantuje g ladko´sci krzywej, kt´ora mo˙ze mie´c np. punkty nieciag losci, stycznej. G ladko´s´c kszta ltu obiekt´ow krzywoliniowych ma istotne znaczenie w projek- towaniu wspomaganym komputerem i dlatego ten temat jest intensywnie badany, w celu matematycznego zrozumienia pojecia g ladko´sci i opracowania efektywnych algo- rytm´ow przetwarzania krzywych i powierzchni. Jednym z pomys l´ow jest zastosowanie tzw. krzywych β-sklejanych. Maja one parametryzacje sklejan, a (tj. kawa lkami wielo-, mianowa), kt´, ora jest ciag la, ale ma nieci, ag l, a pochodn, a. Mimo to taka reprezentacja, umo˙zliwia projektowanie krzywych g ladkich. Znaczne poszerzenie mo˙zliwo´sci modelo- wania daje u˙zycie parametryzacji kawa lkami wymiernych, jednak stosunkowo niewiele publikacji dotyczy krzywych opisanych przez sklejane nie-g ladkie parametryzacje wy- mierne. Celem pracy jest zbadanie tego tematu i opracowanie podstawowych algoryt- mow przetwarzania takich krzywych.
(Przemys law Kiciak)
• Powierzchnie reprezentowane za pomoca siatek,
Tzw. siatka jest struktura danych umo˙zliwiaj, ac, a reprezentowanie powierzchni wielo-,
´sciennych lub g ladkich o arbitralnie ustalonej topologii (np. dysku, walca, torusa z jednym lub wieloma otworami itp.). Istnieje wiele algorytm´ow przetwarzania takich siatek, np. zageszczanie, wytwarzaj, ace ci, ag siatek zbie˙zny do g ladkiej powierzchni gra-, nicznej, sklejanie lub rozcinanie siatek, operacje eulerowskie, konstrukcyjna geometria bry l itd. Celem pracy mo˙ze by´c implementacja wybranych operacji, a tak˙ze badanie w lasnosci powierzchni granicznych dla pewnych (nie opisanych dotad w literaturze), operator´ow zageszczania. Praktycznym zastosowaniem wynik´, ow pracy mo˙ze by´c dru- kowanie 3D.
(Przemys law Kiciak)
• Kinematyka prosta i odwrotna
La´ncuchy kinematyczne sa zespo lami obiekt´, ow (tzw. cz lonow) po laczonych w pary, kinematyczne, takie jak zawias lub para przesuwna. Po lo˙zenie wszystkich cz lonow
2
la´ncucha jest opisane za pomoca tzw. zmiennych artykulacji. Znalezienie tych po lo˙ze´, n, je´sli parametry artykulacji sa dane, to tzw. zagadnienie kinematyki prostej., Jesli za´s nale˙zy obliczyc warto´sci parametr´ow dla zadanego po lo˙zenia pewnych cz lon´ow la´ncucha, to mamy do czynienia z zadaniem kinematyki odwrotnej. Zadanie to w og´olno´sci polega na rozwiazaniu pewnego uk ladu (zwykle kilku do kilkudziesi, eciu), r´owna´n nieliniowych. Celem pracy jest dobranie najbardziej odpowiednich metod numerycznych do tego zadania i zaimplementowanie algorytmu dla programu reali- zujacego animacje komputerowa.
(Przemys law Kiciak)
3
