Skrypt - Rachunek prawdopodobieństwa, W.Bolt, UG

1

Podstawy teorii miary probabilistycznej

1.1

Zbiory mierzalne – σ–ciało zbiorów

Załóżmy, że mamy jakiś zbiór Ω. Niech F będzie taką rodziną podzbiorów Ω, że:

• Ω ∈ F • A ∈ F ⇒ A0_{∈ F • ∀}

i∈IAi∈ F ⇒Si∈IAi∈ F Wtedy rodzinę F nazywamy σ–ciałem zbiorów.

Gdy dana jest pewna rodzina A podzbiorów zbioru Ω, σ–ciałem generowanym przez tą rodzinę, nazywamy naj-mniejsze (w sensie zawierania) σ–ciało zawierające A i oznaczamy σ(A). Można udowodnić, że σ(A) jest przekrojem wszystkich σ–ciał zawierających A. Gdy A ma n elementów i są one parami rozłączne, oraz spełniają warunek Sn

i=1Ai= Ω to σ(A) ma 2

n _elementów.

1.2

Zbiory borelowskie

Niech Ω = R. Wówczas σ–ciało generowane przez wszystkie zbiory otwarte zawarte w R oznaczmy przez B(R) i nazywamy rodziną zbiorów borelowskich. Rodzina ta zawiera w szczególności wszystkie przedziały (a, b).

Funkcję f : R → R nazywamy funkcją borelowską, gdy przeciwobrazy zbiorów postaci (−∞, a) są borelowskie. W szczególności wszystkie funkcje ciągłe, są borelowskie (ale nie wszystkie funkcje borelowskie są ciągłe).

1.3

Miara probabilistyczna

Niech dany będzie pewien zbiór Ω i σ–ciało F . Funkcję P : F → R+, spełniającą:

• P (∅) = 0, • P (S

i∈IAi) = Pi∈IP (Ai) dla parami rozłącznych zbiorów Ai.

nazywamy miarą. Jeśli dodatkowo spełniony jest warunek: P (X) = 1 to P nazywamy miarą probabilistyczną lub prawdopodobieństwem.

Trójkę (Ω, F , P ) nazywamy przestrzenią probabilistyczną.

2

Rozkład prawdopodobieństwa

2.1

Rozkład dyskretny

Niech (X, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Mówimy, że rozkład prawdopodobieństwa P jest dyskretny, jeśli istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór A ∈ F taki, że P (A) = 1.

2.2

Dystrybuanta rozkładu prawdopodobieństwa

Rozpatrzmy przestrzeń probabilistyczną (R, B(R), P ). Funkcję F : R → R, daną wzorem: F (t) = P ((−∞, t)) nazywa-my dystrybuantą rozkładu P . Dystrybuanta posiada następujące własności:

• ∀_t∈R0 ¬ F (t) ¬ 1,

• F jest lewostronnie ciągła, • F jest niemalejąca,

• F (−∞) = limt→−∞F (t) = 0,

• F (+∞) = limt→+∞F (t) = 1.

Punkty nieciągłości (punkty skokowe) F są tzw. nośnikami prawdopodobieństwa – tzn. prawdopodobieństwo każdego takiego punktu jest niezerowe. Jeśli rozkład prawdopodobieństwa jest dyskretny, to dystrybuanta jest ponadto stała między punktami skokowymi.

2.3

Rozkład ciągły

Mówimy, że miara probabilistyczna P określona na (R, B(R)) jest typu ciągłego, gdy istnieje funkcja f : R → R, taka, że P (A) =R

Własności gęstości miary probabilistycznej • R

Rf (x)dx = 1,

• f (x) ­ 0 prawie wszędzie (czyli zbiór punktów w których to nie jest prawda, ma miarę równą 0). Każda funkcja f : R → R która spełnia te własności jest gęstością pewnego rozkładu prawdopodobieństwa. Niech f będzie gęstością, a F dystrybuantą. Wtedy zachodzi:

F (x) = P ((−∞, x)) =

Z x −∞

f (t)dt

Dystrybuanta rozkładu typu ciągłego jest funkcją ciągłą. W punktach ciągłości f istnieje pochodna dystrybuanty i zachodzi: f (x) = F0(x).

Uwaga. Nie każda ciągła dystrybuanta jest dystrybuantą rozkładu typu ciągłego. Istnieją rozkłady które nie są ani ciągłe ani dyskretne.

3

Zmienna losowa

Zmienną losową _{nazywamy dowolną funkcję X : Ω → R taką, że ∀x∈R}{ω : X(ω) < x} ∈ F. W przypadku gdy F = 2Ω

, dowolna funkcja X : Ω → R jest zmienną losową.

3.1

Definicje podstawowe

Niech dana będzie przestrzeń probabilistyczna (Ω, F , P ), oraz pewna zmienna losowa X. Wówczas funkcja PX(A) =

P (X−1

(A)) jest miarą probabilistyczną, oraz (R, B(R), PX) jest przestrzenią probabilistyczną. Miarę PX nazywamy prawdopodobieństwem generowanym przez zmienną losową X.

Mając miarę PX odpowiadającą pewnej zmiennej losowej X możemy więc zdefiniować pojęcie dystrybuanty zmiennej losowej. Dystrybuantą zmiennej losowej X nazywamy funkcję FX: R → R daną wzorem1:

FX(t) = PX((−∞, t)) = P (X−1(−∞, t)) = P (X < t).

3.2

Dyskretna zmienna losowa

Zmienną losową X nazywamy zmienną typu dyskretnego, gdy istnieje co najwyżej przeliczalny zbiór B ∈ B(R), taki, że PX(B) = 1.

3.3

Ciągła zmienna losowa

Zmienną losową X zmienną typu ciągłego, gdy istnieje gęstość rozkładu prawdopodobieństwa PX.

3.4

Funkcja zmiennej losowej

Jeśli X jest zmienną losową, a g funkcją borelowską, to złożenie Y = g ◦ X jest również zmienną losową. Ponadto zachodzi:

PY(B) = Pg◦X(B) = P ({ω : g(X(ω)) ∈ B}) = P ({ω : X(ω) ∈ g−1(B)}) = PX(g−1(B)) Ponadto jeśli X jest typu ciągłego to mamy:

FY(y) = Z

{x:g(x)<y}

fX(x)dx.

Jeśli dodatkowo, wiemy że g jest różniczkowalna i ściśle rosnąca (g0(x) 6= 0), to:

FY(y) = Z y

g−1_(−∞)

(g−1(t))0fX(g−1(t))dt oraz

fY(y) = fX(g−1(y))(g−1(y))0= fX(g−1(y)) 1

g0_(g−1_(y)).

3.5

Niezależne zmienne losowe

Zmienne losowe X1, X2, . . . , Xn są niezależne jeżeli dla dowolnych zbiorów borelowskich B1, B2, . . . , Bn zachodzi:

P (X1= B1∧ X2= B2∧ . . . ∧ Xn = Bn) = P (X1= B1)P (X2= B2) · · · P (Xn= Bn)

3.6

Charakterystyki zmiennych losowych

3.6.1 Wartość oczekiwana

Wartością oczekiwaną zmiennej losowej X nazywamy liczbę EX.

W przypadku, gdy X jest zmienną typu ciągłego wartość oczekiwana ma wartość:

EX =X

i∈I

xipi.

o ile szereg jest bezwzględnie zbieżny (jeśli nie jest to EX nie istnieje).

W przypadku, gdy X jest zmienną typu ciągłego o gęstości f , wartość oczekiwana wyraża się wzorem:

EX =

Z

R

xf (x)dx

i istnieje, gdy całka jest zbieżna. Własności wartości oczekiwanej

• X ­ 0 ⇒ EX ­ 0 • |EX| ¬ E|X|

• dla a, b ∈ R zachodzi E(aX + bY ) = aEX + bEY • dla a ∈ R zachodzi Ea = a

• E(X − EX) = 0

• E(XY ) = EX ∗ EY , gdy X i Y są niezależne

Wartość oczekiwana z funkcji zmiennej losowej Jeśli ϕ jest funkcją borelowską, a zmienna losowa X jest typu dyskretnego, to:

Eϕ(X) =X

i∈I

ϕ(xi)P (X = xi) a gdy X jest typu ciągłego, o gęstości f , to:

Eϕ(X) =

Z

R

ϕ(x)f (x)dx

3.6.2 Wariancja

Wariancją zmiennej losowej X nazywamy liczbę V ar(X) daną wzorem: V ar(X) = EX2_{− (EX)}2_.

W przypadku zmiennej losowej X typu dyskretnego zachodzi wzór: V ar(X) =P

i∈I(xi− EX)2pi. Własności wariancji • V ar(X) ­ 0 • V ar(cX) = c2 V ar(X) dla c ∈ R • V ar(X + c) = V ar(X) • V ar(X) = 0 ⇐⇒ ∃cP (X = c) = 1

• V ar(X ± Y ) = V ar(X) + V ar(Y ) gdy X i Y są niezależne

Liczbę√V arX nazywa się czasem odchyleniem standardowym i oznacza przez σ(X).

3.6.3 Kowariancja i współczynnik korelacji

Niech X, Y będą zmiennymi losowymi. Liczbę cov(X, Y ) = E[(X − EX)(Y − EY )] nazywamy kowariancją zmiennych

X i Y . Kowariancję możemy wyliczyć również ze wzoru: cov(X, Y ) = EXY − EXEY . Zauważmy, że gdy X = Y to cov(X, Y ) = cov(X, X) = V ar(X).

TW. |cov(X, Y )| ¬pV ar(X)V ar(Y )

Ponadto zachodzi: cov(aX +b, cY +d) = ac·cov(X, Y ), cov(a1X1+a2X2, a3X3+a4X4) =P 2

i=1 P4

j=3aiajcov(Xi, Xj). Liczbę ρ(X, Y ) =√ cov(X,Y )

V ar(X)V ar(Y ) nazywamy współczynnikiem korelacji zmiennych X i Y .

Gdy ρ(X, Y ) = 0, to mówimy, że zmienne są nieskorelowane. Gdy ρ(X, Y ) = ±1 to P (X = aY + b) = 1 dla pewnych

3.6.4 Inne charakterystyki liczbowe Zmienna typu dyskretnego

Moment zwykły rzędu r αr= EXr=Pi∈Ix r ipi

Moment centralny rzędu r µr= E(X − α1)r=Pi∈I(xi− α1)rpi

Mediana każda liczba x0,5 spełniająca warunki F (x0,5) ¬ 0, 5 ¬ limx→x0,5F (x);

P

xi<x0,5pi¬ 0, 5 ¬

P

xi¬x0,5pi

Kwantyl rzędu p każda liczba xp, 0 < p < 1 spełniająca warunki F (xp) ¬ p ¬ limx→xpF (x);

P

xi<xppi ¬ p ¬

P xi¬xppi

Dominanta m0 – punkt skokowy xk, różny od min(xi) i max(xi), dla którego p(xk) osiąga maksimum absolutne.

Zmienna typu ciągłego

Moment zwykły rzędu r αr= EXr= R

Rx

r_{f (x)dx} Moment centralny rzędu r µr= E(X − α1)r=

R

R(x − α1)

r_{f (x)dx} Mediana F (x0,5) = 0, 5

Kwantyl rzędu p F (xp) = p

Dominanta m0 – odcięta maksimum absolutnego gęstości.

3.7

Funkcja charakterystyczna

Funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X nazywamy funkcję zespoloną ϕ : R → C daną wzorem ϕ(t) =

EeitX_{. W przypadku gdy X jest zmienną losową typu dyskretnego, funkcja charakterystyczna wyraża się wzorem:}

ϕ(t) =X

k

pkeitxk

W przypadku ciągłej zmiennej losowej X o gęstości f mamy natomiast: Z

R

eitxf (x)dx

Własności funkcji charakterystycznej 1. ϕ(0) = 1.

2. ∀_t∈Rϕ(t) = ϕ(−t), gdzie ϕ(−t) oznacza liczbę zespoloną sprzężoną z ϕ(−t).

3. ∀_t∈R|ϕ(t)| ¬ 1.

4. ϕ jest funkcją jednostajnie ciągłą (co w szczególności oznacza, że jest ona ciągła).

5. ϕ jest funkcją rzeczywistą ⇔ rozkład zmiennej losowej X jest symetryczny względem x = 0.

6. Jeśli ϕX(t) jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X to, funkcją charakterystyczną zmiennej Y = aX +b jest funkcja ϕY(t) = eitbϕX(at).

7. Jeżeli istnieje k-ty moment zmiennej losowej X o funkcji charakterystycznej ϕ, to ϕ jest k-krotnie różniczkowalna i zachodzi związek αk= EXk =_i1kϕ

(k)₍₀₎

8. Funkcja charakterystyczna skończonej sumy niezależnych zmiennych losowych równa się iloczynowi funkcji cha-rakterystycznych tych zmiennych.

TW. Niech F będzie dystrybuantą, zaś ϕ funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X. Wtedy: 1. Dla a < b takich że, F jest ciągła (w tych punktach) zachodzi

lim R→∞ 1 2π Z R −R e−ita− e−itb it ϕ(t)dt = F (b) − F (a) 2. Jeśli ponadtoR

R|ϕ(t)|dt ¬ +∞, to X ma rozkład typu ciągłego, o gęstości f (x) = 1 2π

R

Re

−itx_ϕ(t)dt. Wniosek. Funkcja charakterystyczna jednoznacznie wyznacza rozkład zmiennej losowej.

TW. Jeśli ϕ jest funkcją charakterystyczną zmiennej losowej X, okresową o okresie T = 2π, to X jest zmienną typu dyskretnego o wartościach całkowitych oraz P (X = k) = _2π1 Rπ

−πe −itk

4

Katalog zmiennych losowych

4.1

Dyskretne

4.2

Ciągłe

• F (x) =      x+a b−a dla a ¬ x ¬ b 0 dla x < a 1 dla x > b • f (x) = ( ₁ b−a dla a ¬ x ¬ b 0 dla pozostałych x • EX = b−a 2 • V ar(X) = (b−a)₁₂ 2

• Dla J ((0, a)): ϕ(t) = eiat₋₁

iat • Dla J ((−a, a)): ϕ(t) = sin at

at Wykładniczy • Parametr λ > 0 • F (x) = ( 1 − e−λx dla x ­ 0 0 dla x < 0 • f (x) = ( λe−λx dla x ­ 0 0 dla pozostałych x • ϕ(t) = λ 1+t2 Gamma • Oznaczenie: Γ(p, α) • f (x) = ( _αp Γ(p)x p−1_e−αx _{dla x > 0} 0 dla pozostałych x gdzie Γ(p) =R∞ 0 x p−1_e−x_{dx, n = 1, 2, 3, . . ., Γ(n) =} (n − 1)! • ϕ(t) = (1 −it α) −p

• Uwaga: Γ(1, α) to rozkład wykładniczy. • Uwaga: Γ(n

2, 1

2) to tak zwany rozkład χ

2 _(chi

kwa-drat) z n stopniami swobody. Beta • Parametry: p, q > 0 • f (x) = ( ₁ β(p,q)x p−1_{(1 − x)}q−1 _{x ∈ (0, 1)} 0 w p.p. β(p, q) := Γ(p)Γ(q)_Γ(p+q) Laplace’a • Parametr λ > 0 • f (x) = λ 2e −λ|x| dla x ∈ R

Normalny (Gaussowski)

• Oznaczenie N (p, σ2_{), N (0, 1) nazywamy}

standardo-wym. • F (x) = _√1 2π Rt −∞e −(t)2 2 dt= Φ(x) • f (x) = 1 σ√2πe −(x−m)2 2σ2 dla x ∈ R • EX = m • V ar(X) = σ2 • Dla standardowego: ϕ(t) = e−t22 Cauchy’ego • Parametry θ, λ • F (x) = 1 2+ 1 πarctan x−θ λ
• f (x) = 1 πλ[1+(x−θ_λ )2_)] • ϕ(t) = e−|t|

• Wartość oczekiwana i wariancja są niezdefiniowane – nie istnieją gdyż całki rozbiegają do nieskończono-ści.

• Uwaga. Jeśli X i Y mają standardowy rozkład nor-malny to zmienna X/Y ma rozkład Cauchy’ego z parametrami θ = 0 i λ = 1

5

Zmienne losowe wielowymiarowe

Wektorem losowym lub zmienną losową wielowymiarową nazywamy dowolną funkcję X : Ω → Rn, która spełnia warunek: ∀_B∈B(Rn₎X−1(B) ∈ F , czyli przeciwobraz dowolnego zbioru borelowskiego z przestrzeni2 _Rn musi należeć

do σ–ciała.

Każdą funkcję wielowymiarową X : Ω → Rn _{możemy przestawić w postaci: X = (X}

1, X2, . . . , Xn), gdzie dla każdego 1 ¬ i ¬ n Xi: Ω → R. Funkcja X jest zmienną losową wielowymiarową ⇐⇒ każde Xi jest („zwykłą”) zmienną losową.

Odwzorowanie ϕ : Rn _{→ R}m _{nazywamy funkcją borelowską gdy przeciwobrazy zbiorów borelowskich z R}m _są zbiorami borelowskim w Rn_.

Złożenie ϕ ◦ X, gdzie X wektor losowy a ϕ funkcja borelowska, jest też wektorem losowym.

Wektor losowy jest wektorem typu dyskretnego, gdy istnieje taki co najwyżej przeliczalny zbiór B borelowski, że PX(B) = 1.

Wektor losowy jest wektorem typu ciągłego, gdy istnieje funkcja f taka, że PX(B) =R . . .R_Bf (x)dx, dla dowol-nego B borelowskiego. Funkcję tą nazywamy gęstością (musi ona spełniać dodatkowe warunki, o czym niżej).

5.1

Dystrybuanta

Gdy X : Ω → Rn

jest wektorem losowym, dystrybuanta ma postać: F : Rn _{→ R, F (t}

1, t2, . . . , tn) = PX((−∞, t1) ×

(−∞, t2) × . . . (−∞, tn)). W przypadku gdy n = 2 mamy: F (x, y) = P (X < x, Y < y) dla(x, y) ∈ R2. Własności

• Jest lewostronnie ciągła i niemalejąca ze względu na każdą zmienną z osoba. • ∀_x∈Rlimy→−∞F (x, y) = 0, ∀y∈Rlimx→−∞F (x, y) = 0

• limx→∞,y→∞F (x, y) = 1

• Dla dowolnych punktów (x1, y1), (x2, y2) takich, że x1¬ x2i y1¬ y2zachodzi nierówność F (x2, y2) − F (x2, y1) −

F (x1, y2) + F (x1, y1) ­ 0

5.2

Gęstość

Niezależność zmiennych: ∀_(x,y)∈R2F (x, y) = FX(x)FY(y) lub f (x, y) = fX(x)fY(y)

2

Zbiory borelowskie w Rn, to σ–ciało zbiorów zawierające wszystkie zbiory otwarte z tej przestrzeni. Generowane jest np. przez wszystkie otwarte kostki (iloczyny kartezjańskie przedziałów otwartych).

5.3

Rozkład brzegowy

Niech X : Ω → R2 _{wektor losowy o dystrybuancie F . Wówczas funkcje F}

X(x) = limy→∞F (x, y) oraz FY(y) = limx→∞F (x, y) są dystrybuantami rozkładów na R. Rozkłady te nazywamy brzegowymi.

Jeśli dodatkowo wektor losowy posiada gęstość f , to funkcje fX(x) = R_Rf (x, y)dy oraz fY(y) =R_Rf (x, y)dx są gęstościami rozkładów brzegowych na R.

5.4

Parametry liczbowe

Wartość oczekiwana Jeśli X = (X1, X2, . . . , Xn) jest wektorem losowym, to wektor liczb (EX1, EX2, . . . , EXn) nazywamy wartością średnią (oczekiwaną) wektora X. Jest ona określona jeśli wszystkie wartości oczekiwane EXi istnieją.

Jeśli ϕ : Rn_{→ R funkcja borelowska, oraz X wektor losowy typu ciągłego, to Eϕ(X) =}R

Rnϕ(x)f (x)dx.

5.5

Przykłady

Gęstości sumy, iloczynu, ilorazu zmiennych losowych: 1. U = X + Y : k1(u) =

R

Rf (x, u − x)dx; gdy X, Y -niezależne: k1(u) =

R Rf1(x)f2(u − x)dx 2. U = XY : k1(u) =R Rf (x, u x) 1

|x|dx; gdy X, Y -niezależne: k1(u) = R Rf1(x)f2( u x) 1 |x|dx

3. U = X_Y: k1(u) =R_Rf (uy, y)|y|dy; gdy X, Y -niezależne: k1(u) =R_Rf1(uy)f2(y)|y|dy

Dwuwymiarowy rozkład normalny ma gęstość daną wzorem:

f (x, y) = 1 2πσ1σ2 p 1 − ρ2exp n − 1 2(1 − ρ2₎ h(x − µ₁)2 σ2 1 − 2ρ(x − µ1)(y − µ2) σ1σ2 +(y − µ2) 2 σ2 2 io dla (x, y) ∈ R2 gdzie: µ1= EX, µ2 = EY , σ1 = √ D2_{X > 0, σ} 2 = √

D2_{Y > 0, ρ–współczynnik korelacji zm.los. X i Y , przy czym}

|ρ| < 1.

6

Zbieżność ciągów zmiennych losowych

1. Zbieżność z prawdopodobieństwem 1 (prawie na pewno, prawie wszędzie): P ({ω : limn→infXn(ω) X(ω)}) = 1. Oznaczenie: Xn

z pr. 1

−−−−→

(p.n.) X.

2. Zbieżność według prawdopodobieństwa: ∀>0limn→∞P ({ω : |Xn(ω) − X(ω)| ­ }) = 0. Oznaczenie: Xn wg pr.

−−−−→

(P )

X.

3. Zbieżność według dystrybuant (zbieżność względem rozkładu, słabo zbieżny) – ciąg dystrybuant Fn jest zbieżny do dystrybuanty F w każdym punkcie ciągłości F . Oznaczenie: Xn

D

−−→

(s)

X.

Rodzaje zbieżności wymienione są od najsilniejszej do najsłabszej. Ze zbieżności z prawdopodobieństwem 1 wynika zbieżność według prawdopodobieństwa, a z niej wynika zbieżność według dystrybuant.

Następujące warunki są równoważne ze zbieżnością z prawdopodobieństwem 1: • ∀>0limk→∞T∞_n=k{|Xn− X| < } = 1

• ∀>0limk→∞S∞_n=k{|Xn− X| ­ } = 0

6.1

Twierdzenie o ciągłości

Ciąg (Xn)n jest zbieżny według rozkładu do X wtedy i tylko wtedy, gdy ciąg funkcji charakterystycznych ϕn jest zbieżny w każdym punkcie do funkcji ciągłej ϕ. Takie ϕ jest funkcją charakterystyczną zmiennej X.

7

Prawa wielkich liczb i twierdzenia graniczne

Słabe prawo wielkich liczb. Niech Xn będzie ciągiem zmiennych losowych, mk = EXk, Sn =Pn_k=1Xn. Jeżeli ciąg

Pn

k=1(Xk−mk)

n zbiega według prawdopodobieństwa do 0 to mówimy, że Xn spełnia słabe prawo wielkich liczb (SPWL). Warunek z definicji można równoważnie zapisać: ∀>0limn→∞P (|Sn−ES_n n| ­ ) = 0.

Tw. Czebyszewa Ciąg niezależnych zmiennych losowych Xnspełnia SPWL, gdy istnieją wartości oczekiwane E(Xi) i wariancje σ2

i zmiennych Xi istnieją i są wspólnie ograniczone (tzn. ∃σ2∀nV ar(Sn) ¬ σ2).

Tw. Markowa Ciąg zmiennych losowych Xn spełnia SPWL, gdy istnieją wartości oczekiwane E(Xi) i wariancje σ2i zmiennych Xi oraz limn→∞

V ar(Sn)

n2 = 0.

Wniosek Jeśli Xn ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie, dla którego istnieje wariancja, to ciąg ten spełnia SPWL.

Tw. Chinczyna Ciąg niezależnych zmiennych losowych o jednakowych rozkładach i wspólnej wartości oczekiwanej spełnia SPWL.

Mocne prawo wielkich liczb. Xn jest ciągiem zmiennych losowych, mk = EXk. Ciąg Xn spełnia mocne prawo wielkich liczb (MPWL), gdy ciąg

Pn

k=1(Xk−mk)

n zbiega do 0 z prawdopodobieństwem jeden. Uwaga. Jeśli ciąg spełnia MPWL to spełnia też SPWL.

Tw. Kołomogorowa Jeśli Xn są niezależne, V ar(Xn) istnieją oraz szereg P∞

n=1V ar(Xn)

n2 jest zbieżny, to (Xn)n spełnia MPWL.

Wniosek Jeśli (Xn)n jest ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie i ∀nV ar(Xn) = σ2< +∞, to Xn spełnia MPWL.

Wniosek Jeśli Xn spełnia założenia tw. Czybyszewa to spełnia MPWL.

Centralne twierdzenie graniczne Lindeberga-Levy’ego. Jeżeli {Xn} jest losowym ciągiem niezależnych zmien-nych o jednakowym rozkładzie, o wartości przeciętnej α1 i skończonej wariancji σ2 > 0, to ciąg (Fn) dystrybuant standaryzowanych średnich arytmetycznych Xn (standaryzowanych sumP

n i=1Xi) Yn = Xn√σ−α1 n = Pn i=1Xi−nα1 σ√n jest zbieżny do dystrybuanty Φ rozkładu N (0, 1): limn→∞Fn(y) = √1_2πR

y −∞e −1 2t 2 dt ≡ Φ(y)