rozwiązania

13. Rodzaje zbieżności ciągów funkcyjnych – rozwiązania

||fn||∞= n2/3, ||fn||1 = n−1/3, ||fn||2 = n1/3.

Wnioskujemy stąd, że fn → 0 w topologii L1, ale nie w L2 i L∞.

2. Zauważmy, że szereg P∞

k=1 ₂[log2 k]1 zbiega do ∞ (bo

1 2[log2 k] ­

1

k a wiadomo, że

P∞

k=1 1k = +∞.) W szczególności dla każdego x ∈ [0, 1] istnieje nieskończenie

wiele indeksów n, dla których fn(x) = 1 i nieskończenie wiele takich n, że

fn(x) = 0. Zatem ciąg fnnie jest zbieżny prawie wszędzie. Jest on więc rozbieżny

także w L∞, bo zbieżność w L∞ pociąga zbieżność p.w.. Natomiast

||fn||1 = ||fn||2 = 1/2[log2(n+1)] → 0,

a zatem w tych topologiach zachodzi zbieżność ciągu fn do 0.

3. Mamy ||fn||∞= sup_x∈[0,1]| sin(x/n)| = sin(1/n) → 0. Zatem zachodzi zbieżność

fn → 0 w normie || · ||∞, skąd wynika także analogiczna zbieżność w innych

topologiach.

4. (1 − x/n)n → exp(−x) punktowo na całym [0, 1]. Co więcej, |(1 − x/n)n_{| ¬ 1,}

skąd na mocy twierdzenia Lebesgue’a o zbieżności zmajoryzowanej wywniosko-wać można zbieżność fn → exp(−x) także w L1 i w L2. Aby udowodnić

zbież-ność w || · ||∞ korzystamy z rozwinięcia logarytmu naturalnego w 1 otrzymując

(1 − x/n)n = exp(n ln(1 − x/n)) = exp(n(−x/n + o(1/n))) = exp(−x + o(1)) jednostajnie na [0, 1].

Ćw. 13.2 Zbieżność w L1 lub L2 pociąga zbieżność według miary. Tak więc w naszym

przypadku badany ciąg funkcyjny (nazwiemy go fn) posiada dwie granice według

miary (oznaczymy ją µ): f i g. Załóżmy, że nie jest prawdą, że f = g prawie wszędzie. Wówczas istnieje δ > 0 taka, że µ(|f − g| > δ) = η > 0. Oznacza to, że

µ(|fn− f | ­ δ/2) + µ(|fn− g| ­ δ/2) ­ η

dla każdego n. Jest to sprzeczne z założeniem, że fn→ f i fn→ g według miary.