Całki z funkcji trygonometrycznych

Całki z funkcji

trygonometrycznych

Autorzy:

Tomasz Drwięga

Twierdzenie 1:

Twierdzenie 1: o całkowaniu funkcji postaci

o całkowaniu funkcji postaci

Do obliczania całki , gdzie jest funkcją wymierną dwóch zmiennych stosujemy, w zależności od warunków jakie spełnia funkcja , następujące podstawienia. Oznaczmy

1. Jeśli funkcja jest dowolna to stosujemy podstawienie uniwersalne podstawienie uniwersalne (tzw. tangens połówkowy tangens połówkowy )

2. Jeśli (tzn. funkcje i są w parzystych potęgach), to stosujemy podstawienie tangensowe

tangensowe

3. Jeżeli (tzn. funkcja jest w potędze nieparzystej), to 4. Jeżeli (tzn. funkcja jest w potędze nieparzystej), to

Zauważmy, że głównym celem podstawień trygonometrycznych jest zamiana całki z funkcji trygonometrycznych na całkę z funkcji wymiernej.

To, w jaki sposób należy korzystać z podstawień trygonometrycznych, przybliżą nam poniższe przykłady.

PRZYKŁAD

Przykład 1:

Przykład 1:

Stosując podstawienie trygonometryczne, rozwiąż całkę

Zauważmy, że występujące w całce funkcje i są w potęgach nieparzystych więc do jej rozwiązywania skorzystamy z podstawienia uniwersalnego , tangens-połówkowe, i wówczas mamy

R(sin x, cos x)

∫ R(sin x, cos x)dx

R

R

u = sin x, v = cos x.

R

t = tg , dx =

x

, sin x =

, cos x =

.

2 1+t2dt2 _1+t2t2 1−t 2 1+t2

R(u, v) = R(−u, −v)

sin x cos x

t = tg x, dx =

dt

,

x =

,

x =

.

1+t2

sin

2 t 2

1+t2

cos

2 _1+t12

R(u, v) = −R(u, −v)

cos x

t = sin x, dx =

dt

, cos x =

.

1−t2

√

√

1 − t

− −

−−−

2

R(u, v) = −R(−u, v)

sin x

t = cos x, dx = −

dt

, sin x =

.

1−t2 √

√

− −

1 − t

−−−

2

∫

dx

.

sin x+2 cos x+5

sin x cos x

t = tg

x 2

∫

_{sin x + 2 cos x + 5 =}

dx

= ∫

= ∫

∣

∣

∣

∣

∣

∣

t= tg x 2 dx=2dt 1+t2 sin x= 2t 1+t2 cos x=1−t2 1+t2

∣

∣

∣

∣

∣

∣

2dt 1+t2

+ 2

+ 5

2t 1+t2 1−t 2 1+t2 2dt 1+t2 2t+2(1− )+5(1+ )t2 _t2 1+t2

= ∫

_{2t + 2 − 2 + 5 + 5}

2dt

= ∫

t

2

_t

2

_{3 + 2t + 7}

_t

2

2dt

= ∫

2

₃

dt

= ∫

+ t +

t

2 2 3 73

2

3

_{(t +}

1

dt

₊

3

)

2 209

= ⋅

2

₃

1

arctg

+ C =

arctg (

) + C

20 9

−−

√

⎛

⎝

⎜

t +

₂₀13 9

−−

√

⎞

⎠

⎟

_{2 5}

_√

2

3t + 1

_{2 5}

_√

=

√

₅

5

arctg (

3 tg + 1

x2

) + C =

arctg (

) + C.

2 5

√

5

√

5

3 tg +

√

5

x 2

√

5

10

PRZYKŁAD

Przykład 2:

Przykład 2:

Korzystając z podstawienia trygonometrycznego oblicz całkę

Zauważmy, że w powyższej całce funkcje sinus i cosinus występują w potęgach parzystych, a stąd najbardziej odpowiednim będzie skorzystanie z podstawienia

PRZYKŁAD

Przykład 3:

Przykład 3:

Stosując podstawienie trygonometryczne oblicz całkę

Oczywiście do rozwiązania powyższej całki możemy użyć podstawienia uniwersalnego jednak o wiele łatwiejszą całkę będziemy mieć do rozwiązania, jeśli zastosujemy podstawienie tj. kiedy funkcja cosinus jest w potędze nieparzystej.

∫

dx

.

x+9 x sin2 _cos2

t = tg x

∫

dx

x + 9

x

sin

2

_cos

2

=

= ∫

= ∫

∣

∣

∣

∣

∣

t= tg x dx= dt 1+t2 x= sin2 t2 1+t2 x= cos2 1 1+t2

∣

∣

∣

∣

∣

dt 1+t2

+ 9 ⋅

t2 1+t2 _1+t12

dt

+ 9

t

2

= ∫

dt

= arctg + C

+

t

2

₃

2

1

₃

₃

t

= arctg (

1

₃

tg x

₃

) + C.

∫

cos

3

xdx.

t = sin x,

∫

cos

3

xdx =

∣

= ∫ (1 − ) dt = t − + C = sin x +

+ C.

∣

dt=cos xdtt=sin x x=1− cos2 _t2

∣

∣

t

2 t3 3 sin x 3 3

Stosując podstawienie trygonometryczne oblicz całkę

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Do rozwiązania powyższej całki można oczywiście skorzystać z podstawienia uniwersalnego ti. my jednak wybierzemy podstawienie

Korzystając z rozkładu na ułamki proste otrzymujemy

Wracając do całki mamy

TWIERDZENIE

Twierdzenie 2:

Twierdzenie 2: o całkowaniu funkcji postaci

o całkowaniu funkcji postaci

, ,

,,

Do obliczania całek stosujemy tożsamości

trygonometryczne

∫

dx

.

sin x

t = tg

x 2

t = cos x

I = ∫ dx

_{sin x = ∫}

sin x

dx =

= ∫

= ∫

.

x

sin

2

∣

_∣∣

t=cos x \ndt=− sin x x=1− sin2 _t2

∣

∣∣

t

2

dt

− 1

dt

(t + 1)(t − 1)

= − ⋅

+ ⋅

.

1 (t+1)(t−1) 12 t+11 12 t−11

I = − ∫

1

₂

_{t + 1}

dt

+ ∫

1

₂

_{t − 1}

dt

= − ln |t + 1| + ln |t − 1| + C = ln

₂

1

1

₂

1

₂

∣

_∣∣

t − 1

_{t + 1}

_∣∣

∣

+ C = ln

1

₂

∣

_∣∣

_{cos x + 1}

cos x − 1

_∣∣

∣

+ C.

sin(αx) cos(βx) sin(αx) sin(βx)

cos(αx) cos(βx)

∫ sin(αx) cos(βx)dx, ∫ sin(αx) sin(βx)dx, ∫ cos(αx) cos(βx)dx

sin(αx) cos(βx) = [sin[(α + β)x] + sin[(α − β)x]] ,

1

2

sin(αx) sin(βx) = [cos[(α − β)x] − cos[(α + β)x]] ,

1 2

cos(αx) cos(βx) = [cos[(α + β)x] + cos[(α − β)x]] .

1 2

(1) (2)

PRZYKŁAD

Przykład 4:

Przykład 4:

Obliczmy całkę

Korzystając z tożsamości z twierdzenia o całkowaniu funkcji postaci , , ,

otrzymujemy

Ostatecznie z wzoru otrzymujemy

PRZYKŁAD

Przykład 5:

Przykład 5:

Obliczmy całkę

Na podstawie wzoru z twierdzenia o całkowaniu funkcji postaci , ,

otrzymujemy

Następnie korzystając z wzoru mamy

∫ sin(6x) cos(3x)dx.

sin(αx) cos(βx) sin(αx) sin(βx) cos(αx) cos(βx)

I = ∫ sin(6x) cos(3x)dx = ∫ [sin(6x + 3x) + sin(6x − 3x)]dx = ∫ sin(9x)dx + ∫ sin(3x)dx

1

2 12 12

∫ sin(ax)dx = − cos(ax) + C

1 a

I = − cos(9x) − cos(3x) + C.

1 18 16

∫ sin(4x) sin(5x)dx.

sin(αx) cos(βx) sin(αx) sin(βx) cos(αx) cos(βx)

I = ∫ sin(4x) sin(5x)dx = ∫ [cos(4x − 5x) − cos(4x + 5x)]dx = ∫ cos(−x)dx − ∫ cos(9x)dx

1

2 12 12

∫ cos(ax)dx = sin(ax) + C

1

a

I = − sin(−x) − sin(9x) + C = sin(x) − sin(9x) + C.

1 2 181 12 181

Oblicz całkę

Rozwiązanie: Rozwiązanie:

Stosując wzór otrzymujemy odpowiedź

Publikacja udostępniona jest na licencji Creative Commons Uznanie autorstwa - Na tych samych warunkach 3.0 Polska. Pewne prawa zastrzeżone na rzecz autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej. Zezwala się na dowolne wykorzystanie treści publikacji pod warunkiem wskazania autorów i Akademii Górniczo-Hutniczej jako autorów oraz podania informacji o licencji tak długo, jak tylko na utwory zależne będzie udzielana taka sama licencja. Pełny tekst licencji dostępny na stronie

http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/pl/.

Data generacji dokumentu: 2019-04-16 01:18:00

Oryginalny dokument dostępny pod adresem: https://epodreczniki.open.agh.edu.pl/openagh-permalink.php? link=a54040dfbc9e157c52715ad211a618d1

Autor: Tomasz Drwięga

∫ cos(2x) cos(7x)dx.

I = ∫ cos(2x) cos(7x)dx = ∫ [cos(7x + 2x) + cos(7x − 2x)]dx = ∫ cos(9x)dx + ∫ cos(5x)dx

1

2 12 12

∫ cos(ax)dx = sin(ax) + C

1

a