prof. dr hab. inĪ. Mikoáaj Busáowicz Politechnika Biaáostocka
Wydziaá Elektryczny
KOMPUTEROWE METODY BADANIA STABILNOĝCI MODELU
FORNASINIEGO-MARCHESINIEGO LINIOWYCH UKàADÓW 2D
Rozpatrzono problem badania asymptotycznej stabilnoĞci liniowych ukáadów dy-namicznych dwuwymiarowych (2D). Podano komputerowe metody badania asymptotycznej stabilnoĞci modelu Fornasiniego-Marchesiniego w przypadku ogólnym oraz analityczne metody w przypadku szczególnym ukáadu skalarnego. RozwaĪania zilustrowano przykáadami liczbowymi.
COMPUTER METHODS FOR STABILITY INVESTIGATION OF THE FORNASINI-MARCHESINI MODEL OF LINEAR 2D SYSTEMS
The problem of asymptotic stability of linear dynamic 2D systems is considered. Computer methods for asymptotic stability analysis of the Fornasini-Marchesini model in the general case and analytic methods in the case of scalar systems are given. The considerations are illustrated by numerical examples.
1. WSTĉP
Istnieje kilka m odeli liniowych uk áadów dwuwym iarowych (2D) [7, 8, 9]. Do najbardziej popularnych naleĪy model Fornasiniego-Marchesiniego wprowadzony w pracy [3].
Problematyka analizy i syntezy ukáadów dwuwymiarowych jest rozwijana w literaturze Ğwia-towej od okoáo 40 lat. W okresie ostatnich kilkunastu lat w literaturze rozpatruje si Ċ nie tylko klasyczne m odele uk áadów 2D, ale tak Īe m odele dodatnie (w tym m odele nieca ákowitych rzĊdów) [8–18].
Problem asymptotycznej stabilnoĞci ukáadów 2D byá rozpatrywany w wielu publikacjach, np. [1, 2, 4–7, 13–28]. W ynika to nie tylko z du Īego praktycznego znaczenia tego problem u, ale przede wszystkim z faktu jego z áoĪonoĞci. Funkcja charakterystyczna uk áadów 2D jest bo-wiem wielomianem dwóch niezale Īnych zmiennych zespolonych i badanie rozk áadu jej zer jest problemem trudnym. Do badania asym ptotycznej stabilnoĞci ukáadów 2D wykorzystuje siĊ m.in. metody analityczne, podobne jak w przypadku badania stabilno Ğci w sensie Schura ukáadów 1D (np. [1]), metody wykorzystujące teoriĊ stabilnoĞci Lapunowa ([21, 23]), czy teĪ metody bazujące na LMI ([2, 13, 27]).
W niniejszej pracy zostan ą podane komputerowe metody badania asymptotycznej stabilnoĞci modelu Fornasiniego-Marchesiniego w przypadku ogólnym oraz metody analityczne w przy-padku ukáadu skalarnego.
W pracy bĊdziemy stosowaü nastĊpujące oznaczenia: |Oi(X)| – i-ta wartoĞü wáasna macierzy
X; |U(X) maxi|Oi(X) – prom ieĔ spektralny m acierzy X; | X – m acierz o nieujem nych |
elementach |xij | otrzymana z rzeczywistej kwadratowej macierzy X [xij]; || (.)|| x – norma
wektora x(.); n mu – zbiór macierzy o wymiarach n mu , przy czym n nu1; Z– zbiór liczb caákowitych nieujemnych; [ , ].0 f
2. WPROWADZENIE I SFORMUàOWANIE PROBLEMU
WeĨmy pod uwagĊ model Fornasiniego-Marchesiniego liniowego ukáadu 2D, którego równa-nie stanu ma postaü [3, 7, 8, 9]
), x(i ,1j1) A0x(i, j) A1x(i ,1j) A2x(i,j1) Bu(i,j i Z , t , (1)
gdzie x(i,j)n, u(i,j)m zaĞ staáe macierze A
0, A1, A2 i B mają odpowiednie
wy-miary.
Warunki brzegowe dla równania (1) są nastĊpujące , ) 0 , (i xi0 x x(0,j) x0 j, i,j Z. (2)
Macierz charakterystyczna modelu (1) wyraĪa siĊ wzorem
2 2 1 1 0 2 1 2 1, ) (z z z z I A z A z A H n (3)
zaĞ funkcja charakterystyczna tego modelu, którą oblicza siĊ ze wzoru
], w(z1,z2) detH(z1,z2) det[z1z2InA0 z1A1z2A2 (4)
jest wielomianem dwóch zmiennych niezaleĪnych z1 i z2. MoĪna ją napisaü w postaci
, ) , ( ¦ ¦n k n j j k kjz z a z z w 0 0 1 2 2 1 ann 1. (5)
Definicja 1. Model Fornasiniego-Marchesiniego (1) uk áadu 2D bĊdziemy nazywaü
asympto-tycznie stabilnym, jeĪeli przy u(i, j){0 oraz ograniczonych warunkach brzegowych (2) za-chodzi zaleĪnoĞü limi,jof||x(i,j)|| 0.
Na podstawie np. prac [1], [7] moĪemy sformuáowaü poniĪsze twierdzenie.
Twierdzenie 1. Model Fornasiniego-Marchesiniego (1) uk áadu 2D jest asym ptotycznie
sta-bilny wtedy i tylko wtedy, gdy wielomian charakterystyczny (4) speánia warunek
, 0 ) , (z1 z2 z w |z1|t1, |z2|t1. (6)
Wielomian w(z1,z2) dwóch zm iennych niezaleĪnych speániający warunek (6) b Ċdziemy
na-zywaü wielomianem stabilnym.
Stosując we wzorze (3) podstawienie d1 z11 oraz d2 z21 otrzymamy
]. H~(d1,d2) d11d21[In d1d2A0d2A1d1A2 (7)
Z powyĪszego wynika, Īe przy badaniu asymptotycznej stabilnoĞci modelu (1) moĪemy rów-nowaĪnie rozpatrywaü wielomian charakterystyczny
) det( ) , ( ~ 2 1 1 2 0 2 1 2 1 d I d d A d A d A d w n (8) zamiast wielomianu (4).
W takim przypadku warunek asymptotycznej stabilnoĞci przyjmuje postaü
, 0 ) , ( ~ 2 1 d z d w |d1|d1, |d2|d1. (9)
NaleĪy zaznaczyü, Īe w literaturze (np. [5, 6, 19, 20, 24–26]) zam iast wielomianu charaktery-stycznego (8) rozpatruje siĊ wielomian
Z warunku (9) asym ptotycznej stabilnoĞci wynika, Īe przyjĊcie do rozwaĪaĔ postaci (8a) za-miast (8) wielomianu charakterystycznego nie ma wpáywu stabilnoĞü modelu (1).
UwzglĊdniając prace [6, 20, 24], warunki asymptotycznej stabilno Ğci m odelu (1) m oĪemy sformuáowaü w postaci poniĪszego twierdzenia.
Twierdzenie 2. Model Fornasiniego-Marchesiniego (1) jest asym ptotycznie stabilny wtedy
i tylko wtedy, gdy są speánione dwa poniĪsze warunki 1) w~(d1,0)z0, |d1|d1,
2) w~(d1,d2)z0, |d1| 1, |d2|d1.
Bazując na twierdzeniu 2, w pracach [5, 6, 19, 20, 26, 29] podano warunki asym ptotycznej stabilnoĞci modelu (1) wyraĪone w terminach promieni spektralnych odpowiednich macierzy. Są to najczĊĞciej warunki wystarczające. Jeden z nich jest podany poniĪej.
Twierdzenie 3 [20]. Model Fornasiniego-Marchesiniego (1) jest asym ptotycznie stabilny,
jeĪeli jest speániona przynajmniej jedna z poniĪszych grup warunków:
1 |) (| 1 U A i U V( 0) ,1 (10) gdzie |, V0 |A2||A1A2 A0|(In|A1|)1|A1(A1A2 A0) (11) oraz 1 |) (| 2 U A i U W( 0) ,1 (12) gdzie .| ) ( | |) | ( | | | | 1 1 2 0 2 1 2 1 2 0 0 A AA A I A A AA A W n (13)
Celem pracy jest podanie nowych kom puterowych metod badania asymptotycznej stabilnoĞci modelu Fornasiniego-Marchesiniego (1) uk áadu 2D. Proponowane m etody bazują warunkach koniecznych i wystarczaj ących asymptotycznej stabilno Ğci, s áuĪących do sprawdzania spe á-nienia warunku (6).
3. ROZWIĄZANIE PROBLEMU
Wzór (4) moĪna przeksztaáciü do dwóch równowaĪnych sobie postaci )], w(z1,z2) det[z1In A2]det[z2InS1(z1 (14)
)], w(z1,z2) det[z2In A1]det[z1In S2(z2 (15)
przy czym
), S1(z1) (z1In A2)1(A0z1A1 (16)
). S2(z2) (z2In A1)1(A0z2A2 (17)
Z powyĪszych wzorów i twierdzenia 1 wynika nastĊpujący lemat.
Lemat 1. Proste warunki konieczne asymptotycznej stabilnoĞci modelu (1) mają postaci:
, 1 | ) ( |O Ai 1 |O Ai( 2)| 1, i ,12,...,n. (18)
Twierdzenie 4. Liniowy ukáad 2D o wielomianie charakterystycznym w(z1,z2) jest
asympto-tycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy są speánione dwa poniĪsze warunki 1) w(z11,)z0, |z1|t1,
2) w(ejZ,z2)z0, Z[0,2S], |z2|t1.
Dowód. Z pracy [1] wynika, Īe wielomian w(z1,z2) jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy s ą speánione dwa warunki:
x w(z1,a)z 0 dla |z1|t1 i pewnego a speániającego warunek | ta| 1,
x w(z1,z2)z0, |z1| 1, |z2|t1.
Warunki 1) i 2) wynikaj ą bezpo Ğrednio z powy Īszych warunków dla a 1 i z1 ejZ,
]. 2 , 0 [ S Z Ŷ
Speánienie warunku 1) twierdzenia 4 oznacza, Īe wszystkie zera wielom ianu w(z11,) jednej zmiennej mają wartoĞci bezwzglĊdne mniejsze od 1, czyli ten wielom ian jest stabilny w sen-sie Schura (jest wielom ianem Schura). Do badania jego stabilno Ğci m oĪna stosowa ü znane kryteria stabilnoĞci ukáadów dyskretnych 1D.
Speánienie warunku 2) twierdzenia 4 oznacza, Īe dla ka Īdego ustalonego Z[0,2S] wielo-mian zespolony w(ejZ,z2) nie ma zer o wartoĞciach bezwzglĊdnych wiĊkszych lub równych jeden, czyli jest on stabilny w sensie Schura. àatwo zauwaĪyü, Īe moĪemy ograniczyü siĊ do przedziaáu [ S wartoĞci parametru 0, ] Z.
Lemat 2. JeĪeli jest spe ániony pierwszy z warunków (18), to warunek 1) twierdzenia 4 jest
speániony wtedy i tylko wtedy, gdy wartoĞci wáasne macierzy ) ( ) ( ) 1 ( 1 1 0 2 2 I A A A S n (19)
mają wartoĞci bezwzglĊdne mniejsze od 1.
Dowód. Podstawiając z2 1 we wzorze (15) otrzymamy
)]. w(z1,1) det[In A1]det[z1In S2(1 (20)
JeĪeli jest spe ániony pierwszy z warunków (18), to A1z In i m acierz (19) jest dobrze
okre-Ğlona. Zatem wartoĞci wáasne macierzy (19) są miejscami zerowymi wielomianu (20). Ŷ
Lemat 3. JeĪeli jest speániony drugi z warunków (18), to warunek 2) twierdzenia 4 jest spe
á-niony wtedy i tylko wtedy, gdy warto Ğci wáasne macierzy S1(ejZ) mają wartoĞci bezwzglĊd-ne mniejsze od 1 dla kaĪdego ],Z[0,2S gdzie
), S1(ejZ) (ejZIn A2)1(ejZA1A0 (21) Dowód. Podstawiając z ejZ 1 we wzorze (14) otrzymamy )], ( Z, 2) det( Z 2)det[ 2 1( jZ n n j j z e I A z I S e e w (22)
gdzie S1(ejZ) m a posta ü (21). Je Īeli jest spe ániony drugi z warunków (18), to
n
I A2 zr
Twierdzenie 5. Model (1) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy są speánione
warunki (18) i warunki podane w lematach 2 i 3, tj. ,1 | )) 1 ( ( |O Si 2 i ,12,...,n, (23) ,1 | )) ( ( |O 1 jZ i S e Z[0,2S], i ,12,...,n, (24) gdzie macierze S2(1) i S1(ejZ)mają postaci (19) i (21), odpowiednio.
Dowód. Dowód wynika bezpoĞrednio z twierdzenia 4 i lematów 2 i 3. Ŷ
ZauwaĪmy, Īe w twierdzeniu 4 moĪemy zamieniü rolami zmienne z1 i .z2 Otrzymamy wtedy
dwa poniĪsze twierdzenia, równowaĪne z twierdzeniami 4 i 5, odpowiednio.
Twierdzenie 6. Liniowy ukáad 2D o wielomianie charakterystycznym w(z1,z2) jest asympto-tycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy są speánione dwa poniĪsze warunki:
1) w( ,1z2)z0, |z2|t1,
2) w(z1,ejZ)z0, Z[0,2S], | | 1.
1 t
z
Ze wzorów (14) i (15) dla z1 1 otrzymamy odpowiednio
)], w( ,1z2) det[In A2]det[z2InS1(1 (25) )], w( ,1z2) det[z2In A1]det[In S2(z2 (26)
przy czym S2(z2) ma postaü (17) zaĞ
). S1(1) (In A2)1(A0 A1 (27)
Twierdzenie 7. Model (1) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy są speánione
nierównoĞci (18) oraz warunki
,1 | )) 1 ( ( |O Si 1 i ,12,...,n, (28) ,1 | )) ( ( |O 2 jZ i S e Z[0,2S], i 1,2,...,n, (29) gdzie macierz S1(1) ma postaü (27) zaĞ
). S2(ejZ) (ejZIn A1)1(A0ejZA2 (30)
3.1. Przypadek szczególny – model ukáadu skalarnego
Równanie stanu modelu Fornasiniego-Marchesiniego skalarnego ukáadu 2D ma postaü ), x(i ,1 j1) a0x(i,j)a1x(i ,1 j)a2x(i, j1)bu(i,j i Z , t , (31)
gdzie ,a0 ,a1 a2 i b są staáymi rzeczywistymi wspóáczynnikami.
W przypadku uk áadu skalarnego proste warunki konieczne (18) asym ptotycznej stabilno Ğci przyjmują postaü:
, 1 |
|a1 |a2| 1. (32)
Natomiast ze wzorów (19) i (21) odpowiednio otrzymamy , 1 ) 1 ( 1 2 0 2 a a a S (33)
. ) ( 2 0 1 1 a e a a e e S j j j Z Z Z (34)
àatwo sprawdziü, Īe wykres funkcji (34) dla Z[0,2S] jest na páaszczyĨnie zmiennej zespo-lonej okrĊgiem o Ğrodku w punkcie sr1 i o promieniu r1 przy czym
, 1 2 22 1 0 1 a a a a sr . 2 2 1 2 0 1 a 1 aa a r (35)
Okrąg ten przecina oĞ rzeczywistą w punktach , 1 ) 1 ( 2 0 1 1 a aa S . 1 ) 1 ( 2 0 1 1 a aa S (36)
Zatem wykres funkcji S1(ejZ), ],Z[0,2S le Īy na p áaszczyĨnie zm iennej zespolonej w okrĊgu jednostkowym wtedy i tylko wtedy, gdy
1 11 20 a a a i 1. 11 20 a a a (37)
Z powyĪszych rozwaĪaĔ i twierdzenia 5 wynika nastĊpujące twierdzenie.
Twierdzenie 8. Skalarny model (31) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy są
speánione warunki konieczne (32) i nierównoĞci
|, a1 1|a0a2 (38a) |, a2 1|a0a1 (38b) . 1 | | 1 0 2 ! a a a (38c)
Dowód. JeĪeli są speánione proste warunki konieczne (32), to dla m odelu (31) nierówno Ğci
(23) i (24) przyjmują postaci: | S2(1)| 1 oraz (37). MoĪna je napisaü w postaci (38). Ŷ
Korzystając z twierdzenia 7 i post Ċpując podobnie jak w powy Īszych rozwaĪaniach, otrzy-mamy nastĊpujące twierdzenie.
Twierdzenie 9. Skalarny model (31) jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy są
speánione warunki konieczne (32) i nierównoĞci
|, a2 1|a0a1 (39a) |, a1 1|a0a2 (39b) . 1 | | 2 0 1! a a a (39c) 4. PRZYKàADY
Przykáad 1. Nale Īy zbada ü asym ptotyczną stabilno Ğü m odelu Fornasiniego-Marchesiniego
(1) ukáadu 2D o macierzach , 5 . 0 3 . 0 0 0 4 . 0 3 . 0 0 1 . 0 5 . 0 0 » » » ¼ º « « « ¬ ª A , 5 . 0 4 . 0 1 . 0 0 7 . 0 0 0 2 . 0 6 . 0 1 » » » ¼ º « « « ¬ ª A . 4 . 0 3 . 0 2 . 0 2 . 0 1 . 0 0 2 . 0 1 . 0 7 . 0 2 » » » ¼ º « « « ¬ ª A (40)
Obliczając wartoĞci wáasne macierzy A1, A2, S2(1)(19) i S1(1) (27), otrzymamy:
x wartoĞci wáasne A1: 50. ; 60. ; 70.
x wartoĞci wáasne A2: 83050. ; 41050. ; 0.0411.
x wartoĞci wáasne S2(1): 0.6699; -0.1850rj0.6431 x wartoĞci wáasne S1(1): 0.0; 0.7692; -0.5 .
Wszystkie obliczone wartoĞci wáasne mają wartoĞci bezwzglĊdne mniejsze od 1, zatem proste warunki konieczne (18) oraz warunki (23) i (28) są speánione.
Obliczając z kolei warto Ğci wáasne macierzy S1(ejZ) (21) oraz m acierzy ( )
2 ejZ
S (30) przy
wartoĞciach parametru Z zmieniających siĊ od 0 do S2 z krokiem 'Z 0.01S otrzymamy wykresy pokazane na rys. 1.
a) b) -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Re Im -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Re Im
Rys. 1. WartoĞci wáasne: a) macierzy S1(ejZ), b) macierzy ( )
2 ejZ
S
Z rys. 1 wynika, Īe warunki (24) i (29) twierdze Ĕ 5 i 7 są speánione, co oznacza, Īe rozpatry-wany model jest asymptotycznie stabilny.
Zastosujemy teraz do badania asym ptotycznej stabilno Ğci rozpatrywanego m odelu warunek dostateczny podany w twierdzeniu 3.
àatwo sprawdziü, Īe warunki wystarczające (10) i (12) nie są speánione, bowiem ,1 7 . 0 |) (| 1 U A ale U V( 0) 2.8361!1 oraz ,1 8305 . 0 |) (| 2 U A ale U W( 0) 2.2289!1.
Na bazie twierdzenia 3 nic nie moĪna powiedzieü o stabilnoĞci modelu (1) o macierzach (40).
Przykáad 2. NaleĪy wyznaczyü wartoĞci wspóáczynnika ,a0 dla których jest asym ptotycznie
stabilny model (31) przy a1 0.8 i a2 0.7.
àatwo zauwaĪyü, Īe proste warunki konieczne (32) są speánione.
Obliczając warto Ğci wspó áczynnika ,a0 dla których s ą spe ánione nierówno Ğci (38a), (38b)
Warunek wspólny ma zatem postaü 9 . 0 5 . 0 a0 . (41)
Z twierdzenia 8 wynika, Īe rozpatrywany skalarny model Fornasiniego-Marchesiniego ukáadu 2D jest asym ptotycznie stabilny dla warto Ğci a0 speániających nierównoĞü (41). Takie sam e
wartoĞci wspóáczynnika a0 otrzymamy na bazie twierdzenia 9.
Przyjmując 5a0 0. , 7a0 0. , 8a0 0. i a0 0.9 oraz obliczając wartoĞci wáasne macierzy
) (
1 ejZ
S (21) przy warto Ğciach param etru Z zm ieniających si Ċ od 0 do 2S z krokiem
S Z
' 0.01 otrzym amy wykresy pokazane na rys. 2. Potwierdzaj ą one rezultat otrzym any w drodze obliczeĔ analitycznych, Īe rozpatrywany m odel jest asym ptotycznie stabilny dla wartoĞci a0 speániających nierównoĞü (41).
a) b) -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Re Im -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Re Im c) d) -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Re Im -1 -0.5 0 0.5 1 -1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Re Im
Rys. 2. WartoĞci wáasne macierzy 1( jZ),
e
S Z[ , ]0 2 , S
Zastosujmy teraz twierdzenie 3 do badania asymptotycznej stabilnoĞci rozpatrywanego mode-lu ukáadu 2D.
Ze wzorów (11) i (13) dla a1 0.8 i a2 0.7 odpowiednio otrzymamy
|, V0 0.7|a00.56|(10.8)1|0.8(a00.56)| 0.75|a00.56 . / | . | . | ) . ( . | ) . ( | . | .8 056 1 07 07 056 08 056 10 3 0 0 1 0 0 0 a a a W
Warunki 1U(V0) V0 i U(W0) W0 1 są speánione wtedy i tylko wtedy, gdy
. 62 . 0 5 . 0 a0 (42)
Z twierdzenia 3 wynika zatem, Īe rozpatrywany model skalarny jest asymptotycznie stabilny, jeĪeli jest spe ániony warunek (42). Zauwa Īmy, Īe przedziaá (42) jest znacznie m niejszy od przedziaáu (41) wyznaczonego na bazie zaproponowanej metody.
5. UWAGI KOēCOWE
W pracy rozpatrzono problem badania asym ptotycznej stabilno Ğci liniowych uk áadów 2D. Podano kom puterowe m etody badania asym ptotycznej stabilno Ğci m odelu Fornasiniego-Marchesiniego w przypadku ogólnym (twierdzenia 5 i 7) oraz analityczne warunki asym pto-tycznej stabilnoĞci w przypadku uk áadu skalarnego (twierdzenia 8 i 9). Metody te m ogą byü bezpoĞrednio wykorzystane do badania asymptotycznej stabilnoĞci modelu ogólnego ukáadów 2D, np. [7, 8]. Mogą one teĪ byü uogólnione na klasĊ modeli Roessera oraz na modele niecaá-kowitych rzĊdów.
Praca naukowa finansowana ze Ğrodków Ministerstwa Nauki i Szkolnictwa WyĪszego.
6. BIBLIOGRAFIA
1. Bistritz Y.: On an inviable approach for derivation of 2-D stability tests. IEEE Trans. Circuit Syst. II, vol. 52, no. 11, pp. 713–718, 2005.
2. Du C., Xie L.: Stability analysis and stabilization of uncertain two-dim ensional discrete systems: an LMI approach. IEEE Trans. Circuit Syst., I 46, pp. 1371–1374. 1999.
3. Fornasini E, Marchesini G.: State-space realization theory of two-dim ensional filters. IEEE Trans. Automat. Control, vol. AC-21, pp. 484–492, 1976.
4. Hu X., Jury E. I.: On two-dim ensional filter stability test. IEEE Trans. Circuits Syst., vol. 41, no. 7, pp. 457–462, 1994.
5. Hu G. D., Liu M.: Sim ple criteria for stab ility of two-dim ensional linear system s. IEEE Trans. Signal Processing, 53, pp. 4720–4723, 2005.
6. Huang T. S.: Stability of two-dim ensional recursive filters. IEEE Trans. Audio Electroacoustics, vol. AU-20, pp. 158–163, 1972.
7. Kaczorek T.: Two-Dimensional Linear Systems. Springer, Berlin 1985.
8. Kaczorek T.: Dodatnie ukáady jedno- i dwuwymiarowe. Oficyna Wydawnicza Politechni-ki WarszawsPolitechni-kiej, Warszawa 2000.
9. Kaczorek T.: Positive 1D and 2D Systems. Springer, London 2002.
10. Kaczorek T.: Positive different orders fractional 2D linear system s. Acta Mechanica et Automatica, vol.2, no. 2, pp. 51–58, 2008.
11. Kaczorek T.: Fractional 2D linear system s. Journal of Autom ation, Mobile Robotics and Intelligent Systems, vol. 2, no. 2, pp. 5–9, 2008.
12. Kaczorek T.: Positive 2D fractional linear system s. International Journal for Com putation and Mathem atics in Electrical and Electronic Engineering, COMPEL, vol. 28, no. 2, pp. 341–352, 2009.
13. Kaczorek T.: LMI approach to stability of 2D positive system s with delays. Multidim en-sional Systems and Signal Processing, 20, pp. 39–54, 2009.
14. Kaczorek T.: Asym ptotic stability of positive fractional 2D linear system s. Bull. Pol. Acad. Sci., Tech. Sci.,vol. 57, no. 3, pp. 289–292, 2009.
15. Kaczorek T.: Positivity and stabilization of 2D linear system s. Discussiones Mathem ati-cae, Differential Inclusions, Control and Optimization, no. 29, pp. 43–52, 2009.
16. Kaczorek T.: W ybrane zagadnienia teorii uk áadów nieca ákowitego rz Ċdu. Oficyna Wydawnicza Politechniki Biaáostockiej, Biaáystok 2009.
17. Kaczorek T.: Practical stability of positive fractional 2D linear system s. Multidimensional Systems and Signal Processing, 21, pp. 231–238, 2010.
18. Kurek J.: Stability of positive 2D system s described by the Roesser m odel. IEEE Trans. Circuits Syst. I, Fundam. Theory Appl., vol. 49, no. 4, pp. 531–533, 2002.
19. Kar H., Sigh V.: Stability of 2-D system s described by the Fornasini–Marchesini first model. IEEE Trans. Signal Processing, 51, pp. 1675–1676, 2003.
20. Liu T.: Stability analysis of linear 2-D systems. Signal Processing, 88, pp. 2078–2084, 2008.
21. Lu W.-S.: On a Lyapunov approach to stability analysis of 2-D digital filters. IEEE Trans. Circuits Syst. I, Fundam. Theory Appl., vol. 45, pp. 665–669, 1994.
22. Maria G. A., Fahm y M. M.: On the stability of two-dim ensional digital filters. IEEE Trans. Audio Electroacoust., vol. AU-21, no. 4, pp. 470–472, 1973.
23. Ooba T.: On stability analysis of 2-D systems based on 2-D Lyapunov matrix inequalities. IEEE Trans. Circuit Syst. I, Fundam. Theory Appl., vol. 47, pp. 1263–1265, 2000.
24. Siljak D. D.: Stability criteria for two-variable polynomials. IEEE Trans. Circuit Syst., 22, pp. 185–189, 1975.
25. Strintzis M. G.: Test of stability of m ultidimensional filters. IEEE Trans. Circuits Syst., vol. CAS-24, pp. 432–437, 1977.
26. Su Y., Bhaya A.: On the Bose-Trautm an condition for stability of two-dim ensional linear systems. IEEE Trans. Signal Process., 46, pp. 2069–2070, 1998.
27. Twardy M.: An LMI approach to checking stability of 2D positive system s. Bull. Pol. Acad. Sci., Tech. Sci., vol. 55, no. 4, pp. 385–395, 2007.
28. Xiao X., Unbehauen R.: New stability test algorithm for two-dim ensional digital filters. IEEE Trans. Circuits Syst. I, Fundam. Theory Appl., vol. 45, no. 7, pp. 739–741, 1998. 29. Yang S.-F., Hwang C.: An im proved stability test algorithm for two-dim ensional digital
filters. IEEE Trans. Circuits Syst. I, Fundam. Theory Appl., vol. 47, no. 7, pp. 1120–1123, 2000.
