16. Mocne prawo wielkich liczb
w. 16.1 Niech X1, X2, . . . b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadach N (0, 1). Oblicz granic¦
n→∞lim
X12+ . . . + Xn2 n
P-prawie wsz¦dzie, wedªug prawdopodobie«stwa i w L2.
w. 16.2 Niech X1, X2, ... b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, π). Zbadaj zbie»no±¢ P -p.w. ci¡gu
Yn= Pn
i=1Xi
Pn
i=1sin Xi .
w. 16.3 Niech X1, X2, ... b¦dzie ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie jednostajnym na odcinku (0, 1). Znajd¹ granic¦ prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn = (X1X2...Xn)n1 .
w. 16.4 Znajd¹ granic¦ prawie wsz¦dzie ci¡gu Yn = 1
n
n
X
i=1
(−1)i+1Xi ,
gdzie {Xi}i∈N s¡ niezale»nymi zmiennymi losowymi o rozkªadach dwumianowych B(10,14).
w. 16.5 (2004) X1, X2, X3, . . .jest ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie geometrycznym z parametrem p = 12. Zbadaj zbie»no±¢ P -prawie wsz¦dzie ci¡gu
Yn = 1 n
n
X
k=1
cosπ 2Xk
.
w. 16.6 (2004) X1, X2, ... jest ci¡giem niezale»nych zmiennych losowych o rozkªadzie Poissona z parametrem λ. Wyznacz granic¦ P − p.w. ci¡gu
Yn = 2X1 + 2X2 + ... + 2Xn X12 + X22+ ... + Xn2 .
w. 16.7 (2003) Niech X1, X2, ... oraz Y1, Y2, ... s¡ dwoma ci¡gami niezale»nych zmien- nych losowych o rozkªadach odpowiednio E(2) i dyskretnym zadanym nast¦puj¡co:
P (Yi = −1) = 1/2, P (Yi = 0) = 1/3, P (Yi = 1) = 1/6.
Dodatkowo dla ka»dego i zmienne Xi, Yi s¡ niezale»ne. Wyznacz granic¦ P -prawie wsz¦dzie i wedªug prawdopodobie«stwa ci¡gu
Zn=
Pn i=1XiYi Pn
i=1(Xi2+ Yi2).
