AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis̷lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA
”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2011/12 MATEMATYKA - ETAP III
ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW
1. Niech 𝑎 i 𝑏 be𝜄da𝜄dwiema liczbami rzeczywistymi, przy czym 𝑎 > 𝑏. Udowodnij, ˙ze 𝑎3− 𝑏3 ≥ 𝑎𝑏2− 𝑎2𝑏.
2. Ile dzielnik´ow w zbiorze liczb naturalnych ma liczba 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ?
3. Suma czterech pocza𝜄tkowych wyraz´ow rosna𝜄cego cia𝜄gu arytmetycznego (𝑎𝑛) jest r´owna 0, a suma ich kwadrat´ow wynosi 80. Znajd´z wz´or na 𝑛-ty wyraz tego cia𝜄gu.
4. Rozwia𝜄˙z nier´owno´s´c
1 +√
𝑥 + 5 > 𝑥.
ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW
5. Ze zbioru 𝐿 = {−2, −1, 0, 1, 2} losujemy ze zwracaniem dwie liczby 𝑥, 𝑦. Naste𝜄pnie powtarzamy to losowanie dota𝜄d, a˙z otrzymamy punkt (𝑥, 𝑦) nale˙za𝜄cy do zbioru
𝑆 = {(𝑥, 𝑦) : ∣𝑥∣ + ∣𝑦∣ ≤ 2}.
Oblicz prawdopodobie´nstwa zdarze´n:
𝐴 - be𝜄dziemy losowa´c dok̷ladnie cztery razy, 𝐵 - liczba losowa´n be𝜄dzie parzysta.
6. Dla jakich 𝑚 r´ownanie
log3(𝑥 − 𝑚) + log3𝑥 = log3(3𝑥 − 4) ma dok̷ladnie jedno rozwia𝜄zanie w zbiorze liczb rzeczywistych?
7. Prosta 2𝑥 + 𝑦 − 13 = 0 zawiera bok 𝐴𝐵 tr´ojka𝜄ta 𝐴𝐵𝐶, prosta 𝑥 − 𝑦 − 5 = 0 zawiera bok 𝐵𝐶, a prosta 3𝑥 − 𝑦 − 7 = 0 zawiera dwusieczna𝜄ka𝜄ta 𝐴𝐶𝐵. Znajd´z wierzcho̷lki tego tr´ojka𝜄ta i oblicz jego pole.
