)),-1) /

AKADEMIA G ´ORNICZO-HUTNICZA im. Stanis̷lawa Staszica w Krakowie OLIMPIADA

”O DIAMENTOWY INDEKS AGH” 2012/13 MATEMATYKA - ETAP I

ZADANIA PO 10 PUNKT ´OW

1. Ile jest cia𝜄g´ow (𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, 𝑥4) liczb ca̷lkowitych dodatnich spe̷lniaja𝜄cych r´ownanie 𝑥₁+ 𝑥₂+ 𝑥₃ + 𝑥₄ = 12 ?

2. Dana jest funkcja

𝑓 (𝑥) = 5 − 𝑥 2𝑥 + 1. Rozwia𝜄˙z nier´owno´s´c 𝑓 (𝑥 + 5) ≥ 𝑓 (𝑥 − 3).

3. Wyznacz dziedzine𝜄 i zbadaj parzysto´s´c funkcji 𝑓 (𝑥) = (𝑥²+ 1)3^2𝑥+ 3^−2𝑥

sin²2𝑥 + 2 − 𝑥³log3𝑥²+ 5𝑥 + 8 3𝑥²− 5𝑥 + 8.

4. Znajd´z rzut r´ownoleg̷ly punktu 𝐴(1, −2) na prosta𝜄 𝑥 − 𝑦 + 3 = 0 w kierunku wektora ⃗𝑣 = [1, 2].

ZADANIA PO 20 PUNKT ´OW

5. W prawid̷lowym ostros̷lupie tr´ojka_𝜄tnym miary ka_𝜄t´ow nachylenia ´sciany bocznej i krawe𝜄dzi bocznej do podstawy ostros̷lupa wynosza𝜄odpowied- nio 𝛼 i 𝛽. Oblicz stosunek obje_𝜄to´sci ostros̷lupa do obje_𝜄to´sci kuli wpisanej w niego.

6. Naszkicuj wykres funkcji, kt´ora ka˙zdej liczbie rzeczywistej 𝑚 przypo- rza𝜄dkowuje liczbe𝜄 𝑓 (𝑚) pierwiastk´ow r´ownania

4^∣𝑥∣+ (𝑚 + 1)2^∣𝑥∣+1 = 5 − 𝑚² z niewiadoma_𝜄 𝑥.

7. Cia_𝜄g trzech liczb ca̷lkowitych (𝑎, 𝑏, 𝑐) jest cia_𝜄giem geometrycznym, kt´o- rego iloraz jest liczba𝜄ca̷lkowita𝜄. Je˙zeli do najmniejszej z nich dodamy 9, to otrzymamy trzy liczby, kt´ore odpowiednio uporza𝜄dkowane utworza𝜄

cia_𝜄g arytmetyczny. Znajd´z wszystkie takie cia_𝜄gi (𝑎, 𝑏, 𝑐).