(1)Funkcje analityczne #8 Funkcje analityczne #8 Funkcje analityczne #8 1

Funkcje analityczne #8 Funkcje analityczne #8 Funkcje analityczne #8

1. Oblicz residua Res_z=1 e^z

(z − 1)², Res_z=π/4 cos z

z − π/4, Res_z=1ze^(z−1)−1, Res_z=0 e^z2 z²ⁿ⁺¹. 2. Dany jest wielomian P (z) =^Pn_k=0akz^k. Pokaż, że

Res_z=0P (1/z) = a₁, Res_z=0z²P (1/z) = a₃. 3. Opisz punkty osobliwe i znajdź odpowiednie residua funkcji

1

z + z³, z²

1 + z⁴, z³

(1 + z)³, z²ⁿ (z − 1)ⁿ. 4. Opisz punkty osobliwe i znajdź odpowiednie residua funkcji

1

sin πz, ctg πz, tgh z, ctgh²z, cos z

(z − 1)², 1 e^z+ 1. 5. Stosując metodę residuów, oblicz całki

Z ∞

−∞

x² + 1 x⁴ + 1dx,

Z ∞

−∞

x⁴+ 1 x⁶+ 1dx,

Z ∞

−∞

dx (x²+ 1)³. 6. Stosując metodę residuów, oblicz całki

Z ∞

−∞

(x − 1)e^ix x²− 2x + 2dx,

Z ∞

−∞

e^ixdx x²− 2ix − 2,

Z ∞

−∞

cos x dx x²+ i . 7. (*) Oblicz całkę ^R₀^∞sin x dx/x.

8. (*) Dany jest wielomian P (z) = zⁿ+^Pn−1_k=0a_kz^k, gdzie nie wszystkie współczynniki a_k są zerami. Pokaż, że istnieje punkt |z₀| = 1, taki że |P (z₀)| > 1.

9. Opisz osobliwości funkcji Żukowskiego.

(pg) (pg) (pg)