ZADANIA Z PS1 – 6 W poni˙zszych zadaniach W = (Wt

ZADANIA Z PS1 – 6

W poni˙zszych zadaniach W = (Wt)t∈R₊ oznacza zawsze standardowy proces Wienera 1. Pokaza´c, ˙ze dla dowolnych dodatnich t, α, β

P (sup

s≤t

W_s> β + 1

2αt) ≤ e^−αβ.

Wsk. Skorzysta´c z zad. (5.6)

2. Pokaza´c, ˙ze naste_,puja_,ce zdania sa_, r´ownowa ˙zne:

(a) lim sup

t→∞

W_t

√

2t log log t = 1 p.n.

(b) lim inf

t→∞

W_t

√2t log log t = −1 p.n.

(c) lim sup

t→0

W_t

p2t log log 1/t = 1 p.n.

(d) lim inf

t→0

W_t

p2t log log 1/t = −1 p.n.

W lasno´s´c procesu Wienera okre´slona_,przez warunki (a)–(d) nazywa sie_,prawem iterowanego loga- rytmu.

3. ξ₁, ξ₂, . . . sa_,i.i.d. o sko´nczonej warto´sci oczekiwanej. Niech S_n= ¹_n(ξ₁+ . . . + ξ_n), n = 1, 2, . . ..

Pokaza´c, ˙ze Sn+1 = E(Sn|Sn+1, Sn+2, . . .). Wyprowadzi´c sta_,d mocne prawo wielkich liczb.

4. Dla a 6= 0, niech τ_a = inf {t : W_t = a}. Obliczy´c Ee^−λτa, λ > 0 (jest to tzw. transformata Laplace’a (rozk ladu) zm. losowej τa).

Wsk. Skorzysta´c z Zad. (5.6) i z tw. Dooba.

5. Pokaza´c, ˙ze je´sli τ jest momentem zatrzymania wzgle_,dem (F_t^W)_t∈R+, takim ˙ze Eτ < ∞, to EW_τ = 0, EW_τ² = Eτ .

Wsk. Rozpatrzy´c W_{τ ∧n}, W_{τ ∧n}² − τ ∧ n, pokaza´c, ˙ze W_{τ ∧n}→ W_τ w L², gdy n → ∞.

6. Dla α, β > 0, niech τ = inf{t : |W_t| = α√

β + t}. Pokaza´c, ˙ze Eτ < ∞ wtedy i tylko wtedy, gdy α < 1 i w´owczas Eτ = _1−α^α2β2.

7. T = R₊lub Z₊, (F_t)_t∈T jest ustalona_,filtracja_,, a X = (X_t)_t∈T jest adaptowanym, ca lkowalnym procesem, prawostronnie cia_,g lym w przypadku czasu cia_,g lego. Pokaza´c, ˙ze X jest (nad)mar- tynga lem wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnego t ∈ T i dowolnego ograniczonego momentu zatrzymania τ , takiego ˙ze τ ≥ t zachodzi EX_τ = EX_t (EX_τ ≤ EX_t w przypadku nadmar- tynga lu).

8. T = R₊ lub Z₊, (X_t, F_t)_t∈T jest (nad)martynga lem, prawostronnie cia_,g lym w przypadku czasu cia_,g lego. Pokaza´c, ˙ze dla dowolnego momentu zatrzymania τ nie tylko (Xτ ∧t, Fτ ∧t)t∈T, ale i (X_{τ ∧t}, F_t)_t∈T jest tak ˙ze (nad)martynga lem.