LISTA 45 Zadanie 1.
Za pomocą układu nierówności opisz zbiór punktów przedstawiający koło o promieniu 1, o środku w początku układu współrzędnych, z którego wnętrza wycięto kwadrat o boku √2 i środku w tym samym miejscu co koło.
Zadanie 2.
Kwadrat 𝐴𝐵𝐶𝐷 na rysunku obok ma bok długości 2. Trójkąt 𝐾𝐿𝑀 jest równoboczny. Oblicz pole tego trójkąta.
Zadanie 3.
Przekątne 𝐴𝐶 i 𝐵𝐷 kwadratu 𝐴𝐵𝐶𝐷 przecinają się w punkcie 𝑂. Punkt 𝑀 jest środkiem odcinka 𝑂𝐷, 𝑁 – środkiem 𝐵𝐶. Udowodnij, że trójkąt 𝐴𝑀𝑁 jest prostokątny i równoramienny.
Zadanie 4.
Suma długości wszystkich krawędzi graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa 12. Jaka powinna być długość krawędzi podstawy tego graniastosłupa, aby pole powierzchni było maksymalne?
Zadanie 5.
Oblicz długość wierzchołka sześcianu, którego krawędź ma długość 𝑎, od tej przekątnej sześcianu, do której ten wierzchołek nie należy.
Zadanie 6.
Dana jest funkcja 𝑓(𝑥) =𝑎𝑥+𝑏𝑥+𝑑, której asymptoty pionowa i pozioma mają równania 𝑥 = −1, 𝑦 = −1. Wyznacz wzór tej funkcji wiedząc, że przechodzi przez punkty 𝐴 = (0, 2) i 𝐵 = (2, 0).
Zadanie 7.
Rozwiąż równanie: 𝑥−1
1+√𝑥= 4 −1−√𝑥
2 . Zadanie 8.
Dane są funkcje 𝑓(𝑥) = √9 − 8𝑥 − 𝑥2 oraz 𝑔(𝑥) = 3𝑥 − 3 . Wyznacz dziedzinę funkcji 𝑓, rozwiąż równanie 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥), a także nierówność 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥) ≥ 0 .
Zadanie 9.
Uzasadnij, że prostokąt o polu 2500 ma obwód co najmniej równy 200.
Zadanie 10.
Pole figury ograniczonej okręgiem opisanym na sześciokącie foremnym i brzegiem sześciokąta jest równe 4𝜋 − 6√3. Wyznacz długość boku tego sześciokąta foremnego oraz długość okręgu opisanego na nim.
K L M
