Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. MACIERZE

(1)

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3.

MACIERZE

Macierzą wymiaru n m , gdzie n m,  nazywamy prostokątną tablicę złożoną z n wierszy i mkolumn:

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

11 12 34

[ ] . - i-ty wiersz

| j-ta kolunmna

, , , - nazywamy elementami macierzy .

j m

ij n m

i i ij im

n n nj nm

nm

a a a a

a

A a a a a

a a a a

a a a a A



 

 

  

 

  

 

 

Przykłady Rodzaje macierzy

1) Macierz kwadratowa nm.

11 12 1

21 22 2

1 2

n n

n n nn

a a a

A

a a a

 

 

 

 

 

 główna przekątna 2) Macierz trójkątna dolna

11

21 22

1 2

0 0

0

n n nn

a

a a

A

a a a

 

 

 

 

 

(2)

3) Macierz trójkątna górna

11 12 1

22 2

0

0 0

n n

nn

a a a

a a

A

a

 

 

 

 

 

4) Macierz diagonalna

11 22

0 0

0 0 _nn

a A a

a

 

 

 

 

 

5) Macierz jednostkowa

1 0 0

0 1 0

0 0 1

In

 

 

 

 

 

6) Macierz symetryczna przykład



















 1 1 3

1 0 2

3 2 1

-,

7) Macierz antysymetryczna przykład



















0 1 2

1 0 1

2 1 0

-

Definicja (równość macierzy)

Macierze A i B są równe, gdy mają takie same wymiary mxn oraz a_ij b_ij dla każdego 1 i m oraz 1 j n.

Definicja (suma i różnica macierzy)

Niech _ij , _ij

mxn mxn

A  a B  b .

Sumę (różnicę) macierzy A i B nazywamy, macierz _ij ,

C   c mxn której elementy są określone wzorem c_ij a_ijb_ij dla 1 i m oraz 1 j n. Piszemy C A B. Przykłady

(3)

Definicja (iloczyn macierzy przez liczbę)

Niech _ij .

A   a mxn Iloczynem macierzy A przez liczbę  nazywamy macierz _ij , B   b mxn

której elementy są określone wzorem b_ij   a_ij dla 1 i m oraz 1 j n. Piszemy .

B A

Przykłady Definicja (iloczyn macierzy)

Niech _ij , _ij

mxn nxk

A  a B  b . Iloczyn macierzy A i B nazywamy macierz _ij , B   b mxn

której elementy określone są wzorem c_ij a_i₁b₁_j a_i₂b₂_j a_inb_nj dla 1 i m oraz 1 j k. Piszemy C A B..

Uwaga

Iloczyn macierzy A i B można obliczyć tylko wtedy, gdy liczba kolumn macierzy A równa się liczbie wierszy macierzy B.

Przykłady

Fakt (własności iloczynu macierzy)

1. A_mxn, B_mxn,C_nxk: (AB C)  ACBC; 2. A_mxn, B_nxk,C_nxk: A B C(  )ABAC; 3. A_mxn, B_nxk: A(  B) ( A B)  (AB); 4. A_mxn, B_nxk,C_kxl: (AB C)  A BC( ); 5. A_mxn : A I _n I_m A A.

Uwaga

Mnożenie macierzy na ogół nie jest przemienne!

Definicja (macierz transponowana)

Niech _ij .

A   a mxn Macierzą transponowaną do macierzy A nazywamy macierz

ij nxm,

B   b której elementy są określone wzorem b_ij a_ji, gdzie 1 i n oraz 1 j m. Macierz transponowaną do macierzy A oznaczamy przez A^T.

Przykłady

(4)

Fakt (własności transpozycji macierzy) 1. (A B )^T  A^T B^T;

2. (A^{T T}) A oraz (A)^T  A^T; 3. (A B )^T B^T A^T.

Definicja (wyznacznik macierz)

Wyznacznik macierzy kwadratowej nazywamy funkcję, która każdej macierzy _ij A   a mxn

przypisuje liczbę det .A Funkcja ta określona jest wzorem indukcyjnym:

(1) jeżeli A ma stopień (wymiar) n1, A_{1 1}_x to det Aa₁₁; (2) jeżeli ma stopień n1, A_nxn to

1 1 1 2 1

11 11 12 12 1 1

detA ( 1)^ a detA  ( 1)^ a detA   ( 1)^ⁿa_ndetA_n,

gdzie A oznacza macierz stopnia n-1 otrzymaną z macierzy A poprzez skreślenie i-tego _ij wiersza i j-tej kolumny.

Uwaga

Wyznacznik macierzy A oznaczamy także przez det a

 

11 lub A także:

11 12 1

21 22 2

1 2

det

n n

n n nn

a a a

 

 

 

lub

11 12 1

21 22 2

1 2

.

n n

n n nn

a a a

REGUŁA OBLICZANIA WYZNACZNIKA STOPNIA DRUGIEGO

a b .

a d b c c d    

REGUŁA SARRUSA OBLICZANIA WYZNACZNIKÓW STOPNIA TRZECIEGO

(5)

11 12 13

21 22 23 11 22 33 12 23 31 21 32 13

31 32 33

13 22 31 12 21 33 11 23 32.

a a a

a a a a a a a a a a a a

a a a

a a a a a a a a a

        

        

Uwaga

Stopień ten nie przenosi się na wyznaczniki wyższych stopni.

Przykłady

Definicja (dopełnienie algebraiczne)

Niech _ij , 2.

A  a nxn n Dopełnieniem algebraicznym elementu a macierzy A nazywamy _ij liczbę D_ij  ( 1)^{i j}^ detA_ij.

Twierdzenie (rozwinięcie Laplace’a wyznacznika)

Niech _ij , 2

A  a nxn n oraz niech liczby i oraz j, gdzie 1i j, n będą ustalone. Wtedy 1) detAa_i₁D_i₁a_i₂D_i₂ a_inD_in rozwinięcie Laplace’a wyznacznika względem

i-tego wiersza;

2) detAa₁_jD₁_j a₂_jD₂_j  a_njD_nj rozwinięcie Laplace’a wyznacznika względem j-tej kolumny.

Przykłady

Fakt (własności wyznaczników) Wyznacznik macierzy kwadratowej:

1) mającej kolumnę (wiersz) złożoną z samych zer jest równy 0;

2) zmieni znak jeśli przestawimy między sobą dwie kolumny (dwa wiersze);

3) mającej dwie jednakowe kolumny (dwa jednakowe wiersze) jest równy 0;

4)

11 11

1 1

,

ij in ij in

n nj nn n nj nn

a c a a a a a

c

a c a a a a a







jeżeli wszystkie elementy

pewnej kolumny (pewnego wiersza) zawierają wspólny czynnik, to czynnik ten można wyłączyć przed wyznacznik tej macierzy;

5) nie zmieni się, jeśli do elementów dowolnego wiersza (kolumny) dodamy sumę odpowiadających im elementów innych wierszy (kolumn) tej macierzy pomnożonych przez dowolne liczby;

(6)

Przykłady

Definicja (macierz odwrotna)

Niech _ij .

A   a nxn Macierzą odwrotną do macierzy A nazywamy macierz oznaczoną przez A^1, która spełnia warunek A A ^¹A^¹ A I_n, gdzie I jest macierzą jednostkową stopnia _n n.

Definicja (macierz osobliwa i nieosobliwa)

Macierz kwadratową A nazywamy macierzą osobliwą, gdy detA0. W przeciwnym wypadku mówimy, że macierz A jest nieosobliwa.

Twierdzenie (o macierzy odwrotnej)

Macierz kwadratowa A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A jest nieosobliwa.

Jeżeli _ij

A   a nxn jest nieosobliwa, to

11 1

1

1 det

T n

n nn

D D

A A

D D



 

 

  

 

 

, gdzie D oznacza macierz dopełnienia algebraicznego _ij

elementu a _ij Uwaga

Macierz _ij D nxn

 

  oznaczamy symbolem A^D i nazywamy macierzą dopełnień algebraicznych.

Zatem ^A^¹^_det¹_A

 

^A^D ^T^.

Przykłady

Fakt (własności macierzy odwrotnej)

1) ^det

 

^A^¹ ^

^

^det^A

^

^¹^_det¹_A^;

2)

 

^A^¹ ^¹^ ^A^;

3)

   

^A^T ^¹^ ^A^¹ ^T^;

4)



^{A B}



^¹^B^¹^A^¹^; 5)



^{ }^A



^¹^_¹

 

^A^¹ ^;

6)

   

^Aⁿ ^¹^ ^A^¹ ⁿ^.

(7)

Bezwyznacznikowy algorytm znajdowania macierzy odwrotnej

Niech A będzie macierzą nieosobliwą. Aby znaleźć macierz odwrotną do macierzy A postępujemy w następujący sposób. Z prawej strony macierzy A dopisujemy macierz

jednostkową I tego samego stopnia. Na wierszach otrzymanej w ten sposób macierzy blokowej



A I będziemy wykonywać następujące operacje elementarne: ^|



1. przestawiać między sobą dwa dowolne wiersze



^wⁱ ^^w^j



2. dowolny wiersz mnożyć przez stałą różną od zera



c w i



3. do elementów dowolnego wiersza dodawać sumy odpowiadających im elementów innych wierszy pomnożonych przez dowolne liczby



^wⁱ^{ }^{c w}^j



 ^| 

operacje elementarne

^|

¹

na wierszach

A I    I A

^

Ekoenergetyka Matematyka 1. Wykład 3. MACIERZE