Der Bauingenieur : Zeitschrift für das gesamte Bauwesen, Jg. 18, Heft 3/4

DER BAUINGENIEUR

18. J a h r g a n g 22. Januar 1937 Heft 3/4

D I E N E U E N W A L Z W E R K S H A L L E N D E R M A N N E S M A N N R Ö H R E N - W E R K E I N D U I S B U R G — H Ü C K I N G E N .

Von Dipl.-Ing. E . T e ic h m a n n , Duisburg.

Vor kurzem errichteten die Mannesmannröhrcn-Werke in Duisburg-Huckingen ein neues Walzwerk, das sowohl wegen der Großzügigkeit der Gcsamtanlage wie auch in manchen Einzelhei­

ten der Ausführung ungewöhnlich genannt werden darf. Die nach­

stehenden Zeilen sollen kurz m it dem stahlbaulichen Teil des neuen Werkes bekannt machen.

Die Hauptmasse des in Abb. i dargestellten Grundrisses ver­

mitteln eine Vorstellung von den gewaltigen Abmessungen der Anlage, die eine Grundfläche von mehr als 35 000 m 2 bedeckt.

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— Binder 0Firstlüffung nberlirht ILängsseiten: senkrechtvergiasf

\stirnffächen: Streifeniüffer Abb. 1. Grundrisse.

An 8 in westöstlicher Richtung stehende Hallen A— H m it Breiten von 26—35 m und Längen von 60 bzw. 90 m schließen sich drei nordsüdlich gerichtete Hallen I— L von 30 m Breite und 120 bzw.

180 m Länge an. Für die wechselnde Richtung der Hallen sowie für ihre Verschiedenheit in Breite und Höhe waren die Einrich­

tungen des Walzwerks bestimmend. Die Stützenabstände wurden möglichst groß gewählt; sie betragen bei den Hallen A —-H 15 bezw. 30m , bei den Hallen 1— L 15 m.

In sämtlichen Hallen befinden sich Kranbahnen; einige von ihnen sind noch über die Hallengiebel hinausgeführt. Die Trag­

fähigkeit der Krane bewegt sich zwischen 5 t und 100 t. Teilweise handelt es sich um Spezialkrane m it erhöhten Raddrücken. Die Verschiedenheit der notwendigen Hubhöhen bedingte eine Ver­

schiedenheit in der Höhe der einzelnen Hallen, die aus dem Schnitt Abb. 2 ersichtlich ist.

Nachdem der Grundriß ausgeteilt und die Tragfähigkeit sowie Hubhöhe der einzelnen Krane festgelegt war, bestand der interes­

santeste Teil der Bauaufgabe darin, die zweckmäßigste Dachform zu finden.

Der Bauherr forderte eine Oberlichtfläche von rd. 40% der Grundfläche, ferner m it Rücksicht auf die großen im Walzwerk- frei werdenden Wärmemengen eine reichliche Entlüftung.

Zu diesen Bedingungen kam ein Umstand, der auf die Gestal­

tung der Oberlichtform wie auch bei der Wahl der Dacheindeckung von entscheidendem Einfluß war: Das Vorhandensein eines Tho­

mas-Stahlwerkes in unmittelbarer Nähe des neuen Walzwerkes.

Bekanntlich ist dieser Betrieb m it einem starken Konverteraus- wurf verbunden, der die nähere Umgebung zudeckt; er bildet in kurzer Zeit Schichten von beträchtlicher Dicke.

Geneigte Glasflächen würden bei ungünstiger Windrichtung in wenigen Stunden lichtundurchlässig werden. Daher konnten nur Oberlichter m it senkrechter Verglasung zur Verwendung kom­

men; zum Zweck häufiger und gründlicher Reinigung müssen sie bequem zugänglich sein.

Auch von den Dachflächen muß der Konverterauswurf von Zeit zu Zeit weggeräumt werden. Die anfallenden Mengen sind so erheblich, daß sie mit Schaufeln in Schubkarren geladen, zu besonders vorzusehenden Staublutten gefahren und dort abge­

worfen werden müssen. Dieser starken mechanischen Einwirkung mußte bei der Wahl der Dacheindeckung Rechnung getragen werden. Pappdächer, gleich auf welcher Unterlage, m it Teer oder teerfrei schieden aus, weil sie nicht genügend widerstandsfähig sind.

Die Abb. 2 und 3 zeigen, durch welche Lösung man die gestellten Bedingungen zu erfüllen suchte.

Die Oberlichter wurden quer zur Hallenachse an­

geordnet. Dadurch erhielt man die Möglichkeit, die Dachbinder in den Oberlichtraum zu stellen. Der Stützenabstand von 15 m bzw. 30 m führte zu einem Binderabstand von 15 m und einer Oberlichtbreite von 7,5 m. Dadurch, daß der Binder als weitmaschiger Fachwerkträger ausgeführt wurde und außerdem in der Mitte des Oberlichtes steht, ist eine Behinderung des Lichteinfalles vermieden. Die Pfctten in Höhe des Binderuntergurtes sind von Binder zu Binder, also 15 m w eit gestützt und in den Fußpunkten der Glas- w-ände durch einen Schrägstab am Binderobergurt aufgehängt, wodurch einerseits eine wirksame Ver­

minderung der freien Stützweite der Pfetten, andererseits die seit­

liche Aussteifung des Binderobergurtes erzielt wird.

Als Eindeckung wählte man unter den oben angeführten Ge­

sichtspunkten 6 mm starkes, glattes Blech. Diese Eindeckung war von der ausführenden Firma bereits an anderer Stelle erprobt wor­

den und hatte sich so gu t bewährt, daß man hier ihre Verwendung in größtem Ausmaße unbedenklich empfehlen konnte. Die Bleche liegen auf Sparren, die einen gegenseitigen Abstand von 1,25 m haben. Sie sind untereinander und m it der Konstruktion nicht vernietet, sondern verschweißt, und zwar sind die parallel zur Traufe laufenden Nähte ohne Überlappung, die senkrecht dazu laufenden Nähte m it Überlappung geschweißt (vgl. die Einzelheiten in Abb. 3). Die Bleche wurden auf der Oberseite m it Asphalt, auf der Unterseite m it Mennige gestrichen. Durch die Zwischenschal­

tung der Sparren konnte man den Pfetten den großen Abstand von rd. 4,4 111 geben und ihr durch den erheblichen Binderabstand be­

dingtes hohes Profil wirtschaftlich ausnutzen.

Zur Erzielung einer wirksamen Entlüftung ist im birst des Oberlichtes auf eine Länge von 8,5 m die ganze Dachhaut gehoben, so daß ringsum ein Luftschlitz von 1,30 m Höhe frei ist. Außerdem wurden die Stirnflächen der Dachaufbauten nicht durch Glas­

wände, sondern durch feststehende Streifenlüfter abgeschlossen.

(Vgl. Abb. 3.)

Um die Anzahl der Dachrinnen zu vermindern, wurden je zwei Hallen unter einem Satteldach so zusammengefaßt, daß der First­

punkt über der gemeinsamen mittleren Stützenreihe liegt. Da der Stützenabstand ein vielfaches des Binderabstandes beträgt, muß­

ten die nicht m it der Stützenreihe zusammenfallenden Binder ent­

weder durch besondere Dachträger oder durch die Kranbahnträger

abgefangen werden. Beide Aus- führungsarten kamen hier zur Anwendung,

p Die Ausbildung der Kran­

en bahnträger und der Stützen

| bietet keine Besonderheiten.

5 Im unteren Teile sind d ie Stützen auf eine Höhe von 2,5 m durch eine vollständige Blechverklei­

dunggeschützt. Die Kranbahn-

? Laufstege sind durch das S tü t­

zenoberteil hindurchgeführt.

An der inneren Seite säm t­

licher Oberlichtflächen sind

" Laufstege m it Streckmetallbelag

" angebracht. Der Zugang zu die-

■ sen wie auch zu den Kranbahn- j laufstegen und den Dachflächen wird grundsätzlich nicht durch Leitern, sondern durch Treppen bewerkstelligt.

Die Oberlichter erhielten .2 bei den Hallen A— G Kittvergla-■4-*

sung, bei den übrigen Hallen

■jjj kittlose Verglasung auf Wema-

~r § Sprossen; die sehr reichlich bc- ä messenen Glasflächen der Wän-

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de wurden auf T-Sprossen in u K itt verlegt. D a hier kittlose

“ und Kittverglasung inganzgro- g 5 ßem Ausmaß und unter gleichen 8- ‘3 Bedingungen angewendet wur-

■§ den, wird man Gelegenheit ha- .£ ben, die Vor- und Nachteile

^ beider Ausführungen einwand-

"? frei zu vergleichen.

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j ä Die Dachrinnen wurden m it Rücksicht auf die oben schon erwähnten starken Ablagerun­

gen des Konverterauswurfes und die damit verbundene Behin­

derung des Wasserabflusses recht breit vorgesehen, so daß sie beim Abräumen der Dach­

fläche bequem begangen werden können. Die großen Ausmaße machten die Beachtung der Wärmedehnungen notwendig.

Sic wurden durch eine Dehnungs­

fuge am Übergang der Quer­

hallen zur Längshalle berück­

sichtigt, die sich auf die Dach- , konstruktion und die Kranbah- 1 nen erstreckt.

Der Möglichkeit einer spä­

teren Erweiterung der Anlage wurde in jeder Richtung Rech- :— nung getragen. Hierauf ist es

zurückzuführen, daß hinter den

^ Hallengiebeln stellenweise halbe

~ Oberlichtaufbauten stehen (vgl.

Abb. 2, Längsschnitte Reihe 2 und 4). Sie werden bei der Verlängerung der Hallen ihre Ergänzung finden.

Für die Aufstellung lagen die Verhältnisse insofern außerordentlich günstig, als es sich um die Bebauung eines vollständig freien Geländes handelte und die Bauarbeiten an mehreren Stellen gleichzeitig in Angriff genommen werden konnten.

Immerhin verlangten die sehr kurze Zeit und die Rücksicht auf die gleichzeitige Montage der Walzwerkseinrichtungen und Laufkrane die Einhaltung eines bis ins einzclste durchdachten Arbeitsplanes.

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D E R B A U IN G E N IE U R

22. J A N U A R 1937. J O E D I C K E , A S P H A L T B A U W E I S E N I M D I E N S T E D E S K Ü S T E N S C H U T Z E S .

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Die Lieferung umfaßte außer der eigentlichen Hallenkonstruk­

tion alle Einbauten, wie Ilgnerraum und Schalthäuser, ferner die elektrisch betätigten Kranklappen in den Giebelwänden, Türen,

Zusammenfassung der wichtigsten Aufgaben wurde eine w esent­

liche Erleichterung der Entwurfsarbeiten und ein nicht zu unter­

schätzender Zeitgewinn erzielt.

A S P H A L T B A U W E I S E N IM D I E N S T E D E S K Ü S T E N S C H U T Z E S .

Von Dr. F r. J o e d ic k e , Hamburg.

I n h a l t s ü b e r s i c h t : Asphaltbeläge, die in der W irkung und preislich zwischen Grasnarbe und Steinpflaster liegen, können in gege­

benen Fällen mit Vorteil als Sicherung von Deichen und als K üsten­

schutz Anwendung finden. F ür die Küstenverhältnisse besonders geeig­

net ist außer der Bitumentränkdecke die Asphalteingußdecke; ihr Ein­

bau läßt sich m it einfachen Geräten bewerkstelligen und wird — auch an Hand von Ausführungsbeispielen — beschrieben. Als Sonderanwendung wird der Gebrauch der Asphalteingußdeckc zum Schutze gegen Abbruch, zur landseitigen Ausbildung von Steindeichen und als Kronensicherung von Steindämmen angeregt.

Die übliche Sicherung der zum Schutze des Marschlandes an der schleswig-holsteinischen Nordseeküste errichteten Deiche ist die Rasendecke; sie erfüllt bei einwandfreier Herstellung und p fleg­

licher Unterhaltung durchaus ihren Zweck, ist aber an besonders beanspruchten Stellen naturgemäß nicht hinreichend. In diesem Falle ist man, da auch Deckwerke, wie Strohbestickung oder Buschwerk zu leicht sind, auf die Steindecke angewiesen, die — aus Basaltsäulen oder Findlingssteinen bestehend — als Uferschutz- deckwerk an der Küste durchweg Anwendung findet und schwer­

sten Wasserangriffen standzuhalten vermag; als Sicherung von durch Grassoden oder die leichten Deckwerke nicht genügend ge­

schützten Stellen stellt sie jedoch vielfach eine übertrieben starke Befestigung dar. Schon seit vielen Jahren ist man bestrebt, B au ­ weisen durchzubilden, die in der Wirkung und preislich zwischen Grasnarbe und Steindecke liegen. D ie dahingehenden praktischen Versuche haben jedoch die Unzulänglichkeit der vorgeschlagenen Verfahren gezeigt.

Angeregt durch die guten, im Binnenlande gemachten Erfah­

rungen m it Asphaltbauweisen für wasserbauliche Zwecke wurden nun in letzter Zeit Asphaltsicherungen auch im Tidegebiet verschie­

dentlich angewandt m it einem Ergebnis, das, um dies vorweg zu nehmen, meines Erachtens dazu berechtigt, die Anwendung von Asphaltdecken an all jenen Stellen in Erwägung zu ziehen, für deren Schutz eine Befestigung m it Grassoden nicht genügen wird und andererseits eine solche m it Steinpflaster nicht unbedingt er­

forderlich erscheint.

Es liegt auf der Hand, daß die besonders gelagerten örtlichen Verhältnisse an der Küste, die Abgelegcnhcit der Baustellen und die dadurch erschwerten Anfuhrmöglichkeiten solche Bauweisen bedingen, die eine umfangreiche Baustelleneinrichtung m it großen Maschinen nicht benötigen. Durch diese Forderung beschränken sich die verschiedenen denkbaren Möglichkeiten der Asphaltbau­

weisen von selbst auf zwei Ausführungsarten, nämlich auf die H e iß b it u m e n - T r ä n k d e c k e und auf die A s p h a l t - E i n g u ß ­ d e c k e . Beiden Deckenarten gemeinsam ist eine Schotterlage, die auf dem Planum ausgebreitet in trockenem Zustand in dem einen Fall m it Bitumen, im anderen Fall m it Asphaltmasse, d. h. einem Gemisch von Feinmineral und Bitumen, heiß getränkt und ab­

gesplittet w ird; die in beiden Fällen vorzunehmende Zweitbehand­

lung besteht in einem Aufsprühen von Heißbitumen bzw. in einem Aufguß von Asphaltmasse und Abdecken m it Splitt. Die hierbei notwendigen Geräte sind einfachster Art: einige Kessel zum Auf­

schmelzen des Bitumens, ein Spritzgerät zum Verdüsen des Heiß­

bitumens bzw. Eimer zum Eingießen der in den Kesseln aufberei­

Abb. 4. Innenansicht der Halle A.

Tore, Rinnen, Abfallrohre, Staublutten usw. Das Gewicht der ge­

samten Konstruktion beträgt rd. S750 t; darin sind die Dachbleche m it rd. 1700 t enthalten. Die auf der Baustelle auszuführenden Schweißnähte der Dachbleche hatten eine Gesamtlänge von mehr als 35 km.

Am 1. Oktober 1935 wurde der Auftrag erteilt. Die Montage begann am 15. Dezember 1935 und endete im wesentlichen Mitte 1936.

Gesamtentwurf, Durcharbeitung und Führung lagen in den Händen der Demag Aktiengesellschaft, Duisburg, ebenso die L iefe­

rung und Montage von rd. 3170 t einschließlich rd. 560 t Dachbleche.

Diese Firma war außerdem m it der Lieferung der W alzwerksein­

richtungen und eines Teiles der Laufkrane betraut. Durch diese

Abb. 5. Inneuansicht der Halle K.

Abb. 6. Außenansicht der Halle I.

3 2 J O E D I C K E , A S P H A L T B A U W E I S E N I M D I E N S T E D E S K Ü S T E N S C H U T Z E S . teten Asphaltmasse und schließlich Handstampfer zum Eindrücken

des Abdecksplittes und zum Verdichten des Belages. Die beiden Deckenarten unterscheiden sich aber grundsätzlich dadurch, daß das Bitumen die einzelnen Steine der getränkten Schottcrschicht lediglich miteinander verklebt, während die Asphalteingußmasse die Hohlräume der Schotterschicht vollkommen veriüllt. Die Bitumentränkdecke ist daher durchlässig, die Asphalteingußdecke dicht und wasserundurchlässig. Beide Deckenarten sind an der Küste angewandt worden.

M ittels B i t u m e n t r ä n k d e c k e wurden im Jahre 1935 die binnendeichs gelegenen Böschungskegcl an der Haienschleuse des Hermann-Göring-Kooges (Abb. 1) und die Böschungen des außendcichs an die Schleuse anschließenden Entwässerungssiels (Abb. 2) befestigt. Die Arbeitsweise war folgende:

D E R B A U IN G E N IE U R iS {1937) H E F T 3/4.

waren, mußten die Vorbereitungen so getroffen werden, daß in den wenigen, täglich zurVerfiigung stehenden Stunden jeweils eine m ög­

lichst große Fläche nicht nur m it der Schotterlage bedeckt, sondern auch wenigstens m it der ersten Tränkung und ihrer Absplittung

versehen wurde.

Für die Ausführung, die m it 10— 12 Mann in einfacher Weise m it wenigen Geräten durchzuführen ist, wurden insgesamt für

1 1112 benötigt:

Schotter 4— 6 c m ...rd. 80 kg, Steinschlag 2—-4 c m ..., , 1 5 0 kg, Splitt 10/20 111111...,, 20 kg, Splitt 5/15 m m ...,, 15 kg,

Splitt 3/8 m m 15 kg.

M e x p h a lt...,, 10 kg.

kann, zu geben. Hierauf kam in einer Dicke von etwa S cm Stein­

schlag der Körnung 2—4 cm zu liegen. Mit einem im Straßenbau üblichen Spritzgerät (Abb. 3) wurde nun diese Schicht in ge­

stampftem und trockenem Zustand m it Bitumen m it einer Tem­

peratur von 160— 18 0 0 bei einem Verbrauch von 5— 6 kg/m 2 ge­

tränkt, sofort m it etwa 20 kg/m 2 Splitt der Körnung 10/20 mm abgedeckt und unmittelbar danach gründlich gestampft. Nach Abfegen des nicht gebundenen Splittes erfolgte eine zweite Trän­

kung m it etwa 2— 3 kg/m 2 Heißbitumen, Abdecken m it etwa 15 kg/m2 Splitt der Körnung 5/15 mm und nochmaliges Stampfen.

Zum Abschluß wurden noch 1— 1 kg/m2 Heißbitumen auf­

gesprüht und m it 15 kg/m 3 Splitt der Körnung 3/8 mm abgestreut.

Dam it war der Belag, der eine Dicke von etwa 8 cm hat, fertig- gestellt.

Da die zu befestigende Böschung des Außensiels bei Flut unter Wasser kam und die Arbeiten daher nur während der Ebbe möglich

Den Fuß der Decke, der etwa % m über Niedrigwasser liegt, bildet eine dicht an dicht geschlagene Pfahlreihe, an die sich m eh­

rere Reihen Pflaster anschließen. Die Pflasterfugen blieben offen, um dem hinter die durchlässige Asphaltdecke getretenen Wasser ein schnelles Abfließen bei eintretender Ebbe zu ermöglichen. Als seitliches Widerlager wurde je eine Pfahlreihe angeordnet.

W esentlich hochwertiger bei nur unwesentlich höheren An­

lagekosten ist die A s p h a l t e i n g u ß d e c k e , und zwar des­

halb, weil sie gleichzeitig eine Dichtung darstellt, die jegliches Aus­

spülen feiner Bestandteile des Untergrundes unmöglich macht.

Sie wurde im K üstengebiet im Zusammenhang m it den E in ­ deichungsarbeiten des Adolf-Hitler-Kooges an einem der beiden Schirmdeiche des vor der Haienschleuse Friedrichskoog angelegten Nothafens in größerem Ausmaß angewandt. Die Deiche wurden im Herbst 1934 aus sandigem Klei geschüttet und ihre x : 4 ge­

neigten Böschungen zunächst m it Rasen gesichert. Die Grasnarbe Abb. 1. Bitumentränkdecke auf Böschungskegcl an der Hafenschleuse

des Hermann-Göring-Kooges. Abb. 3. Einbau der Bitumentränkdecke; Tränken der unteren Lage mit Heißbitumen und Absplitten.

B e m e r k u n g : Von besonderer Bedeutung für die W irtsch a ft­

lichkeit von Asphaltdecken ist die Benutzung örtlich vorkommenden Gesteins zum Deckenaufbau. Voraussetzung für seine Verwendung ist jedoch eine gute und dauernde Haftung des Bindemittels an seiner Ober­

fläche. Der in Schleswig-Holstein in der Flensburger Gegend anfallende Findlingsgranit besitzt infolge seiner Porosität keine einwandfreien Oberflächeneigenschaften und ist für Asphaltdecken, die wasserbaulichen Zwecken dienen, nicht ohne weiteres zu verwenden. Es wurde aber ge­

funden, daß seine Haftfestigkeit sich wesentlich verbessern läßt, wenn er mit einem Benetzungsmittel vorbehandelt wird. Hierfür eignet sich z. B. Gasöl, das auf das saubere und völlig trockene Gestein in einer Menge von % bis (i Gew.% aufgesprüht wird. Während man die zu tränkende Stcinschlagschicht in der Regel erst nach ihrem Ausbreiten in dieser Weise behandelt, wird das Splittm aterial, das zum Abdecken verwendet werden soll, in der Weise vorgeölt, daß das in Haufen gelagerte Gestein mit Gasöl überspriiht und gleichzeitig durchgegabelt wird. Diese Vorbehandlung, die bei Findlingsgranit zwecks inniger Verbindung des Bindemittels an seiner Oberfläche unumgänglich notwendig ist, muß wenigstens einen Tag vor seiner Verwendung vorgenommen werden, dam it das Benetzungsmittel Zeit hat, einzudringen und einzutrocknen.

Zunächst wurde auf die 1 : 2 geneigten Böschungen eine Lage Schotter der Körnung 4— 6 cm aufgelegt und angestampft, um dem aus sandigem Klei bestehenden Untergrund ein Splittgerüst, das auch aus Ziegelknack, gebrochenem Kies oder Grand bestehen

Abb. 2. Querschnitt durch die Bitumentränkdecke: Entwässerungs- sicl bei Hafenschleuse Hermann-Göring-Koog.

Dä£ JANUARE‘i93E7UR J O E D I C K E , A S P H A L T B A U W E I S E N I M D I E N S T E D E S K Ü S T E N S C H U T Z E S . 3 3

Abb. 5. Einbau der unteren Lage der Asphalteingußdecke durch Ver­

füllen der Hohlräume einer Schotterdecke mit Asphaltmasse, Absplitten und Stampfen.

Die Asphaltdecke muß, um nicht hinterspült zu werden, all­

seitig begrenzt sein. Im vorliegenden Fall wird die untere B e­

grenzung durch hochkant gelegte Spundwandbohlen gebildet, über die der Asphaltbelag wulstförmig übergreift, die obere und die seitlichen Begrenzungen durch einen gut an die Asphaltdecke an­

schließenden Asphaltsporn. Der Sporn wird in der Weise erstellt, daß in einem am Rande der Decke ausgeschachteten Graben von

Abb. 4. Befestigung des Schirmdeiches Hafen Friedrichskoog mittels Asphalteingußdecke. Blick auf die Baustelle.

broten, 20 G.-T. Feinsand (Dünensand) und 10 G.-T. Bitumen (Mexphalt). Zunächst wurden in Standkesseln das Bitumen und die Mastixbrote aufgcschmolzen und, nachdem der Schmelzprozeß beendet war, der auf Darren erhitzte Sand heiß beigemischt.

B e m e r k u n g : Diese breiartige Masse muß in ihrer Konsistenz so eingestellt sein, daß sie weder zu tief noch zu wenig in das Schotter­

gerüst eindringt, sondern sich in der ganzen Schotterlage gleichmäßig verteilt. Dies erwirkt nicht nur das von Fall zu Fall zu ermittelnde rich­

tige Mischungsverhältnis, sondern auch die richtige Eingießtemperatur, d. h. eine solche von 170—1800. Die Masse wird unter ständigem Rühren bei dieser Temperatur gehalten und aus der Mitte heraus entnommen.

Bei einem Verbrauch von 35 kg/m 2 wurde die Asphaltmasse m it Eimern gleichmäßig in die Schotterlage eingegossen, deren Hohlräume sie verfällt, und sofort m it 25 kg/m2 Splitt der Körnung 12/20 mm beworfen und dieser eingestam pft (Abb. 5). Nach Ab­

fegen des überschüssigen, nicht gebundenen Splittes wurden wei­

tere 30 kg/m 2 Asphaltmasse der gleichen Zusammensetzung auf­

gegossen, gleichmäßig verstrichen und 25 kg/m 2 Splitt, ebenfalls der Korngröße 12/20 mm, eingestam pft (Abb. 6). Der nun fertige Belag, der fugenlos eingebaut wird, ist etwa 8 cm dick. Es ergab sich folgender Verbrauch für x m 2:

Schotter 4—6 c m ... etwa 80 kg, Steinschlag 2—4 c m ... 80— 100 kg, Asphaltmasse (bestehend aus 50 kg

X2proz. Mastix, 5 kg Mexphalt

und 10 kg F ein sa n d )... ,, 65 kg, Splitt 12/20 mm ... ,, 50 kg.

Abb. 6. Die obere Lage der Asphalteingußdecke wird hergestellt durch Aufgießen von Asphaltmasse, Abdecken mit Splitt und Stampfen.

etwa 15 cm Breite und 30 cm Tiefe eine Lage Schotter der Korn­

größe 2—4 cm m it Asphaltmasse übergossen und dann sogleich eine Lage des gleichen Steinmaterials aufgebracht und eingestampft ward; dieser Vorgang wird solange fortgesetzt, bis der Graben ge­

füllt ist. Benötigt werden hierfür etwa 55 kg/lfd. m Asphaltmasse.

In Anbetracht der zu erwartenden starken Wasserangriffe ließ man aus Sicherheitsgründen die Asphaltdecke nicht am Bö­

crw'ies sich, wie Lorenzen und Pakusa in ihrer Abhandlung ,,D er Adolf-Hitler-Koog" im Zbl. Bauvenv. 1935, H eft 39, erwähnen, auf der seewasserseitigen Böschung des nördlichen Schirmdeiches gegen die Sturmfluten des Winters 1934/35 als nicht ausreichend , sie wurde besonders im Februar 1935 erheblich zerstört. Auch eine dann aufgebrachte Buschdccke war unzulänglich und hätte nach jedem größeren Hochwasser der Ausbesserung bedurft. Mit Rück­

sicht auf die hohen Kosten, die nicht im Verhältnis zu der nur zeitweisen Beanspruchung stehen, wurde von der Verwendung einer Steindecke Abstand genommen und im H erbst 1935 (aus Ersparnis­

gründen nur auf der unteren H älfte der Böschung des genannten Deiches) eine Asphalteingußdecke eingebaut, deren Kosten weniger als die H älfte des Preises für eine Steindecke betrugen. Nach Entfer­

nung der Buschdecke wurde die Böschung, die w ährend der Vorar­

beiten durch die Sturm flut zweimal stark beschädigt wmrde, planiert und in das Planum eine Lage Schotter der Korngröße 4— 6cm ein­

gedrückt. Auf diesen Untergrund wurde eine 8— 10cm dicke Schicht von geschlagenem Findlingsstein der Korngröße 2— 4 cm aufge­

bracht und durch eineHandwalze leicht gewalzt; tags darauf erfolgte der Asphalteinguß. Die Asphaltmasse wurde an Ort und Stelle aufbereitet (Abb. 4); sie bestand aus 100 G.-T. iz p r o z. Mastix-

Das Gesteinsmaterial bestand aus Findlingsgranit und mußte gemäß dem oben Ausgeführten m it Gasöl vorbehandelt w'erden.

Bei einem verfügbaren Kesselinhalt von zusammen 1500 1 betrug die normale Tagesleistung bei 13 Mann Bedienung etwa 100 m 2 doppellagige Decke. Durch Aufstellung weiterer Kessel läßt die Leistung sich beliebig steigern, bei Einsatz e i n e s Motor­

kochers können täglich etwa 350 m 2 Decke hergestcllt werden.

34 J O E D I C K E , A S P H A L T B A U W E I S E N I M D I E N S T E D E S K Ü S T E N S C H U T Z E S . D E R B A U IN G E N IE U R 18 (1937) H E F T 3/4.

schungsfuß enden, sondern zog sie noch etwa 1,50 m in der Waage­

rechten m it einem Geiälle von 5% weiter.

Eine außergewöhnliche Maßnahme war notwendig am Kopf des Deiches. Auf einer Länge von etwa 10 m wurde dort die Asphaltdecke wie eine Kappe über beide Böschungen und die Krone gelegt. Um ein Verwerfen der Decke bei Setzungen des ja erst ein Jahr vorher geschütteten Deiches zu verhindern, wurde sie auf der Krone unterbrochen und dort eine etwa 2 x/, cm breite Längs­

fuge angeordnet, die m it einer nachgiebigen bituminösen Verguß­

masse verfüllt wurde. Zum Schutze gegen direkte Sonnenbestrah­

lung, die die sehr weich eingestellte Masse zum Ablaufen gebracht hätte, wurde die Fuge m it einem dünnen 4— 5 cm breiten Zcment- mörtelstreifen überdeckt (Abb. 7).

Abb. 7. Der Deichkopf des mittels Asphalteingußdecke gesicherten Schirmdeiches Hafen Friedrichskoog bei Flut.

Der Gesamtumfang der auf dem Schirmdeich Hafen Friedrichs­

koog eingebauten Asphaltsicherung betrug rd. 2525 m 2. Wohl be­

standen zunächst gewisse Bedenken, ob der Belag gegen die Flut genügend widerstandsfähig ist; sie erwiesen sich als unbegründet, als die Decke die im Herbst 1935 und Winter 1935/36 aufgetretenen Sturmfluten ohne irgendwelche Beschädigung überstanden hat.

Die außerordentliche W iderstandsfähigkeit dieser doch verhältnis­

mäßig dünnen Sicherung erklärt sich dadurch, daß der auf den B ö­

schungen fugenlos eingebaute Belag, der durch das Verfüllen der Hohlräume einer Stcinschlagschicht m it bituminöser Masse ent­

steht, ein zusammenhängendes festes Ganze ist, das in seinem ge­

samten Umfang den Wasserdruck aufnimmt. So stehen der Be­

wegungsenergie des Wassers bei der geschilderten Ausführung am Friedrichskoog bei einem Deckengewicht von etwa 150 kg/m 2 rd.

380000 kg Masse entgegen, die wohl in der Lage sind, erhebliche Beanspruchungen auszuhalten. Der Umstand, daß das Mineral der Asphaltdecke hartes, in sich verspanntes Grobgestein ist, bewirkt eine erhebliche Druckfestigkeit, so daß auch örtlich auftretende Angriffe, etwa das Anprallen von schwimmenden Gegenständen, aufgenommen werden können, ohne daß Beschädigungen eintreten.

Die W iderstandsfähigkeit und die Druckfestigkeit der Asphalt­

decken schließen nicht aus, daß diese infolge der Plastizität der Asphaltmasse auch bei Frost noch plastisch genug sind, um Set­

zungen des Untergrundes ohne Rißbildung zu folgen. Von B e­

deutung für ihre Anwendung im Küstengebiet ist ihre Seewasser­

beständigkeit, die begründet ist durch die völlige Unempfindlich­

keit des Bitumens und som it auch der m it Bitumen hergcstellten Asphaltdecken gegen chemische Einwirkungen jeder Art.

Der Grad der Rauhigkeit der Oberfläche richtet sich nach der Korngröße des Abdecksplittes für den zweiten Aufguß und kann demnach beliebig gestaltet werden. Für die Lebensdauer dieser Beläge ist — einwandfreien Einbau bei günstiger W itterung voraus­

gesetzt — von grundsätzlicher Bedeutung, daß der Fuß und die Seiten durch entsprechend tief gehende Begrenzungen so geschützt

sind, daß Unterkolkungen auf jeden Fall vermieden w'erden. Ebenso ist Sorge zu tragen, daß das Wasser auch von oben nicht hinter die Decke gelangen kann, indem man am oberen Rande dieselbe B e­

grenzung in ausreichender Tiefe anordnet oder den Belag dort waagerecht genügend w eit (bis zu 1 m) in die Böschung zieht und diese Schürze dann w'ieder überdeckt.

Mittels Asphalteingußdecke wurde auch der am meisten be­

anspruchte Teil der seewasserseitigen 1 : 3 geneigten Böschung des Wicdaudeiches nahe der dänischen Grenze gesichert, nachdem dieser Deich vor einigen Jahren nach außen hin verstärkt wrorden war, ohne daß diese Maßnahme den erhofften Schutz gegen die Flut schuf. Noch war die untere Lage der Asphalteingußdecke nicht fertiggestellt, als im Oktober 1935 schwere W etter einsetzten. W äh­

rend die bereits vergossenen Teilstücke der Deichböschung sich einwandfrei hielten und nicht die geringste Fehlstelle zeigten, wurde der noch nicht behandelte Böschungsteil trotz der m it Ried und Maschendraht geschützten Abdeckung, die m it Säcken be­

schwert war, erheblich zerstört. Nach Beseitigung der Schäden w'urde der R est der Böschung m it dem ersten Einguß versehen und die Arbeit dann eingestellt, da die W itterung das Aufbringen der oberen Lage nicht mehr zuließ. Trotzdem hielt sich der Deich bei den im Winter 1935/36 aufgetretenen Sturmfluten einwandfrei.

Im Frühjahr 1936 wurde auch die obere Lage hergestellt, und zwar durch einen Aufguß von 30 kg/m 2 Asphaltmasse und deren Ab- splittung m it 30 kg/m 2 Splitt der Korngröße 10/20 mm.

Abb. 8. Asphalteingußdecke als Schutz gegen Abbruch.

Nachdem die Asphalteingußdecke ihre W iderstandsfähigkeit selbst gegen schwerste mechanische Beanspruchungen gezeigt hat, kann, wenn sic genügend gegen Hinterspülungen durch entspre­

chende Maßnahmen geschützt wird, ihre Anwendung in gegebenen Fällen auch als Küstenschutz in Erwägung gezogen werden; sie eignet sich z. B. in der Anordnung, wie in Abb. 8 skizziert, als Schutz gegen Abbruch. Bei dieser Art der Anwendung ist es aus Sicherheitsgründen immer zweckmäßig, die Asphaltdecke am Böschungsfuß noch etwa 1 m horizontal weiterzuziehen und diese Vorpflasterung dann wieder m it Boden zu überdecken, nachdem der Asphaltsporn eingebaut ist.

Es mag hier erwähnt werden, daß für eine Asphalteingußdecke eine Neigung von 1 : 2 die Grenze darstellt, bei der der Einbau dieser Deckenart noch ohne besondere Schwierigkeiten möglich ist.

Bei steileren Böschungen fließt die heiße Asphaltmasse beim Ein­

gießen nach unten, so daß wulstartige Ausbildungen und Ungleich­

mäßigkeiten in der Deckenstärke unvermeidbar sind. Neigungen, auf denen mühelos ein einwandfreier Einbau ausgeführt werden kann, sind solche von 1 : 2 oder von 1 ; 3.

Wenn Asphalteingußdecken schon als Schutz von Deichen und der Küste Anwendung finden können und den Beanspruchungen der Flut standzuhalten vermögen, eignen sie sich 11m so mehr und um so unbedenklicher an Stellen, die weniger beansprucht, also den Angriffen des Wellenschlages nicht direkt ausgesetzt sind. In erster Linie denkt Verfasser in diesem Zusammenhang an die landseitige Ausbildung der Steindeiche. Diese haben, sow-eit es sich um ältere Steindeiche handelt, eine Hinterpflasterung, die etwa 30 cm tiefer liegt als die Deichkrone und die die Gew'alt der auflaufenden W ellen dämmen soll. Diese Hinterpflasterung ist in der Regel nicht breit genug, so daß der anschließende Grassoden dauernd zerstört wird (Abb. 9) und ausgebessert werden muß. Es is t daher zweckmäßig, die Hinterpflasterung zu verbreitern. Dies läßt sich an Stelle von Pflaster m it erheblichen Ersparnissen m ittels einer Asphaltgußdecke durchführen, der ein Gefälle von 2— 3% seewärts zu geben ist; sie wird beiderseitig durch einen Asphaltsporn oder durch Tiefbord­

D E R B A U IN G E N IE U R

22. J A N U A R 1937. W A N K E , Z W E C K M A S S I G E A U F L Ö S U N G D E R D I F F E R E N Z E N - GL E I C H U N G E N . 3 5 steine eingefaßt, die vor der Herstellung der Decke in genügender

Tiefe eingebaut werden und niveaugleich m it der fertigen Decke ab­

schließen. In der gleichen Weise können die Steindeiche, die mit einerHinterpflastcrung nicht mehr ausgestattet sind, erforderlichen­

falls verbreitert werden. Es ist ratsam, auch in solchen Fällen für die Asphalteingußdecke eine Dicke von etwa 8 cm in zweischichti­

gem Einbau vorzusehen.

Abb. 9. Steiiulccke als Küstenschutz mit Hinterpflasterung. Der an­

schließende Grässoden ist zerstört.

Zum Schluß sei noch kurz auf eine Sonderanwendung ein­

gegangen. Im Rahmen der Landgewinnungsarbeiten werden neuer­

dings Dämme gebaut, die aus einem Erdkern aus Sceschlick be­

stehen, der m it Granitgrus und Granitschotter überdeckt und als­

dann m it einer Granitbruchsteindecke belegt wird. Beim Setzen des Erdkerns besteht nun die Gefahr, daß insbesondere die Steine am obersten Teil der beiderseitigen Böschungen und auf der Bö­

schungskrone sich verspannen und ein Gewölbe bilden, das den weiteren Setzungen des Erdkerns nicht folgen kann. Diese Möglich­

keit scheidet aus, wenn die Bruchsteindecke lediglich auf die B ö­

schungen zu liegen kommt und die Dammkrone m ittels einer Asphalteingußdecke befestigt wird, die in der Mitte durch eine breite, m it weicher Bitumenvergußmasse zu verfüllende Fuge unter­

brochen wird (Abb. 10). Um Ausspülungen des Erdkerns zu ver-

Abb. 10. Querschnitt eines Dammes mit Bruchsteinpflaster alsBösclmngs- bcfcstigung und mit Asphalteingußdecke auf Dammkrone.

hindern, werden noch die Fugen der Steindecke m it Bitumenmörtel, der etwas sandreicher ist als die für die Asphalteingußdecke be­

nötigte Asphaltmasse, verfüllt. Infolge der Plastizität des Bitumen­

mörtels gehen die Steindecken, wenn sich der Erdkern setzt, auf jeder Böschung als Ganzes mit; hierbei entsteht auf die Asphalt­

eingußdecke, die den Bewegungen gleichfalls folgt, ein Druck, der von der weichen Vergußmasse aufgenommen und verzehrt wird. Im ungünstigsten Fall ruft der Druck Aufbeulungen der Asphaltdecke hervor, die keine Zerstörung ihres Gefüges bedeuten, im übrigen aber leicht ausgebessert werden können.

Z W E C K M Ä S S I G E A U F L Ö S U N G D E R L I N E A R E N G E W Ö H N L I C H E N U N D D I F F E R E N Z E N - G L E I C H U N G E N .

Von Prof, D. techn.

I n h a l t s ü b e r s i c h t : Es wird gezeigt, daß der Arbeitsaufwand bei der Auflösung linearer Gleichungen von der Wahl des Verfahrens un­

abhängig ist, bei linearen Differenzengleichungen aber durch Anwendung einer mehrstufigen Substitutionsmethode die Genauigkeit der Lösungen gesteigert wird.

Die gewöhnlichen linearen Gleichungen, bei denen entweder in allen Gleichungen alle Unbekannten Vorkommen oder ohne Ge­

setzmäßigkeit einzelne Unbekannte fehlen, werden am besten durch Elimination nach der Gaußschen Rechen Vorschrift aufgelöst. Da­

bei ergeben sich, wenn man die letzte oder die erste Unbekannte berechnet hat (Vorwärts- oder Rückwärts-Elimination), die ändern durch Rekursion. Dieses Verfahren bewährt sich namentlich dann, wenn die Diagonalglieder der Matrix überwiegen und die übrigen Glieder um so kleiner sind, je größer ihr Abstand von der Diagonale ist. In diesem Falle kann man auch durch Iteration zu brauchbaren Lösungen gelangen.

Bei der Auflösung durch Substitution wird gewöhnlich aus einer Gleichung eine Unbekannte durch alle übrigen ausgedrückt und in die ändern Gleichungen eingesetzt, so daß man beim Aus­

gangsgleichungen ein System von (11 — 1) Gleichungen erhält.

Dieser Vorgang wird fortgesetzt, bis zum Schluß die letzte Unbe­

kannte allein in einer Gleichung erscheint und daraus berechnet werden kann. Die ändern Unbekannten ergeben sich wiederum durch Rekursion.

Die Rechnung kann beschleunigt werden, wenn man stufen­

weise aus je zwei Gleichungen zwei Unbekannte durch die übrigen ausdrückt und in die restlichen Gleichungen einführt. Auf diese Weise gelangt man zu einem stufenweisen Berechnungsverfahren, bei dem auf jeder Stufe zwei Unbekannte gefunden werden. Die Rekursion ist in derselben Weise beschleunigt. In ähnlicher Weise ist auch bei der Elimination ein stufenweises Vorwärtsschreiten mit je zwei Schritten auf jeder Stufe möglich.

J . W a n k e , Prag.

Da später gezeigt wird, wie sich Differenzengleichungen vor­

teilhaft durch Substitution lösen lassen, soll im folgenden auch bei den gewöhnlichen Gleichungen die Auflösung durch Substitution, und zwar nach dem beschleunigten Verfahren, erläutert werden.

Bei der gleichzeitigen Substitution von zwei Unbekannten in einem System von n Gleichungen m it der Matrix (1) können diese

z .B . Xj und X 2, durch die Gl. (2) dargestellt werden.

= Xjo -)- Jp x h - x , .

(2)

x 2 = xi„ +

XI • x , .

Die Werte [Xf0. Xj„; Xf,. X j,] werden aus den Gl. 1 und 2 des Aus­

gangssystem s für die Zustände a und b bzw. aus den Gleichungen, die durch die Matrix (3) gekennzeichnet sind, berechnet.

a) Xj = o;

')20 ... Xfo,Xi0 . _

b) X 1 = 1; <510 = <5l0 = o... Xfj, Xh 1 - 3 — n.

X i x.; a b

^11 <512 ¿10 — ön <522 ■}2o —

36 W A N K E , Z W E C K M Ä S S I G E AU F L Ö S U N G D E R D I F F E R E N Z E N - G L E I C H U N G E N . D E R B A U IN G E N IE U R 18 (1937) H E F T 3/4-

(4)

Die Lösungen dieser Gleichungen sind:

X !0 = C ■ (<522 <510 (512 (520) Xf„, = C • (<52l 8l

x f( =

•

12 <

¿1 1 ¿20⁾

<512 (52i) C =■

¿ki ;

spiel der d r e i g l i e d r i g e n Gleichungen, der Differenzen­

gleichungen 2. Ordnung, gezeigt werden. Der besseren Übersicht wegen wird ein System m it sieben Gleichungen, das durch die Matrix (7) dargestellt ist, gewählt.

Xjj = — C • (<521 <5h — <5U <52i)

Die Ausdrücke (2) in die Gleichungen 3 bis n eingesetzt, liefert die

(7) ’

x , X 2 x 3 x , x 5 X 6 x ;

I <5n <512 ¿10

2 <521 <522 ¿23 ¿20

3 <532 ^33 ^34 ¿30

4 <543 <544 ¿45 ¿40

5 ¿54 ¿55 ¿56 ¿50

6 <5*3 ¿66 ¿67 ¿60

7 <5,6 ¿77 ¿70

Allgemein sind die Beiwerte dieser Gleichungen durch folgende Ausdrücke gegeben:

: ¿ k i + Ä X |, + 2 <5k2 XL .

< C = < 5 k o— ('5ki X j „ + <5k 2 X L ) .

Aus der Matrix der 2. Stufe gewinnt man in analoger W eise durch Substitution XH und X '1 die Matrix der 3. Stufe und so fort, bis schließlich 1 oder 2 Gleichungen übrig bleiben, aus denen die end­

gültigen Werte der Rest-Unbekannten berechnet werden können.

Die übrigen Unbekannten ergeben sich durch stufenweise, zwei- schrittige Rckursion.

Elimination und Substitution führen auf den einzelnen Stufen zur gleichen Matrix; der Arbeitsaufwand ist bei beiden Verfahren gleich. Sie sind aber auch hinsichtlich der Fehlerempfindlichkeit der Lösungen gleichwertig. Eine Verbesserung kann nur erreicht werden, wenn es gelingt, die Gleichungen so umzuformen, daß die Diagonalglieder der Matrix im Verhältnis zu den übrigen Beiwerten der Ausgangsgleichungen größer w erden’.

Ergeben bei den linearen gewöhnlichen Gleichungen Elimi­

nation und Substitution m it gleichem Arbeitsaufwand Lösungen gleicher Genauigkeit, so lassen sich bei den linearen Differenzen­

gleichungen, die dadurch gekennzeichnet sind, daß — mit Aus­

nahme der Randgleichungen — in jeder Gleichung eine bestimmte Anzahl aufeinanderfolgender Unbekannten Vorkommen, durch die Substitutionsmethode Vorteile erzielen. Vorausgesetzt wird, daß es sich nicht um Differenzengleichungen mit konstanten Beiwerten handelt, bei denen sich geschlossene Lösungen angeben lassen, wo­

durch bei einer größeren Anzahl von Unbekannten die Rechnung vereinfacht wird. Der Vorteil der Substitutionsmethode liegt darin, daß die Lösungen weniger fehlerempfindlich werden; dagegen ist bei gegebenem Ansatz eine Ersparnis an Rechenarbeit nicht möglich.

Es ist bekannt, daß bei der Elimination die Fehlerempfind­

lichkeit m it der Anzahl der Unbekannten wächst, da ein auf irgend­

einer Stufe gemachter Fehler auf den folgenden Stufen durch Multi­

plikation und Differenzenbildung vergrößert werden kann. Je weiter man sich von den Beiwerten der Ausgangsgleichungen ent­

fernt, d. h. je höher die Stufe des Rechnungsganges ist, um so größer können die Fehler werden. Deshalb ergibt bei Differenzen­

gleichungen die gleichzeitige Anwendung der Vorwärts- und Rück- wärts-Elimination bzw. der Substitution von vorn und rückwärts verläßlichere Ergebnisse als die einfache Vorwärts- oder Rück- wärts-Elim ination; denn die von den beiden Enden ausgehenden Stufen sind gleichwertig, da sie gleich weit von Ausgangsglei­

chungen entfernt sind.

Während bei der gleichzeitigen Anwendung der Vorwärts- und Rückwärts-Elimination an linearen Differenzcngleichungen die Auflösung von zwei Punkten aus begonnen wird, gelingt es bei denselben Gleichungen durch Substitution die Anzahl der Angriffs­

punkte zu vermehren und die Anzahl der gleichwertigen Rechnungs­

stufen weiter zu vermindern. Das Verfahren soll zuerst am Bei-

Aus der 1.— 3. und 5.— 7. Gleichung können wir die Xj (i J: 4) durch X 4 ausdrücken und in die vierte Gleichung cinsetzen. Für die Xj erhält man entsprechend Gl. (2} den Ausdruck:

(3) X , = X i0 + X i4 • X 4.

X i0 und X i4 werden — in der gleichen Weise, wie es bei den gewöhn­

lichen Gleichungen gezeigt wurde —- berechnet, indem man für die Zustände

¿¡0 6 £ 4)

= o

Xjc

X i4 а) X 4 = o;

б) X 4 = 1, uj0 = u ... ^.¡4

die beiden unabhängigen Glcichungssysteme, die durch die Matrix (9) dargestellt sind, auflöst.

(9)

x f x { X I X ? X J X i a b

I _{¿ i i ¿ 1 2 ¿ 1 0} 0

2 ¿ 2 1 ¿ 2 2 ¿ 2 3 ¿ 2 0 0

3 ¿ 3 2 ¿ 3 3 ¿ 3 0 ---¿ 3 4

4

5 ¿ 5 5 ¿ 5 6 ¿ 5 0 - ¿ 5 4

6 _{¿ 6 5 ¿ 6 6 ¿ 6 7} ^toO O

7 ¿ 7 6 ¿ 7 7 ¿ 7 0 O

X 3 und X 5 aus Gl. (8) in die vierte Gleichung des Ausgangssystems eingesetzt, liefert die Bestimmungsgleichung für X 4 und daraus:

$10 '■’[3 X 30 <545 X so

(10)

X4

¿44 + <5.13 X 34 + <545 X 54 •

Damit sind auch die endgültigen Xj-Werte nach Gl. (8) gegeben.

Die Gleichungssysteme (9) können durch gleichzeitige Vor­

wärts- und Rückwärts-Elimination leicht gelöst werden. Man kann aber auch das Verfahren fortsetzen und dadurch, daß man X 4 und X 3 aus der 1. und 3. Gleichung bzw. X 5 und X , aus der 5. und 7. Gleichung in den Gl. 2 bzw. 6 substituiert, die Gleichungs- system e (9) weiter zerlegen.

Es ergibt sich so ein 3stufiges Berechnungsverfahren:

1

. S t u f e .

x 2 = x 4 = : 'Cs =

0

(II) , , I X i0 - _¿¡0 i =

1

(12) . V I ¿ik

ik — 0 U«..

k -- = 2, i = k

6.

— 1, k + 1.

(l2a) ¡xf II 1 'S i v 3- 5'

S t u f e .

X 4 = o .

( 13) ^{X 11 -}-x vn —¿ko

<5k k

°k0^{- ö}_________ ’k ,k -l X k _ i , o — <5;’k, k f 1 X k 4-1,0

¿kk + <5k, k - i X k - i , k+ ¿k,k 4-i x £ + i |k k = 2, 6.

1 Vgl. Hertwig, Eisenbau 1917, S. 122. 2 Bei den Elastizitätsgleichungen der Baustatik ist bekanntlicl

<5ik = <5ki, wodurch sich Vereinfachungen in der Rechnung ergeben

D E R B A U IN G E N IE U R

22. J A N U A R 1937. W A N KE, Z W E C K M Ä S S I G E A U F L Ö S U N G D E R D I F F E R E N Z E N - G L E I C H U N G E N

37

(14)

(15)

■v11 -v* 4_ V* X**

Ajo — ^iO T- Ajk A k0 •

x "_{k 4 =}

^ki Xi4

¿kk

k = 2, 6.

i = k — 1, k -{- 1 k = 2 ; 6

x X • X

A i — -Xu- A k

X ^ x ^ 4 - X * • X

A i4 — A i4 A ik A

^11 kl

(

)

(>7)

X , <5n

.

x'H

' ¿H :

3. S t u f e

¿40 ¿43

i = 3 I k = 2 | 5 6 i = 1 [ 7 k = 2 !

6

i = 3 i

5

e.

1 X " —■*4. X »

; X ” + i 45x j ;

X, = X ,

X J x 2 X , X 4 x 5 X 6 x 7

x !o

¿10

¿11

^3 0

^33

¿50

¿55

¿70

¿77

1 X?k

<5I2

¿11

_

^33

_ ¿58

¿55 <S77

x « 0

__

^33

_

¿55

0

¿kO _{¿ L} ö l

¿kk ¿.L öl

X 11kO '5L

¿L

ö l öl X I X 1I

-NikAkO ^{X f 5 X ,n} X 1 X 1132 20 XI, x n X L x 2 11 x l lAjo

¿kl x n*x kl

x « ö l ö l ö l

X 1130 X ”

ö l ö l 6 1«Bi

X?,1,

X I X 1I

ik kl X i, XII X i , X « X L x n _{X L X L}

X 11jXil X ” X « XL x ! I

i n4 0

¿2 III _{X . - X m}

4 Ml ö]l

öS

X 11 X i4 A 4 ^{X I I} x 4 x .? ix 4X J J X 4 X “ X 4 x,L x 4 XII x 4 X - x m

A-i” A i0 _{X x} X 2 X 3 X 5 X 6 X -

(18)

¿kO = <V X 1,5 X 1

Ai0

¿kl

¿ k k + 2 ¿ k i X ik

¿k i X j4

X ^ X^ 4- X^ X ^ Ajo — Ajo A ik ^\k0 V 11A;i X^ 1 x^ X ^

Ai i *+- Ajk A

;4

(5n4 1 X ;

2

¿4i xiö

¿44 + 2 ¿4, X j4

j-H

i = k - k = 2 i = 3

- 1, k + 1. 6^

5

x m-XiQ x 'o + X}J X 4

Rechnungskontrollen ergeben sich daraus, daß auf der 2. Stufe die Xko, x j ] und X k4 die entsprechenden Gleichungen^{v ii}

Bei einem System von sieben Gleichungen w eist das Berech­

nungsverfahren drei Stufen auf gegenüber vier bei der gleichzei­

tigen Vorwärts- und Rückwärts-Elimination und sieben bei der einfachen Elimination. Die Anzahl der Rckursionsstufen ist jeweils um eins geringer. Besteht das System aus 8— 15 Gleichungen, so wird das Verfahren .^stufig, während bei gleichzeitiger Vorwärts- und Rückwärts-Elimination sich ein 5— Sstufiger Rechnungsgang ergibt.

Da die Genauigkeit der Lösungen um so größer ist, je kleiner die Anzahl der Stufen des Rechnungsganges ist, so liegt in der Ver­

minderung der Stufenanzahl der Vorteil des Verfahrens. Er zeigt sich aber erst, wenn die Anzahl der Unbekannten n )> 6 ist und ist um so größer, je größer n ist.

Die Rechenvorschrift für dreigliedrige Gleichungen wird an einem System von sieben Gleichungen in Zahlentafel 1 gezeigt:

Z a h l e n t a f e l 1.

r •• -v11 Losungen X i0, befriedigen müssen.

Das Verfahren entspricht in der Baustatik einer Berechnungs- art unter Verwendung von Systemen ansteigender statischer Unbe­

stimmtheit, wobei auf jeder Stufe die Unbekannten so ausgewählt werden, daß sie sich gegenseitig nicht beeinflussen. Die Abb. 1

1

I I 1 1

Abb. 1.

zeigt das Berechnungsschema am durchlaufenden Träger über 12 Felder, wenn die Stützmomente als Unbekannte eingeführt werden. Daraus ist auch zu ersehen, wie das Verfahren anzuwen­

den ist, wenn mehr als 7 U nbekannte Vorkommen.

Bei 5 g 1 i e d r i g e n Gleichungen gelingt die Zerlegung in zwei unabhängige Systeme dadurch, daß man drei aufeinander­

folgende Unbekannte X k _1 X k = X k+1 = o setzt und der Reihe nach X k_j = 1, X k = 1 und X k+1 — 1 als Belastungen einführt.

Die beiden unabhängigen Gleichungssysteme sind demnach für folgende Zustände zu berechnen:

( 19)

X „

X.U-1

.0. . . X , a) Xj. — j X k = X k+, o;

b) X k , 1, X k == X k+1 = o c) X k = 1, X k_j — X kxj o

^ k 4 l = L *^k-i = X k = 0

Die Bezeichnung der diesen Zuständen entsprechenden xj-W erte ist aus (19) ersichtlich. Die endgültigen X ; sind durch folgende Beziehung gegeben:

_ k — i, k, k -f 1.

. . . X1 i,k+l •

(20) Xj = X?or = X[o -f 2 X l X -

Diese Ausdrücke in die Gleichungen k —1, k, k + i des Ausgangs- system s eingesetzt, liefert die Unbekannten

X X k0 und X k+1 11

X k~ . XII k - 1,0 . X,k-t-1,0 damit sind auch nach Gl. (20) die übrigen Unbekannten Xj gegeben.

Das Verfahren soll an einem System mit sieben Gleichungen (Matrix 21) erläutert werden.

(21)

Xj X 2 X 3 X4 X 5 x 6 x ,

I (5n 6n ¿13 ¿10

2 <52i <522 ¿23 ¿24 ¿20

3 ¿31 ¿32 ¿33 ¿34 ¿35 ¿30

4 $42 ¿43 ¿44 ¿45 ¿46 ¿40

5 ¿83 ¿84 ¿58 ¿56 ¿57 ¿50

6 _¿64 ¿85 ¿66 ¿87 ¿8.

7 ¿75 ¿76 ¿77 ¿70

3 8 W A N K E , Z W E C K M A S S I G E A U F L Ö S U N G D E R D I F F E R E N Z E N - GL E I C H UNGEN. D E R B A U IN G E N IE U R 18 (1937) H E F T 3/4.

Mit k = 4 ergeben die Zustände 19a— i9 d Gleichungen, die durch die Matrix 22 dargestellt sind.

(22)

«)

ß)

Xi, xi„ a b c d

<5,. <5l2 <5io <5l3

<521 <522 <520 -<523 —<524

x,i,. xfv a b c d

¿68 ¿67 <560

<5 64 ' <585

¿76

<570

O

(2 3)

¿¡0

N, X ? .=

«(ft

iS

a

3. 4. 5

1, 2, 6, 7

\ / \ /

(X ß

■ <S21 <5j.

N« (ft

Die Nennerdeterminanten sind:

{

) !

i N ß — ¿ 6 6 ¿ 7 7 ¿ 8 7 ¿ 7 6 -

Für das Gleichungssystem <x) sind die Zähler:

¿iu =<522<5io" ¿12 ¿20

¿lo

(2 5)

1 + <5la <523

l ¿ 2 3 " b ¿ 2 1 ¿ 1 :

¿?:, =

¿ f t — ¿ 1 2 ¿ 2 4 -

¿L —

¿f5

¿L

Die entsprechenden Werte für das Gleichungssystem ß) erhält man, wenn man in (25) 1 durch 7, 2 durch 6 und 3 durch 5 ersetzt.

Nach Gl. 20 und 23 ergeben sich die Unbekannten X ; = X i 0 m it folgenden W erten:

X , = ( ¿ f „ + ¿ i n X 3 + ¿ f 4 X , ) .

(26)

N a X ,

x„

N,

Np

r K, + ¿1

x

+ ö

x4) .

(Al + ¿L x 4 +

x 5) .

X , = (<5;u + <51, X , + ä l X g) .

¡ S ß

Die Einsetzung dieser Ausdrücke in die 3., 4. und 5. Gleichung des Ausgangssystems liefert die Gleichungen mit der Matrix (27).

(27)

x 3 x 4 x 5

<5"

öl]

¿15 ¿11 <51?

ön

<515 <5*1 <5“

Ön

(28)

Daraus lassen sich die Werte X?0 und x j . als Verhältnis zweier Determinanten darstellen:

<5“ - ¿33 + ‘ • (¿ » ¿ i, + M , ) . -N a

¿1? =<531 +-^-(<5u<5f, +<532<5.L).

¿11 = <543 + -^-<542

¿11 = ^+^-<54.<5L + ^-^6<5L- US +

'548

(28a)

¿11

¿11 = ¿53-

¿ 1 1 = ¿5 4 + 4 " - ( ¿ 5 6 ¿ * , + ¿ 5 , ¿ 1 , ) -

Np

¿11 = <555 + ~ ■ (¿56 <5,1, + <557 ¿1.-,)-

¿11 = < 5 3 0 - ^ - ('531^„ + <532 ^ 0)-

a“ = 5*0 - ~ ■ (¿58 ¿ > „ + ¿ 5, <5;o)-

D ie Gl. 2 7 können durch Elim ination oder durch Determinanten ge­

löst werden. Mit dem daraus gewonnenen X 3, X 4 und X 5 sind auch die endgültigen X pW erte (i = 1, 2, 6, 7) nach Gl. 26 gegeben.

Bei einem System von 6 Gleichungen schrumpft das eine der beiden unabhängigen System e 22 auf eine Gleichung zusammen;

bei 9 Gleichungen bestehen beide aus je 3 Gleichungen. Besteht das Ausgangssystem aus mehr als 9 Gleichungen, dann empfiehlt es sich, die Aufspaltung an zwei oder mehreren Stellen vorzunehmen und stufenweise, wie es bei den dreigliedrigen Gleichungen gezeigt wurde, die unabhängigen System e miteinander zu verbinden. Auch hier erweist sich das Verfahren bei größerer Anzahl der Unbekann­

ten als besonders vorteilhaft.

Sinngemäß läßt sich das beschriebene Verfahren auch auf Differenzengleichungen höheren Grades anwenden. Abgesehen davon, daß solche Gleichungssysteme keine große praktische Be­

deutung haben, wird die Berechnung dadurch umständlich, daß zur Aufspaltung des Ausgangssystem s die Anzahl der aufeinander­

folgenden Unbekannten, die gleich o gesetzt werden müssen, und damit die Anzahl der zugehörigen Bestimmungsgleichungen größer als 3 wird, z. B. 5 bei 7gliedrigen Gleichungen.

Dagegen kann es vorteilhaft zur Auflösung s i m u l t a n e r D i f f e r e n z e n g l e i c h u n g e n 2. O r d n u n g verwendet werden, wie an dem System mit der Matrix 29 gezeigt werden soll.

Die zugehörige Matrix 30 der 1. Stufe erhält man, wenn man die Gleichungen für die folgenden Zustände a) —- e) aufstellt:

a) X 2 X , = X„ = Y , = Y.

(29)

x t x s x 3 X 4 X ä X a X , Y 4 Y 2 Y 3 Y 4 Y 5 Y a Y ,

I _{< 5 n <5l2 Hi e 12 ¿ 1 0}

2 <521 ¿ 2 2 <523 « 2 1 e 22 g 23 ¿ 2 0

3 <53 2 ¿ 3 3 ¿ 3 4 e 32 g33 « 3 4 ¿ 3 0

4 <543 <5.4 <545 ¿4 3 «44 g 4 5 ¿ 4 0

5 < 5 « ¿ 5 5 ¿ 5 6 « 5 4 £ 5 5 « 5 6 ¿ 5 0

6 _{<5es ¿ 6 6 ¿ 6 7 g 6 5 « 0 6 « 6 7 ¿ 6 0}

7 ¿ 7 6 ¿ 7 7 « 7 6 « 7 7 ¿ 7 0

— — — _ _

1 <?y ^{<5y f i l f l 2 « 1 0}

2 _<521 <522 _{<523 e 2 l € 22 £ 23 « 2 0}

3 <532 <533 <534 g 32 g 33 _ f3 4 « 3 0

4; <543 <5.4 <545 g 43 «44 g 4S « 4 0

5 <554 ¿65 ¿ 5 6 « 5 4 £ 5 5 « 5 6 « 5 0

6 _{¿ 6 5 ¿ 6 8 ¿ 6 7} g85 ^{« 6 6 « 6 7 « 6 0}

1