Rozdziaª 1 Stabilno±¢ ukªadów liniowych

Rozdziaª 1

Stabilno±¢ ukªadów liniowych

Autorzy:

Bartªomiej Fajdek

1.1 Poj¦cia podstawowe

Jednym z podstawowych wymogów stawianych ukªadom automatyki jest stabilno±¢. Ist- nieje wiele denicji stabilno±ci ukªadów dynamicznych, opisanych przy pomocy równa«

ró»niczkowych.

Denicja 1.1

O ukªadzie mo»emy mówi¢, »e jest stabilny gdy ukªad ten wytr¡cony ze stanu równowagi (rozpatrywanego punktu pracy P ) powraca do niej (do pewnego stanu K) po ustaniu dziaªania czynników (zakªóce« z) które go z tego stanu wytr¡ciªy.

Przytoczon¡ denicj¦ mo»na wyrazi¢ w postaci zale»no±ci wi¡»¡cych sygnaªy ukªadu:

z : y (P ) → y (K) orazu (P ) → u (K)

k z k< + ∞ ⇒k y − y (P ) k< + ∞oraz k u − u (K) k< + ∞ (1.1) gdzie:

u- sygnaªy wej±ciowe y- sygnaªy wyj±ciowe z- zakªócenia

Poniewa» stan równowagi mo»e by¢ ró»nie interpretowany (stan K jest bli»ej nieokre±lo- ny) bardziej u»ytecznym b¦dzie okre±lenie ukªadu asymptotycznie stabilnego, tzn. takiego, w którym zakªócenie z ograniczone spowoduje chwilowe wytr¡cenie ukªadu z rozpatrywa- nego punktu pracy P (ukªad po zanikni¦ciu zakªócenia z powraca do tego samego stanu równowagi P który zajmowaª poprzednio).

z : k z k< + ∞ ⇒k y − y (P ) k< + ∞oraz k u − u (P ) k< + ∞ (1.2)

W dalszej cz¦±ci zostan¡ podane najcz¦±ciej stosowane kryteria stanowi¡ce warunki ko- nieczne i dostateczne stabilno±ci ukªadów liniowych.

Rozwa»my ukªad zamkni¦ty opisany za pomoc¡ nast¦puj¡cego równania ró»niczkowego:

an

dⁿy

dtⁿ + an−1

dⁿ⁻¹y

dtⁿ⁻¹ + · · · + a₀y = bm

d^mu

dt^m + bm−1

d^m−1u

dt^m−1 + · · · + b₀u (1.3) lub odpowiadaj¡cej mu transmitancji:

G (s) = y (s)

u (s) = b₀+ b₁s + · · · + b_ms^m

a₀+ a₁s + · · · + a_nsⁿ, n ­ m (1.4) Denicja 1.2

Warunkiem koniecznym i dostatecznym stabilno±ci asymptotycznej ukªadu opisanego trans- mitancj¡ ( 1.4 ) jest, aby pierwiastki równania charakterystycznego (mianownika) miaªy ujemne cz¦±ci rzeczywiste.

R (s_k) < 0 (1.5)

gdzie:

s_k - pierwiastki równania charakterystycznego ukªadu

W przypadku gdy chocia» jeden pierwiastek równania charakterystycznego ma cz¦±¢ rze- czywist¡ dodatni¡ ukªad jest niestabilny.

Je»eli równanie charakterystyczne ma pierwiastki w lewej póªpªaszczy¹nie oraz jednokrot- ne na osi liczb urojonych, to w ukªadzie b¦d¡ wyst¦powa¢ drgania ostaªej amplitudzie.

Ukªad znajduje si¦ wówczas na granicy stabilno±ci , czyli nie jest stabilny asymptotycznie.

Na rysunku ( 1.1 ) przedstawione jest rozmieszczenie pierwiastków równania charakte- rystycznego (biegunów) na pªaszczy¹nie zespolonej s dla ukªadów liniowych stabilnych asymptotycznie, niestabilnych oraz znajduj¡cych si¦ na granicy stabilno±ci.

Rysunek 1.1  Rozmieszczenie pierwiastków równania charakterystycznego na pªaszczy¹nie zmiennej zespolonej s dla przykªadowych ukªadów liniowych.

Obja±nienia do rysunku ( 1.1 ):

Kolejnymi numerami oznaczone s¡ pierwiastki równa« charakterystycznych pewnych ukªa- dów liniowych.

• Ukªad liniowy, który posiada wyª¡cznie pierwiastki równania charakterystycznego oznaczone jako 1 jest stabilny asymptotycznie.

• Ukªad liniowy, który posiada pierwiastki równania charakterystycznego oznaczone jako 1 oraz 2 znajduje si¦ na granicy stabilno±ci.

• Ukªad liniowy, który posiada pierwiastki równania charakterystycznego oznaczone jako 1 oraz 3 znajduje si¦ na granicy stabilno±ci.

• Ukªad liniowy, który posiada pierwiastki równania charakterystycznego oznaczone jako 4 (mo»e posiada¢ tak»e pierwiastki oznaczone jako 1,2,3) jest niestabilny.

• Ukªad liniowy, który posiada pierwiastek podwójny równania charakterystycznego w punkcie 2 jest niestabilny.

W przypadku badania stabilno±ci ukªadów liniowych opisanych przy pomocy równa« ró»- niczkowych wy»szych rz¦dów wyznaczenie pierwiastków równania charakterystycznego mo»e by¢ kªopotliwe. W takich przypadkach stosuje si¦ jedno kryteriów stabilno±ci. Na- le»y pami¦ta¢, »e wszystkie kryteria wywodz¡ si¦ z warunku podstawowego ( 1.5 ).

W niniejszym opracowaniu przedstawione zostan¡ nast¦puj¡ce kryteria badania stabilno-

±ci:

• kryterium Hurwitza

• kryterium Nyquista

• logarytmiczne kryterium Nyquista

1.1.1 Przykªady zada«

Przykªad 1.1

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu opisanego transmitancj¡

G (s) = 1

2s²+ 4s + 1 (1.6)

Rozwi¡zanie:

W pierwszej kolejno±ci nale»y wyznaczy¢ miejsca zerowe równania charakterystycznego (mianownika)

2s²+ 4s + 1 = 0 (1.7)

Wyznaczamy delt¦ ∆ :

∆ = 4²− 4 · 2 · 1 = 16 − 8 = 8 (1.8) a nast¦pnie wyznaczamy pierwiastki:

s₁ = ⁻⁴⁺

√

∆

2·2 = ⁻⁴⁺

√8

4 ≈ −1, 707 s₂ = ⁻⁴⁻

√

∆

2·2 = ⁻⁴⁻

√8

4 ≈ −0, 586 (1.9)

St¡d wynika, »e obydwa pierwiastki s¡ ujemne wi¦c zgodnie z denicj¡ ( 1.2 ) ukªad jest stabilny asymptotycznie.

Przykªad 1.2

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu opisanego transmitancj¡

G (s) = 1

s²− 4s + 5 (1.10)

Rozwi¡zanie:

Podobnie jak w poprzednim przykªadzie nale»y wyznaczy¢ miejsca zerowe równania cha- rakterystycznego (mianownika)

Wyznaczamy delt¦ ∆:

∆ = (−4)²− 4 · 1 · 5 = 16 − 20 = −4 = 4i² ⇒√

∆ = 2i (1.12)

a nast¦pnie pierwiastki:

s₁ = ⁻⁽⁴⁾⁻

√∆

2·1 = ^−(4)−2i₂ = 2 − i s₂ = ⁻⁽⁴⁾⁺

√

∆

2·1 = ^−(4)+2i₂ = 2 + i (1.13)

St¡d wynika »e pierwiastki równania charakterystycznego posiadaj¡ dodatnie cz¦±ci rzeczywiste. Zgodnie z denicj¡ ( 1.2 ) ukªad jest niestabilny.

Przykªad 1.3

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu opisanego transmitancj¡

G (s) = 2s + 1

s³− 4s²+ 5s − 2 (1.14)

Rozwi¡zanie:

Nale»y wyznaczy¢ pierwiastki równania charakterystycznego (mianownika)

N (s) = s³− 4s² + 5s − 2 = 0 (1.15)

Šatwo zauwa»y¢, »e N (2) = 8 − 16 + 10 − 2 = 0wi¦c zgodnie z twierdzeniem Bézout'a wielomian N (s)mo»na przedstawi¢ w nast¦puj¡cej postaci:

N (s) = (x − 2) W (s) (1.16)

gdzie:

W (s) = as²+ bs + c (1.17)

mo»na to wyrazi¢ nast¦puj¡co:

(x − 2) (as²+ bs + c) = as³+ bs²+ c − 2as²− 2bs − 2c =

= as³+ (b − 2a) s²+ (c − 2b) s − 2c (1.18) wi¦c liczby a,b,c musz¡ przybiera¢ warto±ci takie, by ∀x ∈ Rzachodziªa równo±¢:

s³− 4s + 5s − 2 = as³+ (b − 2a) s²+ (c − 2b) s − 2c (1.19) Równo±¢ ta jest speªniona gdy:







a = 1 b − a = −4

(1.20)

Po rozwi¡zaniu powy»szego ukªadu równa« otrzymujemy:







a = 1 b = −2 c = 1

(1.21)

St¡d wynika,»e:

W (s) = s²− 2s + 1 (1.22)

Ostatecznie równanie charakterystyczne ma nast¦puj¡c¡ posta¢:

N (s) = (s − 2)^s²− 2s + 1^ (1.23)

Šatwo zauwa»y¢, »e równanie mo»na przeksztaªci¢ do nast¦puj¡cej postaci:

N (s) = (s − 2) (s − 1)² (1.24)

Równanie charakterystyczne posiada nast¦puj¡ce pierwiastki:

s1 = 2

s_2,3 = 1 (1.25)

St¡d wynika »e pierwiastki równania charakterystycznego posiadaj¡ dodatnie cz¦±ci rze- czywiste. Zgodnie z denicj¡ ( 1.2 ) ukªad jest niestabilny.

1.1.2 Zadania do samodzielnego rozwi¡zania

Przykªad 1.4

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu opisanego transmitancj¡:

G (s) = 1

2s²+ 4s + 5 (1.26)

Przykªad 1.5

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu opisanego transmitancj¡:

G (s) = 1

s²− 0.5s + 2 (1.27)

Przykªad 1.6

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu opisanego transmitancj¡:

G (s) = 1

s³+ 2s²+ 2s + 3 (1.28)

Przykªad 1.7

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu opisanego transmitancj¡:

G (s) = 1

1.25s³− 0.25s²+ 0.4s + 2 (1.29) Przykªad 1.8

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu opisanego transmitancj¡:

G (s) = 1

s⁴+ 6s³+ 8s²+ 6s + 3 (1.30) Przykªad 1.9

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu opisanego transmitancj¡:

G (s) = 1

0.1s⁴+ 0.25s³+ 0.45s²+ 0.6s + 3 (1.31)

1.2 Kryterium Hurwitza

Kryterium Hurwitza jest jedn¡ z metod oceny stabilno±ci ukªadów liniowych bez koniecz- no±ci obliczania pierwiastków równania charakterystycznego. Nale»y do grupy kryteriów algebraicznych. Mo»na je sformuªowa¢ nast¦puj¡co:

Denicja 1.3

Równanie charakterystyczne ukªadu o transmitancji G (s) = ^{M (s)}_{N (s)}:

N (s) = a_nsⁿ+ a_n−1sⁿ⁻¹+ · · · + a₁s + a₀ (1.32) posiada wszystkie pierwiastki w lewej póªpªaszczy¹nie zmiennej zespolonej swtedy i tylko wtedy, gdy speªnione s¡ nast¦puj¡ce warunki:

1. Warunek I - wszystkie wspóªczynniki równania (1.32 ) istniej¡ i maj¡ jednakowy znak (warunek konieczny, ale niedostateczny)

a_n > 0,a_n−1 > 0, . . . , a₀ > 0,

2. Warunek II - podwyznaczniki ∆i, od i = 2 do i = n − 1, wyznacznika gªównego

∆_n s¡ wi¦ksze od zera. Wyznacznik ∆n utworzony ze wspóªczynników równania charakterystycznego jest nast¦puj¡cej postaci:

∆_n=

















a_n−1 a_n 0 0 0 . . .

an−3 an−2 an−1 an 0 . . . a_n−5 a_n−4 a_n−3 a_n−2 a_n−1 . . . a_n−7 a_n−6 a_n−5 a_n−4 a_n−3 . . .

















∆₂ =

"

a_n−1 a_n an−3 an−2

#

, ∆₃ =







a_n−1 a_n 0 a_n−3 a_n−2 a_n−1 a_n−5 a_n−4 a_n−3





, . . .

Przy pomocy kryterium mo»liwe jest stwierdzenie stabilno±ci asymptotycznej i nieasymp- totycznej. Stabilno±¢ nieasymptotyczna zachodzi wtedy, gdy w równaniu charakterystycz- nym wspóªczynnik a0 = 0.

1.2.1 Przykªady zada«

Przykªad 1.10

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu liniowego o podanym równaniu charakterystycznym

N (s) = s⁵+ 4s⁴+ 3s³+ 4s²+ s (1.33) Rozwi¡zanie:

Równanie mo»na sprowadzi¢ do nast¦puj¡cej postaci:

N (s) = s⁴+ 4s³+ 3s²+ 4s + 1 (1.34) Zgodnie z kryterium Hurwitza w pierwszej kolejno±ci nale»y sprawdzi¢ warunek I (czy wszystkie wspóªczynniki równania istniej¡ i maj¡ wspólny znak).

Šatwo zauwa»y¢ »e pierwszy warunek jest speªniony poniewa»:

a₄ = 1 > 0,a₃ = 4 > 0,a₂ = 3 > 0,a₁ = 4 > 0,a₀ = 1 > 0 (1.35) Nast¦pnie nale»y sprawdzi¢ warunek II. W tym celu nale»y wyznaczy¢ wyznacznik gªówny

∆n=4:

∆_n=4 =











a₃ a₄ 0 0 a₁ a₂ a₃ a₄ 0 a₀ a₁ a₂ 0 0 0 a₀











=











4 1 0 0 4 3 4 1 0 1 4 3 0 0 0 1











(1.36)

oraz sprawdzi¢ czy podwyznaczniki ∆i, od i = 2 do i = 3s¡ wi¦ksze od zera:

∆₂ =

"

4 1 4 3

#

, det (∆₂) = 12 − 4 = 8 > 0 (1.37)

∆₃ =







4 1 0 4 3 4 0 1 4





, det (∆₃) = 48 − 16 − 16 = 16 > 0 (1.38) Zgodnie z kryterium Hurwitza ukªad jest stabilny asymptotycznie.

Przykªad 1.11

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu liniowego ukªadu przedstawionego na rysunku (1.2 )

Rysunek 1.2  Schemat blokowy ukªadu

Rozwi¡zanie:

W pierwszej kolejno±ci nale»y wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu. W tym celu nale» prze- ksztaªci¢ schemat blokowy do nast¦puj¡cej postaci:

Rysunek 1.3  Schemat blokowy ukªadu po przeksztaªceniach

Nast¦pnie mo»liwe jest wyznaczenie transmitancji zast¦pczej ukªadu:

G (s) = Z₁(s) Z₂(s) Z₃(s) (1.39) gdzie:

Z₁(s) =

2 s

1+⁶_s = _s+6² Z₂(s) = 1 + _5s+1^s = ^6s+1_5s+1 Z₃(s) = _s+1¹

Ostatecznie transmitancja zast¦pcza ma posta¢:

G (s) = 12s + 2

5s³+ 36s²+ 37s + 6 (1.40)

Równanie charakterystyczne ukªadu jest nast¦puj¡ce:

N (s) = 5s³+ 36s²+ 37s²+ 6 (1.41) Zgodnie z kryterium Hurwitza w pierwszej kolejno±ci nale»y sprawdzi¢ warunek I (czy wszystkie wspóªczynniki równania istniej¡ i maj¡ wspólny znak).

Pierwszy warunek jest speªniony poniewa»:

a₃ = 5 > 0,a₂ = 36 > 0,a₁ = 37 > 0,a₀ = 6 > 0 (1.42) Nast¦pnie nale»y sprawdzi¢ warunek II. W tym celu nale»y wyznaczy¢ wyznacznik gªówny

∆n=3:

∆_n=3 =







a₂ a₃ 0 a₀ a₁ a₂ 0 0 a₀





=







36 5 0 6 37 36

0 0 4





 (1.43)

oraz sprawdzi¢ czy podwyznacznik ∆2jest wi¦kszy od zera:

∆₂ =

"

36 5 6 37

#

, det (∆₂) = 1332 − 30 = 1302 > 0 (1.44) Zgodnie z kryterium Hurwitza ukªad jest stabilny asymptotycznie.

Przykªad 1.12

Okre±li¢ wzmocnienie regulatora P zapewniaj¡ce stabiln¡ prac¦ ukªadu regulacji przed- stawionego na rysunku (1.4 )

Rysunek 1.4  Schemat blokowy ukªadu regulacji

Rozwi¡zanie:

W celu sprawdzenia stabilno±ci ukªadu nale»y wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡:

G (s) = y (s) w (s) =

4k 5s(4s+1)²

1 + ^4k

5s(4s+1)²

= 4k

5s^16s²+ 8s + 1^+ 4k = 4k

80s³+ 40s²+ 5s + 4k (1.45) Równanie charakterystyczne ukªadu jest nast¦puj¡ce:

N (s) = 80s³+ 40s² + 5s + 4k (1.46) Zgodnie z kryterium Hurwitza (warunek I) wszystkie wspóªczynniki równania musz¡ ist- nie¢ oraz mie¢ wspólny znak.

a₃ = 80 > 0,a₂ = 40 > 0,a₁ = 5 > 0,a₀ = 4k > 0 (1.47) Z warunku I otrzymujemy ostatecznie:

k > 0 (1.48)

Nast¦pnie nale»y wyznaczy¢ wyznacznik gªówny ∆n=3w celu sprawdzenia warunku II:

∆_n=3=







a₂ a₃ 0 a₀ a₁ a₂ 0 0 a₀





=







40 80 0 4k 5 40

0 0 4k





 (1.49)

oraz podwyznacznik ∆2 :

∆₂ =

"

40 80 4k 5

#

, det (∆₂) = 200 − 320k (1.50) Zgodnie z II warunkiem kryterium Hurwitza podwyznacznik ∆2musi by¢ wi¦kszy od zera.

200 − 320k > 0 320k < 200 k < ⁵₈

(1.51)

Ostatecznie, bior¡c pod uwag¦ obydwa warunki, otrzymujemy:

0 < k < 5

8 (1.52)

Przykªad 1.13

Okre±li¢ krytyczn¡ warto±¢ wspóªczynnika wzmocnienia kpregulatora w funkcji jego czasu wyprzedzenia Tddla ukªadu przedstawionego na rysunku ()

Rysunek 1.5  Schemat blokowy ukªadu regulacji

Rozwi¡zanie:

Na pocz¡tku nale»y wyznaczy¢ transmitancj¦ zast¦pcz¡ ukªadu regulacji:

G (s) = y (s) x (s) =

1

(s+1)(0.4s+1)(0.1s+1)

1 + (s+1)(0.4s+1)(0.1s+1)^kp(1+Tds)

= 1

(s + 1) (0.4s + 1) (0.1s + 1) + k_p(1 + T_ds) (1.53) Równanie charakterystyczne jest postaci:

N (s) = 0.04s³+ 0.54s²+ (1.5 + k_pT_d) s + 1 + k_p (1.54)

Nast¦pnie nale»y sprawdzi¢ warunek I kryterium Hurwitza (wszystkie wspóªczynniki rów- nania musz¡ istnie¢ oraz mie¢ wspólny znak).

a₃ = 0.04 > 0,a₂ = 0.54 > 0,a₁ = 1.5 + k_pT_d> 0,a₀ = 1 + kp > 0 (1.55) ostatecznie otrzymujemy nast¦puj¡ce warunki:

k_pT_d> −1.5

k_p > −1 (1.56)

Nast¦pnie nale»y sprawdzi¢ warunek II. W tym celu nale»y wyznaczy¢ wyznacznik gªówny

∆_n=3:

∆n=3 =







a₂ a₃ 0 a₀ a₁ a₂ 0 0 a₀





=







0.54 0.04 0

1 + kp 1.5 + kpT_d 0.54

0 0 1 + k_p





 (1.57)

oraz podwyznacznik ∆2 :

∆₂ =

"

0.54 0.04

1 + k_p 1.5 + k_pT_d

#

, det (∆₂) = 0.54 (1.5 + k_pT_d) − 0.04 (1 + k_p) (1.58) Zgodnie z II warunkiem kryterium Hurwitza podwyznacznik ∆2musi by¢ wi¦kszy od zera.

0.54 (1.5 + k_pT_d) − 0.04 (1 + k_p) > 0 (1.59) Nierówno±¢ mo»na ªatwo przeksztaªci¢ do nast¦puj¡cej postaci

19.25 + k_p(13.5T_d− 1) > 0 (1.60) Analizuj¡c powy»sz¡ nierówno±¢ mo»na zauwa»y¢, »e w przypadku gdy czªon 13.5Td− 1 b¦dzie wi¦kszy od zera ukªad regulacji z idealnym regulatorem PD b¦dzie stabilny dla ka»dej warto±ci wzmocnienia kp. Warunek b¦dzie wi¦c speªniony gdy Td­ 0.0741.

Nierówno±¢ (1.60 ) mo»na podzieli¢ na dwa przedziaªy wzgl¦dem czasu wyprzedzenia Td: Dla Td­ 0.0741:

k_p > −19.25

13.5T_d− 1 (1.61)

Dla Td< 0.0741:

k_p < 19.25

1 − 13.5Td (1.62)

Ostatecznie otrzymujemy nast¦puj¡cy zestaw warunków:

kpTd> −1.5 k_p > −1 k_p > _13.5T^−19.25

d−1, T_d< 0.0741 k_p < _1−13.5T^19.25

d, T_d­ 0.0741

(1.63)

Przebieg granicy stabilno±ci przedstawiony jest na rysunku (1.6 ).

Rysunek 1.6  Przebieg granicy stabilno±ci dla rozpatrywanego ukªadu regulacji

1.2.2 Przykªady do samodzielnego rozwiazania

Przykªad 1.14

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu liniowego o podanym równaniu charakterystycznym:

N (s) = s³+ 2s²+ 2s + 3 (1.64)

Przykªad 1.15

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu liniowego o podanym równaniu charakterystycznym:

N (s) = s⁴+ 2.5s³+ 2s² + 1.25s + 3 (1.65) Przykªad 1.16

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu liniowego o podanym równaniu charakterystycznym:

N (s) = s⁵ + 4.5s⁴+ 5.25s³ + 5s²+ 2.45s + 1 (1.66) Przykªad 1.17

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu liniowego o podanym równaniu charakterystycznym:

N (s) = s⁵ + 2s⁴+ 0.75s³+ 0.3s²+ 0.45s + 1 (1.67) Przykªad 1.18

Sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu liniowego ukªadu przedstawionego na rysunku.

Rysunek 1.7  Schemat blokowy ukªadu.

Przykªad 1.19

Okre±li¢ wzmocnienie regulatora P zapewniaj¡ce stabiln¡ prac¦ ukªadu regulacji przed- stawionego na rysunku

Rysunek 1.8  Schemat blokowy ukªadu.

Przykªad 1.20

Transmitancja ukªadu otwartego ma posta¢:

G_o = k_p(1 + Ts)²

s³(s + 1) (1.68)

Okre±li¢ warto±ci kp i T , dla których ukªad zamkni¦ty b¦dzie stabilny. Napisa¢ równanie granicy stabilno±ci oraz narysowa¢ j¡ na pªaszczy¹nie kp i T .

Przykªad 1.21

Obliczy¢ zale»no±¢ krytycznego wspóªczynnika wzmocnienia obiektu k od staªej czasowej Td regulatora dla ukªadu automatyki przedstawionego na rysunku.

Rysunek 1.9  Schemat blokowy ukªadu.

1.3 Kryterium Nyquista

Kryterium Nyquista umo»liwia badanie stabilno±ci ukªadu zamkni¦tego na podstawie przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej ukªadu otwartego. Mo»emy rozró»ni¢ dwa przypadki:

I Przypadek: Ukªad otwarty jest stabilny Denicja 1.4

Ukªad zamkni¦ty jest stabilny je»eli charakterystyka amplitudowo-fazowa odpowiadaj¡- cego mu ukªadu otwartego, dla pulsacji od 0 do +∞ nie obejmuje punktu (−1; j0).



Bezpo±rednio z przytoczonej denicji wynika tzw. reguªa lewej strony, wedªug której ukªad zamkni¦ty jest stabilny je»eli punkt (−1; j0)znajduje si¦ w obszarze le»¡cym po lewej stronie charakterystyki amplitudowo-fazowej ukªadu otwartego id¡c w stro- n¦ rosn¡cych pulsacji ω.

II Przypadek: Ukªad otwarty jest niestabilny Denicja 1.5

Je»eli otwarty ukªad regulacji jest niestabilny i ma mpierwiastków swego równania charak- terystycznego w prawej póªpªaszczy¹nie zmiennej zespolonej s , to po zamkni¦ciu b¦dzie on stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa ukªadu otwar- tego dla pulsacji od 0 do +∞okr¡»a ^mpunkt (−1; j0)w kierunku niezgodnym z ruchem

1.3.1 Przykªady zada«

Przykªad 1.22

Dla ukªadu regulacji przedstawionego na rysunku (1.10 ):

• sprawdzi¢ stabilno±¢ oraz okre±li¢ zapas moduªu (w przypadku gdy ukªad jest sta- bilny),

• czy dwukrotne zwi¦kszenie kpregulatora wpªywa na stabilno±¢ ukªadu.

Rysunek 1.10  Schemat ukªadu regulacji

Rozwi¡zanie:

Aby sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu regulacji korzystaj¡c z kryterium Nyquista nale»y wy- znaczy¢ transmitancj¦ ukªadu otwartego:

G_o(s) = k_p

(s + 1) (0.4s + 1) (0.1s + 1) = 10

0.04s³+ 0.54s²+ 1.5s + 1 (1.69) Równanie charakterystyczne ukªadu otwartego ma posta¢:

N_o(s) = 0.04s³+ 0.54s² + 1.5s + 1 (1.70) W pierwszej kolejno±ci nale»y sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu otwartego. W tym celu mo»- na skorzysta¢ z kryterium Hurwitza. Nale»y sprawdzi¢ warunek I kryterium Hurwitza (wszystkie wspóªczynniki równania musz¡ istnie¢ oraz mie¢ wspólny znak).

a₃ = 0.04 > 0,a2 = 0.54 > 0,a1 = 1.5 > 0,a0 = 1 > 0 (1.71) Nast¦pnie nale»y sprawdzi¢ warunek II. W tym celu nale»y wyznaczy¢ wyznacznik gªówny

∆_n=3:

 a₂ a₃ 0 ^{ } 0.54 0.04 0 ^

oraz podwyznacznik ∆2 :

∆₂ =

"

0.54 0.04

1 1.5

#

, det (∆₂) = 0.54 · 1.5 − 0.04 · 1 = 0.81 − 0.04 = 0.77 (1.73) Zatem ukªad otwarty jest stabilny.

Zgodnie z denicj¡ (1.4 ) aby ukªad po zamkni¦ciu równie» byª stabilny, to zgodnie z kryterium Nyquista charakterystyka amplitudowo-fazowa nie mo»e obejmowa¢ punktu (−1; j0).

Transmitancja widmowa ukªadu otwartego jest postaci:

G_o(jω) = 10

0.04(jω)³+ 0.54(jω)²+ 1.5jω + 1 (1.74) Poniewa» Go(jω)jest funkcj¡ zespolon¡, mo»na rozªo»y¢ j¡ na cz¦±¢ rzeczywist¡ i cz¦±¢

urojon¡:

G_o(jω) = P (ω)+jQ(ω) = 10 (1 − 0.54ω²)

(1 − 0.54ω²)²+ ω²(0.04ω²− 1.5)²+j 10ω (0.04ω²− 1.5)

(1 − 0.54ω²)²+ ω²(0.04ω²− 1.5)² (1.75)

Nast¦pnie nale»y wyznaczy¢ warto±¢ pulsacji ωxdla której argGo(jω_x) = −180⁰. Poniewa»

φ(ω) = arctg^Q(ω)_{P (ω)} wi¦c dla rozpatrywanego przykªadu:

arctgω (0.04ω²− 1.5)

1 − 0.54ω² = −180⁰ (1.76)

Po przeksztaªceniach otrzymujemy:

ω (0.04ω²− 1.5)

1 − 0.54ω² = 0 (1.77)

Równanie jest speªnione gdy:

ω = 0 ∨ ω =√

37.5 ∨ ω = −√

37.5 (1.78)

Poniewa» rozpatrujemy jedynie dodatnie warto±ci ωwi¦c ostatecznie otrzymujemy:

ω_x =√

37.5 (1.79)

Nast¦pnie wyznaczamy warto±¢ moduªu M (ωx):

M (ω_x) = ^qP²(ω_x) + Q²(ω_x) = 10 (1 − 0.54 · 37.5)

(1 − 0.54 · 37.5)²+ 37.5(0.04 · 37.5 − 1.5)² ≈ 0.5195 (1.80)

Warto±¢ moduªu dla pulsacji ωxwynosi w przybli»eniu 0.5195wi¦c zgodnie z kryterium Ny- quista charakterystyka amplitudowo-fazowa nie mo»e obejmowa¢ punktu (−1; j0). Ukªad jest wi¦c stabilny z zapasem moduªu ∆M (ωx) = 1 − 0.5195 = 0.4805.

W przypadku gdy dwukrotnie zwi¦kszymy kpregulatora, warto±¢ moduªu dla pulsacji ω_xwyniesie:

M (ω_x) =^qP²(ω_x) + Q²(ω_x) = 20 (1 − 0.54 · 37.5)

(1 − 0.54 · 37.5)²+ 37.5(0.04 · 37.5 − 1.5)² ≈ 1.04 (1.81) wi¦c zgodnie z kryterium Nyquista ukªad po zamkni¦ciu b¦dzie niestabilny. Wyra¹nie jest to widoczne na rysunku poni»ej

Rysunek 1.11  Rysunek pomocniczy  charakterystyki amplitudowo-fazowe dla ró»nych wzmocnie«.

Przykªad 1.23

Zbada¢ stabilno±¢ ukªadu przedstawionego na rysunku (1.10 ) korzystaj¡c z kryterium Nyquista.

Rysunek 1.12  Schemat ukªadu regulacji

Rozwi¡zanie:

Aby sprawdzi¢ stabilno±¢ ukªadu regulacji korzystaj¡c z kryterium Nyquista nale»y wy- znaczy¢ transmitancj¦ ukªadu otwartego:

G_o(s) = 1

2s³+ 5s²+ 2s + 1 (1.82)

Równanie charakterystyczne ukªadu otwartego ma posta¢:

N_o(s) = 2s³ + 5s²+ 2s + 1 (1.83) W pierwszej kolejno±ci nale»y, np. korzystaj¡c z kryterium Hurwitza, sprawdzi¢ stabilno±¢

ukªadu otwartego. Zgodnie z kryterium Hurwitza (wszystkie wspóªczynniki równania mu- sz¡ istnie¢ oraz mie¢ wspólny znak) nale»y sprawdzi¢ wspóªczynniki równania:

a₃ = 2 > 0,a₂ = 5 > 0,a₁ = 2 > 0,a₀ = 1 > 0 (1.84) I warunek kryterium Hurwitza jest speªniony. Nast¦pnie nale»y sprawdzi¢ II warunek Hurwitza. W tym celu wyznaczamy wyznacznik gªówny ∆n=3:

∆_n=3 =







a₂ a₃ 0 a₀ a₁ a₂ 0 0 a0





=







5 2 0 1 2 5 0 0 1





 (1.85)

oraz podwyznacznik ∆2 :

∆₂ =

"

5 2 1 2

#

, det (∆₂) = 5 · 2 − 1 · 2 = 10 − 2 = 8 (1.86)

Aby ukªad byª stabilny po zamkni¦ciu, zgodnie z kryterium Nyquista charakterystyka amplitudowo-fazowa nie mo»e obejmowa¢ punktu (−1; j0). Transmitancja widmowa ukªa- du otwartego ma posta¢:

G_o(jω) = 1

2(jω)³+ 5(jω)²+ 2jω + 1 (1.87) Transmitancj¦ widmow¡ mo»na rozªo»y¢ j¡ na cz¦±¢ rzeczywist¡ i cz¦±¢ urojon¡:

G_o(jω) = P (ω) + jQ(ω) = 1 − 5ω²

(1 − 5ω²)²+ 2ω²(ω²− 1)² + j 2ω (ω² − 1)

(1 − 5ω²)²+ 2ω²(ω²− 1)² (1.88) Tabela 1.1  Warto±ci cz¦±ci rzeczywistej oraz urojonej dla przykªadowych pulsacji

ω 0 0.45 1 ∞

P (ω) 1 0 -0.25 0

Q(ω) 0 -2.8 0 0

Na podstawie zaª¡czonej tabelki sporz¡dzamy wykres charakterystyki amplitudowo-fazowej ukªadu otwartego.

Rysunek 1.13  Charakterystyka amplitudowo-fazowa

Z wykresu wynika bezpo±rednio, »e charakterystyka amplitudowo-fazowa ukªadu otwar- tego nie obejmuje punktu (−1,j0),a zatem ukªad po zamkni¦ciu jest stabilny (zgodnie z kryterium Nyquista).

1.3.2 Zadania do samodzielnego rozwiazania

Przykªad 1.24

Zbada¢ stabilno±¢ i okre±li¢ zapas moduªu ukªadu przedstawionego na rysunku.

Rysunek 1.14  Schemat blokowy ukªadu.

Przykªad 1.25

Zbada¢ stabilno±¢ i okre±li¢ zapas moduªu ukªadu przedstawionego na rysunku.

Rysunek 1.15  Schemat blokowy ukªadu.

Przykªad 1.26

Okre±li¢ krytyczn¡ warto±¢ wspóªczynnika wzmocnieniak, przy której ukªad przedstawio- ny na rysunku b¦dzie stabilny.

Rysunek 1.16  Schemat blokowy ukªadu.

1.4 Logarytmiczne kryterium Nyquista

Z kryterium Nyquista wynika bezpo±rednio nast¦puj¡cy warunek stabilno±ci:

| G₀(jω) |< 1 (1.89)

gdzie ωxjest pulsacj¡ dla której:

argG_o(jω) = arctgQ(ω)

P (ω) = −180⁰ (1.90)

W przypadku gdy mamy do dyspozycji charakterystyki amplitudow¡ L(ω)oraz fazow¡

φ(ω)to warunek mo»na wyrazi¢ nast¦puj¡c¡ zale»no±ci¡:

L (ωx) = 10log | G₀(jωx) |< 0 (1.91) Logarytmiczne kryterium stabilno±ci mo»na sformuªowa¢ nast¦puj¡co:

Denicja 1.6

Zamkni¦ty ukªad regulacji automatycznej jest stabilny wtedy, gdy logarytmiczna charak- terystyka amplitudowa ukªadu otwartego ma warto±¢ ujemn¡ przy pulsacji odpowiadaj¡cej przesuni¦ciu fazowemu −180⁰ .

Rysunek 1.17  Przykªadowe charakterystyki amplitudowa oraz fazowa: ∆L- zapas moduªu, ∆φ- zapas fazy

Na rysunku (1.17 ) przedstawione s¡ przykªadowe charakterystyki amplitudowa oraz fa- zowa dla stabilnego ukªadu liniowego. Reprezentacja graczna pozwala na sprawdzenie stabilno±ci ukªadu oraz wyznaczenie liczbowych warto±ci zapasu moduªu ∆L oraz zapa- su fazy ∆φ. Warto±ci parametrów zale»¡ od rodzaju ukªadu oraz jego warunków pracy.

Zwykle przyjmuje si¦:

∆L = 6 − 12dB

∆φ = 30⁰− 60⁰ (1.92)

Ukªady niestabilne nie posiadaj¡ zapasu moduªu oraz zapasu fazy (w tym przypadku cz¦sto wyznacza si¦ ujemne warto±ci tych parametrów).

1.4.1 Przykªady zada«

Przykªad 1.27

Otwarty ukªad regulacji ma nast¦puj¡c¡ transmitancj¦ operatorow¡:

Go(s) = k

(T₁s + 1) (T₂s + 1) (T₃s + 1) (1.93) gdzie:

k = 100 T₁ = 1 [ms]

T₂ = 0.2 [ms]

T₃ = 0.1 [ms]

Zbada¢ stabilno±¢ ukªadu zamkni¦tego o podanej transmitancji, korzystaj¡c z logaryt- micznego kryterium Nyquista.

Rozwi¡zanie:

W pierwszej kolejno±ci nale»y sprawdzi¢ czy otwarty ukªad regulacji jest stabilny. Ukªad otwarty jest stabilny, gdy» równanie charakterystyczne ukªadu otwartego nie posiada pier- wiastków o dodatnich cz¦±ciach rzeczywistych. Nast¦pnie nale»y wykre±li¢ charakterystyki amplitudow¡ oraz fazow¡. W tym celu nale»y przedstawi¢ transmitancj¦ operatorow¡ jako poª¡czenie szeregowe nast¦puj¡cych elementów:

G₁(s) = k G2(s) = _s+1¹ G₃(s) = _0.2s+1¹ G₄(s) = _0.1s+1¹

(1.94)

Charakterystyki amplitudowa oraz fazowa poszczególnych elementów przedstawione s¡ na rysunku poni»ej.

Rysunek 1.18  Charakterystyki amplitudowa oraz fazowa poszczególnych elementów

Analizuj¡c charakterystyki (amplitudow¡ oraz fazow¡) wyra¹nie wida¢, »e dla przesuni¦- cia fazowego Φ(ω) = −180⁰ charakterystyka amplitudowa przyjmuje warto±¢ dodatni¡.

Zgodnie z logarytmicznym kryterium Nyquista ukªad jest niestabilny.

Przykªad 1.28

Okre±li¢ tak¡ warto±¢ wspóªczynnika wzmocnienia kpregulatora P, aby ukªad przedsta- wiony na rysunku byª stabilny z zapasem moduªu ∆L = 10db.

Rysunek 1.19  Schemat ukªadu regulacji.

Rozwi¡zanie:

W pierwszej kolejno±ci (aby skorzysta¢ z logarytmicznego kryterium Nyquista) nale»y wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu otwartego.

G_o(s) = k_p

s (0.1s + 1) (0.01s + 1) (1.95)

Nast¦pnie nale»y sprawdzi¢ czy ukªad otwarty jest stabilny. Ukªad otwarty jest stabilny nieasymptotycznie poniewa» nie posiada pierwiastków o dodatnich cz¦±ciach rzeczywi- stych oraz posiada jeden pierwiastek zerowy. Transmitancja operatorowa mo»e zosta¢

przedstawiona jako iloczyn transmitancji czªonów podstawowych.

G1(s) = kp

G₂(s) = ¹_s G₃(s) = _0.1s+1¹ G₄(s) = _0.01s+1¹

(1.96)

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa oraz fazowa ukªadu otwartego dla kp = 1 przedstawione s¡ na rysunku.

Rysunek 1.20  Charakterystyki amplitudowa oraz fazowa poszczególnych elementów.

Analizuj¡c charakterystyki (amplitudow¡ oraz fazow¡) wyra¹nie wida¢, »e dla aby zapew- ni¢ zapas moduªu ∆L = 10db nale»y przesun¡¢ charakterystyk¦ fazow¡ o 30dB do góry.

Otrzymujemy wi¦c:

20log (k_p) = 30dB log (k_p) = 1.5 k_p ≈ 31.622

(1.97)

Przykªad 1.29

Okre±li¢ warto±¢ staªej czasowej caªkowania Ti regulatora zapewniaj¡cego:

1. zapas moduªu ∆L = 6dB 2. zapas fazy ∆Φ = 45⁰

dla ukªadu przedstawionego na rysunku poni»ej.

Rysunek 1.21  Schemat blokowy ukªadu regulacji.

Rozwi¡zanie:

W pierwszej kolejno±ci (aby skorzysta¢ z logarytmicznego kryterium Nyquista) nale»y wyznaczy¢ transmitancj¦ ukªadu otwartego.

G_o(s) = 100 (s + 1)

(10s + 1) (0.1s + 1) (0.01s + 1) (0.01s + 1) 1

T_i (1.98)

Nast¦pnie nale»y sprawdzi¢ czy ukªad otwarty jest stabilny. Ukªad otwarty jest stabilny nieasymptotycznie poniewa» nie posiada pierwiastków o dodatnich cz¦±ciach rzeczywi- stych. Transmitancja operatorowa mo»e zosta¢ przedstawiona jako iloczyn transmitancji czªonów podstawowych.

G₁(s) = 100 G₂(s) = s + 1 G₃(s) = _10s+1¹ G4(s) = _0.1s+1¹ G₅(s) = _0.01s+1¹ G₆(s) = _0.001s+1¹ G₇(s) = _T¹

is

(1.99)

• zapas moduªu ∆L = 6dB:

Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa oraz fazowa ukªadu otwartego przedstawione s¡ na rysunku.

Rysunek 1.22  Charakterystyki amplitudowa oraz fazowa poszczególnych elementów.

Na wykresach zaznaczone jest miejsce oraz warto±¢ o jak¡ nale»y przesun¡¢ wypadko- w¡ charakterystyk¦. W analizowanym przypadku aby zapewni¢ zapas moduªu ∆L = 6dBnale»y przesun¡¢ charakterystyk¦ o 16dB w dóª.

W przypadku, gdy nale»y wyznaczy¢ przesuni¦cie wypadkowej charakterystyki am- plitudowej przy pomocy obiektów o pewnym nachyleniu charakterystyki amplitu- dowej (np. obiekt caªkuj¡cy, inercyjny, ró»niczkuj¡cy) nale»y wyznaczy¢ nieznan¡

• przesuni¦cie charakterystyki amplitudowej w dóª

Rysunek 1.23  Pomocniczy rysunek przy przesuwaniu charakterystyki amplitudowej w dóª.

Aby zapewni¢ przesuni¦cie wypadkowej charakterystyki w dóª (w punkcie oznaczo- nym jako ωx) nale»y skorzysta¢ z nast¦puj¡cych zale»no±ci:

x

A = ydB

1dek (1.100)

oraz

log(ω) = log (ω_x) − A (1.101)

Korzystaj¡c z zale»no±ci mo»emy wyznaczy¢ warto±¢ nieznanej staªej czasowej T =

1 ω.

• przesuniecie charakterystyki amplitudowej w gór¦

Rysunek 1.24  Pomocniczy rysunek przy przesuwaniu charakterystyki amplitudowej w gór¦.



Aby zapewni¢ przesuni¦cie wypadkowej charakterystyki w gór¦ (w punkcie ozna- czonym jako ωx) nale»y skorzysta¢ z nast¦puj¡cych zale»no±ci:

x

A = ydB

1dek (1.102)

oraz

log(ω) = log (ω_x) + A (1.103)

Podobnie jak w przypadku przesuwania charakterystyki w dóª korzystaj¡c z zale»- no±ci mo»emy wyznaczy¢ warto±¢ nieznanej staªej czasowej T = _ω¹.

Aby przesun¡¢ charakterystyk¦ amplitudow¡ w dóª o 16dBnale»y wyznaczy¢ staª¡ czaso- w¡ obiektu caªkuj¡cego G7(s) = _T¹

is(miejsce przeci¦cia charakterystyki amplitudowej z zerem).

Rysunek 1.25  Pomocniczy rysunek do wyznaczenia staªej czasowej obiektu caªkuj¡cego.

Nale»y skorzysta¢ z nast¦puj¡cych zale»no±ci:

x

A = ^20dB_1dek

A = ¹⁶₂₀dek (1.104)

oraz:

log(ω) = log (ω_x) − A log(ω) = log (31.6) − 0.8 log(ω) = 0.7

ω ≈ 5.012

(1.105)

wi¦c staªa czasowa obiektu inercyjnego powinna wynosi¢ Ti = _ω¹ ≈ 0.2.

• zapas fazy ∆Φ = 45⁰:

Rysunek 1.26  Charakterystyki amplitudowa oraz fazowa poszczególnych elementów.

Na wykresach zaznaczone jest miejsce oraz warto±¢ o jak¡ nale»y przesun¡¢ wypadkow¡

charakterystyk¦. W analizowanym przypadku aby zapewni¢ zapas fazy ∆Φ = 45⁰ nale»y przesun¡¢ charakterystyk¦ o 20dB w dóª.

Aby przesun¡¢ charakterystyk¦ amplitudow¡ w dóª o 20dBnale»y wyznaczy¢ staª¡ czaso- w¡ obiektu caªkuj¡cego G7(s) = _T¹

is(miejsce przeci¦cia charakterystyki amplitudowej z zerem).

Rysunek 1.27  Pomocniczy rysunek do wyznaczenia staªej czasowej obiektu caªkuj¡cego.

Nale»y skorzysta¢ z nast¦puj¡cych zale»no±ci:

x

A = ^20dB_1dek

A = ²⁰₂₀dek (1.106)

oraz:

log(ω) = log (ω_x) − A log(ω) = log (10) − 1 log(ω) = 0

ω ≈ 1

(1.107)

wi¦c staªa czasowa obiektu inercyjnego powinna wynosi¢ Ti = _ω¹ ≈ 1.

1.4.2 Zadania do samodzielnego rozwi¡zania

Przykªad 1.30

Otwarty ukªad regulacji ma nast¦puj¡c¡ transmitancj¦ operatorow¡:

G_o(s) = 20

(0.02s + 1) (0.2s + 1) (2s + 1) (1.108) Zbada¢ stabilno±¢ ukªadu zamkni¦tego o podanej transmitancji, korzystaj¡c z logaryt- micznego kryterium Nyquista.

Przykªad 1.31

Otwarty ukªad regulacji ma nast¦puj¡c¡ transmitancj¦ operatorow¡:

Go(s) = 40

(s + 1)²(0.4s + 1) (4s + 1) (1.109) Zbada¢ stabilno±¢ ukªadu zamkni¦tego o podanej transmitancji, korzystaj¡c z logaryt- micznego kryterium Nyquista.

Przykªad 1.32

Okre±li¢ warto±¢ wspóªczynnika wzmocnienia kp regulatora zapewniaj¡cego:

1. zapas moduªu ∆L = 6dB 2. zapas fazy ∆Φ = 45⁰

dla ukªadu przedstawionego na rysunku poni»ej.

Rysunek 1.28  Schemat blokowy ukªadu.

Przykªad 1.33

Okre±li¢ warto±¢ staªej caªkowania Ti regulatora zapewniaj¡cego:

1. zapas moduªu ∆L = 10dB 2. zapas fazy ∆Φ = 30⁰

Przykªad 1.34

Okre±li¢ warto±¢ wspóªczynnika wzmocnienia kp regulatora zapewniaj¡cego:

1. zapas moduªu ∆L = 5dB 2. zapas fazy ∆Φ = 60⁰

Rysunek 1.30  Schemat blokowy ukªadu.

Przykªad 1.35

Okre±li¢ warto±¢ staªej caªkowania Ti regulatora zapewniaj¡cego:

1. zapas moduªu ∆L = 10dB 2. zapas fazy ∆Φ = 60⁰

Przykªad 1.36

Okre±li¢ warto±¢ staªej ró»niczkowania Td regulatora zapewniaj¡cego:

1. zapas moduªu ∆L = 8dB 2. zapas fazy ∆Φ = 45⁰

Rysunek 1.32  Schemat blokowy ukªadu.

1.4.3 Zagadnienia dodatkowe zwi¡zane z logarytmicznym kryte- rium Nyquista

Przy badaniu stabilno±¢ ukªadów dynamicznych, korzystaj¡c z logarytmicznego kryterium Nyquista, wykorzystywane byªy charakterystyki logarytmiczne podstawowych elementów aproksymwane odcinkami linii prostych, które s¡ przybli»eniem charakterystyk rzeczywi- stych. Uproszczenie to wprowadza niedokªadno±ci do oblicze«. Zwªaszcza w przypadku, gdy przesuwamy charakterystyk¦ amplitudow¡ w punkcie przegi¦cia (np. dla obiektu in- ercyjnego). Na rysunku poni»ej przedstawiona jest charakterystyka amplitudowa obieku inercyjnego pierwszego rz¦du o staªej czasowej równej T = 1 [s].

Rysunek 1.33  Charakterystyka amplitudowa rzeczywista oraz asymptotyczna obiektu inercyjnego pierwszego rz¦du.

W przypadku gdy dla analizowanego przykªadu byªo wymagane przesuni¦cie charaktery- styki amplitudowej w punkcie ω = _T¹ = 1 [rad/s] nale»y uwzgl¦dnia¢ poprawk¦ 3dB(czyli ró»nica pomi¦dzy warto±ci¡ na charakterystyce asymptotycznej oraz rzeczywistej). Dla obiektów inercyjnych wy»szych rz¦dów poprawka zmienia si¦ proporcjonalnie (np. dla obiektu inercyjnego drugiego rz¦du poprawka wynosi 6dB) . W przypadku obiektów ró»- niczkuj¡cych sytuacja jest analogiczna.