1 Funkcje zmiennej zespolonej: holomorczno

Analiza zespolona 2018/2019

Zadania domowe - cz¦±¢ 1

Funkcje zmiennej zespolonej: holomorczno±¢, funkcje elementarne

1. Wyznaczy¢ cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ funkcji: (a) f(z) = ¯z³− iz², (b) f(z) = ^z_z¯. 2. Dana jest cz¦±¢ rzeczywista u(x, y) i urojona v(x, y) funkcji zespolonej f.

Przedstawi¢ t¦ funkcj¦ jako funkcj¦ zmiennej zespolonej z:

(a) u(x, y) = −4x³y + 4xy³+ y, v(x, y) = x⁴ − 6x²y + y⁴− x (b) u(x, y) = _x4+2x^x2+y2y²²+y⁴ − x, v(x, y) = _x4+2x^−2xy2y²+y⁴ + y

(c) u(x, y) = −e^xy cos y − xe^xsiny, v(x, y) = xe^xcos y − e^xy sin y.

3. Sprawdzi¢ w jakich punktach z ∈ C nast¦puj¡ce funkcje speªniaj¡ warunki Cauchy- Riemanna: (a) f(z) = |z|² + ¹₂z² , f(z) = z + z². Czy istnieje pochodna w tych punktach? Czy f jest w tych puktach holomorczna?

4. Zbada¢ istnienie pochodnej funkcji f(z) = (z¯z)³, z ∈ C.

5. Niech f(z) = (z + 1)|z|². Obliczy¢ pochodne: (a) ^∂f_∂x(z)i ^∂f_∂y(z), (b) ^∂f_{∂ ¯z}(z), (c) w jakich punktach pªaszczyzny C funkcja f jest holomorczna?

6. Niech f(z) = (z + 1)²|z|. Obliczy¢ pochodne: (a) ^∂f_∂x(z)i ^∂f_∂y(z), (b) ^∂f_{∂ ¯z}(z), (c) w jakich punktach pªaszczyzny C funkcja f jest holomorczna?

7. Niech f ∈ H(D(0, R)) (gdzie D(a, r) := {z ∈ C : |z − a| < r}). Wykaza¢, »e je±li g(z) := f (z) to g ∈ H(D(0, R)).

8. Udowodni¢, »e je±li f i ¯f s¡ funkcjami holomorcznymi w D(z0, R), to f musi by¢

funkcj¡ staª¡.

9. Wykaza¢, »e je±li f jest holomorczna w z0 ∈ C oraz f⁰(z₀) 6= 0, to istnieje po- chodna (f⁻¹)⁰(w₀) gdzie w0 = f (z₀) oraz (f⁻¹)⁰(w₀) = _{(f )}0¹(z0).

10. Wyznaczy¢ cz¦±¢ rzeczywist¡ i urojon¡ funkcji: (a) f(z) = sinh z, (b) f(z) = cosh z, (c) f(z) = tgz, (d) f(z) = tghz

11. Jaki zachodzi zwi¡zek mi¦dzy f(z) = tgz i g(z) = tghz?

12. Wykaza¢, »e dla dowolnego z ∈ C zachodzi równo±¢ cosh²z − sinh²z = 1.

1

2

13. Wykaza¢, »e je±li (a) f(z) jest funkcj¡ trygonometryczn¡, (b) funkcj¡ hiperbo- liczn¡ to f(¯z) = f(z) dla ka»dego z ∈ C.

14. Niech D := {z ∈ C : 0 < Arg(z) < ^2π_n}. Znale¹¢ obraz f(D) dla f(z) = zⁿ dla n ∈ N.

15. Niech C \ {z ∈ C : Imz = 0 ∧ 0 ≤ Rez}. Znale¹¢ obraz tego obszaru dla ka»dej z gaª¦zi funkcji f(z) = z^1/n, n ≥ 2

16. Niech D := {z ∈ C : x1 ≤ Rez ≤ x₂ ∧ 0 ≤ Imz < 2π}. Znale¹¢ obraz f(D) dla f (z) = e^z.

17. Niech D = {z ∈ C : e^x1 ≤ |z| ≤ e^x2}. Znale¹¢ obraz f(D) dla f1(z) = ln z i f₂(z) = Ln(z), gdzie Ln(z) - oznacza gaª¡z gªówn¡ ln z.

ODPOWIEDZI

1. (a) u(x, y) = x³− 3xy²+ 2xy, v(x, y) = −3x²y − x²+ y³+ y². (b) u(x, y) = ^x_x²2+y^−y22, v(x, y) = _x^2xy2+y²,

2. (a) f(z) = iz⁴− iz (b) f(z) = _z¯¹² − ¯z (c) f(z) = ize^z

3. (a) dla prostej {z = iy : y ∈ R}, wtedy f⁰(z) = −iy, f /∈ H({z = iy : y ∈ R}).

(b) tylko dla z = −¹₂, f⁰(−¹₂) = 0, f /∈ H({−¹₂}). 4. f⁰(z)istnieje tylko dla z = 0, f⁰(0) = 0.

5. (a) ^∂f_∂x(x, y) = 3x²+ y²+ 2x + i2xy, ^∂f_∂y(x, y) = 2xy + 2y + i(x²+ 3y²) (b) ^∂f_{∂ ¯z}(z) = x² − y²+ x + i(2xy + y)

(c) f nie jest holomorczna w »adnym punkcie z ∈ C.

6. (a) Pochodne ^∂f_∂x(0, 0) i ^∂f_∂y(0, 0)trzeba policzy¢ z denicji, f⁰(0) = 0

∂f

∂x(z) = ^{(3x3+2x2+2y2+xy}√^{2+3x)+i(2y3+4x2y+2yx)}

x²+y² dla z = x + iy 6= 0

∂f

∂y(z) = ^(−3y2−x2y+2xy+y)+i(2x√ ³+2x²+4xy²+4y²)

x²+y² dla z = x + iy 6= 0.

(b) ^∂f_{∂ ¯z}(z) = ¹₂

∂f

∂x(z) + i^∂f_∂y(z) - podstawi¢ pochodne otrzymane w punkcie (a) dla z = x+iy 6= 0. Inny sposób - korzystaj¡c z wªasno±ci pochodnych funkcji elementarnych, otrzymamy, »e ^∂f_{∂ ¯z}(z) = ¹₂(z + 1)²p_z

¯

z dla z 6= 0. St¡d f⁰(z) istnieje tylko dla z = −1 i wynosi f⁰(−1) = 0.

(c) f nie jest holomorczna w »adnym punkcie z ∈ C.

10. (a) sinh z = sinh x cos y + i cosh x sin y,

3

(b) cosh z = cosh x cos y + i sinh x sin y, (c) tgz = cos(2x)+cosh(2y)^sin(2x) + icos(2x)+cosh(2y)^sinh(2y) , (c) tghz = cosh(2x)+cos(2y)^sinh(2x) + icosh(2x)+cos(2y)^sin(2y) . 11. f(z) = tg(iz) = itghz

14. f(D) = {z ∈ C : 0 < Arg(z) < 2π}.

15. gk(D) = {z ∈ C : 0 < Arg(z) < ^2π_n} dla ka»dej gaª¦zi g funkcji f(z) = z^1/n, n ∈ N.

16. f(D) = {z ∈ C : e^x1 ≤ |z| ≤ e^x2}.

17. f(D) = {z ∈ C : x1 ≤ Rez ≤ x₂} dla f(z) = ln z. Gaª¡¹ gªówna Ln(z) nie jest zdeniowana na D.