PROGRAM EGZAMINU
„RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE I”
l) Pojęcie równania różniczkowego zwyczajnego. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązanie zagadnienia Cauchy'ego. Przykład równania autonomicznego. Rozwiązania ogólne, szczególne i osobliwe.
2) Funkcja eksponencjalna. Rozwiązanie równania pierwszego rzędu o stałych współczynnikach (prawa strona - quasiwielomian).
3) Liniowe równanie jednorodne n-tego rzędu o stałych współczynnikach (przypadek zera pojedynczego).
4) Liniowe równaniejednorodne n-tego rzędu o stałych współczynnikach (przypadek zer wielokrotnych).
5) Liniowe równanie niejednorodne n-tego rzędu o stałych współczynnikach i o prawej stronie w postaci quasiwielomiana (przypadek nierezonanansowy).
6) Liniowe równanie niejednorodne n-tego rzędu o stałych współczynnikach i o prawej stronie w postaci quasiwielomiana (przypadek rezonansowy).
7) Liniowa zależność i niezależność funkcji. Wrońskian i jego własności.
8) Wzór Lioville’a.
9) Liniowe równanie niejednorodne n-tego rzędu o dowolnej prawej stronie (metoda uzmienniania stałej).
10) Normalny układ liniowy jednorodny o stałych współczynnikach (przypadek pierwiastków jednokrotnych).
11) Normalny układ liniowy niejednorodny o stałych współczynnikach (przypadek nierezonansowy).
12) Normalny układ liniowy niejednorodny o stałych współczynnikach (przypadek rezonansowy).
13) Pojęcie przestrzeni liniowej unormowanej. Przestrzeń Banacha.
14) Zasada Banacha odwzorowań zwężających.
15) Metoda kolejnych przybliżeń.
16) Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego dla układu normalnego.
17) Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania zagadnienia Cauchy'ego dla równania n-go rzędu.
18) Twierdzenie o istnieniu rozwiązania zagadnienia Cauchy’ego dla liniowego układu w postaci normalnej
19) Przeksztacenie Laplace’a i jego własności.
20) Regularna teoria zaburzeń.
Program opracował prof. dr hab. M. Borsuk
