Rachunek różniczkowy i całkowy : dla potrzeb przyrodników i techników. T. 2, Rachunek całkowy

A N T O N I ŁO M N IC K I

PR O F ES O R P O L IT E C H N IK I LW O W SK IEJ

RACHU N EK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

D L A P O T R Z E B P R Z Y R O D N I K Ó W I T E C H N I K Ó W

T O M II

RACHUNEK CAŁKOWY

K R A K Ó W 1936

N A K Ł A D E M P O L S K I E J A K A D E M J 1 U M I E J Ę T N O Ś C I S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S I Ę G A R N I G E B E T H N E R A I W O L F F A W A R S Z A W A - K R A K Ó W - Ł Ó D Ź - P O Z N A Ń - W I L N O — Z A K O P A N E

W y d a w n i c t w a

P o l s k i e j A k a d e m j i U m i e j ę t n o ś c i

(D o n a b y c ia )

Pism a M arjana Sm oluchow skiego w y d a n e z p o lecen ia P olskiej A k ad ein ji

U m iejętn o ści, K rak ów 1924— 1928. 7j

3 t o m y ... 12-—

R ozpraw y W ydziału m atem atyczno-przyrodniczego Akad. Umiej.:

to m y 1— 20, 25 ... po 5 -—

to m y 3 0 , 31, 32 po 5 —

to m y 3 8 , 3 9 , 4 0 po 5-—

Serja A (n au ki matematyczno-fizyczne)

to m y 1, 2, 3 , 4 , 5, 6, 7, 8 po 5-—

to m y 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, to m 22

A i B (razem ) 1 po 5'—

to m y 23-2 4 A i B (razem ), 25-26 A i B (razem ) 27 A i B (ra ­

zem ) ... po 10-—

1 Serja B ob ejm u je nau ki przyrod n icze.

Rozprawy Wydziału matemat.-przyrodn. Polskiej Akademji Umiejętności.

Ogólnego zbioru tom 68. Dział A i B. (Serja III. Tom 28 A i B).

D z. A. Nr 1. K- Ż o r a w s k i : O p ew n y ch przek ształcen iach cztero w y m ia - 7-<

rowej przestrzen i, b ę d ą cy ch w zw iązk u z w łasn ościam i fu n k - cyj zm ien n y ch zesp o lo n y ch ... 1-—

N r 2. J . M o r o z e w i c z : O sk ła d zie ch em iczn y m nefelin u sk ało- t w ó r c z e g o ...1 •—

N r 3 . L u d o m i r S a w i c k i : P rz y czy n k i do zn ajom ości jezior n a szy ch K resów W s c h o d n i c h ...3 ‘—

D z. B . N r 1. S t . H i l l e r : W p ły w głod u na regenerację u a k so lo tla . . P — N r 2. B. K ą c z k o w s k i : S tu d ja nad w ełn ą ow iec ras i odm ian

m iejsco w y ch p o l s k i c h ... 2-—

Nr 3. B . P a w ł o w s k i : E lem e n ty g eograficzn e i p och od zen ie flory ta trza ń sk ie g o p iętra t u r n i o w e g o ... , . 2'—

Nr 4 . W a n d a K a r p o w i c z ó w n a : B a d a n ia nad rozw ojem przed- rośli oraz p ierw szy ch liści sp orofitu paproci k rajow ych ( Po­

ty p o d i a c e a e )...4-—

Nr 5 . J a n i n a J e n t y s - S z a f e r o w a : B u d ow a błon p y łk ó w le­

sz c zy n y , w o sk o w n icy i europejskich brzóz oraz rozp ozn a­

w an ie ich w sta n ie kop a ln y m ...4 ‘—

N r 6. T a d e u s z M a r c i n i a k : U w agi do un erw ienia i m orfologji k rótkiej g ło w y m ięśn ia d w u głow ego ud a u człow iek a . P — N r 7. T a d e u s z M a r c i n i a k : O unerw ieniu pop rzecznego m ięśnia

pod bródk a i o o d m ian ach teg o m ięśn ia u człow iek a . . P 5 0 N r 8 . T a d e u s z M a r c i n i a k : O ta k zw an em w stęp o w a n iu rdzenia

k ręgow ego u p łod ów lu d zk ich . . ... 2 ‘—

N r 9. S t . Ś n i e s z k o : W p ły w k o n cen tracji jo n ó w w od orow ych w p o ży w ce na w zro st b ak teryj brod aw k ow ych z fa so li, k on i- czu czerw onego, groch u ogrodow ego i w y k i zim ow ej . P 5 0

A N T O N I ŁO M N IC K I

PR O FE S O R P O L IT E C H N IK I LW O W SK IEJ

R A CH U N EK RÓŻNICZKOWY I CAŁKOWY

D L A P O T R Z E B P R Z Y R O D N I K Ó W I T E C H N I K Ó W

T O M II

RACHUNEK CAŁKOWY

K R A K Ó W 1936

N A K Ł A D E M P O L S K I E J A K A D E M J I U M I E J Ę T N O Ś C I S K Ł A D G Ł Ó W N Y W K S I Ę G A R N I G E B E T H N E R A I W O L F F A W A R S Z A W A - K R A K Ó W - Ł Ó D Ź - P O Z N A Ń — W I L N O — Z A K O P A N E

'■3 8IBII9TEM \ l GŁiWHA £

4 3 5 0 3 1

D ru k a rn ia U n iw e rs y te tu Ja g ie llo ń s k ie g o w K ra k o w ie pod zarz. J . F ilip o w sk ie g o .

R O Z D ZIA Ł X V II.

O c a ł k a c h n i e o z n a c z o n y c h .

§ ‘2 0 3 . D efinicja całki nieoznaczonej.

W rachunku różniczkow ym rozwiązuje się następujące zagadnienie.

M ając daną fu n kcję (pierwotną):

m wyznaczyć jej funkcję pochodną:

F' (x) = f ( x )

Zarówno w m atem atyce czystej, ja k i w jej zastosowaniach, mam y często do czynienia z zagadnieniem odwrotnem, a mianowicie, m ając podaną funkcję (pochodną):

f ( x ) chcem y w yznaczyć jej funkcję pierwotną:

F { x )

t. j. taką funkcję F( x ) , której pochodną je s t dana fu nk cja f(x).

T ak np. mając podaną funkcję:

f i x ) = sin x

stw ierdzam y z łatwością, że jej funkcją pierw otną jest:

F ( x ) — — cos x albowiem F ’{x) — — ( — sina;) == f(x).

Podobnie dla funkcji:

f (x) — x ! fu nkcją pierw otną jest:

F ( x ) = 4fX3 ja k to łatwo spraw dzić przez różniczkowanie.

-H ach u n ek ró żn iczk o w y i c a łk o w y . T . 2. 1

Przy rozw iązyw aniu takich zagadnień należy szukać odpowiedzi na.

trzy następujące pytania:

1) czy do każdej danej funkcji f ( x ) należy jak aś funkcja pierwotna, czy też f ( x ) musi spełniać jakieś specjalne w aru nk i?

2) czy do danej funkcji może istnieć tylko jed na funkcja pierw otna, czy też może być ich w ięcej?

3) w ja k i sposób wyznacza się funkcję pierw otną do danej funkcji f ( x )?

Odpowiedź na pierw sze pytanie wym aga dość subtelnych rozważań.

W X V I II rozdziale zajm iem y się tą kw estją nieco dokładniej i okażem y, że w każdym razie do każdej funkcji ciągłej istnieje funkcja pierw otna (zob. § 215), a także wiele (jakkolw iek nie w szystkie) funk eyj nieciąg­

łych posiada funkcje pierwotne.

Bez trudności natom iast można rozstrzygnąć następnie drugie py­

tanie. I tak łatw o spostrzec, że, jeżeli istnieje jed n a funkcja pierw otna F [ x ) do danej funkcji f{x), to istnieje ich nieskończenie wiele. T ak np.

dla funkcji f ( x ) = x 2 funkcją pierw otną jest nietylko F ( x ) = 4 f X 3, lecz także np. F x{x) — £ x 3 -f- 5, F s(x) — } x 3— 2, F 3(x) — Ą x 3-j - i t. d., ogólnie:

F ( x ) = } x 3 + C

przyczem C oznacza dowolną liczbę stałą. Istotnie pochodną każdej takiej funkcji je st f ( x ) = x 2. Ogólnie, jeżeli F ( x ) je st funkcją pierw otną danej funkcji f (x), to istnieje cała jednoparam etrow a grom ada funkeyj pier­

wotnych, a mianowicie: F ( x ) -j- C. W geom etrycznej in terpretacji obrazem jednej iun kcji pierw otnej je st jak aś linja, a obrazy wszystkich innych funkeyj pierw otnych powstają przez rów noległe przesunięcie tej linji w kieru n k u osi y-ów. T a grom ada zaw iera już w szystkie funkcje pier­

wotne; w yn ika to z tw ierdzenia 2 z § 101 (tom I, str. 318), a m iano­

wicie: jeżeli dwie funkcje m a j ą pochodne równe dla wszystkich wartości zmiennej niezależnej, to te funkcje mogą się różnić conajwyżej o stałą liczbę.

Grom adę funkeyj pierw otnych do danej funkcji f i x ) nazywam y c a łk ą n ie o z n a c z o n ą funkcji f { x ) i oznaczamy ją symbolem:

J f i x ) d x czytaj: „całka z f ( x ) d x u. A więc:

0 ) j ' f { x ) d x — F ( x ) -f- C

Pochodzenie znaków J ' i dx, w ystępujących w tym sym bolu, w y­

jaśnim y później (por. § 212). F u n k cję f {x) (pochodną) nazyw am y tu f u nkcj ą podcałkową a liczbę C stałą całkowania.

Pochodną prawej strony jest funkcja podcałkowa. A więc wzór (1) je st równow ażny z wzorem :

(2) | ¿ ( J W + C ) - / W

Obliczanie całki nieoznaczonej z danej funkcji f ( x ) nazywam y całkowa­

niem tej funkcji. Metody obliczania całek i badanie ich własności sta­

nowią przedm iot ra c h u n k u c a łk o w e g o .

Celem przekonania się, czy całkow anie zostało poprawnie w yko­

nane, należy, w m yśl wzoru (2), obliczyć pochodną znalezionej grom ady funkcyj F { x ) -f- C lub, co na jedno wyjdzie, pochodną funkcji Cał­

kow anie można także pojmować jak o rozw iązyw anie następującego pro­

stego rów nania różniczkowego (por. tom I, § 87, str. 278):

(3) y ' = f { x )

S tą d :

y = J /'(«) dx = F { x ) + C

Zatem najogólniejszem rozwiązaniem rów nania różniczkowego (3) je s t cała grom ada funkcyj, a mianowicie całka nieoznaczona z funkcji f{x). T ę całą grom adę funkcyj nazyw am y ogólnem rozwiązaniem danego rów nania różniczkowego’ lub ogólną całką tego rów nania. K ażdą zaś poszczególną, funkcję pierw otną, należącą do tej grom ady, nazyw am y rozwiązaniem szczegółowem rów nania różniczkowego (3) lub jego całką szczegółową.

P rzystępujem y obecnie do trzeciej kw estji, wiążącej się z naszem zagadnieniem , a m ianowicie do omówienia sposobów w yznaczania funkcyj pierw otnych czyli do metod całkow ania. Otóż jasnem jest, że każdy, po­

znany w rach unku różniczkow ym wzór na obliczanie pochodnych, można za­

razem pojmować jak o wzór na obliczanie całki z jak iejś funkcji; jeżeli bowiem F ’ ( x ) = f { x ) , to można to napisać także w p o sta c i^ /Y ® )d x — F ( x ) -f- C..

W ten sposób otrzym am y z rozm aitych specjalnych i ogólnych wzorów rachunk u różniczkowego rozmaite specjalne i ogólne wzory rachunku całkowego. Jednakże zaznaczam y ju ż teraz, że obliczanie całek je s t znacz­

nie trudniejsze od obliczania pochodnych. Do każdej bowiem funkcji ele­

mentarnej (w tomie I na str. 96 podano, które funkcje uważam y za ele­

m entarne) potrafim y z łatwością znaleźć pochodną i ta pochodna je s t znowu jak ąś funkcją elem entarną. Natomiast okaże się, że całki wielu funkcyj elem entarnych są bardzo skomplikowanem i, nieelem entarnem i funkcjam i przestępnem i, który ch nie można oczywiście wyznaczyć drogą elem entarną. Jakkolw iek więc proces całkow ania je st stosowalny do szer­

szej klasy funkcyj, aniżeli proces różniczkow ania (albowiem istnieją całki 1*

4

dla w szystkich funkcyj ciągłych a naw et dla wielu funkcyj nieciągłych, podczas gdy pochodne istnieją tylko dla funkcyj ciągłych i to nie dla w szystkich), to je d n a k efektywne obliczenie całki je st zw ykle o wiele tru d ­ niejsze, aniżeli obliczenie pochodnej.

Zobaczym y w dalszym ciągu, że bardzo w iele zagadnień z geom etrji i z fizyki sprowadza się do obliczania funkcyj pierw otnych. T utaj już je d n a k zw rócim y uwagę na jedno odrazu się nasuw ające zagadnienie z dynam iki. W idzieliśm y mianowicie, że m ając podaną w ruchu prosto- linjow ym drogę jak o funkcję czasu: s == /(i), potrafimy w yznaczyć p ręd ­ kość: v(t) — f (i) i przyśpieszenie g(t) = v' (t). Stąd w ynika, że m ając po­

dane przyśpieszenie jak o funkcję czasu, obliczamy prędkość zapomocą całki: v ( t ) — J g(t)dt, m ając zaś podaną prędkość jak o funkcję czasu, obliczamy drogę zapomocą całki s = j ' v t y d t .

T ak np. wiedząc, że przyśpieszenie jest stałe: g — a w ciągu całego badanego czasu i, znajdujem y, że prędkość V~ J adt = at -)- C,. Stąd zaś znajdujem y wzór na drogę: s — J ( o t -j- C,) dt = ^ a t 2 -j- C1t C2. Stałe Ct i Ca m ożna czasem w yznaczyć z początkowych w arunków zadania, np. z żądania, żeby w początkowej chwili, t. j. dla t = 0, było s = 0 i v — 0;

wtedy w yniknie z tych wzorów C\ — 0 i C2 — 0 i pozostanie s = \ a t 2, v = at. In n e w artości stałych otrzym am y, żądając, aby w chw ili t — 0 prędkość m iała wartość v0 różną od zera a droga w artość s0. Pozostawia się czytelnikow i obliczenie stałych Ct i przy pomocy tjmh w arunków początkowych.

§ 204. Odwrócenia specjalnych wzorów rachunku różniczkow ego.

a) Jeżeli funkcja podcałkow a jest stale zerem, to całk a nieozna­

czona ma stałą w artość C, albowiem z wzoru:

m J o

d x w ynika:

Odoo— C / «

Jeśli więc obrazem funkcji podcałkowej je st oś «-ów, o rów naniu y — 0, to obrazem grom ady funkcyj pierw otnych je st grom ada w szystkich pro­

stych rów noległych do tej osi (wraz z nią samą).

b) Poznaliśm y w rachunku różniczkowym wzór na pochodną potęgi, a mianowicie:

- f - (a?) = nxn~l d x ’

lub w formie różniczki:

d {x") = nx"~] d x W obec tego:

Tutaj funkcja podcałkow a //a?'1-1 je st dość skom plikow ana.

Prostszą funkcję podcałkow ą otrzym am y, tw orząc pochodną funkcji:

* n + 1 a m ianowicie:

d x \ » + 1 ) cz y li:

d{ - £ f r ) = = a;ndx Stąd otrzym ujem y bardzo ważny wzór:

(4)

/

W zór ten je st prawdziwym dla w szystkich w ykładników n z w yjąt­

kiem n — — 1. Dla n = — 1 ma funkcja podcałkow a p o s ta ć —. Otóż wiadomo z rachunku różniczkowego, że funkcja ^ jest pochodną funkcji log*#. T ak więc z wzoru:

wynika, że:

d (log x) — ^ dx

f l d x = log a? - f G

Tego wzoru można używać tylko dla dodatnich x. D la ujem nych bowiem x nie je st określona funkcja log te; natom iast wtedy funkcja log (— x) m a określone wartości.

Ponieważ:

d log (— x) = — — • (— 1) d x = — dx

v — x v ' x

przeto dla x < 0 jest:

f l d x = l°g(— x ) + C

6

O bydw a te wzory można ująć w jeden wzór następujący:

(5) J ^ doo = \ o g \ x \ + C

Istotnie bowiem dla x j> U otrzym ujem y log |® | = log®, a dla x < 0 lo g i* I = lo g (— X).

P rzy pomocy wzorów (4) i (ó) potrafimy więc sealkow ać każdą po­

tęgę zmiennej niezależnej.

T ak np.

czyli (4a) Podobnie:

/ r ®0+1

1 . d x = J x" d x = + C ~ x 4 " C

J clx — x -f- C

J x d x — ^ x - C, j x* d x — } x u -f- C, X s'2 d x =

fljl+V2

c) Z wzoru:

otrzym ujem y:

(

)

i + p f + c d (ex) — bx d x

J e* dx = e* -{- C

Dla ogólnej funkcji w ykładniczej dogodnie jest w yjść z wzoru:

_ ax log ea

Clog ea ) ~ log pfl dx = axd x Stąd w y nika

(?) f ax d x = ;——--- \- C = a x log „e + C

J log A

d) Pochodne (lub różniczki) funkcyj trygonom etrycznych prowadzą do następujących wzorów:

(8) d (sin x) = cos x d x a więc (9) d (— cos x) — sin x d x „ „ (10) d (tg x) = dX „ „

° ' cos8 x

(11) d(— C t g i c ) = - ^ — „ „ sin 2® n

/ I f

I

cos x d x — sin x -f- C sin x d x — — cos x - C

d x t ^

— - - = tg X - f c cos X

dx | n

— == — ctg x -4- G

sin 2® 6

e) Pochodne (lub różniczki) funkcyj cyklom etrycznych prow adzą do następujących wzorów:

d (arcsi n ®) = dx d x

x ‘ d (— arecos x) -

: r r ^{x £}

a więc

<12) d x

J Ki" x - arcsin x -f- C = — arccos x - \ - C'

O bydw a w yniki nie są zasadniczo różne, ponieważ arcsin x różni się od funkcji — arccos a? tylko o stały dodajnik, ja k to wymika z wzoru:

arcsin x -j- arccos x = (por. tom I, str. 69). A więc C' = G - \ - ^ n .

Podobnie dwa wzory:

d (arc tg x) — -—— - i d (— arcctg® ) =dx 1 -ł-

dx 1 -f- x i prowadzą do * w zoru:

<13) - == arc tg x 4 - C = — arc ctg x 4 - C' 1 —f- a?2

c a łk ą dość prostej wymiernej funkcji -—~— - je st przestępna funkcja arc tg ®;

Obydw a w yniki są tylko pozornie różne; k ład ąc bowiem C ' = ^ n - f- C, widzimy, że obydw a w yniki są identyczne, ja k to w ynika z w zoru:

arc tg x -j- arc ctg ® = \ n (por. tom I, str. 70).

Zwróćm y uw agę na ciekaw y fakt, że całki niektórych prostych funkcyj są dość skom plikow anem i funkcjam i.

T ak np. całką wymiernej funkcji - je s t przestępna funkcja log | | ;

X

1 1 + ®*

ca łk ą algebraicznej niew ym iernej funkcji p j = = j e s t przestępna funkcja 1 arcsin a?.

W szystkie te wzory należy dokładnie zapamiętać, są one bowiem rów nie ważne i rów nie często stosowane, ja k odpowiednie wzory ra­

chu n k u różniczkowego.

Nie znajdujem y wrśród tych wzorów całek ta k ważnych elem entar­

nych funkcyj, ja k : tg®, log®, arc tg® )(|———, | / l _j_ ¿5 i t. p.

Istotnie, trudno je s t odrazu odgadnąć, z jak iej funkcji należ}7 utwo­

rzyć pochodną, aby otrzym ać np. lo g # lub a r c t g # . Rozszerzym y znacz­

nie zakres funkcyj, k tóre dadzą się w elem entarny sposób scałkować, opierając się na odwróceniach niektórych ogólnych wzorów rachunku, różniczkowego.

§ 2 0 5 . Odwrócenia niektórych ogólnych w zorów rachunku różniczkow ego.

a) W y łąc zan ie s ta łe g o c z y n n ik a p rz e d z n a k ca łk i.

Niechaj F { x ) będzie funkcją pierw otną funkcji /'(#), to F ' (#) = /(# ) czyli"

(I) / f { x ) d x = F ( x ) -f- C.

Zastosujmy do iloczynu a - F ( x ) , gdzie a oznacza dowolny stały, różny od zera czynnik, znany wzór rachunku różniczkowego (por. tom I, § 75 str. 244):

cL[a- F (#)] — a - d ( F (#)) = a f ( x ) dx.

Stąd w ynika, że:

J a f ( x ) d x == a F ( x ) + C,

Porów najm y ten wzór z wzorem, otrzym anym z (I) przez pom no­

żenie obu stron przez a, t. j. z wzorem :

a • J f ( x ) d x = a - F ( x ) - \ - a - C

W idzim y, że praw e strony obydw u wzorów będą sobie rów ne dla każdej wartości C, jeżeli tylko obierzem y C, = a'C. P raw e strony są także równe dla każdej dowolnie obranej wartości Cu jeżeli tylko obierzem y C — Cy.a, co się da zawsze uczynić, ponieważ założyliśm y, że a je st różne od zera.

Można więc zawsze dobrać stałe całkow ania tak, że zachodzi równość:

(14) J a f ( x ) d x = a J f ( x ) dx W zór ten w ypow iadam y w następujący sposób:

stały czynnik różny od zera można wyłączyć przed znak całki.

Przykłady.

3) J ' 2- d x — 2 J d® = 2 \ o g \ x \ - \ - C — \ o g x 2 - \ - C

4) Naczynie w formie walca kołowego w iruje około swej osi z stałą prędkością kątową, w ykonując n obrotów na sekundę. Ja k ą postać ma swobodna pow ierzchnia cieczy, znajdującej się w tern naczyniu? Na fig. 1 przedstawiono przekrój tego naczynia za-

pomocą płaszczyzny pionowej. Oś obrotu obieram y za oś y-ów a początek układu w 0. Na każdy punkt A cieczy, mający masę m, działają dwie siły: siła odśrodkow a P1 = 4 n 2 n2 m x , prostopadle do osi obrotu, gdzie x oznacza odległość punktu A od osi obrotu i siła ciężkości P2 = mg, zw ró­

cona pionowo w dół. W iadomo, że swobo­

dna powierzchnia cieczy musi być w k aż­

dym punkcie prostopadła do wypadkow ej z w szystkich sił, działających na ten punkt.

O znaczm y kąt, zaw arty m iędzy styczną do swobodnej powierzchni a osią odciętych, literą a , to tgct = P 1: P 2

czyli:

dy 4 7i*n*mx 4 n 2n 2

d x mg g

S tą d :

2 TI2 M*

n 17i‘‘

y ~ J 9 x d x

9 9 £ 9

J e s t to parabola. Najniższy punkt tej paraboli otrzym am y dla x = 0;

rzędna tego punktu, oznaczmy ją a, ma wartość a = C .

Zatem swobodna pow ierzchnia cieczy w irującej ma postać parabo- loidy obrotowej.

b) C a łk o w a n ie p rz ez ro z k ła d (c a łk a su m y ).

Z wzoru na różniczkę sumy dwóch funkcyj:

d {F{x) + G {x)) = d F { x ) + dG (®) == (f(x) + g (æ)) dx, gdzie F ' (x) — f (x) , G’ (x) = g (X), otrzy m ujem y :

J ( f ( x ) - f g (x)) d x = F i x ) + G (x) - f C

Poniew aż zaś: J f { x ) d x = F ( x ) - f C„ j ' y (x) d x — G (x) - f C2, przeto : j ' f ( x ) d x - \ - j ' y (x) d x = F (x) -j- G (x) -j- C, -f- C2

W yznaczm y stałe całkow ania tak, aby zachodził związek C = C1 -f- 6'2.

10

W tedy:

(15)

To znaczy: całka z sumy dwóch futikcyj jest równa sumie całek z tych f unkcyj. Tw ierdzenie to odnosi s i ę — ja k to łatwo stw ierdzić — także do

większej liczby dodajników.

Przykłady.

1) P rzy pomocy wzorów (4), (14) i (15) można scałkow ać każdy w ielom ian:

f {x) = «0 + «1 * + «2 « 2 + «3 + • • • + an 1 tak:

j ' f ( x ) d x = j a0dx- \- j ' a,xdx-\~ j a2x*dx-\- j ai x 3dx + •••.- f- J anaf'dx

= a0J " d x - \- a lJ x d x - \ - a iJ ' x ‘idx-\-as j ' x idx-\-...-\-a„J'x“dx a więc:

J.f(oc) dx = a 0 a? -}- l o t x 2 + ^at x s + £ a 3 a:4 + o / +1 - j - C.

2) N iekiedy udaje się rozłożyć funkcję podcałkową, której całka nie je s t nam znana, na takie dodajniki, których całkow anie potrafimy w ykonać.

T ak np. postępujem y z całką:

x d x K orzystam y z wzoru: tg s x = sec2x — 1.

Oznaczmy krótko szukaną całkę literą I (jest to początkowa litera słowa: Integral, oznaczającego w języ k u niem ieckim i francuskim całkę).

A więc:

1 = f ( —L \ ) d x = J \co s! ® /

= y ^ d x = t g * ~ J d x ~ tgx - ® + a

T ak i sposób obliczania całki nazyw am y metodą całkowania przez rozkład.

b) W podobny sposób postępujem y z całką:

r= f —

J sin2

d x 2 xcos2 x

/ = - f i 7 sin2» cos2» J cos2« ,/ sin2 a więc: / = tg « — c tg » -J- C.

„ d x

i 2«

§ 2 0 6 . Całkowanie „przez części“ (per partcs).

Bardzo ważną metodę całkow ania otrzym uje się z wzoru na pochodną iloczynu dwóch fuukcyj u{x) i v(x). Załóżmy, że te funkcje posiadają ciągłe pochodne, to:

— ^ ^ = ii(»)u '(») + a(«) u' («)

Ct CO

lub w formie różniczkow ej:

(a) d(u(x) • v(x))== u(x) • v'(x)dx -{- v(x) • u ' { x ) d x co można także napisać w postaci:

d(u(x) • r(»)) = w (as) ■ d v («) + «(») • ¿ « (« ) lub w skróćeniu:

d[uv) — udv - | - vdu Z wzoru (a) w ynika, że:

a stąd:

f u{x) • v' { x ) d x J v ( x ) • u'(x) d x — u(x) • v(x) C

J u ( x ) • v («) ci» = w(®) -v(x) -j— C — j " v ( x ) • u’(x) d x

S tałą C m ożemy połączyć z stałą, zaw artą w ostatniej całce nieoznaczonej, w jed n ą nową stałą, wobec czego można napisać otrzym any wzór w postaci:

<16⁾ J u { x ) «/(«) d x — «(») v[x) — J v ( x ) u' (x) d x lub w skróconej postaci:

(16a) J u d v = u v — J v du

Należy pam iętać o tern, że w pierwszej całce v nie je st zmienną, według której całkujem y, lecz dv je st tylko skróceniem w yrażenia v’{ x ) d x i podobnie d u w drugiej całce.

Stosowanie tego wzoru nazywam y c a łk o w a n ie m „ p rz e z części*’ lub

„ p e r p a r te s “ . W zoru tego używ a się w następujący sposób: rozkładam y

12

w całce / f ( x ) d x funkcję /(* ) na dwa czynniki: u(x) • v'(x) tak, ab y całka v(x) drugiego czynnika była znana lub łatw a do obliczenia; następnie stosujem y wzór (16); otóż często okazuje się, że całka, w ystępująca po prawej stronie tego wzoru, je s t łatw iejsza do obliczenia aniżeli całka, znajdująca się po lewej stronie. Z w yk le postępuje się tak, że całe w y ra­

żenie /( * ) d * rozkłada się na czynniki u ( x ) i v'(x) d x = dv(x) czyli k rótko u i d v i używ a się wzoru (16 a).

Przy kłady.

1) Chcemy obliczyć

/ lo g x d x

R ozkładam y w tym celu w yrażenie pod całk ą na dwa czynniki:

u — log® i d v = d x W obec tego:

d u — — d x a v — x x

Stosując w zór (16a), otrzym ujem y:

/ l o g x d x — x log x —/ * / d * = * log x — / d * — * log x — x -j- C 2) Obliczyć:

/ = / * 2 cos x d x K ładziem y:

u = x*, du = c o s * d * Stąd: d u = 2 x d x , v — sin x.

W edług wzoru (16a) otrzym ujem y:

x d x (b) / x■■ cos x d x = x 2 sin x — 2 f v sin

W praw dzie nie potrafimy odrazu znaleźć ostatniej całki, lecz je st ona w każdym razie łatw iejsza od poprzedniej. Stosujemy do tej całki pow tór­

nie tę sam ą metodę, a więc kładziem y x = u„ sin x d x = d v x a stąd diii — vi — — cos ®, wobec czego:

/ x sin x d x = — x c o s* -j-/ cos * d x = — x c o s * -f- sin * -j- C P odstaw iam y ten w ynik we wzór (b) i otrzym ujem y ostatecznie:

I — J " x l cos * d x = * 8 sin * -(- 2 * cos * — 2 siu * — 2 C c z y li: I — sin *(*» — 2) -j- 2 * cos * -j- C\.

W idzim y, że pierwsze zastosowauie wzoru (16a) nie doprowadziło odrazu do obliczenia szukanej całki, lecz zredukowało j ą ty lk o do prostszej całki a dopiero drugi k ro k doprowadził do pożądanego w yniku. T akie redukow anie całki do kolejnych, corazto prostszych całek, je st charakte­

rystyczne dla metody całkow ania „przez części“.

Zobaczymy na nieco ogólniejszym przykładzie, ja k m ożna takie kolejne stosowanie w zoru (16) zastąpić tak zw anym ogólnym wzorem redukcyjnym.

3) D la całki:

exd x

W yprow adzić wzór (redukcyjny), pozw alający w yrazić tę całkę-zapom ocą całk i zaw ierającej zam iast potęgi X" potęgę a;"-1, o w yk ład nik u o 1 niższym.

K ład ziem y :

a? — u, ex d x — dv

a więc: _•

d u — «a?"-1 dx, v = e*

Z wzoru (1 6 a) otrzym ujem y:

(c) I n = x ne‘ — n j ' e*x" 1d x — x n e* — n I„

Je s t to żądany wzór redukcyjny'.

Na podstawie tego wzoru możemy całkę o dowolnym w ykładniku naturalnym n sprow adzać kolejno do całek coraz prostszych a ostatecznie do znanej całki I a — J x ° ex d x — J e * d x — e* -f- C. G dy chcem y obli­

czyć I„ dla dowolnie w ielkiego u, to oprócz tego ostatniego całkow ania nie trzeba ju ż w ykonyw ać żadnych innych całkow ać. T ak np. chcem y obliczyć I 3 = J ' X 3exdx. W edług wzoru (c) jest:

I3 = x 3ex — 312 I 3 = x i ex — 2 i ,

I x = xe* — 1 • I 0 — x e x — e* — C Wobec tego:

I 3 = x 3ex — 3 (a;2 • ? — 2( x ex — ex— C))

= x 3e‘ — 3 * 2 e* -f- 6 * ex — 6 ex -f- Ct I 3 = ex( x 3 — 3 a:2 -(- 6® — 6) -j- C, Spraw dzić w ynik przez różniczkowanie!

4) W yprow adzić wzór redukcyjny' dla całki:

x d x

C ałkujem y „per partes“, podstawiając:

u = log"». dv — d x Stąd:

, „ , d x

d u — u los;" 'x • — , v — x x

a więc:

czyli:

I n — x log "a: — f x • u log"-!a: ™ = a; log "a: — n j " log"_1a: d x [n = x log "a; — n /„_!

5) Bardzo ważny jest w zór redukcyjny dla całki:

Sn = f sin "a; da:

O trzym ujem y go także przez całkow anie „per p arte s“. I tak kładziem y:

u = sin n~ix . dv = s i n x d x S tą d :

d u = (n — 1) sin "~2x • co sx d x , v = — c o sx a więc:

Sn = — cos a: • sin n" lx [n — 1) j "sin n~2x • cos2x d x cz y li:

S . cos a' sin ' x - ( n — 1)J ' (sin" 2x — sin"a;)a!a;

Przenieśm y na pierwszą stronę ( u — 1) J s i\\nx d x czyli (n — l)ć>„, to otrzym am y:

n • Sn — — cos a; sin "~2x -j- (n — 1) S„_2 a więc ostatecznie:

(17) o C ■ n 7 — COS 33:

= / S1I1 "33 d x = ---

J n

— COS 33 sin "_133 . n — 1 c,

P rzy pomocy tego wzoru możemy obniżać w yk ład n ik w yrażenia s in"33 o 2.

Jeżeli n je st liczbą naturalną, to stosując wzór (17) k ilkak ro tnie, o trzy­

mamy ostatecznie dla n nieparzystego = j ' sin x d x = — co sa i-f- C a dla n parzystego S 0 = J 'lin °x d x = J ' d x — 3 3 + C.

Jeżeli n jest liczbą całkow itą ujemną, to należy z wzoru (17) w y­

razić odw rotnie tS„_2 zapomocą iS„, a m ianowicie:

(17 a)

d x sin "cc do W zór ten pozwala sprowadzać obliczanie całki S m = S_p — /

J całki o w y k ład n ik a p m niejszym o 2.

Dla p parzystego dochodzi się ostatecznie przez k ilk ak ro tn e stoso­

wanie wzoru (17 a) do całki S _ 2 — f — ctg® 4 - C.

J sin żx

Przy nieparzystem p dochodzi się ostatecznie do całki S _ x — j r której obliczeniem zajm iem y się w następnym paragrafie.

Przykład zastosowania wzoru, (17):

S

cos x sin °x

+ 5(

6 24 24

COS® sili® 1 \ 2 *"2 °j

■ (8 sin 5® -j- 10 sin 8« -j- 15 sin «) -j- ^ « -J- Ą

4 o 4 o

Pr zy k ład na zastosowanie wzoru (1 7 a):

f

cos ® 2

3 sin s® - c tg « + C =3 0 ctg «

+ —

+ 2 4 - C.

3 \ si n 2®

§ 2 0 7 . Całkowanie przez podstawienie.

Obliczenie całki:

(a) J f i x ) d x — F{x) Ą - C

upraszcza się nieraz znacznie, gdy za zm ienną « wprow adzim y nową,, odpowiednio dobraną zm ienną t, kładąc:

(b) x = (p(t)

Załóżmy, że funkcja <p{t) posiada ciągłą pochodną.

16

Z wzoru (a) w ynika, że:

d F r< ^\

m = m

Jeżeli zaś w funkcję F ( x ) wprow adzim y x=^(p(t ), to stosując wzór na pochodną funkcj i złożonej, otrzym ujem y:

dF(<p(t)) d F dcp d F d x ,. , . . . .

i ł = 5 ? ' T t = l i ■ T t =” <'> = • * (il Stąd w ynika, że:

F(<p(t)f + C = J f ( c p ( t j ) • (p'{t)dt czyli:

F ( x ) -f- O = j j f{(p(ł)) • <p'(t)dt Stąd otrzym ujem y ostatecznie na mocy wzoru (a):

(18)

J e s t to wzór na c a łk o w a n ie p rz e z p o d s ta w ie n ie ; je s t on bezpośrednim w nioskiem z wzoru na pochodną funkcji złożonej. W idzim y, że funkcja podcałkowa f(x) nie przechodzi na /(<p(f)), lecz otrzym uje jeszcze dodat­

kow y czynnik: (p’{t). W zór ten najłatwiej je st zapam iętać w ten sposób, że w prow adza się podstawienie x — (p{t) nietylko w funkcję f{x), lecz także w różniczkę dx, która wobec tego przechodzi na:

dx = dcp(t) = <p'(i) dt

Podstaw ienie x — cp{t) staram y się zw ykle tak dobrać, aby całka po p ra ­ wej stronie wzoru (18) była łatw iejszą do obliczeuia aniżeli całka pier­

wotnie podana. Po w ykonaniu całkow ania w edług zm iennej t otrzym am y ja k ą ś funkcję G(b) tej pomocniczej zm iennej t. Chcąc wrócić do zm ien­

nej X, należy obliczyć z wzoru (b) tjak o fu nkcję zm iennej x, np. t = xp(x) i w staw ić ip(x) w G(ł) za zm ienną t. Aby się to przekształcenie dało uskutecznić w sposób jednoznaczny, trzeba obrać funkcję x — <p(t) tak, aby była odw racalna w sposób jednoznaczny. W tym celu w ypadnie często ograniczyć zakres zmienności zm iennej niezależnej w tym związku funkcyjnym x — q>(t) (por. tom I, § 18).

Przy stosowaniu tej metody całkow ania (przez podstawienie) roz­

poczynam y zw ykle rachunek od tego, że za jak ąś odpowiednio dobraną funkcję tp(x) zm iennej x podstawiamy nową zmienną:

t — %]){x)

a następnie obliczamy stąd x = (p(i) i postępujem y dalej zgodnie z wzo­

rem (18). F unk cję ip(x) należy oczywiście obrać tak, aby była odw racalna w sposób jednoznaczny i aby posiadała różną od zera pochodną: albo­

wiem potrzebna we wzorze pochodna cp'(t) ma wartość | y ja k wiadomo z tw ierdzenia o pochodnej funkcji odwrotnej (por. tom I, § 79, wzór 28).

Przykłady.

1. Obliczyć:

]d x

Na pierw szy rzut oka mogłoby się zdawać, że ta całka ma wartość:

5 ( 2 3®)-6

--- jak o potęga o w y kładniku ujem nym . Przez zróżniczkow anie

— o

tej funkcji łatw o się je d n a k można przekonać, że je s t to w ynik błędny.

Zastosujm y natom iast do całki podstawienie:

ip(x) — 2 — 3 x — t Stąd:

x = § — ^ t — ę ( t) a. d x — — W obec tego je st:

J '5(2 — 3 x ) ~lid x = J 5 r e • — £ dt = ~ ~ - f C = ¿ i “ 6 + C W yrażam y teraz t zapomocą zm iennej x i otrzym ujem y:

/ = ł ( 2 - S » ) - . + C « 3 I r ; i ^ + C 2. Obliczyć:

i = i - d x J ulx - \ - b

C hcąc tę całkę sprow adzić do znanej całki J ' y (por. wzór 5), używ am y ax -f- b — t

podstaw ienia:

Stąd:

a więc:

W obec tego:

d x — — dt a

dt

i = / V = 4 / f = i losi ' i + c

iTpnek ró ż n ic z k o w y i c a łk o w y . T . 2.

& _{rs. . T/J}s )

W racam y do zm iennej x i otrzym ujem y:

/ ¿ T ł = a-l0Bl“ + ‘ l + C 3. Obliczyć:

r d x J a2 -\- x 2

Znam y podobną całkę: J ■- ^ — = arctg x -{- C (por. wzór 13).

Staram y się sprowadzić szukaną całkę do tej postaci i w tym celu w yłączam y w m ianow niku a° przed nawias.

Stosując wzór (14), otrzym ujem y zatem:

T _ i _ r dx a-

+ (?) T eraz ju ż samo się nasuw a podstawienie: — = t. X Stąd:

X = at, d x = a dt a więc:

T 1 r a dt a T dt 1 , . _

1

a

4. W śród całek, któreśm y otrzym ali bezpośrednio przez odwrócenie specjalnych wzorów ra chunku różniczkowego, w ystępow ała całka f r —y --g

J 1 " T x

(por. wzór 13 z § 204), natom iast nie było tam bardzo podobnej całki:

m

By tę całkę obliczyć, rozłóżm y najpierw funkcję podcałkow ą na dwa prostsze dodajniki (t. zw. ułam ki częściowe, por. tom I, § 23, str. 91):

W yznaczam y stałe A i B tak, aby ta równość zachodziła dla w szyst­

kich x (z w yjątkiem oczyw iście w artości x = 1 i ^X = — 1, dla k tó rych funkcja podcałkow a nie je st określona). U w alniając obie strony od m ia­

nowników, otrzym ujem y:

1 = A — A x + B + B x j = {A + B) - f {B — A ) x

Spółczynniki przy x 0 i x l muszą być po obu stronach równe, a więc:

A - f B = 1 A — B = 0

Z tych dwóch rów nań otrzym ujem y: A — ■£, B = Zatem funkcję pod­

całkow ą możemy przedstaw ić w postaci:

+ i

1 — x s 1 -j-a : 1 — x

Stosując tu wzór (15) na całkow anie sum y i wzór (14), otrzym ujem y:

d x J l - x * V ' l + ® V 1 x

N a podstaw ie w yniku, uzyskanego w przykładzie 2, otrzym ujem y stąd:

d x

■ x i = £ l o g | l + ®| — ^ log | 1 ® | - j - C = £ l o g

h

czyli:

(19)

Ten wzór znajduje dość częste zastosowanie.

/

x ‘

(19 a) + C

5. W ynik, uzyskany w poprzednim przykładzie, można zastosować do następującego zagadnienia z dynam iki. Na ciało o masie tn, spadające pod wpływ em siły ciężkości ziemi, działa ponadto opór ośrodka w k ie­

ru n k u przeciw nym do k ieru n k u ruchu; opór ten je st w każdym mo­

m encie ruchu proporcjonalny do k w adratu prędkości v ciała spadającego 2*

a nie może być większy od siły ciężkości. Znaleźć wzór na prędkość tego ruchu i na drogę.

Otóż całkow ita siła, działająca na to ciało, ma w artość:

P — mg — k v- = m y = m dv—

gdzie g oznacza przyśpieszenie siły ciężkości (przyjm ujem y je tu za stałe) a y przyśpieszenie w badanym ruchu. P ręd ko ść v jest liczbą dodatnią a ponadto musi być k v * ^ m g czyli v SS ]/--•

Stąd:

dt vi m 1

20

W obec tego:

d v mg — kv2 k ^ — v2 m ( ' dv

* = -§ ■ / = : k W edług wzoru (1 9 a) otrzym ujem y stąd:

< - S

\

I lwi — v ' k

+ C

W yrażen ie pod pierw iastkiem je st nieujemne, a więc znak bezwzględnej wartości nie je st potrzebny. G dy przyjm iem y, że dla t = 0 ciało było w spoczjmku, t. j. u = 0, to otrzym am y stąd C = 0 . Z tego wzoru możemy obliczyć v jak o funkcję t a m ianow icie:

2t\fik F f + » P r m — — ---

p - s

* k a stąd:

T • W 7 1 = I ' ? ‘s hiP (‘ ^ e ' "■ -j— 1

Z tego wzoru widać, że dla t —>oo prędkość v dąży do w artości:

zwanej prędkością „ k ry ty c zn ą“.

C ałkując wzór na t = ~ jeszcze raz, otrzym ujem y na drogę przy ds tym ruchu wzór:

i"__________________ _P sin h y p (tV^) dt s = / tg b y p (t V*) dt — \"±K / --- t t L -

‘ V ” V

K ładąc cos hyp (¿ P f) = u, otrzym ujem y:

du — sin h yp (ip ^ ) • p ^ d t a więc:

s = ] / ¥ TgJ" f = 1 loS I "I + ° . = ” loB 00> h i P Jeżeli dla t = 0 je st s — 0, to otrzym am y C, = 0 i pozostanie wzór:

s = j \ o g i [ e V % + e ~ ł V*-%) 6. C ałkę:

J cos r x dx

oblicza się przy pomocy podstaw ienia r x — t. Stąd x== —, d x — dt.

A więc:

J c o s rx dx —^ c o s i • ^— ¿ i = --J"c o s t dt — ^ s in t -f - C c z y li:

J cos r x d x = ~ si n r x -j- C

P rzy pewnej w praw ie w ykonuje się tak ie proste całkow ania odrazu, bez używ ania odpow iednich podstawień.

T ak np. odrazu je st widoczne, że:

J sin p x d x = — ^ cos p x -{- C

7. Z wzoru redukcyjnego (17) (str. 14) na całkę z s in " * w ypro­

w adzić wzór red u k cy jn y na całkę z cos "x.

O pieram y się na tern. że:

sin x = cos (-| n — *)

i kładziem y: £ n — x — t. W tedy d x — — dt, sin * = sin (■£ n — t) — cos t.

W obec tego wzór:

/

n n J 2* d x

n n j

zm ienia się na:

(20) K n = J 'cos nt dt — — sin t cos n H -(- --- - J 'cos " H dt

22

K ładąc n — 2 — m = — p i w yliczając z tego wzoru ostatnią całkę, otrzym am y wzór re d u k cy jn y dla ujem nych potęg cosinusa:

(2°*) K - - / - ¿ ¡ r , = - = 7 + 1 ‘ + E f + f f S ś Jeżeli p jest liczbą nieparzystą, to ten wzór re d uk cyjny prow adzi o s ta -.

tecznie do całki:

f

/ cos t

8. Często się zdarza, że nie trzeba obliczać w yraźnie zm iennej x z podstawienia xp(co) — ł, lecz w ystarczy utw orzyć różniczki obu stron tej równości. T ak np. celem obliczenia całki:

/

x d x

używ a się podstawienia:

a 2 - f = i Stąd:

2 x dx = dt

a więc x d x = Ądt, a to w łaśnie je st potrzebne w liczniku.

W obec tego:

a więc:

x d x ir -r—:- -5 .

■ya* -f- -+- C J \a* + x°-

9. W yprow adzim y wzór re d u k cy jn y dla całki:

Tm = J t g mx dx

W tym celu oddzielamy w funkcji podcałkow ej:

tg *ai = sec *x — 1 = — --- 1

° C O S “ X

O trzym am y zatem :

Tm= J

j

(|p£

= A g m~2x A g m~2x dx

J & cos *x J °

D ru g ą całkę możemy oznaczyć literą Tm_21 pierwszą zaś obliczym y przez podstaw ienie: tg£C = M, a w i ę c —dcc = d u . W obec tego ta pierw sza całka

C O S cc

przyjm ie postać:

I

m— 1 m— 1 tg m~'x

S talą C, w ystępującą przy całkow aniu, włączm y do T m_2, to otrzym am y następujący wzór red u k cy jn y :

10. Metody, podobnej ja k w przykładzie 8. używ a się, jeżeli funkcja podcałkow a jest ilorazem dwóch funkcyj, z któ rych dzielna je s t pochodną dzielnika, a więc dla całek postaci:

= / '

T ( x ) fipB) d x

K ładąc f ( x ) = t, otrzym ujem y f ' ( x ) d x = dt, a więc:

I = f j = \ o g \ i \ + C czyli:

(²¹)

Ten wzór m ożna uważać za odw rócenie wzoru na pochodną logarytm iczną (por. tom I, § 85).

T ak np.:

a) sin x d x

cos x

T u licznik je st różniczką m ianownika, zatem w edług wzoru (21) otrzy­

m ujem y:

(

)

b) Obliczyć:

m x -f- n a x 2 + bx + cd x

Tu licznik nie je st w praw dzie pochodną m ianow nika, ale można go tak przekształcić, że będzie sum ą tej pochodnej i liczby stałej, a mianowicie,

24

w yłączając z licznika — , otrzym am y:m

ć i CL

2 a x + -^r m f (2 ox -f- b) - f (~f — &) 2a J ax2 + t e -j- 2oł

c/flj

a « 2 4 - b x - \ - c T ę całkę rozdzielam y na sum ę dwóch całek:

m f 2 a x - \ - b m_ ( 2 a i i __ \ i dx 1 2 a j ax2- \ -b x c C X'' s 2 a \ m )

J

/ , = ~ log Irnc2 + bx -j- c|

2 a 1

W drugiej całce należy sprow adzić m ianow nik do form y kanonicznej:

a ^ a<^ ° x J r Y a ~ t' sprow adzam y tę całkę do form y: f — f - - — lub f - - ^ zależnie od tego, czy w yróżnik 4 ac — b2

J J t 2 -\- A 2 J i2 — A 2

jest dodatni czy też ujem ny. T e zaś form y om ówiliśm y w przykładzie 3 i 4.

11. Obliczmy całki: S = f .— ■■■ i K = f potrzebne przy sto-

J J 8U1 X J COS X

sowaniu wzorów red u k cy jn y ch (1 7 a) i (20a).

I ta k :

d x S-- r d x r

V ^ ^

dx x x s i n - c o s -

2 c o s 2^ ®

* * 2

Tu licznik jest różniczką m ianow nika, a zatem :

(23) f‘Jf UL = iog

J sin x

<■ x 2 + c

Celem obliczenia całki K , sprow adzim y ją do całki S, zauw ażyw szy, że cos x — s in (•£n -j- x). Zatem:

K = f = f ~ J cos® J Sil

d x sin -f- *)

Za \ n - x kładziem y t, to dx = dt i otrzym ujem y całkę ty p u (23).

A więc:

(24)

12. Celem obliczenia całki:

1 = j J/l — a 2 cte

dogodnie je st użyć podstaw ienia w prost w postaci x = cp(t\ a nie, ja k to dotychczas czyniliśm y, w postaci t = ip(x). Podstaw iam y m ianowicie:

X — sin i, biorąc

P odstaw ieniem tem w yczerpujem y istotnie cały zasób dopuszczalnych w artości x , albowiem , ab y otrzym ać rzeczyw isty piorw iastek z 1 — X 1, musi b y ć — l ^ x ^ - \ - l .

W tedy d x = cos t dt, a zatem:

I = f

J

T ę całkę m oglibyśm y obliczyć odrazu przez zastosowanie wzoru reduk- cyjnego (20). D la ćw iczenia obliczym y ją jed n ak w in n y sposób, a m ia­

nowicie oprzem y się na znanym z trygouom etrji wzorze:

cos W obec tego:

M 1

1 = £ J (1 + cos 2 1) dt = (i -f” i sin ^ t) -j- C

Ale z wzoru & = s in i w ynika, że t — a r c s in x (p rz y c z e m — ¿ 7 t < í < A re).

Ponadto sin 2 1 = 2 sin t cos t = <i x \ l — X2 (znak pierw iastka je st dodatni, ponieważ c o sí m a w artości nieujem ne dla i, zaw artych w przedziale

< — %n, W obec tego:

(25) 1 = p l — x 2d x = ^ (are sin x -j- & [^1 — x l) C

P ozostaw iam y czytelnikow i do w yprow adzenia nieco ogólniejszy wzór:

(25a) J \ k— x* dx= a rc s in pL -|- x \ k— |- C (dla k> X'1)

13. Czasem przy obliczaniu całki trzeba użyć zarów no całkow ania

„per partes“ ja k i m etody podstawiania. T ak np. do obliczenia:

arc tg x d x

i = / »

stosujem y najpierw całkow anie „per partes“, kładąc:

arc tg x = u, d x = dv

, d x

du = — — x — v 1 + x v

/

i ~ p X

zapomocą podstaw ienia 1 -}- x 2 = t. O trzym ujem y 2 x d x = dt, a więc:

f r - f x i = * , f j = t l°g\t\ + c ==^i°g(i+®*) + o

W obec tego:

J arc t g x = x arc tg x — £ lo g (l + * 2) — ^ Niechaj czytelnik stwierdzi, że w podobny sposób otrzym a się:

J arc sin x d x — x arc sin a? —{— P 1 — X x - C 14. P rzy obliczaniu całki:

I — f eax sin bx dx

stosujem y dw ukrotnie całkow anie „per partes“, a m ianowicie najpierw kładziem y:

eax = u, sin bx d x = dv

du — aeaxd x , v = — cos bx (por. przy kład 6).

W obec tego:_e>

i — — (A* cos b% _j_ ii / coa (//¡j

, + j / e

Stosujemy do w ystępującej tu całki powtórnie metodę całkow ania „per partes“, kładąc:

eax == u , , cos bx d x — dvv du, = : aeaxd x , = 4 sin foc

b Zatem :

— 1 _{nv 1 1 ^ 1} a / I _nr . _{l w I}a C

A stąd:

I b 2 = e“ (« sin bx — b cos bx) — a 81, (a2 ó8) I = e“ (a sin t e — b cos te ) a więc:

/

W podobny sposób oblicza się, że:

/

15. W jednym z dalszych rozdziałów będą nam potrzebne całki:

J "sin n x sin ra: cte, J ' s^n >IX 008 r x ^ x * J cos n x cos r x ^ x

P rzy obliczaniu ty ch całek opieram y się na znanych z trygonom etrji wzorach:

sin n x • sin r x — ę, (cos (n — r) x — cos (« - |- r) x) sin n x • cos r x == £ (sin (« -f- r) a: + sin (» — r ) *) cos • cos r x = £ (cos (n -j- r) x -j- cos (n — r) x) G dy n =}= r, to otrzym ujem y stąd:

J

J

2 \ n — r n - \ - r )

J

J

J

^ \ n -}- r n — r /

J

J

2 \ n - \ - r n — r /

D la n = r je s t cos (n — r) x — cos 0 = 1 , sin (w — r) x — sin 0 = 0, a więc powyższe całki przechodzą na:

(26)

/ "

(26a)j ^ sin n x cos v x d x —

C o , . s i n 2 / cos2 n x d x = i — ~—

J 2 211

sin 2 n x cos 2 n x

2 n sin 2 n x

■ ^ x

28

16. W yprow adzić wzór re d u k cy jn y dla całki:

dx r- = L ( i + x iy

P odstaw iam y: x = t gt , to d x = —^ — , 1 —j-a?2 = 1 — tg 2 t:

cos21' cos2 1

a więc:

W

D la całki K m znamy ju ż wzór red u k cy jn y (por. wzór (20) na str. 21).

Stosując go tutaj, otrzym am y:

In = K ^ ^ 2 Sini c o s + t g i i 2 w — 3 (2 n— 2) sec *— * t ^ 2 n — 2 n~l

r X , 2 71 — 3 7

cz.y 1: 4 — (2jj — 2) ( I + {»«) *- i + 2 ^ 2 " - 1 lub w yraźnie:

(27) C d x x 2 n — 3 i

J (1 - f ®2)" ~ (2m — 2 ) ( l - f cc2) “- 1 + 2 n — 2 J i

¿cc (1 + ® * ) ^{n —l} Z tego wzoru będziem y korzystali w następnym paragrafie.

Uwaga. D o tego w zoru redukcyjnego m ożna też dojść bezpośrednio, nie prze­

chodząc przez w zór (20). W ty m celu przedstaw ia się funkcję podcałkow ą w postaci:

1 l - j - x ’ — x ‘ 1 x t

(1 + x \ n ~ (1 + *>)« ~ ( l + a;*)"-1 “ (1 - f x Y C ałka l n zamieni się w tedy na I n~i

/

Do pozostałej całki stosujem y całkow anie „ p er p a rte s“, k ład ac u — x, dv = — X^ ~ —

( 1 - f - X i ) n

i t. d. Pozostaw iam y czytelnikow i dalsze w ykonanie rachunków .

17. Jeżeli znamy całkę jak iejś funkcji y — f (cc), to potrafim y bez trudności obliczyć także całkę funkcji odw rotnej: x = (p(y). I t a k , chcąc obliczyć:

I = f % / ) dy

podstawiam y za cp(t/) — x, stąd y — f ( x ) , dy = f ’{x) dx a więc:

1 = J x - f ( x ) d x

C ałkujem y „per partes“, kładąc: x — u, f \ x ) d x — do. W tedy du — d x , o = f ( x ) i otrzym ujem y:

I — J ' P ( y ) dy — oof{x) — j f { x ) dx

Przykłady, a) Znam y dla y = sin x całkę j sin x d x = — cos x -j- G.

W obec tego możemy obliczyć przy pomocy poprzedniego wzoru całk ę z ® = arc s in y , a m ianowicie:

J 'ure sin y dy — ^X sin x — J ' a m x d x = ^X sin x -f- cos x -\- C1 W racając do zm iennej y, otrzym ujem y:

j "arc sin ydy — arc sin y • y l — y* -j- G (por. przykład 13 na str. 26).

b) D la y — sin hyp ^X znam y całkę:

J 'sin h y p x d x = cos Hyp® -f- C = f^l -f- sin 2 hyp® -f- C.

Stąd możemy obliczyć całkę funkcji odw rotnej, k tó rą jest, ja k wia­

domo (por. tom I, str. 290—291):

® = k>g(z/ + |/ l - f y 2) W obec tego:

f

= x sin hyp ® — j 'gin hyp x d x = y log (y -)- \ \ -f- y*) — \ l -f- y* C c) Ponieważ dla y = ex jest:

J'e* d x = ex -f- O przeto:

A o g y d y = ® e* — e* + ¿f = log y y — y - f C (por. str. 12 przykład 1).

§ 2 0 8 . C ałkow anie fnnkcyj w ym iernych. R ozk ład funkcji u ła m ­ kowej na ułam ki proste.

Potrafim y scałkow ać każdą funkcję całkowitą w ym ierną czyli każdy wielomian (str. 10, przykład 1).

F u n k cja ułamkowa w ym ierna je st ilorazem dwóch wielom ianów:

II' X. ' ’'» I 9 W)

30

Jeżeli stopień licznika nie je st m niejszy od stopnia m ianow nika, to wydzielamy z tej funkcji ułam kow ej część całkow itą przy pomocy znanego algorytm u dzielenia w ielom ianów 1. W ten sposób otrzym ujem y rozkład danej funkcji W ( x ) na część całkow itą, np. h ( x ) i na funkcję

■f ( rr>\

ułam kową, np. której licznik ma stopień niższy aniżeli m ianow nik, a więc:

T ak np. dla funkcji:

x 3 -f- 2 x 4 - 5 a?2 — 4 a? -j- 3 w ykonujem y dzielenie:

fa;3 -j- 2 a;

4

-j- 3)

-f- 4

x 3 — 4 x s -f- o x - +_____ - __________

-)- 4tc! — X -j- 5

—

j— 4

16®

12

- + -

+ 15« — 7

Zatem:

x s -|-

2

5

®* —- 4 ® -j- 3 X x 3 — 4 a: -j- 3

Część całkow itą /i (*) scałkujem y bez trudności. Pozostaje do cał­

kow ania część ułam kowa, której licznik ma stopień niższy aniżeli m ia­

nownik. Do takiej funkcji zastosujem y całkow anie przez rozkład. W tym celu postaram y się rozłożyć tak ą funkcję na prostsze dodajniki.

W specjalnych przypadkach używ aliśm y ju ż takiego rozkładu (por.

str. 18, przykład 4). Jeżeliby spółczynnik najwyższej potęgi zm iennej x w wielomianie g ( x ) był różny od 1, to usuwam y go, dzieląc licznik i mia­

nownik tej funkcji ułam kowej przez ten spółczynnik; możemy się zatem ograniczyć w dalszym ciągu do badania tylko takich funkcyj ułam ko­

w ych, w których ten spółczynnik ma w artość 1. Spółczynniki innych potęg x są dowoluemi liczbami rzeczywistem i. A lgebra poucza (por. tom I,

§ 22), że każdy wielomian stopnia n można przedstaw ić jak o iloczyn n czynników stopnia pierwszego:

wn (x) = a „ (x — x 1) (X — X2) ...( X — X„)

przyczem liczby x t , x , . . . . x„ są pierw iastkam i rów nania w„ (x) = 0. Nie­

1 W podręczniku R u z i e w i c z a i Ż y l i ń s k i e g o p. t. Wstęp do matem aty ki czytelnik znajdzie w rozdz. V dokładne uzasadnienie tego algorytm u.