Zad 3 Dane a₉ = -56, r = -9 Szukane: a₆ a₉ = a₆ + 3r -56 = a₆ + 3(-9) -56 = a₆ - 27 // = a₆ -29 = a₆

(1)

Zad 1

Dane: a₄ = -16, a₈ = -4, n = 7 Szukane: S₇

Wzór na sumę jest następujący:

2a₁ + (n-1)·r Sn = ---·n 2

Stąd brakuje nam a₁ oraz r Mogę zapisać, że: a₈ = a₄ + 4r -4 = -16 + 4r // +16

12 = 4r // :4 3 = r

Obliczam a₁ z zależności: a₄ = a₁ + 3r -16 = a₁ + 3*3 // -9

-16 - 9 = a₁ -25 = a₁

Wyraz pierwszy = -25

2a₁ + (n-1)·r 2·(-25) + (7 - 1)·3 S₇ = ---·n = ---·7 2 2

-50 + 6·3 -50 + 18 -32

S₇ = ---·7 = ---·7 = ---·7 = -16·7 = -112 2 2 2

Zad 2

Dane: a₄ + a₅ + a₆ = 9

Szukane : a₅. Aby policzyć ten wyraz skorzystam z zależności 3 kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego:

aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁):2 //*2 2*aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁

W naszym zadaniu będzie taka zależność: 2a₅ = a₄ + a₆

Dodawanie jest przemienne więc zmieniam kolejność: a₄ + a₆ +a₅ = 9

W miejsce dwóch pierwszych wyrazów podstawiam - 2a₅ = a₄ + a₆ i uzyskuję:

2a₅+a₅ = 9 3a₅ = 9 //:3 a₅ = 3

Zad 3

Dane a₉ = -56, r = -9 Szukane: a₆

a₉ = a₆ + 3*r -56 = a₆ + 3*(-9) -56 = a₆ - 27 // +27 -56 + 27 = a₆

-29 = a₆ Zad 4

Mamy 3 kolejne wyrazy ciągu geometrycznego więc skorzystam z zależności 3 kolejnych wyrazów czyli: aₙ² = aₙ₋₁∙aₙ₊₁

(1x + 1)² = x*(1x + 3)

1x² + 2x + 1 = 1x² + 3x // - 1x² 1x² + 2x + 1 - 1x² = 3x

2x + 1 = 3x // - 3x 2x + 1 - 3x = 0 -1x + 1 = 0 // - 1

(2)

-1x = -1 // :(-1) x = -1:(-1)

x = 1

Zad 5

Dane: a₁ = 3, a₂ = -11 Szukane: aₙ = -179

Aby policzyć który to wyraz musimy znać różnicę aby wykorzystać wzór: aₙ

= a₁ + (n-1)∙r a₂ = a₁+ r

-11 = 3 + r // -3 -11 - 3 = r

-14 = r

aₙ = a₁ + (n-1)∙r ---> -179 = 3 + (n-1)∙(-14) -179 = 3 - 14n + 14

-179 = 17 - 14n // - 17 -179 - 17 = -14n

-196 = -14n // :(-14) 14 = n

Zad 6

6² = 2*(2a + 1) 36 = 4a + 2 // - 2 36 - 2 = 4a

34 = 4a // :4 a = 8 i 1/2 Zad 7

(x + 1)² = (x + 3)(x + 4)

1x² + 2x + 1 = 1x² + 4x + 3x + 12 1x² + 2x + 1 = 1x² + 7x + 12 // - 1x² 1x² + 2x + 1 - 1x² = 7x + 12

2x + 1 = 7x + 12 // - 7x 2x + 1 - 7x = 12

-5x + 1 = 12 //-1 -5x = 12 - 1

-5x = 11 // : (-5) x = -2 i 1/5

Zad 8

5² = 6*(2a -2)

25 = 12a - 12 // + 12 25 + 12 = 12a

37 = 12a // :12 a = 3 i 1/12 Zad 9

Aby policzyć to zadanie skorzystamy z własności 3 kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego czyli : aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁):2

-8 = (-12 + 2x +4):2 -8*2 = -12 + 2x +4

(3)

-16 = 2x - 8 // + 8 -16 + 8 = 2x

-8 = 2x // :2 x = -4

Zad 10

Dane: a₁ = 6561, a₂ = 729

Szukane a₄, aby obliczyć ten wyraz potrzebuje iloraz q aby użyć wzór: aₙ

= a₁ ∙ qⁿ⁻¹ a₂ = a₁*q

729 = 6561*q // :6561 q = 1/9

a₄ = a₁*q³

a₄ = 6561*(1/9)³ a₄ = 6561 * (1/729) a₄ = 9

Zad 11

Dane a₈ = 36, S₈ = 204, n = 8

Aby obliczyć a₁ skorzystam ze wzoru: Sₙ = (a₁ + aₙ)∙n/2 204 = (a₁ + 36)*8:2

204*2 = (a₁ + 36)*8 408 = (a₁ + 36)*8//:8 408:8 = a₁ + 36

51 = a₁ + 36 // - 36 51 - 36 = a₁

a₁ = 15 Zad 12

Mamy znaleźć wszystkie liczbę podzielne przez 3 w przedziale (196,2299>

Pamiętaj, że z lewej strony przedziału mamy nawias otwarty więc liczba 196 nie należy do tego przedziału,

więc jeśli pierwsza liczba z przedziału podzielna jest przez 3 to musimy wziąć kolejną liczbę większą o 3

Aby to rozwiązać musimy znaleźć pierwszą i ostatnią liczbę podzielną przez: 3 aby zastosować wzór: aₙ = a₁ + (n-1)∙r

Dane: a₁ = 198, aₙ = 2298, r = 3 2298 = 198 + (n-1)*3 // - 198 2298 - 198 = (n-1)*3

2100 = (n-1)*3 // :3 2298:3 = n - 1

700 = n - 1 // + 1 n = 701

Zad 13

Dane mamy: a₁ = 379, aₙ = 475, r = 8 Szukane Sₙ = ?

Aby obliczyć sumę Sₙ potrzebuję znać ilość wyrazów które oblicze ze wzoru: aₙ = a₁ + (n-1)∙r

475 = 379 + (n-1)*8 475 = 379 + 8n - 8

475 = 371 + 8n // - 371 475 - 371 = 8n

104 = 8n // :8 104:8 = n

(4)

13 = n

Mając n = 13, obliczę Sn ze wzoru Sₙ = (a₁ + aₙ)∙n/2 Sₙ = (379 + 475)*13 / 2

Sₙ = 5551 Zad 14

Dane a₁ = -8, S₃ = -18 Szukane a₄₁ - a₁₈ = ?

Aby to policzyć potrzebuje znać różnicę ciągu aby policzyć te wyrazy.

Różnicę tę policzymy wykorzystując S₃ S₃ = a₁ + a₂ a₃

Uzależnię a₂ oraz a₃ od wyrazu a₁ stąd a₂ = a₁ + r, a₃ = a₁ + 2r S₃ = a₁ + a₁ + r + a₁ + 2r

S₃ = 3a₁ + 3r -18 = 3∙(-8) + 3r -18 = -24 + 3r // + 24 -18 + 24 = 3r

6 = 3r // :3 2 = r

a₄₁ = a₁₈ + 23∙r stąd szukana różnica to a₄₁ - a₁₈ = 23*r a₄₁ - a₁₈ = 23∙2

a₄₁ - a₁₈ = 46 Zad 15.

Dane r = 5, średnia 8 wyrazów = 25 i 1/2 Szukane a₁ = ?

Aby policzyć a₁ skorzystam ze średniej początkowych wyrazów.

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈

(a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈):8 = 25 i 1/2 //*8 a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈ = 204

Uzależnię wszystkie wyrazy począwszy od wyrazu a₂ od wyrazu a₁

a₂ = a₁ + 1*r, a₃ = a₁ + 2*r, a₄ = a₁ + 3*r, a₅ = a₁ + 4*r, a₆ = a₁ + 5*r, a₇ = a₁ + 6*r, a₈ = a₁ + 7*r,

a₁ + a₁ + 1*r + a₁ + 2*r + a₁ + 3*r + a₁ + 4*r + a₁ + 5*r + a₁ + 6*r + a₁ + 7*r = 204

8a₁ + 28*r = 204 8a₁ + 28 * 5 = 204

8a₁ + 140 = 204 // - 140 8a₁ = 204 - 140

8a₁ = 64 //:8 a₁ = 8

Aby policzyć aₖ = 93 skorzystam, ze wzoru aₙ = a₁ + (n-1)∙r i n które wyjdzie będzie naszym k

93 = 8 + (n-1)*5 93 = 8 + 5n - 5 93 = 3 + 5n // -3 93 - 3 = 5n

90 = 5n // :5 18 = n

Zad 16.

Aby liczba była podzielna przez 3 i przez 5 musi być podzielna przez 15.

Pierwsza liczba z przedziału podzielna przez 15 to: 510 a ostatnia to:

1080

(5)

Aby obliczyć sumę muszę znać ilość wyrazów -n w celu użycia następującego wzoru na sumę: Sₙ = (a₁ + aₙ)∙n/2

Ilość wyrazów zostanie policzona ze wzoru na n-ty wyraz czyli: aₙ = a₁ + (n-1)∙r

1080 = 510 + (n-1)*15 1080 = 510 + 15n - 15 1080 = 495 + 15n // -495 1080 - 495 = 15n

585 = 15n //:15 n = 39

Sₙ = (510 + 1080)*39:2 Sₙ = 31005

Zad 17.

Dane: a₁ = 13, a₄ = 21 Szukane: x*y

Ponieważ są to kolejne wyrazy ciągu geometrycznego można zapisać, że: x

=13*q, 21 = y*q, wyznaczę q z tych zależności:

x 21 q = ---, q= --- 13 y Przyrównując q do siebie uzyskamy:

x 21 --- = --- 13 y

Mnożąc po skosie wyrażenia uzyskamy x*y=13*21 x*y=273

Zad 18.

Dane a₁*a₂*a₃ = 125 Szukane: a₂ = ?

Aby to policzyć należy skorzystać z zależności 3 kolejnych wyrazów czyli:

aₙ² = aₙ₋₁∙aₙ₊₁ a₂² = a₁*a₃

Mamy iloczyn a₁*a₂*a₃ = 125

Mogę zmienić kolejność wyrazów i zapisać a₁*a₃*a₂ = 125 W miejsce a₁*a₃ wstawię a₂²

Uzyskam a₂²*a₂ = 125 a₂³ = 125

a₂ = 5 Zad 19.

Dane: a₅ + a₆ + a₇ + a₈ + a₉ = 75 Szukane: a₇ = ?

Uzależniam każdy wyraz od pierwszego wyrazu ciągu stąd:

a₅ = a₁ + 4r, a₆ = a₁ + 5r, a₇ = a₁ + 6r, a₈ = a₁ + 7r, a₉ = a₁ + 8r Uzyskuję równanie: a₁ + 4r + a₁ + 5r + a₁ + 6r + a₁ + 7r + a₁ + 8r = 75 5a₁ + 30r = 75 //:5

a₁ + 6r = 15

Szukany był wyraz a₇, a wyraz ten jest równy a₇ = a₁ + 6r, stąd a₇ = 15 Zad 20.

Dane (a,b,c) - ciąg arytmetyczny, a+b+c = 42, (a,b,c + 25) - ciąg geometryczny

Szukane: a = ?, b = ?, c = ?

(6)

Skorzystam z zależności 3 kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁):2

b =(a+c):2 stąd 2b = a + c zależność tą wykorzystam przy sumie 3 kolejnych wyrazów

a + b + c = 42 --> a + c + b = 42 (zamieniam kolejność aby w miejsce a + c podstawić 2b

2b + b = 42 ---> 3b = 42 //:3 b = 14

Aby policzyć b i c potrzebuję stworzyć układ dwóch równań który wygląda następująco:

a + 10 + c = 42

14² = a*(c + 25) <-- zależność z trzech kolejnych wyrazów ciągu geometrycznego czyli: aₙ² = aₙ₋₁∙aₙ₊₁

a + c = 28 stąd c = 28 - a, wstawiam do drugiego równania i mam równanie z jedną niewiadomą

14² = a*(28 - a + 25) 196 = a*(53 - a)

196 = 53a - a² // - 196 -a² + 53a - 196 = 0

∆ = 53² - 4*(-1)*(-196)

∆ = 2809 - 784

∆ = 2025

Pierwiastek z ∆ = 45

a₁ = (-53 - 45):(-2), a₂ = (-53 + 45):(-2) a₁ = 49, a₂ = 4

Obliczam c zależności: c = 28 - a c₁ = 28 - 49, c₂ = 28 - 4

c₁ = -21, c₂ = 24

Mamy potencjalne rozwiązania (49,14,-21) oraz (4,14,24)

Należy sprawdzić czy te rozwiązania są zgodne z założeniami zadania więc biorę pod uwagę pierwszy potencjalny nawias(49,14,-21)

14 = (49 + -21):2 oraz 14² = 49*(-21 + 25) 14 = 28:2 oraz 196 = 49*4

14 = 14 oraz 196 = 196 stąd pierwszy nawias spełnia wymogi Sprawdzanie drugiego nawiasu czy spełnia wymogi:

14 = (4 + 24):2 oraz 14² = 4*(24 + 25) 14 = 28:2 oraz 196 = 4*49

14 = 14 oraz 196 = 196 stąd drugi nawias spełnia wymogi

Dwa nawiasy (49,14,-21) oraz (4,14,24) są prawidłowymi odpowiedziami

Zad 21.

Dane: a₅ = -6, a₁₄ = 66 Szukane: a₁ = ?, r = ?

Można zapisać, że a₁₄ = a₅ + 9r 66 = -6 + 9r // + 6

66 + 6 = 9r 72 = 9r //:9 r = 8

Aby policzyć a₁ mogę zapisać, że a₅ = a₁ + 4r -6 = a₁ + 4*8

-6 = a₁ + 32 // - 32 -38 = a₁

Zad 22.

Dane a₁= 31, aₙ = 408, Sₙ = 2195 Szukane n = ?

(7)

Aby policzyć ile wyrazów należy wstawić wystarczy zastosować wzór: Sₙ = (a₁ + aₙ)∙n/2

2195 = (31 + 408)*n:2 //*2 4390 = 439*n // :439

n = 10

Ponieważ dwa razy już są w takim razie należy wstawić o 2 wyrazy mniej czyli 8 wyrazów

Zad 23

Pierwsza liczba z przedziału podzielna przez 1 to: 60 a ostatnia to: 137 Aby obliczyć sumę muszę znać ilość wyrazów -n w celu użycia następującego wzoru na sumę: Sₙ = (a₁ + aₙ)∙n/2

137 = 60 + (n-1)*1 137 = 60 + 1n - 1 137 = 59 + 1n // -59 137 - 59 = 1n

78 = 1n //:1 n = 78

Sₙ = (60 + 137)*78:2 Sₙ = 7683

Zad 24

Dane a₁ = 37, należy wstawić 7 liczb stąd nasz ostatni wyraz podany w treści jest 9 stąd a₉ = 53

Szukane: r = ?

Aby policzyć r skorzystam ze wzoru na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego czyli: aₙ = a₁ + (n-1)∙r

53 = 37 + 8*r //-37 53 - 37 = 8*r

16 = 8*r //:8 r= 2

Mając różnicę wyliczam każdy kolejny wyraz dodając różnicę do poprzedniego począwszy od pierwszego wyrazu stąd uzyskam wyniki:

39, 41, 43, 45, 47, 49, 51, Zad 25

Aby policzyć sumę podzielną przez 2 lub przez 5 należy znaleźć:

Sumę podzielna przez 2, sumę liczb podzielnych przez 5 i musimy wykluczyć liczby podzielne przez 10

ponieważ liczby podzielne przez 10 zawierają w pewnym stopniu sumę liczb 2 i liczb 5

stąd naszym prawidłowym wynikiem będzie S₂ + S₅ - S₁₀ Obliczam sumę liczb podzielnych przez 2

598 = 124 + (n-1)*2 598 = 124 + 2n - 2 598 = 122 + 2n // -122 598 - 122 = 2n

476 = 2n //:2 n = 238

Sₙ = (124 + 598)*238:2 Sₙ = 85918

(8)

Obliczam sumę liczb podzielnych przez 5

595 = 125 + (n-1)*5 595 = 125 + 5n - 5 595 = 120 + 5n // -120 595 - 120 = 5n

475 = 5n //:5 n = 95

Sₙ = (125 + 595)*95:2 Sₙ = 34200

Obliczam sumę liczb podzielnych przez 10

Pierwsza liczba z przedziału podzielna przez 10 to: 130 a ostatnia to:

590

590 = 130 + (n-1)*10 590 = 130 + 10n - 10 590 = 120 + 10n // -120 590 - 120 = 10n

470 = 10n //:10 n = 47

Sₙ = (130 + 590)*47:2 Sₙ = 16920

Prawidłowy wynik to: 85918 + 34200 - 16920 = 103198 Zad 26.

Dane: Sₙ = 5n² + 3n

Aby wyznaczyć ogólny wyraz skorzystam ze wzoru Sₙ - Sₙ₋₁ = aₙ

Zależność tą można wyjaśnić w następujący sposób, zapiszmy sobie sumę 7 wyrazów

S₇ = a₁ + a₂ + a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇

Sumę tą można zapisać również następująco S₇ = S₆ + a₇ gdzie sumę sześciu wyrazów zastąpiłem S₆

Przekształcając ten przykładowy zapis uzyskuje S₇ - S₆ = a₇

Za indeks 7 podstawiam n więc za indeks 6 muszę postawić cyfrę o jeden mniejszy niż 7 więc będzie to n-1

Stąd powstała następująca zależność: Sₙ - Sₙ₋₁ = aₙ

W miejsce n we wzorze na sumę ogólną stawiam n-1 aby wyznaczyć Sₙ₋₁ Sₙ₋₁ = 5*(n-1)² + 3*(n-1)

Sₙ₋₁ = 5*(n²-2n+1) + 3n - 3 Sₙ₋₁ = 5n² - 10n + 5 + 3n - 3 Sₙ₋₁ = 5n² - 7n + 2

Podstawiając do Sₙ - Sₙ₋₁ = aₙ uzyskuje następujące wartości:

5n² + 3n - (5n² - 7n + 2) = aₙ 5n² + 3n - 5n² + 7n - 2 = aₙ 10n - 2 = aₙ

Zad 27.

Dane: a₅ - a₃ = 1080 i a₃ + a₄ = 270 Szukane a₁ = ? q = ?

(9)

W takich zadaniach na początku mamy w pewnym stopniu 3 niewiadome bo a₅,a₃,a₄ i mamy dwa równania więc musimy w jakiś sposób mieć dwie niewiadome

Musimy każdy wyraz uzależnić od pierwszego wyrazu więc:

a₅ = a₁*q⁴, a₃ = a₁*q², a₄ = a₁*q³ Otrzymujemy dwa równania:

a₁*q⁴ - a₁*q² = 1080 a₁*q² + a₁*q³ = 270

Aby rozwiązać ten układ równań podzielę dwa równania przez siebie i otrzymam:

a₁*q⁴ - a₁*q² 1080 --- = --- a₁*q² + a₁*q³ 270

Z obydwóch równań mogę wyciągnąć a₁*q² a₁*q²*(q² - 1)

--- = 4 a₁*q²*(1+q)

Po skróceniu a₁*q² otrzymuje układ z jedną niewiadomą:

q² - 1 --- = 4 1+q

Przerzucam 1+q na prawą stronę i otrzymuje równanie:

q² - 1 = 4*(1+q) q² - 1 = 4 + 4q q² - 1 - 4 - 4q = 0 q² - 4q - 5 = 0

∆ = (-4)² - 4*1*(-5) = 16 + 20 = 36

√∆ = 6

q₁ = (4 - 6):2 = -2:2 = -1 q₂ = (4 + 6):2 = 10:2 = 5

Odpowiedz q₁ = -1 odrzucam. Uzasadnię to na przykładzie:

Przyjmijmy, że a₁ = 5, to a₂ = -5, a₃ = 5, a₄ = -5, a₅ = 5 więc suma wyrazów a₃ + a₄ byłaby równa 0

bo zawsze będziemy dodawać liczby przeciwne stąd q nie może być równe -1 Dla q = 5 mamy a₁*5⁴ - a₁*5² = 1080

625a₁ - 25a₁ = 1080 600a₁ = 1080 //:600 a₁ = 1 i 4/5

Zad 28.

Dane: a₁ + a₂ + a₃ = 105, a₁*a₂*a₃ = 8000 Szukane: a₁ =? a₂ = ? a₃ = ?

Mamy 3 kolejne wyrazy ciągu geometrycznego więc skorzystam z zależności:

aₙ² = aₙ₋₁∙aₙ₊₁ a₂² = a₁*a₃

Zapis a₁*a₂*a₃ = 8000 mogę zapisać jako a₁*a₃*a₂ = 8000 gdzie podstawię zależność wyliczoną wyżej

a₂²*a₂ = 8000 --> a₂³ = 8000 a₂ = 20

Tworzę następujący układ dwóch równań:

a₁ + 20 + a₃ = 105 // - 20 a₁*20*a₃ = 8000 // : 20

a₁ + a₃ = 85 ---> a₁ = 85 - a₃ a₁*a₃ = 400

(85 - a₃)*a₃ = 400

(10)

85a₃ - a₃² = 400 -a₃² + 85a₃ - 400 = 0

∆ = 85² - 4*(-1)*(-400) = 7225 - 1600 = 5625

√∆ = 75

a₃₁ = (-85 - 75):(-2) = 80 a₃₂ = (-85 + 75):(-2) = 5

Z zależności: a₁ = 85 - a₃, wyznaczam ile wynosi a₁ a₁₁ = 85 - 80 = 5

a₁₂ = 85 - 5 = 80

Uzyskujemy dwa warianty odpowiedzi które spełniają założenia tego zadania:

(5,20,80) oraz (80,20,5) Zad 29

Dane a₁ = 1, a₂ = -3, a₃ = 9, aₙ = -2187 Szukane Sₙ = ?

Można zauważyć, że jest to ciąg geometryczny o ilorazie: -3

Aby obliczyć sumę musimy znaleźć ilość wyrazów ze wzoru: aₙ = a₁ ∙ qⁿ⁻¹ -2187 = 1*(-3)ⁿ⁻¹

(-3)⁷ = (-3)ⁿ⁻¹

Aby te liczby były sobie równe muszą być równe ich potęgi więć można zapisać, że:

7 = n - 1 stąd n = 8

Aby obliczyć sumę skorzystam ze wzoru: Sₙ = a₁∙ (1-qⁿ)/(1-q) S₈ = 1*((1 - (-3)⁸) / (1 - (-3)) = (1 - 6561) / (1 + 3) = -1640 Zad 30.

Dane (x,y,z) - ciąg arytmetyczny, x + y + z = 12, (x -6,y -2,z + 2) - ciąg geometryczny

Korzystając z zależności 3 kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego: aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁):2 obliczę ile wynosi y

y = (x+z):2 --> 2y = x + z

Mamy sumę x + y + z = 12 w której mogę zamienić kolejność czyli x + z + y

= 12

Podstawiając 2y = x + z uzyskuje --> 2y + y = 12 3y = 12 --> y = 4

Aby policzyć ile wynosi x oraz z należy stworzyć układ dwóch równań:

x + 4 + z = 12 --> x + z = 8 (4 - 2)² = (x -6)*(z + 2)

Z pierwszego równania wyznaczę x względem z stąd x = 8 - z

Podstawię tą zależność do drugiego równania i otrzymam jedno równanie z jedną niewiadomą:

4 = (8 - z - 6)*(z + 2) 4 = (2 - z)*(z + 2) 4 = 2z + 4 - z² - 2z -z² - 0z - 0 = 0

∆ = (0)² - 4*(-1)*(0)

∆ = 0, √∆ = 0 z₀ = 0:(-2) = 0 x = 8 + 0 = 8

Poprawna odpowiedź to: (8,4,0) Zad 31

Dane aₙ = (n - 3)(n +3)

Szukane: Ile wyrazów ujemnych?

Aby to policzyć trzeba narysować parabolę więc na początku policzę miejsca zerowe

n - 3 = 0 oraz n + 3 = 0

(11)

n = 3 v n = -3

Parabola zwrócona jest ramionami do góry ponieważ gdybyśmy przemnażali nawias to byśmy mieli n*n = n²

a współczynnik przy n² jest dodatni

Parabola przyjmuje wartości ujemne poniżej osi - między miejscami zerowymi.

Ponieważ są to ciągi mogę brać tylko liczby naturalne stąd prawidłowa odpowiedź to 2 wyrazy

Zad 32

Dane aₙ = 6n - n²

Szukane: największa wartość dla n - wyrazu

Funkcja kwadratowa zawsze przyjmuje największa wartość lub najmniejsza w zależności od ułożenia ramion paraboli

Jeśli współczynnik a > 0 to funkcja kwadratowa ma ramiona zwrócone do góry i wtedy mamy najmniejszą wartość

Jeśli współczynnik a < 0 to funkcja kwadratowa ma ramiona zwrócone do dołu i wtedy mamy największa wartość

Aby policzyć największa lub najmniejszą wartość wystarczy policzyć współrzędne wierzchołka (p,q)

W naszym zadaniu trzeba kolejność wyrazów aby na początku była liczba związana z najwyższą potęgą

aₙ = -n² + 6n

Współczynnik a jest ujemny wiec zadanie jest zgodne i możemy przejść do obliczeń największej wartości

p = (-2b)/2a --> p = -6/(2*1) p = 3

Wartość q policzę podstawiając p do postaci kwadratowej --> q = -(3)² + 6*3

q = 9

Największa wartość wynosi 9 dla a₃ Zad 33

Pierwsza liczba z przedziału podzielna przez 7 to: 63 a ostatnia to: 812 Ilość wyrazów zostanie policzona ze wzoru na n-ty wyraz czyli: aₙ = a₁ + (n-1)∙r

812 = 63 + (n-1)*7 812 = 63 + 7n - 7 812 = 56 + 7n // -56 812 - 56 = 7n

756 = 7n //:7 n = 108

Zad 35

Pierwsza liczba z przedziału która przy dzieleniu przez 7 daje resztę 1 to 99 a ostatnia to: 687

687 = 99 + (n-1)*7 687 = 99 + 7n - 7 687 = 92 + 7n // -92 687 - 92 = 7n

595 = 7n //:7 n = 85

Sₙ = (99 + 687)*85:2 Sₙ = 33405

(12)

Zad 36

Dane: x,y,16, x + y = 12 Szukane: x,y = ?

Aby to policzyć ułożę układ dwóch równań:

{y² = 16∙x --> z zależności na 3 kolejne wyrazy ciągu geometrycznego {x + y = 12 stąd x = 12 - y

Tworzę jedno równanie:

y² = 16∙(12 - y) y² = 192 - 16y

Przerzucam wszystko na jedną stronę aby policzyć ∆ y² + 16y - 192 = 0

Aby rozwiązać to równanie kwadratowe musze policzyć deltę ze wzoru:

Δ = b² - 4ac

A następnie obliczyć jej miejsca zerowe z następujących wzorów:

-b - √Δ -b + √Δ

y₁ = ---; y₂ = --- 2a 2a

Δ = 16² -4∙1∙(-192) Δ = 256 + 768

Δ = 1024

√Δ = √1024 --> √Δ = 32

-16 - 32 -16 + 32 y₁ = --- y₂ = --- 2*1 2*1

y₁ = -48:2 y₂ = 16:2 y₁ = -24, y₂ = 8

Obliczam x₁ z zależności x + y = 12 x₁ - 24 = 12 // + 24

x₁ = 12 + 24 x₁ = 36

Obliczam x₂ analogicznie jak x₁ x₂ + 8 = 12 // - 8

x₂ = 12 - 8 x₂ = 4

Otrzymano dwa poprawne rozwiązania:

{x = 36 v {x = 4 {y = -24 {y = 8 Zad 37

Dane: (3; x; 9); (x;12;y;z) Szukane: x,y,z = ?

W ciągu arytmetycznym mamy 3 kolejne wyrazy więc mogę skorzystać z zależności, że:

3 + 9 12

x = --- = --- = 6 2 2

Gdy mamy 3 kolejne wyrazy w ciągu arytmetycznym to środkowy wyraz równa się średniej arytmetycznej dwóch sąsiadujących wyrazów

Nasz ciąg geometryczny wygląda następująco: (6;12;y;z)

Mamy kolejne wyrazy więc mogę policzyć ile wynosi iloraz q tego ciągu geometrycznego

12 = 6∙q // :6 12:6 = q

2 = q

(13)

Liczbę y możemy obliczyć następująco: 12∙2 = y y = 24

Liczbę z możemy obliczyć następująco: 24∙2 = z z = 48

Odpowiedz: x = 6; y = 24, z = 48 Zad 38

Dane: Pierwsza rata: 845, całkowity koszt: 28125, różnica w ratach = -10 Szukane: Wysokość ostatniej raty i liczbę wszystkich rat

Aby obliczyć ilość wszystkich rat skorzystam ze wzoru na Sumę:

2a₁ + (n - 1)∙r Sₙ = ---∙n 2

Z tego wzoru mamy następujące dane a₁ = 845, r = -10, Sₙ = 28125 więc nie ma tylko niewiadomej n którą policzymy

2∙845 + (n - 1)∙(-10)

28125 = ---∙n //∙2 2

28125∙2 = (1690 - 10n + 10)∙n 56250 = (1700 - 10n)∙n

56250 = 1700n -10n² 10n² - 1700n + 56250 = 0

Aby rozwiązać to równanie kwadratowe musze policzyć deltę ze wzoru:

Δ = b² - 4ac

A następnie obliczyć jej miejsca zerowe z następujących wzorów:

-b - √Δ -b + √Δ

n₁ = ---; n₂ = --- 2a 2a

Δ = (-1700)² -4∙10∙56250 Δ = 2890000 - 2250000 Δ = 640000

√Δ = √640000 --> √Δ = 800

1700 - 800 1700 + 800 n₁ = --- n₂ = ---

2*10 2*10

n₁ = 900:20 n₂ = 2500:20 n₁ = 45, n₂ = 125

Ponieważ ilość rat ma być mniejsza od 84 to wybieram n = 45

Do policzenia została mi wysokość ostatniej raty którą policzę ze wzoru:

aₙ = a₁ + (n-1)∙r

a₄₅ = 845 + (45 - 1)∙(-10) a₄₅ = 845 + 44∙(-10)

a₄₅ = 845 - 440 a₄₅ = 405

Odpowiedź: Ilość rat wyniosła 45 a ostatnia rata wynosiła 405 Zad 39

Dane: Środkowy wyraz a₄ = 8

Szukane: Udowodnić, że suma 7 wyrazów tego ciągu jest równa 56 Możemy napisać, że wzór na sumę wyraża się następująco:

2a₁ + (n - 1)∙r Sₙ = ---∙n 2

2a₁ + (7 - 1)∙r 2a₁ + 6r 2(a₁ + 3r)

S₇ = ---∙7 = ---∙7 = ---∙7 = (a₁ + 3r)∙7

(14)

2 2 2 Po uproszczeniu S₇ = (a₁ + 3r)∙7

Musimy zastanowić się skąd wziąć wartość a₁ + 3r

Czwarty wyraz a₄ możemy zapisać ze wzoru ogólnego aₙ = a₁ + (n-1)∙r następująco:

a₄ = a₁ + (4 - 1)∙r

a₄ = a₁ + 3r stąd a₁ + 3r = 8

Podstawiając wartość do sumy S₇ otrzymamy:

S₇ = 8∙7 = 56 co należało udowodnić Zad 40

Dane: a₆ = 16 - wyraz ciągu arytmetycznego, a₃;a₈;a₁₈ - wyrazy ciągu geometrycznego

Szukane: Wzór na n-ty wyraz ciągu aₙ

Z ciągu arytmetycznego i z zależności na n-ty wyraz aₙ = a₁ + (n-1)∙r otrzymuje kolejne zależności:

a₆ = a₁ + 5r = 16 a₃ = a₁ + 2r a₈ = a₁ + 7r a₁₈ = a₁ + 17r

Mamy 3 kolejne wyrazy ciągu geometryczne więc mogę skorzystać z zależności aₙ² = aₙ₋₁∙aₙ₊₁

Uwzględniając powyższe zapisy i zależność na 3 kolejne wyrazy tworzę układ dwóch równań:

{(a₁ + 7r)² = (a₁ + 2r)(a₁ + 17r) {a₁ + 5r = 16 --> a₁ = 16 - 5r

Podstawiam wyrażenie a₁ = 16 - 5r do I równania aby mieć układ z jedną niewiadomą

2

(16 - 5r + 7r)² = (16 - 5r + 2r)(16 - 5r + 17r) (16 + 2r)² = (16 - 3r)(16 + 12r)

256 + 64r + 4r² = 256 + 192r - 48r - 36r² -80

-80r + 40r² = 0 // :40 -2r + r² = 0

r(r - 2) = 0

Stąd r = 0 v r = 2

Dla r = 0 uzyskuje ciąg arytmetyczny stały o wzorze aₙ = 16 Dla r = 2 uzyskuje:

Z zależności a₁ + 5r = 16 obliczę wyraz a₁ a₁ + 5∙2 = 16

a₁ + 10 = 16 // - 10 a₁ = 16 - 10

a₁ = 6

Tworzę wzór ogólny:

aₙ = a₁ + (n - 1)∙r aₙ = 6 + (n - 1)∙2 aₙ = 6 + 2n - 2 aₙ = 2n + 4

Odpowiedz: Dla r = 0 aₙ = 16, a dla r = 2 aₙ = 2n + 4 Zad 41

Dane: a₁ = 9; aₙ = 212, Sₙ = 3315, jest to ciąg arytmetyczny Szukane: ilość wyrazów n = ?

(15)

Aby to policzyć należy skorzystać z następującego wzoru na sumę wyrazów w ciągu arytmetycznym

a₁ + aₙ Sₙ = ---∙n 2 9 + 212

3315 = ---∙n //∙2 2

3315∙2 = 221n

6630 = 221n // :221 6630:221 = n

30 = n

Odpowiedz: Liczba wyrazów tego ciągu wynosi 30

Zad 42

Dane: a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 1650 i a₅ + a₆ + a₇ + ... + a₁₂ = 1716 Szukane: a₁ = ?, r = ? oraz najmniejszy dodatni wyraz ciągu Wykorzystam tutaj wzór na Sₙ:

a₁ + aₙ Sₙ = ---∙n 2

Dla równania a₁ + a₂ + a₃ + a₄ = 1650 otrzymam następującą sumę:

a₁ + a₄ S₄ = ---∙4 2

Uzależniam a₄ od wyrazu a₁ i otrzymuje zależność a₄ = a₁ + 3r Zależność ta wyszła ze wzoru aₙ = a₁ + (n-1)∙r

Po podstawieniu do wzoru na Sumę oraz skróceniu liczby 2 z 4 otrzymuje następującą sumę:

S₄ = (a₁ + a₁ + 3r)∙2

Z założenia wiemy, że S₄ = 1650 dlatego utworzę następujące równanie:

(2a₁ + 3r)∙2 = 1650

Podobnie postępuje z drugą zależnością a₅ + a₆ + a₇ + ... + a₁₂ = 1716 aby utworzyć układ dwóch równań

a₅ + a₁₂ S₈ = ---∙8 2

Ilość wyrazów od 5 do 12 wynosi 8 a nie 7, najczęściej dużo uczniów popełnia tutaj błędy

Uzależniam a₁₂ od a₁ i tak samo a₅ a₁₂ = a₁ + 11r

a₅ = a₁ + 4r

S₈ = (a₁ + 4r + a₁ + 11r)∙4

Suma S₈ = 1716 stąd otrzymuje równanie:

(2a₁ + 54r)∙4 = 1716

Tworzę układ dwóch równań aby policzyć a₁ oraz r {(2a₁ + 3r)∙2 = 1650 //:2

{(2a₁ + 15r)∙4 = 1716 //:4 {2a₁ + 3r = 825

-{2a₁ + 15r = 429 odejmuje stronami aby zredukowało mi się a₁ ---

-12r = 396 //:(-12) r = -33

Obliczam a₁ z I równania układu równań:

2a₁ + 3r = 825

(16)

2a₁ + 3∙(-33) = 825 2a₁ - 99 = 825 // + 99 2a₁ = 924 // :2

a₁ = 924:2 a₁ = 462

Jeszcze musimy znaleźć ostatni wyraz w tym ciągu który jest dodatni, w tym celu utworzę najpierw wzór ogólny tego ciągu

aₙ = a₁ + (n-1)∙r = 462 + (n - 1)∙(-33) = 462 - 33n + 33 = -33n + 495 aₙ = -33n + 495 - wzór na n-ty wyraz ciągu

Mamy znaleźć ostatni wyraz dodatni więc n-ty wyraz tego ciągu musi być większy od 0 dlatego otrzymamy taką nierówność

-33n + 495 > 0 // - 495 -33n > -495 // :(-33)

Pamiętaj! Dzielę obustronnie przez liczbę ujemną więc zmieniam znak nierówności (tak samo by było gdybym mnożył!

n < -495:(-33) n < 15.0

Ostatnia liczba naturalna która spełnią tą nierówność to 15

Liczba a₁₅ to ostatnia liczba dodatnia dla której obliczę wartość a₁₅ = 462 + 14∙(-33) = 462 - 462 = 0

Odp: a₁ = 462, r = -33, ostatni dodatni wyraz a₁₅ = 0 Zad 43

Dane: aₙ = 2024 - 6n

Szukane: Suma wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu Aby to obliczyć muszę znać:

1. Pierwszy wyraz dodatni 2. Ostatni wyraz dodatni

3. Ilość wszystkich wyrazów dodatnich

Te 3 punkty muszę wiedzieć aby użyć wzoru:

a₁ + aₙ Sₙ = ---∙n 2

Obliczam pierwszy wyraz podstawiając do wzoru za n = 1 do wzoru aₙ = 2024 - 6n

a₁ = 2024 - 6∙1 = 2018

Ostatni wyraz musi być dodatni więc musi być spełniona nierówność:

2024 - 6n > 0 // - 2024 -6n > -2024 // :(-6)

Pamiętaj! Dzielę obustronnie nierówność przez liczbę ujemną więc muszę zmienić znak nierówności!

n < -2024:(-6) n < 337.333

Największa liczba naturalna która spełnia tą nierówność n < 337.333 jest 337

Muszę obliczyć wartość a₃₃₇

a₃₃₇ = 2024 - 6∙337 = 2024 - 2022 = 2

Mamy następujące dane a₁ = 2018, a₃₃₇ = 2, ilość wyrazów n = 337 Obliczona suma wygląda następująco:

2018 + 2 2020∙337

S₃₃₇ = ---∙337 = --- = 680740:2 = 340370 2 2

Suma wszystkich wyrazów dodatnich wynosi 340370 Zad 44

(17)

Dane: Suma wyrazów o numerach parzystych = 800, o numerach nieparzystych

= 880

Szukane: Wyznaczenie ostatniego wyrazu tego ciągu arytmetycznego W tym celu musimy policzyć wyraz a₁ oraz różnicę tego ciągu

Analizując wyrazy o numerach parzystych możemy zapisać:

a₂ + a₄ + a₆ +... + a₄₀ = 800

Mamy tutaj sumę wyrazów więc użyje następującego wzoru na sumę:

a₁ + aₙ Sₙ = ---∙n 2

U nas pierwszy wyraz w wyrazach parzystych to a₂ a ostatni to a₄₀, ilość wyrazów wynosi 20

Możemy zapisać, że:

a₂ + a₄₀ S₂₀ = ---∙20 2

S₂₀ = (a₂+ a₄₀)∙10

Wiemy, że suma wszystkich wyrazów parzystych jest równa 800 stąd zapisuje następujące równanie:

(a₂ + a₄₀)∙10 = 800 //:10 a₂ + a₄₀ = 80

Z wyrazami nieparzystymi robię podobnie czyli:

a₁ + a₃ + a₅+ ... + a₃₉ = 880

Zapisuje podobnie jak z wyrazami parzystymi jako sumę a₁ + a₃₉

S₂₀ = ---∙20 2

S₂₀ = (a₁ + a₃₉)∙10

Wiemy, że suma wszystkich wyrazów nieparzystych jest równa 880 stąd zapisuje następujące równanie:

(a₁ + a₃₉)∙10 = 880 //:10 a₁ + a₃₉ = 88

Mamy dwa następujące równania:

{a₂ + a₄₀ = 80 {a₁ + a₃₉ = 88

Mamy 4 niewiadome -> w takiej sytuacji w każdym zadaniu z ciągów zawsze każdy wyraz uzależniamy od pierwszego wyrazu i od ilości różnic

Wykorzystuje wzór aₙ = a₁ + (n-1)∙r a₂ = a₁ + r

a₄₀ = a₁ + 39r a₃₉ = a₁ + 38r

Podstawiam do równania te zależności i otrzymuje:

{a₁ + r + a₁ + 39r = 80 {a₁ + a₁ + 38r = 88 {2a₁ + 40r = 80

-{2a₁ + 38r = 88 odejmuje równania stronami aby zredukowało mi się a₁ ---

2r = -8 // :2 r = -4

Obliczam a₁ wykorzystując I równanie 2a₁ + 40r = 80

2a₁ + 40∙(-4) = 80 2a₁ - 160 = 80 // + 160 2a₁ = 80 + 160

2a₁ = 240 // :2

(18)

a₁ = 120

Obliczam a₄₀ wykorzystując wzór na n-ty wyraz aₙ = a₁ + (n-1)∙r a₄₀ = a₁ + 39r = 120 + 39∙(-4) = 120 - 156 = -36

Zad 45.

Dane: a₉ = 26; S₈ = 64 Szukane: a₁ = ?, r = ?

Możemy skorzystać ze wzoru na sumę i na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego:

2a₁ + (n - 1)∙r Sₙ = ---∙n 2

2a₁ + (8 - 1)∙r

S₈ = --- ∙8 = (2a₁ + 7r)∙4 2

Ze wzoru na n-ty wyraz otrzymuję:

a₉ = a₁ + (9 - 1)∙r = a₁ + 8r

Wiemy, że S₈ = 64 stąd tworze układ dwóch równań:

{(2a₁ + 7r)∙4 = 64 //:4 {a₁ + 8r = 26

{2a₁ + 7r = 16

{a₁ + 8r = 26 //∙(-2)

Drugie równanie przemnażam przez -2 aby uzyskać przeciwne wyrażenia przy a₁

{2a₁ + 7r = 16

+{-2a₁ - 16r = -52 dodaje stronami aby zredukowały się wyrażenia a₁ ---

-9r = -36 // :(-9) r = -36:(-9)

r = 4

Aby obliczyć a₁ skorzystam z I równania układu równań:

2a₁ + 7r = 16 2a₁ + 7∙4 = 16

2a₁ + 28 = 16 // -28 2a₁ = 16 - 28

2a₁ = -12 // :2 a₁ = -12:2 a₁ = -6

Odp. Różnica tego ciągu wynosi 4, a pierwszy wyraz a₁ = -6 Zad 46

Dane: S₁ = 6, S₂ = 18

Szukane: iloraz q = ? a₅ = ?

S₁ sugeruje, że jest to suma jednego wyrazu czyli tak naprawdę:

S₁ = a₁

a₁ = 6 w takim razie suma S₂ można zapisać następująco:

S₂ = a₁ + a₂

18 = 6 + a₂ // - 6 18 - 6 = a₂

12 = a₂, wyraz a₂ mogę zapisać jako:

a₂ = a₁∙q = 6∙q 12 = 6∙q // :6 12:6 = q

2 = q

(19)

a₅ = a₁∙q⁴ = 6∙2⁴ = 6∙16 = 96

Odp. Iloraz q wynosi 2 a piąty wyraz wynosi 96

Zad 47

Dane: a₁₂ = 62, S₁₂ = 348 Szukane: a₁ = ?

Należy skorzystać ze wzoru na sumę:

a₁ + aₙ Sₙ = ---∙n 2

a₁ + 62 348 = ---∙12 2

348 = (a₁ + 62)∙6 // :6 348:6 = a₁ + 62

58 = a₁ + 62 // - 62 58 - 62 = a₁

-4 = a₁

Odp. Pierwszy wyraz jest równy -4

Zad 3 Dane a₉ = -56, r = -9 Szukane: a₆ a₉ = a₆ + 3*r -56 = a₆ + 3*(-9) -56 = a₆ - 27 // = a₆ -29 = a₆

Zad 3 Dane a₉ = -56, r = -9 Szukane: a₆ a₉ = a₆ + 3r -56 = a₆ + 3(-9) -56 = a₆ - 27 // = a₆ -29 = a₆