Prosz¦ uzasadni¢, »e (a

‚wiczenia nr 1

Kognitywistyka: Wst¦p do matematyki Dowody indukcyjne, 8.10.2018 Zadanie 1. Prosz¦ uzasadni¢, »e

(a) 1 · 2 + 2 · 3 + . . . + n(n + 1) = ¹₃n(n + 1)(n + 2), (b) _1·5¹ +_5·9¹ +_9·13¹ + . . . + (4n−3)(4n+1)¹ = _4n+1ⁿ .

(c) Pⁿi=1i³= (Pn i=1i)²,

(d) Pⁿi=0aⁱ=^an+1_a−1⁻¹, dla a 6= 1,

(e) 1 −₂¹2
· 1 −₃¹2
· . . . · 1 −_n¹2
= ⁿ⁺¹_2n , (f) 2ⁿ­ n²dla n 6= 3,

(g) 3ⁿ­ n³dla n ­ 4.

Zadanie 2. Ci¡g liczb F1, F2, . . .tworzymy wedªug nast¦puj¡cego przepisu:

F1:= 1, F2:= 1, Fn= Fn−1+ Fn−2,

dla n = 3, 4, . . .. Prosz¦ uzasadni¢, »e dla dowolnej liczby naturalnej n zachodzi zwi¡zek Fn+2Fn− F_n+1² = (−1)ⁿ⁺¹.

Zadanie 3. Prosz¦ uzasadni¢, »e

(a) Dowolna liczba postaci 10ⁿ− 4 dzieli si¦ przez 6.

(b) 14 dzieli dowoln¡ liczb¦ postaci 8ⁿ+ 6.

(c) 169 dzieli liczb¦ 3³ⁿ⁺³− 26n − 27dla liczb naturalnych n.

(d) Czy prawd¡ jest, »e dla dowolnych liczb naturalnych a, b, n liczba aⁿ+ bdzieli si¦ przez a + b ? (e) 19 dzieli liczb¦ 2^26k+2+ 3dla k = 0, 1, 2, . . ..

(f) 1000ⁿ+ (−1)ⁿ⁺¹dzieli si¦ przez 13

Twierdzenie. Dla dowolnych nieujemnych liczb a1, a2, . . . , an zachodzi nierówno±¢

a1+ . . . + an

n ­ √ⁿ

a1· a2· . . . · an.

Zadanie 4. Prosz¦ udowodni¢ to twierdzenie w nast¦puj¡cych krokach. Niech Tn(n ­ 2) oznacza powy»sz¡ nierówno±¢.

(a) Sprawdzi¢, »e zdanie T2 jest prawdziwe.

(b) Wykaza¢, »e je±li zdanie Tn jest prawdziwe, to zdanie T2n te».

(c) Wykaza¢, »e je±li zdanie Tn jest prawdziwe, to zdanie Tn−1 te».

(d) Uzasadni¢, »e zdania T7i T77 s¡ prawdziwe.

(e) Doko«czy¢ dowód powy»szego twierdzenia.

Zadanie 5. Deniujemy ci¡g liczb a0= 1, a1= 3, a2= 5oraz an= 3a_n−2+ 2a_n−3dla n ­ 3.

(a) Oblicz an dla n = 3, 4, 5, 6, 7.

(b) Udowodnij, »e an> 2ⁿ dla n ­ 1.

(c) Udowodnij, »e an< 2ⁿ⁺¹dla n ­ 1.

(d) Udowodnij, »e an= 2an−1+ (−1)ⁿ⁻¹dla n ­ 1.

Zadanie 6. Z szachownicy o wymiarach 2ⁿ na 2ⁿ usuni¦to jedno pole, ale nie wiadomo które. Udowodni¢, »e tak

powstaª¡ cz¦±¢ szachownicy mo»na pokry¢ gurami

Zadania domowe (nieobowi¡zkowe) na 15.10.2018

Zadanie 1. Prosz¦ przeprowadzi¢ dowód wynikania zdania Tn−1ze zdania Tn. (Zadanie 4(c)) Zadanie 2. Prosz¦ uzasadni¢ nierówno±¢

1

n + 1+ 1

n + 2+ . . . + 1 2n > 13

24

Prosz¦ wypisa¢ kilka pierwszych wyrazów powy»szej sumy, np. dla n = 1, 2, 3.

2