DIE NATURWISSENSCHAFTEN
Z w ö lfte r J a h rgan g 18. Juli 1924 H eft 29
W as ist Materie?
V o n H . We y l, Z ü rich.
(Fortsetzung.) I I . M a sse, Energie u n d Im p u ls.
D ie B e g riffe M asse, E n erg ie u n d Im p u ls sind fü r d as V e rstä n d n is d er P h y sik , in sbesond ere des P ro b lem s d er M aterie so w ic h tig , d a ß d a rü b e r ein A b s c h n itt e in g e sc h a ltet w erd en m u ß , ehe w ir d er S u b sta n z- die F eld th eo rie u n d die d y n a m isch e A u ffa s s u n g der M aterie gegen ü b erstellen kön nen .
D a s W e sen tlic h e fü r die D e fin itio n d er M a sse is t die A n g a b e eines p h y sik a lisch en K rite riu m s d a fü r, w an n zw ei K ö rp e r die gleich e M asse b e sitze n . D a sselb e la u te t n ach Ga l i l e i: Z w ei K ö rp e r h a b en gleich e M asse, fa lls kein er den a n d eren ü b erren n t, w en n m an sie m it e n tg e g e n g e s e tz t gleich en G esch w in d ig k e iten gegen ein an d er ja g t . (W ir stellen uns e tw a vo r, d a ß b eim Z u sam m en sto ß die b eid en K ö rp e r a n ein a n d er h a fte n b leiben .) A u s G rü n d en d er R a u m s y m m e trie is t k la r, d a ß dieses K r ite riu m fü r zw ei v ö llig gleich besch affen e K ö rp e r z u trifft, d a ß also in sbesond ere z w e i solche K ö rp e r gleich e M asse b esitzen . W ir w äh len einen w illk ü rlic h en K ö rp e r als M assen-
•einheit. A u s einem S a tz v o n E in h eite n , d. h.
la u te r K ö rp e rn v o n der gleich en M asse 1 k a n n m an B lö c k e v o n 1, 2, 3, . . . E in h eite n zu sam m en fü gen . U m die M asse eines K ö rp e rs K zu b e stim m en, der sich m it d er G e sc h w in d ig k e it v b e w e g t, h a t m an die B lö c k e m it g leich großer, a b e r e n t
geg e n g ese tzter G esc h w in d ig k e it gegen K zu jag en . W ir d e tw a d er B lo c k a u s 4 E in h e ite n v o n K ü b e rra n n t, ü b e rren n t a b er an d ererseits der B lo c k a u s 5 E in h eite n den K ö rp e r K , so lie g t die M asse vo n K zw isch en 4 u n d 5. E s is t k la r, w ie m an u n ter V e rw en d u n g d e zim a ler T eilu n g e n a u f diese W eise die M asse b e lie b ig gen au b estim m en k a n n .
D e r B e g riff d es Im p u lses ersch e in t h ier als p rim är g eg en ü b er d em d er M asse. Z w ei sich .gegeneinander b ew egen d e K ö rp e r (die b eid e n a ch
•dem G alileisch en T rä g h e its g e s e tz ein e g le ic h fö rm ig e T ra n s la tio n ausfü hren) h a b en e n tg e g e n g e s e tz t gleich en Im pu ls, w en n beim Z u sa m m e n sto ß k ein er den and eren ü b e rren n t; zw e i K ö rp e r h ab en gleich e M asse, so w ied erh o len w ir unsere o b ige E rk lä ru n g , w en n sie b ei e n tg e g e n g e se tz t gleichen G esch w in d ig k e iten e n tg e g e n g e se tz t gleich e Im p u lse b e sitzen . D iese B e tra c h tu n g e n führen oh n e w eiteres a u f d as allg em ein e Im pulsgesetz.
W ir fassen ein iso liertes, kein en E in w irk u n g e n vo n au ß en u n terlieg en d es K ö rp e rs y s te m vor und nach e in e r R e a k tio n d er T e ile des S y ste m s a u fein an d e r {z. B . v o r u n d n a c h einem Z u sam m en sto ß ) ins
A u g e . V o r d er R e a k tio n w erd en m eh rere K ö rp e r vo rh an d en sein, deren je d e r sich in gerad er L in ie m it gleich fö rm ig er G esc h w in d ig k e it b e w e g t (A n fan gszu stan d ) ; ebenso n a ch d er R e a k tio n , wenn jed e E in w irk u n g der E in ze lk ö rp e r a u fein an d e r w ieder a u fg e h ö rt h a t (E n d zu sta n d ). D ie A n z a h l d er K ö rp e r n ach der R e a k tio n b ra u c h t n ic h t d ie gleich e zu sein w ie v o rh e r; w äh ren d d er R e a k tio n sind th erm isch e u n d ch em isch e U m se tzu n g en kein esw egs au sgesch lossen. D a s Im p u lsg ese tz s a g t n ich ts aus ü b er den V e r la u f d er R e a k tio n im ein zelnen, sondern v e rg le ic h t led ig lich den E n d - m it dem A n fa n g sz u s ta n d ; es b e h a u p te t: E in em isolierten {in gleichförmiger Bewegung begriffenen) K örper kommt ein bestimmter Im p u ls zu, das ist ein m it seiner Geschw indigkeit gleichgerichteter Vektor. D ie Im pulssu m m e der einzelnen K örper eines isolierten System s vor einer R eaktion ist gleich der Im p u lssu m m e nach der Reaktion. D ieses G e se tz k a n n als d er a llgem ein e A u s d ru c k d er E r fa h ru n g sta tsa c h e b e tr a c h te t w erd en , d a ß sich ein zu n ä c h st ru h en d es K ö rp e rs y s te m n ic h t au s eigen er K r a f t in eine ein seitig fo rtsch reiten d e T ra n sla tio n s
b e w e g u n g ve rse tze n k a n n ; od er g en au er: innere R e a k tio n e n in ein em isolierten ru h en d en K ö rp e r
sy ste m sind n ic h t im stan d e zu b ew irk en , d a ß n ach d er R e a k tio n ein T e il des S y ste m s eine gem ein sam e g leich fö rm ig e T ra n sla tio n sb ew eg u n g a u s
fü h rt, w äh ren d der R e s t ru h en d z u rü c k b le ib t.
W e il Im p u ls $ u n d G esc h w in d ig k e it b gleich e R ic h tu n g b esitzen , k a n n m an setzen : = D e r sk a lare F a k to r m h e iß t träge M a sse. D ie A u sfü h ru n g en zu B e g in n dieses A b sc h n itte s zeigen, w ie m an d a d u rch , d a ß m an K ö rp e r m itein a n d er reagieren lä ß t, a u f G ru n d des Im p u lssa tze s d as V e rh ä ltn is ih rer M assen e x p erim en tell b estim m en kan n .
D ie M asse eines K ö rp e rs ist, a llgem ein zu reden, d u rch seinen Z u sta n d b e stim m t. D ie M ech a n ik u n tersc h eid e t zw isch en innerem (von einem m it dem K ö rp e r m itb ew eg ten B e o b a c h te r zu b e u rte i
lenden) Z u stand u n d d em d u rch die G esch w in d ig k e it gegeben en Bewegungszustand. D e m g e m ä ß m u ß sie die F ra g e a u fw e rfen : W ie h ä n g t die M asse eines K ö rp e rs, dem u n te r E rh a ltu n g seines inneren vo n einem m itb ew eg ten B e o b a c h te r zu b e u rteilen den Z u sta n d e s versch ied en e G esch w in d igk e iten e rte ilt w erden , v o n d er G esch w in d ig k e it v ab ? D ie k lassisch e M ech an ik a n tw o r te t d a ra u f: die M asse is t v o n d er G esch w in d ig k e it u n a b h ä n g ig ; die M ech a n ik der R e la tiv itä tsth e o rie , w elch e d u rch
5 8 6 W e y l : W as ist Materie? r Die N a tu r
w issen sch aften
d ie B e o b a c h tu n g e n an rasch b e w e g ten E le k tro n e n b e s tä tig t w u rd e, b e h a u p te t d as G ese tz
M r
( I ) m =
l'c2 - v2
in w elch em d er „M a s s e n fa k to r“ M 0 v o n d er G e sc h w in d ig k e it u n a b h ä n g ig is t u n d c die L ic h t g e s c h w in d ig k e it b e d e u te t. (M 0 h a t ü b rig en s n ic h t die p h y sik a lisc h e D im en sio n ein er M asse, son d ern des P r o d u k te s M asse X G e s c h w in d ig k e it;
m 0 — M J c is t die ,,R u h m a ss e ", w elch e sich fü r v — o ergib t.) W e ite r fr a g t es sich, w ie d ie M asse, b zw . d er M a sse n fa k to r v o n d em in neren Z u sta n d d es K ö rp e rs a b h ä n g t, w ie er sich z. B . v e rä n d ert, w en n der K ö rp e r e rw ä rm t w ird od er in ih m eine ch em isch e U m se tzu n g v o r sich g e h t. D ie k la s sische M e ch a n ik b e h a u p te t ab erm als, d a ß d a b ei d ie M asse erh a lten b le ib t, n a ch der M e ch a n ik d er R e la tiv itä ts th e o r ie v e rä n d e r t sich je d o c h M 0 m it d em in n eren Z u sta n d des K ö rp e rs. E s is t h ö c h st b e a c h te n sw ert, d a ß die A n tw o r t a u f diese b e id en F ra g e n sich zw in g en d au s einem a llg em ein en P rin z ip , d em R elativitätsprinzip, e rg ib t, w elch es a u ssagt, d a ß m an a u s ein em n a tu rg e se tzlic h m ö g
lich e n V o rg a n g in ein em iso lierten S y s te m einen g le ic h fa lls m ö glich en V o rg a n g e rh ä lt, w en n m an a llen T eile n des S y s te m s ein e gem ein sam e g le ic h fö rm ig e T ra n s la tio n a u fp rä g t.
W ir fassen w ied er den o ben g esch ild erten V o rg a n g in s A u g e : Z w ei g le ich b e sch a ffe n e K ö rp e r K ', K " m it e n tg e g e n g e se tz t g leich en G esch w in d ig k e ite n b , — b vere in ig en sich zu ein em ein zigen, n o tw e n d ig ruhenden K ö rp e r k (m an k a n n sich a u c h v o rste llen , d a ß K ', K " g le ic h z e itig in ein ru h en d es w id erste h e n d e s M ed iu m ein d rin g en , in d em sie g e b re m st w erden ). D e r Im p u ls s a tz b le ib t n a c h d em R e la tiv itä ts p r in z ip g ü ltig , w en n w ir dem g a n zen S y s te m , in w elch em sich d ieser V o r g a n g a b sp ie lt, d ie G e s c h w in d ig k e it u a u fp räg en . H a b en d an n K ', K " d ie v e k to rie lle n G esc h w in d ig k e ite n b' b zw . b " v o n d er G rö ß e v ' , v " u n d b e d e u te t m (v) fü r d ie b eid en gleich b e sch a ffe n e n K ö rp e r K ', K " die M asse a ls F u n k tio n d er G esch w in d ig k e it v, so m u ß also d er V e k to r
(2) m (v ') • b' + m {v ") • b" p a ra lle l zu u sein. N a c h d em in d er kla ssisch en K in e m a tik g ü ltig en G ese tz v o n d er A d d itio n d er G esc h w in d ig k e ite n is t
(3 ) b ' = b + u , b " — — b + u , m ith in
(4) b ' + b " = 2 u p a r a lle l zu u .
In fo lg ed essen k a n n (2) n u r b esteh en , w en n m (v ') — m (v ") is t; d. h. m (v) ist unabhängig von v.
D ie R e la tiv itä ts th e o r ie fü h rte zu einem an d eren k in e m a tisc h e n A d d itio n s g e s e tz; au s ih m sc h lie ß t m an , d a ß n ic h t (4) b e ste h t, sondern
b ' b "
— + , , p a ra lle l zu u y c 2 — v /2 j/c2 — v " 2
ist, u n d d a ra u s e n ts p rin g t a u f G ru n d vo n (2) die schon oben a n g eg eb en e F o rm e l (1).
J e t z t u n tersu ch en w ir einen b elieb ig en R e a k tio n sv o rg a n g . I n d ie R e a k tio n m ögen m eh rere K ö rp e r m it versch ied en en M assen m (bzw . M assen fa k to re n M 0) u n d G esch w in d ig k e iten b e in tre te n ; aus d er R e a k tio n gehen and ere K ö rp e r m it and eren M assen m (bzw . M asse n fa k to re n M 0) u n d and eren G e sc h w in d ig k e iten b h e rv o r. D e r Im p u ls s a tz b e h a u p te t, d a ß
(5) 2 m b = 2 m 0
is t
[2
is t d as Z eich en fü r Sum m e). F ü g e n w ir w ied er d ie gem ein sam e T ra n sla tio n sg e sc h w in d ig k e it u h in zu , so la u te t n a c h dem A d d itio n s g e s e tz d er k la ssisch en K in e m a tik u n d w eil d ie M assen m v o n d er G e s c h w in d ig k e it u n a b h ä n g ig sind, d e r Im p u ls s a tz :2 m (u + b) — 2 m (u + b) oder
2 m ‘o - \ - VL2m~2r hü- \ - VL2m.
In V e rb in d u n g m it (5) lie fe rt d as n eb en d em Im p u ls s a tz d as Gesetz von der E rhaltung der M a sse
(6) 2 m = 2 m :
die Gesamtmasse eines K örpersystem s wird durch innere R eaktionen nicht verändert. A u f g a n z a n a lo g e W eise e rh ä lt m an , u n te r Z u g ru n d e leg u n g d er re la tiv istis c h e n K in e m a tik , n eb en d em Im p u ls s a tz
v M o b = s M 0 b
(7)
y c 2 — v 2 j 1 c 2 — v 2
den Satz von der E rhaltu ng der Energie
(8) M n c2
fc
, M 0c2 yc2 — v2
A ls E n erg ie ein es K ö rp e rs v o m M a sse n fa k to r M 0 u n d d er G e s c h w in d ig k e it v e rsch e in t h ier d ie G rö ß e
(9) e - ^ L .
l'c* - o*
M ach en w ir u n s den In h a lt d er G leich u n g (8) z u n ä c h st an d em ob igen B e isp ie l k la r! E in ru h e n d er k u g e lfö rm ig e r K ö rp e r K vo n der R u h m a sse m a b e ste h e a u s zw ei v ö llig gle ich b e sch a ffe n e n H a lb k u g e ln K ', K " . Jed e d erselb en h a t d ie R u h m asse -I m 0 . W ir n eh m en die b e id en H a lb k u g e ln a u sein an d er u n d ja g e n sie m it e n tg e g e n g e s e tz t g leich en G e sc h w in d ig k e ite n v o n d er G rö ß e v g egen ein an d er. B e im Z u sa m m e n sto ß m ö gen sie sich zu ein em ein zigen (ruhenden) K ö rp e r K v e r ein igen . H a t K d ieselb e R u h m a sse w ie K l N a c h d er k la ssisch en M e ch a n ik ja , n a ch d er re la ti
v is tis c h e n n ein . D ie G le ic h u n g (8) e rg ib t n ä m lic h , a u f d en V e re in ig u n g sv o rg a n g a n g e w e n d e t:
m 0 c£
+ m 0 <r
o d er
2 y i - (Vjc)2 2 1 — {v/c)2
y x — {v/c)2
W ir kö n n en sagen , K is t d erselb e K ö rp e r w ie K f n u r is t sein in n erer Z u sta n d ein an d erer g ew o rd en .
H eit 29. 1
18. 7. 1924J W e y l : W as ist Materie? 587
er hat sich näm lich erwärmt. D ie E rw ä rm u n g , sehen w ir, is t m it ein er M assen än d eru n g des ru h e n den K ö rp e rs ve rb u n d e n v o m B e tr a g e
A m = m0
v 1 - {v/c)2
D ieser Z u w a ch s A m an M asse m u ß der gleich e sein, a u f w elch em W e g e w ir a u ch je n e th e rm isch e Z u stan d sä n d e ru n g h e rv o rb rin g e n , w eil die M asse eines K ö rp e rs n u r v o n seinem Z u sta n d , n ic h t vo n dessen V o rg e s c h ic h te a b h ä n g t. D a h a b en w ir so
fo rt d as E n e rg ie g e s e tz in der F o rm , w ie es v o n Ro b. Ma y e r, Jo u l e, He l m h o l t z a u s d er E r fa h ru n g a b str a h ie rt w u rd e, u n d erken n en in A m od er in c2 A m d as Energiem aß der therm ischen Zustandsänderung. M an k a n n d ie M assen ein h eit so w äh len , d a ß fü r die E rw ä rm u n g 1 ccm W a ssers u n ter A tm o s p h ä re n d ru c k v o n 1 5 0 a u f 1 6 0 C (K alorie) d er Z u w a ch s c2 • A in = 1 ist. S e i S irg en d ein K ö rp e rs y s te m , in w elch em u n te r der E in w irk u n g sein er T e ile a u fein a n d e r u n d beliebiger anderer K ö rp er ein e Z u sta n d sä n d eru n g $8 sich vo llzo g e n h a t. W ir kö n n en diese Z u sta n d sä n d e ru ng, w en n w ir S m it ein em W a sserk a lo rim ete r u n d g eeig n eten H ilfsk ö rp e rn v e rb in d e n , in der WTeise rü c k g ä n g ig m ach en , d a ß d ie H ilfsk ö rp e r au s dem P ro ze ß s ch lie ß lich in g leich em Z u sta n d w ied er h e rv o rge h e n u n d n u r d a s K a lo rim e te r eine E rw ä rm u n g (oder A b k ü h lu n g ) erfah ren h a t. B e tr ä g t seine E rw ä rm u n g w K a lo rie n , d. h . b e ste h t sie d arin , d a ß w ccm W a sse r u n te r A tm o sp h ä re n d ru c k sich v o n 15 0 a u f 1 6 0 e rw ä rm t h a b en (oder, w en n w n e g a tiv ist, d a ß — w G ra m m sich v o n 1 6 0 a u f 1 5 0 a b g e k ü h lt h ab en ), so lie fe rt d ie A n w en d u n g d er G le ic h u n g (8) a u f d as a b gesch lo ssen e, a u s , d em K a lo rim e te r u n d den H ilfsk ö rp e rn b esteh en d e p h y s ik a lis c h e S y s te m u n d a u f den eben ge sch ild e rten P ro ze ß d ie B e zie h u n g
+ w o .
S |/C2
D ie eck ige K la m m e r b e d e u te t den Z u w a ch s, w e l
chen die a u f d as K ö rp e rs y s te m S a llein b e zü g lich e Su m m e d u rch die Z u sta n d sä n d e ru n g 93 erleid et.
D u rc h w elch e Z w isch e n stu fen also a u c h die Z u stan d sän d e ru n g 93 des K ö rp e rs y s te m s S in eine E rw ä rm u n g d es K a lo rim e te rs u m g e s e tz t w ird — immer ergibt sich die gleiche A n z a h l von K a lo r ien
M 0 c2 i c 2 - 1
D a s ist das phänom enologische Energiegesetz. Z u gleich z e ig t sich, d a ß d er A u s d ru c k re c h ts d er E n e rg ie w e rt d er Z u sta n d sä n d e ru n g 33 is t ; u n d w ir kom m en so d a zu , n ic h t b lo ß ein er Z u sta n d s- änderung ein en E n erg iew e rt, sondern ein em Z u stand ein E nergieniveau zu zu sch reib en — d e ra rt, d a ß d er E n e rg ie w e rt ein er Z u sta n d sä n d eru n g gleich d er D iffe re n z des E n e rg ie n iv e a u s im E n d e n d im A n fa n g sz u s ta n d ist. D a s E n e rg ien iv e a u ein es K ö rp e rs v o m M a sse n fa k to r M 0 u n d der G esc h w in d ig k e it v is t gegeb en d u rch die G le i
ch u n g (9). Zw ischen dem Energiegehalt E und der trägen M a sse m eines K örpers besteht danach die universelle R elation
E — c2 m .
(F ü r die k la ssisch e M ech a n ik v e rs a g t diese ga n ze Ü b erlegu n g , w eil n ach ih r d ie E rw ä rm u n g eines ru h end en K ö rp e rs m it k ein er M assen än d eru n g v e r b u n d en ist.)
U n te r d er kin etisch e n E n erg ie eines K ö rp e rs v e rs te h t m an b e k a n n tlic h d iejen ig e E n ergie, w elch e n ö tig ist, u m ih n u n te r E rh a ltu n g seines inneren, v o n ein em m itb e w e g te n B e o b a c h te r au s zu b eu rteilen d en Z u sta n d e s v o n d er R u h e a u f die G esc h w in d ig k e it v zu b rin gen . N a c h unseren F o rm eln is t der E n e rg ie w e rt d ieser Z u sta n d s ä n d eru n g
- (v/c)2
Im L im es fü r c = 00 lie fe rt d as den A u s d ru c k m ° — der klassisch en M ech a n ik (sie is t d er G ren z-
2 '
fa ll fü r solch e G esch w in d ig k e iten v, w elch e k lein sind gegen ü b er c). E in E n e rg ie g e se tz h a tte n w ir o ben im R a h m e n der k la ssisch en M e ch a n ik n ic h t e rh a lten ; in d er T a t h a t es ja in seiner „ r e in m e ch a n isch e n “ G e s ta lt
(10) m v2 v m v2
2 ^ 2
n u r b e sch rä n k te G ü ltig k e it. E s b e zie h t sich allein a u f solche R e a k tio n e n , a u s denen die K ö rp e r in u n g e än d e rtem in neren Z u sta n d w ied e r h e rv o r
g e h en ; ic h sch la g e vo r, ein e d e ra rtig e R e a k tio n allg em ein a ls elastischen S to ß zu bezeich n en . M an v e rs te h t e ig en tlich n u r v o n d er re la tiv istisc h e n M ech a n ik atis, w o h er im F a lle des elastisch en S to ß e s d as G ese tz (10) rü h rt. S in d m 1 , m 2 , . . . die R u h m a ssen d er K ö rp e r v o r d em S to ß , rh1 , m 2 , . . . n a ch dem S to ß , so h a t die F o rd e ru n g , d a ß d er in n ere Z u sta n d d er ein zeln en K ö rp e r sich n ic h t g e ä n d e rt h a t, die G leich u n g en zu r F o lg e
(11) m i — m 1 , m 2 — m 2
D ie G leich u n g (6) d er kla ssisch en M ech a n ik w ird d a d u rc h ü b erflü ssig , u n d an ih re S telle t r i t t d as n eu e G ese tz (10). M an e rh ä lt es aus dem allg em ein g ü ltig e n E n e rg ie s a tz d er re la tiv istis c h e n M ech a n ik
m t <r
= 2 - m t er
< V i — (v jc )2 * } i (v jc )2
w en n m an lin k s u n d re ch ts die n a ch (11) fü r den ela stisch en S to ß ü b erein stim m en d e S u m m e
c~ • _ = er m t
su b tra h ie rt. D a n n fo lg t, d a ß die kinetische E n erg ie d er M assen v o r u n d n a ch d em S to ß die gleich e ist, u n d in d er G re n ze fü r c = 00 also d as H u yg h e n s- sch e S to ß g e s e tz (1©).
Im a llg em ein en h a t a b er n a c h d er r e la tiv i
stisch en M e ch a n ik die S u m m e d er R u h m assen n ach der R e a k tio n kein esw egs den gleich en W e r t w ie vo rh e r. U n d d och k ä m e als M aß fü r ein
5 8 8 W e y l : W as ist M aterie?
[
Die Naturwissenschaften S u b s ta n z q u a n tu m o ffe n b a r n u r die vo n d er G e
s c h w in d ig k e it u n a b h ä n g ig e R uhm asse in F ra g e ! D ie T h e se „M a s s e — S u b s ta n z q u a n tu m “ is t d a m it a d a b su rd u m g e fü h rt. A b e r v ie lle ic h t h ä tte es dessen g a r n ic h t m eh r b e d u rft; au s u n seren D a r leg u n g e n g e h t o h n eh in h e rv o r, d a ß m it dem W o r t „ S u b s ta n z q u a n tu m “ d ie R o lle n ic h t u m sch rieb en w erd en kan n , w elch e d ie M asse in den p h y s ik a lis c h e n R e a k tio n s v o rg ä n g e n sp ie lt.
N e b en dem E rh a ltu n g s g e s e tz fü r E n erg ie u n d Im p u ls t r it t d as G ese tz, d a ß b ei R e a k tio n e n in n e r
h a lb eines ab gesch lossenen K ö rp e rs y s te m s die e le k trisch e Gesam tladung sic h n ic h t v e rä n d e rt.
D ie L a d u n g eines K ö rp e rs is t v o n sein em B e w e g u n g szu sta n d u n a b h ä n g ig . A b e r d ie L a d u n g k o m m t als M aß fü r eine S u b sta n zm en g e o ffe n b a r d a ru m n ic h t in F ra g e , w e il sie so w o h l p o sitiv e r w ie n e g a tiv e r W e rte fä h ig ist.
E s sei n o c h e rw äh n t, w ie sich u n sere F o rm e ln in d er a llg em ein en R e la tiv itä ts th e o r ie m o d ifi
zieren , w en n w ir a n n eh m en , d a ß d ie K ö rp e r in ein u n v e rä n d erlich es sta tisc h e s M a ß feld (G ra v i
tatio n sfe ld ) e in g e b e tte t sind , in w elch em die L ic h t g e s c h w in d ig k e it / (oder, w a s d a sselb e ist, d as G ra v ita tio n s p o te n tia l) eine F u n k tio n des O rtes ist.
A u c h d a n n b e s itz t ein K ö rp e r einen k o n sta n te n , n u r v o n sein em in n eren Z u sta n d a b h ä n g ig en M a sse n fa k to r M 0, u n d es is t d ie trä g e M asse m = ■ , die E n e rg ie E = — = m f 2 ;
2 _ v2 |
in sb e so n d e re fü r einen ru h en d en K ö rp e r (v = o ) : m = ^ ~ , E = M 0f .
Ü b e r d ie B e z ie h u n g d ieser F o rm e ln zu d er F ra g e , o b die M asse ein es K ö rp e rs n a c h d em V o rs c h la g v o n Ma c h als In d u k tio n s w ir k u n g d er F ix ste rn e a u fg e fa ß t w erd en k a n n , v e rg le ic h e den v o r k u rzem in dieser Z e its c h rift ersch ienenen D ia lo g ü b er
„ M a s s e n trä g h e it u n d K o s m o s “ (B d . 12, S. 197).
D ie e le k trisch e L a d u n g v e r h ä lt sich in d ieser H in s ic h t v ie l e in fa c h er als die M asse; sie ist, w ie v o m B e w e g u n g s z u s ta n d , so a u c h v o m e in b e tte n d e n M a ß feld u n a b h ä n g ig .
I I I . D ie Feldtheorie.
A n d e rs als im A b s c h n itt I soll d iesm al die m o d ern e F a ssu n g d er T h e o rie v o r a n g e s te llt w erd en , un d w ir w ollen e rst h ern ac h a u f die frü h eren A n sä tz e zu r F e ld th e o rie u n d d ie h isto risch e n W a n d lu n gen ein geh en. F e rn e r lie g t es in d er N a tu r d er S ach e, d a ß w ir schon hier, d em A b s c h n itt I V v o rg reifen d , gew isse d y n a m isc h e G e s ic h ts p u n k te h in ein zie h e n m üssen.
WTeil fü r einen iso lierten K ö rp e r k Im p u ls £5 u n d E n e rg ie E z e itlic h k o n s ta n t sind , sind die
. . . d°t
Ä n d e ru n g e n b e id e r G rö ß en p ro Z e ite in h e it b z w . —j— , , .K r a ft“ u n d ,, L e is tu n g ", ein M aß fü r cLE
d t
d ie E in w ir k u n g , w elc h e k vo n anderen K ö rp e rn k 1 , fc2 . . . e rfä h rt. In d er T a t e rk a n n te Ne w t o n,
d a ß die K r a f t sich a d d itiv a u s ein zeln en K r ä fte n zu sam m en se tzt, w elch e v o n je ein em d er K ö rp e r k x , k2 , . . . a u f k a u sg e ü b t w erd en ; in so lch er W eise, d a ß d ie K r a ft , w elch e z. B . k x a u f k in ein em M o m en t a u sü b t, n u r vo n dem Z u sta n d d ieser b eid en K ö rp e r, ih rem O rt u n d ih rer G e s c h w in d ig k e it im g leich en A u g e n b lic k a b h ä n g t. D a sselb e g ilt vo n der L e is tu n g . A u s d er R e la t iv it ä t vo n O rt u n d B e w eg u n g e rg ib t sich ü b rigen s so gleich , d a ß in d as K r a ftg e s e tz n u r d er V e k to r k k x u n d die v e k to rie lle R e la tiv g e s c h w in d ig k e it d er b eid en K ö rp e r ein geh en w erd en . Im F a lle der G r a v ita tio n is t n a ch Ne w t o n d ie K r a f t so g a r v o n d er G e sc h w in d ig k e it u n a b h ä n g ig u n d in fo lg ed essen eine u n i
v e rse lle F u n k tio n d er E n tfe rn u n g r a llein ^näm lic h n a c h d em A ttr a k tio n s g e s e tz = ; im G e b ie t d er E le k t r iz it ä t a b er k o m m t zu d er e le k tr o sta tisc h e n A n z ie h u n g b z w . A b s to ß u n g b ei b e w e g ten L a d u n g e n n och d ie A m p e re sch e K r a f t h in zu , w elch e zw ei S trö m e a u fein a n d e r a u sü b en ; denn eine b e w e g te L a d u n g is t e le k trisc h e r S tro m — v o n d er S tro m s tä rk e : L a d u n g m a l G e sc h w in d ig k e it.
W e se n tlic h a b er ist, d a ß d er B e w e g u n g szu stan d , n u r in F o rm d er Geschw indigkeit b eid er K ö rp e r k, k t im K r a ftg e s e tz v o rk o m m t. D e n n a u s d er E r k lä ru n g d er K r a f t is t es ja oh n eh in k la r, d a ß sie sich d u rc h die B e sc h leu n ig u n g , ü b rigen s so gar d u rch d ie B e sc h leu n ig u n g des K ö rp e rs k a llein ausdrü.cken lä ß t ; d a zu b e d a rf es k ein es N a tu r gesetzes. W e n n jen es P o s tu la t a b er e rfü llt ist, so b e stim m t d as N e w to n sc h e B e w e g u n g sg e se tz fü r ein S y stem , d as au s K ö rp e rn v o n b e k an n te m k o n sta n te n in n eren Z u sta n d b e ste h t, b ei g e geb en er L a g e u n d G e s c h w in d ig k e it d er K ö rp e r in einem A u g e n b lic k t ih re L a g e und G e sc h w in d ig k e it im n ä ch stfo lg e n d e n A u g e n b lic k t + d t , u n d so m it, in d em w ir v o n A u g e n b lic k zu A u g e n b lic k in te g rieren d fo rtsch reiten , den g a n zen V e r la u f der B e w e g u n g . In dieser beson d eren , a b er stre n g m a th e m a tis c h fa ß b a re n G e s ta lt g ilt h ier das K a u sa litä tsp r in zip .
A u f G ru n d d er an g eg eb en en T a ts a c h e n k o m m t m an n o tg ed ru n g e n zu d er A u ffa ssu n g , d a ß die D e fin itio n „ K r a f t = A b le itu n g des Im p u lse s“ d as W esen d er K r a f t n ic h t ric h tig w ie d e rg ib t. D e r w irk lic h e S a c h v e r h a lt is t v ie lm e h r u m g e k e h rt:
D ie K r a f t is t der A u s d ru c k fü r ein e selb stän d ig e, d ie K ö rp e r zu folg e ih rer in neren N a tu r u n d ih rer ge ge n se itig en L a g e u n d B e w e g u n g sb e zie h u n g v e r k n ü p fen d e P o te n z, w elch e d ie z e itlic h e Ä n d e ru n g des Im p u lses verursacht. B e i d ieser m e ta p h y s i
sch en D e u tu n g m a g d as in n ere B e w u ß ts e in des Ic h s, im w ille n tlich en H a n d eln G ru n d eines G e sch eh en s zu sein, en tsch eid en d hin ein spielen . E s is t a b er zu b e ach te n , d a ß in Ne w t o n s P h y s ik d er F e r n k rä fte d ie K r a f t n ic h t ein e d u rch einen e in zigen K ö rp e r k b e stim m te , vo n ih m au sgeh en d e A k t i v i t ä t ist, sond ern eine W e ch se lb ezieh u n g zw e ier K ö rp e r (k u n d fcj), die sich g e g e n se itig ü b er ein en A b g ru n d h in ü b er d ie H ä n d e reich en .
H e ft 29. ]
18. 7. 1924J W e y l : W as ist M aterie ? 589
D u rc h d as m ech a n isch e G ru n d g esetz der B e w e g u n g w ird d er P h y s ik die A u fg a b e Ü berbunden, die zw isch en K ö rp e rn w irk e n d en K r ä ft e in ih rer A b h ä n g ig k e it v o n O rt, B e w e g u n g u n d in nerem Z u sta n d zu erforsch en . D e r le tz te re w ird in die K r a ftg e s e tz e m itte ls gew isser, fü r den in neren Z u sta n d d er reagieren d en K ö rp e r c h a ra k te ri
stisch er Z a h len ein geh en, w ie z. B . die L a d u n g in d as C o u lo m b sch e G ese tz der e le k tro sta tisc h en A n z ie h u n g u n d A b sto ß u n g . So wird der K r a ft
begriff zu einer Q uelle neuer meßbarer 'physikalischer K enn zeichen der M aterie, w elch e eben so w ie die M asse m it den im ersten A b s c h n itt b esp roch en en , a u s der S u b s ta n z v o r ste llu n g en tsp ru n gen en M e rk m alen n ic h ts m eh r zu tu n h ab en . In sb eson d ere t r i t t an S te lle d er H ä rte u n d U n d u rc h d rin g lic h k e it der A to m e — w elch e b e w irk te, d a ß sich zw ei A to m e b is zu ih rem Z u sa m m en sto ß g le ich fö rm ig b e w e g ten , in diesem A u g e n b lic k a b er m o m en tan in eine an d ere gleich fö rm ig e B e w e g u n g u m sp rin gen — d as G esetz, n a ch w elch em d ie re p u lsive K r a ft , m it d er zw ei A to m e a u fein an d e r w irken , v o n ih rer E n tfe rn u n g a b h ä n g t; eine solch e re
p u lsiv e K r a f t h a t zu r F o lg e , d a ß n ic h t ein m o m en ta n e r S to ß erfo lg t, sondern die B a h n eines A to m s b e i A n n ä h e ru n g an ein and eres sich a llm äh lich k rü m m t. E s is t k e in Z w eife l, d a ß diese V o rs te l
lu n g der W a h r h e it v ie l n äh er k o m m t a ls die H u yg h e n ssch e . M an sieh t an diesem B e isp iel, d a ß die Entdeckung der ,, dynam ischen“ E ig en schaften der M a terie von selber dazu führt, ihre ,,substantiellen'‘ zu verdrängen, die zu r E rk lä r u n g d er N a tu re rsch e in u n g en ü b e rflü ssig w erd en . Im I V . A b s c h n itt ko m m en w ir g en au er d a ra u f z u r ü c k ; h ier so llte uns d er K r a ftb e g r iff n u r als V o rb e re i
tu n g dienen a u f die Id ee des F eld es.
D iese Id ee h a t sich b ei Fa r a d a y u n d Ma x w e l l au s dem B e streb e n e n tw ic k e lt, d ie W e c h s e l
k r ä fte , w elc h e gelad en e K ö rp e r a u fein an d e r a u s
üben, d u rch eine k o n tin u ie rlic h e W irk u n g s ü b e r
tra g u n g (N a h ew irku n g) v e rs tä n d lic h zu m ach en . U m d as K r a ftfe ld zu u n tersu ch en , d as gelad en e ru h en d e K o n d u k to re n u m g ib t, b e d ie n t m an sich eines sch w ac h gelad en en P ro b ek ö rp ers. D erselb e e rfä h rt an je d e r S te lle P des leeren R a u m e s eine b estim m te , im a llg em ein en n a tü r lic h v o n O rt zu O rt w ech seln d e K r a f t © ( P ) ; im m er w ied e r ab er, w en n ich den P ro b e k ö rp e r an d ieselb e R a u m s te lle P zu rü ck b rin ge , d ieselb e K r a f t © (P ). Im m er w ied er, w en n ich zu m F e n s te r m eines A rb e itsz im m e rs h in au ssch au e, h a b e ich d ieselb en G e s ic h ts w a h r
n eh m u n gen eines ro tb e d a c h te n d reistö c k ig e n H au ses. M it d em selb en R e c h t, w ie ic h d a ra u fh in zu der A n s ic h t kom m e, es steh e ein d e ra rtig e s H a u s da, g a n z u n a b h ä n g ig d a v o n , ob ic h zu ih m h in sch au e od er n ich t, n eh m e ic h h ier an, d a ß in dem die K o n d u k to re n u m g eb en d en R a u m e ein K r a f t feld v o rh a n d e n ist, a u ch w en n ich die K r a f t n ic h t an einem in d as F e ld h in ein g e b ra ch te n P r o b e k ö rp er k o n s ta tie r e ; d er P ro b e k ö rp e r is t n u r d as M ittel, d as an sich vo rh a n d e n e K r a ftfe ld w a h r
n eh m b ar u n d m e ß b a r zu m ach en . F re ilic h is t
die K r a f t © (P) im P u n k te P au ß er v o m Z u sta n d der K o n d u k to re n a u ch vo n dem des P ro b ek ö rp ers a b h ä n g ig — w ie ü b rigen s ja au ch die G esich ts
w ah rn eh m u n g a u ß e r d u rch den o b je k tiv e n Z u sta n d des w ah rgen o m m en en G eg en stan d es vo n dem B e o b a c h te r a b h ä n g t; a b er b eid e K o m p o n en ten lassen sich — im F a lle des K r a ftfe ld e s — sehr le ic h t vo n ein a n d e r tren n en . V erw en d en w ir n äm lic h zu r U n te rsu c h u n g des gleich en F eld e s einen and eren P ro b ek ö rp er, so s te llt sich h erau s, d a ß die an ih m w ah rgen o m m en e K r a f t ® (P ) zu
© (P ) in ein em k o n sta n te n V e rh ä ltn is s te h t:
® (P) = e • © (P ). U n d a u ch w en n w ir dieselb en b eid en P ro b e k ö rp e r zu r U n te rsu c h u n g an d erer e le k tro s ta tis c h e r F e ld e r b e n u tzen , die vo n anderen K o n d u k to re n e rz e u g t w erd en , erw eist sich im m er w ied er diese G leich u n g m it dem selb en W e r t der K o n sta n te n e als g ü ltig . D ie K r a f t ® ( P ) , w elch e d ie K o n d u k to re n a u f irg en d ein en P ro b e k ö rp e r an d er S telle P au sü b en , is t also d as P r o d u k t zw eier F a k to r e n e • ©, v o n denen der sk a la re e, die
„ L a d u n g “ des P ro b ek ö rp ers, v o m O rt P u n a b h ä n g ig u n d allein d u rch den Z u sta n d des P ro b e kö rp ers b e stim m t ist, w äh ren d der v e k to rie lle F a k t o r © = © (P ) , die „e le k tris c h e F e ld s tä rk e “ , n u r v o n den K o n d u k to re n , n ic h t a b er v o m v e r w en d eten P ro b e k ö rp e r a b h ä n g t, im ü b rigen ab er eine F u n k tio n des O rtes ist. D ie Z e rle g u n g ist e in d e u tig b e stim m t, w en n w ir die E in h e its la d u n g w illk ü rlic h (als die L a d u n g eines b estim m ten , hier an erster S telle ve rw e n d e ten P ro b ek ö rp ers) fe s t
setzen . D a s v o n den K o n d u k to re n erzeu g te u n d vo n ihnen allein a b h än g ig e ele k trisch e F e ld © w ird m an je t z t n ic h t lä n g er als K r a ftfe ld b e ze ic h nen d ü r fe n ; es is t v ie lm e h r eine R e a lit ä t sui generis. D ie G leich u n g
(12) ® = e • ©
zw isch en K r a f t ® u n d F e ld s tä rk e © is t n ic h t D e fin itio n , sondern ein N a tu rg e se tz , w elch es d ie p o n d ero m o to risch e W ir k u n g b e stim m t, die ein d e ra rtig e s ele k trisch es F e ld © a u f eine h in ein g e b ra c h te P u n k tla d u n g e a u sü b t. T a ts ä c h lic h is t es, w ie die e n tw ic k e lte T h e o rie leh rt, n ic h t ein m al stre n g g ü ltig , sondern n u r im G re n z fa ll u n en d lich sch w ac h er L a d u n g e des P ro b ek ö rp ers. D a das L ich t n a ch d er M a xw e llsch en T h e o rie n ic h ts a n deres is t als ein p eriod isch v e rä n d erlich e s e le k tro m a g n etisch e s F e ld vo n seh r k le in e r P erio d e, kö n n en w ir d as F e ld in sein em G e g e n sa tz zu r M a te rie v ie lle ic h t am b esten als e tw a s L ic h ta r tig e s b ezeich n en . Im A u g e b e sitzen w ir ein S in n es
organ , m it H ilfe dessen w ir gew isse e le k tro m a g n e tisch e F e ld e r a u c h a n d ers als d u rch ih re p ondero- m o to risch en W irk u n g e n w ah rn eh m en .
Is t d er R a u m zu n ä c h st feld frei u n d e n tste h t dan n E le k t r iz it ä t d u rch T re n n u n g vo n L ad u n g en , d ie v o rh e r so n ah e v e re in ig t w aren , d a ß sie sich n eu tralisierten , so w ird v o n ihnen ein m it L ic h t g e sc h w in d ig k e it (c) sich a u sb reiten d es F e ld er
re g t; s t a t t u n m itte lb a re r F e rn w irk u n g b eko m m en w ir h ier also eine ko n tin u ie rlich e, v o n P u n k t zu
Nw. 1924. 78
590
We y l: W a s i s t M a t e r i e ? r D ie N a tu r- LwissenschaftenP u n k t m it e n d lich er G esc h w in d ig k e it sich fo r t
p fla n ze n d e W irk u n g sa u sb re itu n g . U n d die W ech
selkraft des K örp ers k a u f k x zerlegt sich in eine A k tiv itä t von k (.Erregung des durch k a llein be
stim m ten F eld es) u n d ein E rleid en von k 1 (durch jenes F e ld verursachte zeitliche Ä nderu ng seines Im p u lses). D a zw isch e n sc h ie b t sich d ie A u s b re itu n g des F eld es, die n a ch eigen en G ese tzen v o n d er d u rc h sic h tig ste n E in fa c h h e it u n d H a r m on ie v o r sich g e h t. B e w e g te L a d u n g e n erzeu g en neb en dem ele k trisch en F e ld @ ein m a g n etisch e s 33;
in d er R e la tiv itä ts th e o r ie vere in ig en sich b eid e B e sta n d te ile zu ein em ein zigen „ F e ld te n s o r “ . D ie A u sb re itu n g sg e se tze fü r d as e le k tro m a g n e tisch e F e ld ((£, 33) im leeren R a u m la u te n n a c h Ma x w e l l1)
(13) — — ^ + r o t33 = o , — ^ + r o t g = o .
c ä t c d t
W e s e n tlic h an ih n en ist, 1. d a ß sie D iffer en tia l
gleichungen sind, N a h ew irk u n g sg e setze, w elch e n u r d ie W e rte d er Z u sta n d sg rö ß e n © u n d 23 in u n en d lich b e n a c h b a rte n R a u m -Z e itp u n k te n m it
ein a n d er v e rk n ü p fe n ; 2. d a ß n a ch ih n en sich die ze itlic h e Ä n d e ru n g des F e ld e s -4 —- , au s
c t dt sein em m o m e n ta n e n Z u sta n d b e stim m t (G ü ltig k e it des K a u s a litä ts p rin z ip s ). E s tre te n fre ilich n o c h zw e i Z u sa tzb e d in g u n g e n h in zu , w elch e n u r d ie rä u m lich en , n ic h t die ze itlic h e A b le itu n g e n t h a lt e n :
(14) d iv Gs = o , d iv 33 = o .
A b e r sie sind in gew issem S in n e üb ersch ü ssig . A u s (13) fo lg t n äm lich , d a ß d ie z e itlich e A b le itu n g d er b eid en D iv e rg e n z e n id e n tisc h ve rsc h w in d et.
G e n ü g t also d er A n fa n g sz u s ta n d des F eld e s den B e d in g u n g e n (14), so b leib en sie d a u ern d er
fü llt.
D ie D e fin itio n des F e ld e s m it H ilfe seiner p o n d ero m o to risch en W ir k u n g a u f einen P r o b e k ö rp e r is t n u r ein P ro v iso riu m . D u rc h d as H e re in b rin g e n d es gelad en en P ro b e k ö rp e rs s tö r t m an im m er in e tw a s d as F e ld , d a s es e ig e n tlic h zu b e o b a c h te n g a lt; b e fin d e t er sich e in m a l im F eld e, so g e h ö rt er so g u t w ie die ü b rig en K o n d u k to re n m it zu den d as F e ld erzeu g en d en L a d u n g e n . D a s w a h re N a tu rg e s e tz , d a s an S te lle v o n (12) tritt, w ird also a n zu g e b en h ab en , w as fü r K r ä ft e d as v o n irg en d w ie v e rte ilte n L a d u n g e n e rre g te e le k trisc h e F e ld a u f diese Lad ungen selber a u sü b t.
M it d em sich a u sb re ite n d en F e ld w ird v o n dem ein en K ö rp e r a u f den an d eren Im p u ls ü b e rtra g e n — w ie j a a u c h k ein Z w e ife l d a rü b e r h errsch en kan n , d a ß d u rc h L ic h ts tr a h le n (W ärm estrah len ) E n erg ie v o n K ö rp e r zu K ö rp e r tr a n s p o rtie rt w ird . W ä h ren d d a s L ic h t u n terw e g s ist, n ach d em also die E n e rg ie d en einen K ö rp e r verla ssen u n d den an-
!) N ur um der größeren Bestim m theit willen schreibe ich diese Gesetze h in ; Leser, welchen die m athem atische Sym bolik nicht vertrau t ist, sollen sich dadurch nicht abschrecken lassen!
dern n och n ic h t e rre ic h t h a t, m üssen w ir sie n o tw e n d ig im F eld e lo kalisieren . A u f G ru n d der A u sb re itu n g sg e se tze (13) k o m m t m an zu fo lg e n d em R e s u lta t: is t als E n e rg ie d ic h te des e le k trisch en , | 332 als E n e rg ie d ic h te des m a g n etisch e n F e ld e s a n zu se tze n ; die S tro m d ic h te © d er E n erg ie is t = c [© 33] , also ein V e k to r , w elch e r sen k rech t zu © u n d 33 s te h t u n d dessen G rö ß e g le ich c m al d em F lä c h e n in h a lt des v o n (£ u n d 33 ge b ild ete n P a ra llelo g ra m m s ist. B e ze ic h n e t m an d e m n a ch d as V o lu m in te g r a l v o n
W = £ (@2 + ®2)
ü b e r irg en d ein R a u m g e b ie t V als d ie in V e n t
h a lte n e F e ld e n erg ie u n d b e rec h n et m an d en E n erg iestro m , w elch e r d u rch die O b e rflä c h e Q v o n V v o n a u ß en n a ch in nen h in ü b e rtritt in d er W eise, d a ß d a zu d as O b erflä ch e n e lem e n t d f einen B e itr a g lie fe rt: d f m a l d er zu d f sen k rech te n K o m p o n e n te v o n © , so g ilt: d ie Z u n a h m e p ro Z e ite in h e it d er g esam ten in V e n th a lten en E n erg ie
— d as is t F eld e n erg ie + E n e rg ie d er in V v o r h an d en en M a te rie — is t g le ich d em d u rch Q h in d u rch treten d e n E n e rg ie flu ß . D ie g e sam te E n e rg ie m enge b le ib t also b e stä n d ig k o n s ta n t, sie flie ß t n u r im F e ld e h in u n d h er u n d v e rw a n d e lt sich au s F eld e n erg ie in E n e rg ie d er M a terie u n d v ic e ve rsa . F ü h r t m an ein re c h tw in k lig e s K o o rd in a te n sy s te m ein u n d e rs e tz t den v e k to rie lle n Im p u ls d u rch seine d rei K o m p o n e n te n in d iesem K o o rd in a te n sy ste m , so g ilt fü r d ie d rei Im p u lsk o m p o n en ten e tw a s g a n z A n a lo g e s: fü r je d e v o n ih n en h a b en w ir eine sk a la re F e ld d ic h te , eine v e k to rie lle S tro m d ic h te u n d den en tsp rech en d en E rh a ltu n g s s a tz . E r is t n u r ein a n d erer A u s d ru c k fü r Ne w t o n s
m ech a n isch es G ru n d g e s e tz ; an d ie S te lle d er F o rm e l (12) sind die G leich u n g en g e tre te n , w elch e E n erg ie- u n d Im p u lsd ic h te , E n erg ie- u n d Im p u ls stro m d u rch d ie F e ld s tä rk e n <S u n d 33 au sd rü ck en . In sb eso n d ere is t fü r ein R a u m g e b ie t V , d as ü b e r
h a u p t k e in e M a terie e n th ä lt, d ie z e itlic h e Z u n a h m e d er F eld e n erg ie g le ic h d em d u rch die O b erflä ch e ein tre ten d en E n e rg ie flu ß (genau so fü r die drei Im p u lsk o m p o n en ten ), in F o rm e ln :
(15) ö W—^ — f- d iv© = o ;
u n d diese Tatsache ist eine m athem atische Folge der Feldgesetze (13), (14).
B e tr a c h te n w ir ein sich a u sb re ite n d es e le k tr o m a g n etisch e s F e ld im leeren R a u m , d as in jed e m A u g e n b lic k n u r einen en d lich en R a u m b e re ic h e r fü llt; z. B . ein e e le k tro m a g n e tisc h e W e lle, w elch e d a d u rc h e n tsta n d en ist, d a ß w ir ein e K e rz e a n g e z ü n d e t h ab en , d ie a b er in zw isch en schon w ied e r a u sg e lö sch t sein m ag. D iesem F e ld k o m m t ein e b e stim m te G esa m ten erg ie E u n d ein Im p u ls Q zu, w elch e w äh ren d des A u sb re itu n g sv o rg a n g e s z eitlic h k o n s ta n t b leib en . G en au w ie w ir in d er M e ch a n ik den S c h w e rp u n k t, d en „M a s s e n m itte l
p u n k t“ d efin ieren , kö n n en w ir h ier in jed em A u g e n b lic k den „ E n e r g ie m itte lp u n k t“ des F eld e s b e s tim m e n ; er lie g t in n e rh a lb des feld e rreg te n
H eft 29. ]
18. 7. 1924J We y l: W as ist M aterie?
591
R a u m g eb ie te s. B e ze ic h n e t b seine G esc h w in d ig k e it, so g ilt
|b| < c u n d 3 = — • b :E
11 ci
unser F e ld hat also genau wie ein materieller K örp er ein e träge M a sse
M an k a n n a u c h sch reib en
r E l f . ~ J f »l> -
]/c2 — V2 j e2 — V2
d a n n is t d er „ M a s s e n fa k to r“ M 0 im S in n e der R e la tiv itä ts th e o rie eine v o m ve rw e n d e ten B e z u g s kö rp er u n a b h ä n g ig e G rö ß e. B e i d er R e a k tio n zw isch en m eh reren e le k tro m ag n e tisch en W ellen o d er zw isch en F e ld u n d M a terie, b ei E m issio n s
u n d A b so rp tio n sv o rg ä n g e n w ird ste ts die E n ergie- u n d Im p u lssu m m e n a ch d er R e a k tio n den gleich en W e rt h ab en w ie vo rh er. Ü b e r diese schon in I I besp roch en en E rh a ltu n g s s ä tz e „ im g ro ß en “ , die w ir hier a u f S tra h lu n g sv o rg ä n g e a u sg e d eh n t h ab en , sin d w ir aber, w as d as F e ld b e tr ifft, d u rch eine gen au e ra u m ze itlich e A n a ly se des R e a k tio n s vo rg a n g es h in au sg esch ritten . Z u n ä c h s t b e d e u te te d er Ü b e rg a n g zu Ne w t o n s m ech an isch em B e w eg u n g sg esetz, d a ß w ir die zeitlich e n Ä n d eru n g en d e r E n erg ie u n d des Im p u lses v o n A u g e n b lic k zu A u g e n b lic k w äh ren d d er R e a k tio n v e rfo lg te n . Z u d ieser d ifferen tie llen zeitlich e n A n a ly se t r it t d u rch die F e ld v o rs te llu n g die d ifferen tie lle rä u m lic h e : E n erg ie u n d Im p u ls des S y s te m s w erd en in die den ein zeln en V o lu m elem en ten zu ko m m en d en B e itr ä g e zerlegt, sie w erd en „ lokalisiert“ u n d ü b er den R a u m k o n tin u ie rlic h a u sg e b re ite t. D a z u is t m an im G ru n d e a b er au ch schon bei den m a teriellen K ö rp e rn g e n ö tig t; denn w a s w ill m an e ig en tlich b ei A n w en d u n g d er m ech an isch en G ese tze u n ter d er G e sc h w in d ig k e it eines K ö rp e rs versteh en , w en n d er K ö rp e r sich w ä h ren d d er B e w e g u n g d e fo rm iert o d er ein G asn eb e l d u rch e in a n d er
w im m eln d er M o lek ü le is t? H ie r w ird m an o ffe n bar, w ie es a u ch z. B . in d er E la s tiz itä ts th e o rie m it der S p an n u n g sen erg ie im m er gesch eh en ist, E n ergie u n d Im p u ls g le ich fa lls lo k alisieren m üssen u n d u n ter d er G e sc h w in d ig k e it des g a n zen K ö rp e rs n ic h t die G e s c h w in d ig k e it irg en d ein er S u b s ta n z stelle, sondern seines E n e rg ie m itte lp u n k te s zu ve rste h en h ab en .
D e r P re llb o c k , an w elch em die sich ein em b e stim m ten A to m (oder E lek tro n ) n äh ern d en A to m e ab p rallen , is t n ic h t seine starre u n d u rch d rin g lich e S u b sta n z, sondern d as ih n u m g eb en d e K r a ftfe ld . D ie trä g e M asse is t n ic h t ein S u b sta n z q u a n tu m , sondern b e ru h t a u f seinem E n e rg ie in h a lt, d er zu einem w esen tlich en T e ile od er g a r v o lls tä n d ig au s d er F eld e n ergie des u m g eb en d en F e ld e s b e ste h t.
S e tz t m an d ie ra d ia l g e ric h te te F e ld s tä rk e im R a u m e a u ß e rh a lb ein es E le k tro n s n a c h d er M a x- w ellsch en T h e o rie = — (r d ie E n tfe rn u n g vo m
r
E le k tro n e n m itte lp u n k t, s eine K o n sta n te ), so e rg ib t sich als E n erg ie des g an zen A u ß e n fe ld es, w enn d as E le k tro n den R a d iu s a b e sitzt,
OO
f E2 271 E2
2 7t / — d r = --- •
J r1 a
B e ru h t a u f ih r allein die trä g e M asse m des E le k tro n s 1), so e rh ä lt m an fü r den R a d iu s
231 E2
a = --- 5- • m <r
A u f G ru n d d er e x p erim en tell b e k a n n te n W e rte v o n s u n d m e rh ä lt m an d a ra u s ein a v o n der G rö ß en o rd n u n g i o - 1 3 cm . D e r R a d iu s m u ß einen en d lich en W e r t h a b en u n d k a n n n ic h t o sein, w eil m an so n st a u f eine u n en d lich gro ß e E n erg ie u n d d a m it a u f eine u n en d lich gro ß e M asse kom m en w ü rd e. E n d lic h sah en w ir eben, d a ß sich selb st d er in d er M ech an ik a u ftre te n d e G e s c h w in d ig k e its b e g riff vo n d er S u b s ta n z v o rste llu n g e m a n zip ie rt.
W e n n so alle p h y s ik a lis c h w esen tlich e n E ig e n sc h a fte n des E le k tro n s an d em u m g eb en d en F eld e u n d n ic h t an d em im F e ld z e n tru m steck en d en su b sta n tielle n K e rn e hän gen , so m u ß m an sich d o ch fragen , ob denn überhaupt die A nn a hm e eines derartigen K ern es nötig ist oder ob wir ih n nicht ganz entbehren können. D ie le tz te F ra g e b e a n t
w o r te t d ie F e ld th e o rie d er M a terie m it J a ; ein M a te rie teilch e n w ie d as E le k tro n is t fü r sie led ig lic h ein k lein es G e b ie t des e le k trisch en F eld es, in w elch em die F e ld s tä rk e enorm h oh e W e rte a n n im m t u n d w o d e m n a ch au f k le in stem R a u m eine g e w a ltig e F eld e n ergie k o n ze n trie rt ist. E in so lch er E n erg iek n o te n , d er gegen d as ü b rig e F eld kein esw egs sch a rf a b g e g re n z t is t — d er geo m etrisch e B e g riff des E le k tro n e n ra d iu s v e rlie rt also seinen p rä zisen Sin n — , p fla n z t sich d u rch den leeren R a u m n ic h t an d ers fo rt, w ie e tw a eine W a sse r
w elle ü b er die S e efläc h e fo rts c h r e ite t; es g ib t d a n ic h t ein u n d d ieselb e S u b sta n z , a u s d er d as E le k tro n zu a llen Z e ite n b e ste h t. W ie d ie G e sc h w in d ig k e it ein er W a sserw e lle n ic h t s u b s ta n tielle , sondern P h a se n g e sc h w in d ig k e it ist, so h a n d e lt es sich b e i d er G esch w in d ig k e it, m it der sich ein E le k tro n b e w e g t, a u ch n u r u m die G e sc h w in d ig k e it eines id eellen , au s d em F e ld v e r la u f ko n stru ie rten „ E n e rg ie m itte lp u n k te s “ . L ä ß t sich diese A u ffa s s u n g d u rch fü h ren , d u rch w elch e der die P h y s ik se it Fa r a d a y u n d Ma x w e l l b e h err
sch en d e D u a lism u s vo n M aterie u n d F e ld zu g u n sten d es F eld e s ü b erw u n d en w ird , so erg ä b e sich ein a u ß e ro rd en tlic h ein h e itlic h es W e ltb ild . S t a t t d er d rei A rte n v o n G esetzen , n a c h denen d as
x) L egt man der Berechnung der trägen Masse in analoger Weise den Im puls des Feldes zugrunde, das gemäß den Maxwellschen Gleichungen das mit der Geschwindigkeit v gleichförmig bewegte Elektron um gibt, so bekom m t man einen W ert, der fin a l so groß ist. Die alte, an die Substanzvorstellung gebun
dene Elektronentheorie * mußte in dieser Diskrepanz ein ernsthaftes physikalisches Problem erblicken.
Vgl. die Bem erkung darüber auf S. 567.
5 9 2 W e y l : W as ist M aterie? I" Die N a tu r- [ wissen schäften
F e ld i . d u rch die M a terie erregt, e m ittie rt w ird , 2. sich a u s b re ite t u n d 3. a u f die M a te rie w irk t, b e h a lte n w ir n u r die F e ld g e s e tz e 2 ü b rig v o m T y p u s d er M a xw e llsch en G leich u n g en (13), d eren S tr u k tu r u n s v ö llig d u rc h s ic h tig ist, w äh ren d die G ese tze 1 u n d 3, in d eren D u n k e l d ie P h y s ik a u c h h e u te n o c h k a u m ein ged ru n g en ist, ü b e rflü ssig w erd en . In sb eso n d ere is t die G ü ltig k e it der m ech an isch en G leich u n g en g e w ä h rle is te t d u rch d en au s den F eld g e se tz e n fo lg en d en d ifferen tie llen E n e rg ie -Im p u ls s a tz , dessen E n erg iek o m p o n en te fü r d as M a xw e llsch e F e ld in F o rm e l (15) a n g eg eb en w u rd e. M an k a n n dieses W e ltb ild k a u m als ein d y n a m isch e s m eh r b ezeich n en , w eil h ier d as F e ld w ed er v o n ein em d em F e ld e ge g e n ü b erste h e n d e n m a te rie llen A g e n s e rz e u g t w ird n och a u f ein solch es w irk t, sond ern led ig lich , sein er E ig e n g e s e tz lic h k e it fo lgen d , in ein em stille n ko n tin u ie rlich en F lie ß e n b e g riffen ist. E s ru h t g a n z u n d g a r im K o n tin u u m ; a u c h die A to m k e rn e u n d E le k tro n e n sind k ein e le tz te n u n ve rä n d erlich en , v o n d en a n g reifen d en N a tu rk rä fte n h in u n d h er gesch o b en en E lem en te , sondern selb er s te tig a u s g e b re ite t u n d fein en fließ e n d en V erä n d e ru n g e n u n terw o rfe n .
D ie M a x w e llsch en G leich u n g en (13) reich en n a tü r lic h n ic h t aus, u m d ie M a te rie teilch e n als E n e rg ie k n o te n im e le k tro m a g n e tisc h e n F e ld e zu ko n stru ieren , d a die in ein em E le k tro n zu sam m en g e d rä n g ten n e g a tiv e n L a d u n g en , den C o u lo m b - sch en F lie h k rä fte n fo lgen d , e x p lo d ieren w ü rd en , w en n in ih rem B e re ic h e n o c h jen e G ese tze g ü ltig w ären . M a th e m a tis c h k o m m t d as d a rin zu m A u s d ru c k , d a ß d as ein zig e sta tisc h e , u m ein Z e n tru m O k u g e lsy m m e trisc h e F e ld (£, w elch es d er M a x w e llsch en G le ic h u n g div@ = o g e n ü g t, im Z e n tru m O ein e S in g u la ritä t b e k o m m t; es is t n ä m lich ra d ia l g e ric h te t, u n d sein e S tä rk e n im m t m it w ach se n d er E n tfe rn u n g r n a c h dem G e s e tz — a b (e = c o n s t ) , w ird also im N u llp u n k ts
u n en d lich . (In d er T a t v e r la n g t die G leich u n g div@ = o , d a ß d u rc h je d e K u g e l u m O d er gle ich e F e ld flu ß h in d u r c h tritt, d . h. es m u ß
£
— • 4 ^ r 2 = 4 n s k o n s ta n t sein.) N a c h d er a lte n S u b s ta n z v o r ste llu n g w ird d er Z u sa m m e n h a lt d er n e g a tiv e n L a d u n g e n im E le k tro n d a d u rc h e r
zw u n gen , d a ß sie an ein S u b s ta n z k ü g e lc h e n ge
b u n d e n sind , d a s sie n ic h t ve rla ssen k ö n n en ; u n d n u r zu d iesem Z w e c k e h a tte m an in d er a to m istisch e n L o re n tzsc h e n E le k tro d y n a m ik die S u b s ta n z n och n ö tig . G . Mi e1) w ies 19 13 a u s re c h t zw in gen d en a llgem ein en A n sc h a u u n g en h erau s ein en W e g , die M a x w e llsch en G leich u n g en so zu m o d ifizieren , d a ß sie e v tl. d as P ro b lem d er M aterie zu lösen im sta n d e sind, n ä m lich e rk lä ren , w aru m d a s F e ld ein e „ k ö r n ig e “ S tr u k tu r b e s itz t u n d die E n e rg ie k n o te n sich im H in - u n d H e rströ m e n v o n E n e rg ie u n d Im p u ls d a u ern d e rh a lten (w enn a u ch n ic h t v ö llig u n ve rä n d erlich , so d o ch m it
x) Ann. d. Ph ysik 37, 39, 40. 1912/1913.
ein em h oh en G ra d v o n G e n a u ig k e it). D ie s m u ß d a ra u f b eru h en , d a ß die m o d ifizie rte n F e ld g e s e tz e n u r ein en G le ic h g e w ic h ts z u s ta n d od er w en ige, d u rch k ein en k o n tin u ie rlich en Ü b e rg a n g v e r b u n d e n e G le ic h g e w ic h tsz u stä n d e v o n E n e rg ie k n o te n erm ö g lich en (statisch e k u g e lsy m m e trisc h e L ö su n g en d er F eld g leich u n g en ). D a m it w äre es a u c h v e rs tä n d lic h gew o rd en , w a ru m alle E le k tronen dieselbe L ad ung b e sitz e n : a u s d en F e ld g esetzen lassen sich L a d u n g u n d M asse des E le k tro n s u n d die A to m g e w ic h te d er ein zeln en e x i
stieren d en ch em isch en E le m e n te „v o rh e r s e h e n “ , b erech n en (die S u b s ta n z th e o rie h a tte diese le tz te n B a u s te in e d er M a terie im m er als e tw a s m it seinen n u m erisch en E ig e n s c h a fte n G eg eb en es h in g e n o m m en, ih r m u ß te es u n v e rs tä n d lic h b leib en , w aru m n u r S u b s ta n z k u g e ln v o n g a n z b e stim m te n R a d ie n u n d M assen in d er N a tu r V orkom m en). U n d h ier, n ic h t in d er U n te rsc h e id u n g v o n S u b s ta n z u n d F eld , lä g e fern er d er G ru n d , w a ru m w ir an d er E n e rg ie o d er trä g e n M asse ein es zu sa m m en g e se tz te n K ö rp e rs d ie n ic h ta u flö s b a re E n e rg ie sein er le tz te n m a te rie llen E le m e n ta r b e s ta n d te ile d er a u flö sb a re n E n e rg ie ih rer w ech se lseitig e n B in d u n g ge g e n ü b erste llen . A ls ein zige Z u sta n d sg rö ß e n v e rw e n d e te Mi e zu n ä c h s t d ie a u s d er M a x w e ll
sch en T h e o rie b e k a n n te n e le k tro m a g n e tisc h e n . V o n an d eren u rsp rü n glich e n F e ld k rä fte n a u ß e r d er e le k tro m a g n e tisc h en u n d d er G r a v ita tio n is t u n s n ic h ts b e k a n n t, u n d 19 13 b e sta n d n o c h d ie H o ffn u n g , die G r a v ita tio n als ein B e g le itp h ä n o m e n des E le k tro m a g n e tis m u s zu erklä ren . N a c h A u f s te llu n g d er a llg em ein en R e la tiv itä ts th e o r ie d u rch E i n s t e i n g e n ü g te es ab er, M ie s A n s ä tz e v o n dem B o d e n d er sp eziellen a u f den d er allg em ein en R e la tiv itä ts th e o r ie zu v e rp fla n z e n , w ie d as d u rch H i l b e r t g esch ah , u m d ie G r a v ita tio n m it zu u m fa s
sen. D a ra n sch ließ en sich w eitere V e rsu c h e v o n W e y l , E d d i n g t o n u n d E i n s t e i n , e le k tro m a g n e tisch es u n d G ra v ita tio n s fe ld v ö llig zu ein er E in h e it zu ve rsch m elzen . In M ie s fu n d a m e n ta le n A rb e ite n a b er w a r zu m e rsten m a l ü b e rh a u p t Sin n u n d A u fg a b e d er rein en F e ld p h y s ik k la r e rfa ß t. E r g e lan g te , w ie fre ilich b e to n t w erd en m u ß , a u f sein em s p e k u la tiv e n W e g — u n d ein an d erer is t h ier zu r Z e it k a u m g a n g b a r — n ic h t zu e in d e u tig fix ie rte n F eld g ese tze n , sondern n u r zu ein em a llg em ein en S ch em a, d as n och v e rsc h ie d en er S p ezialisie ru n g e n fä h ig is t u n d in w elch em die M a x w e llsch en F e ld g e s e tz e des leeren R a u m e s a ls e in fa c h ste r S o n d e rfa ll m ite n th a lte n sind . U n d es g e la n g b ish er n ich t, im R a h m e n dieses S ch em a s die u n b e s tim m t b leib e n d e W irk u n g s fu n k tio n so zu w äh len , d a ß sie zu ein zeln en d isk reten G le ic h g e w ic h tsz u stä n d e n d er M a te rie teilch e n fü h r t (ob
sch on d ie M a th e m a tik d u rch ein e K o n s ta n te n a b zä h lu n g erk en n en lä ß t, d a ß d ies so zu sa gen n o rm a lerw eise zu e rw arte n ist). Z u r n äh eren Illu stra tio n k a n n ich d a ru m n u r ein fin g ierte s B e isp ie l g e b ra u c h e n : es lie g t d u rch a u s im B e re ic h d er m a th e m a tisc h e n M ö g lic h k eit, d a ß b ei g e eig n e t g e w ä h lte r W ir k u n g s fu n k tio n sich a ls ein zig e
