SIMR 2013/14, Analiza 1, wykład 9, 2013-12-13
Ekstrema globalne funkcji
Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x0 ∈ D minimum globalne wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀(x ∈ D) f (x) f (x0) .
Wartość f (x0) nazywamy wartością najmniejszą funkcji f na D
Definicja: Funkcja f : D → R ma w punkcie x0 ∈ D maksimum globalne wtedy i tylko wtedy, gdy:
∀(x ∈ D) f (x) ¬ f (x0) .
Wartość f (x0) nazywamy wartością największą funkcji f na D
Uwaga: Jeżeli istnieje maksimum globalne, to odpowiadająca mu wartość największa jest tylko jedna, natomiast moża być kilka punktów x ∈ D , w których funkcja osiąga tę wartość.
Twierdzenie: Jeżeli x0 ∈ D jest ekstremum globalnym funkcji f : D → R to jest też ekstremum lokalnym tej funkcji.
Przykład 1: Znaleźć ekstrema globalne f (x) = x2 , x ∈< −1, 2 >
Funkcja f jest ciągła, dziedzina D =< −1, 2 > jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc istnieją oba ekstrema globalne. Funkcja jest różniczkowalna we wnętrzu D. Jeżeli eks- tremum jest we wnętrzu D, to ponieważ jest jednocześnie ekstremum lokalnym musi spełniać warunek konieczny f0(x) = 0.
f0(x) = 2x = 0 x1 = 0
Brzeg składa się z dwóch punktów: x2 = −1, x3 = 2.
Obliczamy:
f (x1) = 0 f (x2) = 1 f (x3) = 4
Najmniejsza z tych wartości 0 jest w punkcie x1 = 0 - jest to minimum globalne.
Największa z tych wartości 4 jest w punkcie x3 = 4 - jest to maksimum globalne.
Przykład 2: Znaleźć ekstrema globalne f (x) = x + 1
x na D =< 12, 3)
Funkcja f jest ciągła, ale dziedzina D nie jest zbiorem domkniętym i ograniczonym, więc nie muszą istnieć ekstrema globalne. Funkcja jest różniczkowalna na D. Obliczamy
f0(x) = 1 − 1 x2 Badamy znak f0 f0(x) > 0
1 − 1 x2 > 0 x > 1
f jest malejąca na < 12, 1 > i rosnąca na < 1, 3) Obliczamy wartości (granice):
f (12) = 5 f (1) = 22
x→3lim−f (x) = 103
Szkicujemy wykres funkcji.
Wnioski:
Istnieje minimum globalne w punkcie x = 1 , o wartości f (1) = 2.
Nie istnieje maksimum globalne.
Uwaga 1: Jeżeli f jest ciągła to obrazem przedziału jest przedział. W tym przykładzie f (< 12, 3)) =< 2,103)
Uwaga 2: Jeżeli f nie ma wartości największej to nie znaczy, że może osiągać dowolnie duże wartości. W naszym przykładzie wartości funkcji mogą być dowolnie blisko wartości 103 ) , ale zawsze są mniejsze.
Kresem górnym funkcji nazywamy kres górny zbioru wartości funkcji:
sup
x∈D
f (x) = sup f (D)
Analogicznie definiuje się kres dolny: inf
x∈Df (x) W tym przykładzie:
sup
x∈D
f (x) = 103
x∈Dinf f (x) = 2
Uwaga: Jeżeli f : D → R to ekstrema lokalne (a więc i globalne) mogą (ale nie muszą) być tylko w punktach:
1. x ∈ intD , f0(x) = 0
2. x ∈ intD , pochodna f0(x) nie istnieje 3. x ∈ ∂D - punkty brzegowe
Aby znaleźć ekstrema globalne funkcji określonej na skończonej sumie przedziałów, ciągłej na każdym z tych przedziałów i różniczkowalnej z wyjątkiem być może skończonej liczby punktów, wystarczy obliczyć:
• wartości (lub granice) na końcach przedziałów,
• wartości w punktach stacjonarnych: f0(x) = 0 ,
• wartości w punktach nieróżniczkowalności f .
Wartość największa z tej listy jest maksimum globalnym jeśli jest osiągana w punkcie x ∈ D.
Jeżeli wartość największa z tej listy jest granicą funkcji na końcu przedziału, to maksimum globalne nie istnieje, ale wartość ta jest kresem górnym funkcji. Podobnie jest z minimum globalnym.
Zastosowanie w mechanice: Niech dany będzie układ mechaniczny o jednym stopniu swobody w którym działają tylko siły potencjalne. Niech E(x) będzie funkcją energii poten- cjalnej układu, a x zmienną związaną ze stopniem swobody, opisującą stan układu. Wtedy punkty stacjonarne funkcji E(x) są punktami równowagi układu, minima lokalne są punk- tami równowagi trwałej, a maksima lokalne są punktami równowagi chwiejnej.
Wypukłość funkcji
Wypukłość dla figur geometrycznych na płaszczyźnie i brył w przestrzeni jest zdefiniowana następująco:
Figura (bryła) F jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych punktów A, B ∈ F odcinek AB ⊂ F . Tej definicji wypukłości nie można bezpośrednio wykorzystać do zdefiniowania wypukłości funkcji.
Definicja: f : D → R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {(x, y) : x ∈ D, y f (x)}
jest wypukły.
Definicja: f : D → R jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy zbiór {(x, y) : x ∈ D, y ¬ f (x)}
jest wypukły.
Uwaga: Jeżeli f : D → R jest wypukła lub wklęsła to dziedziną tej funkcji musi być przedział.
Twierdzenie: Funkcja f : (a, b) → R jest wypukła ⇐⇒ (∀x1, x2 ∈ (a, b), t ∈< 0, 1 >) f (x1+ t(x2− x1)) ¬ f (x1) + t(f (x2) − f (x1))
Twierdzenie to oznacza, że część wykresu funkcji wypukłej wycięta dowolną prostą sieczną leży pod tą prostą.
Twierdzenie: Funkcja f : (a, b) → R jest wklęsła ⇐⇒ ∀x1, x2 ∈ (a, b), t ∈ (0, 1)f (x1+ t(x2− x1)) f (x1) + t(f (x2) − f (x1))
Twierdzenie: Funkcja różniczkowalna f : (a, b) → R jest wypukła wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres leży nad każdą prostą styczną do wykresu. Funkcja jest wklęsła wtedy i tylko wtedy, gdy jej wykres leży pod każdą prostą styczną do wykresu.
Definicja: Niech f : D → R będzie funkcją ciągłą . Punkt x ∈ D nazywamy punktem przegięcia funkcji f wtedy i tylko wtedy, gdy:
1. (∃ > 0)(x − , x + ) ⊂ D
2. f jest wypukła na przedziale (x − , 0) oraz wklęsła na przedziale (0, x + ) lub f jest wklęsła na przedziale (x − , 0) oraz wypukła na przedziale (0, x + )
Twierdzenie Niech f : (a, b) → R będzie dwukrotnie różniczkowalna.
Funkcja f jest wypukła na (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x ∈ (a, b) f00(x) 0 . Funkcja jest wklęsła na (a, b) wtedy i tylko wtedy, gdy ∀x ∈ (a, b) f00(x) ¬ 0 .
Przykład: Zbadać przedziały wypukłości, wklęsłości oraz znaleźć punkty przegięcia funkcji:
f (x) = x3− 3x
Dziedzina D = (−∞, ∞)
f0(x) = 3x2− 3 , D0 = (−∞, ∞) f00(x) = 6x , D00= (−∞, ∞) Rozwiązujemy nierówność:
f00(x) > 0 6x > 0 x > 0
Analogicznie:
f00(x) < 0 ⇐⇒ x < 0 Stąd:
f jest wypukła na przedziale < 0, ∞) f jest wklęsła na przedziale (−∞, 0 >
f ma punkt przegięcia w x = 0
Twierdzenie: Jeżeli f : D → R jest wypukła to dla dowolnych punktów x1, x2, . . . xn ∈ D oraz dowolnych dodatnich liczb p1, p2, . . . pn takich, że p1+ p2+ . . . pn = 1 zachodzi:
f (p1x1+ p2x2+ . . . pnxn) ¬ p1f (x1) + p2f (x2) + . . . pnf (xn)
Dowód: Ustawione w kolejności rosnącej xi punkty Wi =xi, f (xi) są wierzchołkami wie- lokąta wypukłego. Jeżeli w wierzchołkach tych umieścimy masy pito środek ciężkości układu tych punktów będzie leżał wewnątrz wielokąta, a więc nad wykresem funkcji. Współrzędne środka ciężkości:
Sx = p1x1+ p2x2+ . . . pnxn
Sy = p1f (x1) + p2f (x2) + . . . pnf (xn)
Środek ciężkości będzie leżał nad wykresem funkcji: f (Sx) ¬ Sy
Uwaga: Podobne twierdzenie zachodzi dla funkcji wklęsłych.
Przykład: Pokazać, że dla x1, x2, . . . xn > 0 zachodzi:
√n
x1· x2· . . . xn ¬ x1+ x2+ . . . xn n
Uwaga: Lewa strona nierówności nazywa się średnią geometryczną, a prawa średnią aryt- metyczną.
Funkcja f (x) = ln x jest wklęsła na całej dziedzinie D = (0, ∞) ponieważ:
f00(x) =1 x
0
= − 1 x2 < 0 Wobec tego dla pi = 1n mamy:
ln(n1x1+n1x2+ . . .n1xn) n1 ln(x1) + 1nln(x2) + . . .n1 ln(xn) Czyli:
x1+ x2 + . . . xn
n √n
x1· x2· . . . xn
Asymptoty funkcji
Asymptotą wykresu funkcji nazywamy prostą l taką, że punkty pewnej gałęzi wykresu funkcji Px(x, f (x)) zliżają się do tej prostej i jednocześnie oddalają się nieskończenie daleko od początku układu współrzędnych:
lim
x→a+d(Px, l) = 0 lim
x→a+d(Px, O) = ∞
gdzie a może być skończone, +∞, −∞ , a granica może być też lewostronna. d oznacza odległość, a O(0, 0) początek układu współrzędnych.
Jeżeli a ∈ R to asymptotę nazywamy pionową. Jeżeli a = +∞ lub −∞ to asymptotę nazywamy ukośną. Szczególnym przypadkiem asymptoty ukośnej jest asymptota pozioma:
współczynnik kierunkowy asymptoty jest równy zero.
Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę pionową lewostronną x = a , a ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy lim
x→a−f (x) = ±∞
Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę pionową prawostronną x = a , a ∈ R wtedy i tylko wtedy, gdy lim
x→a+f (x) = ±∞
Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę ukośną y = ax + b w +∞ wtedy i tylko wtedy, gdy:
a = lim
x→∞
f (x) b = lim x
x→∞(f (x) − ax)
Twierdzenie: Funkcja f : D → R ma asymptotę ukośną y = ax + b w −∞ wtedy i tylko wtedy, gdy:
a = lim
x→−∞
f (x) b = lim x
x→−∞(f (x) − ax)
Przebieg zmienności funkcji
Aby zbadać przebieg zmienności funkcji f (x) badamy następujące elementy:
1. Dziedzina
2. Ciągłość, parzystość, nieparzystość, okresowość, miejsca zerowe 3. Granice lub wartości funkcji
(a) Na każdym końcu przedziału (b) W każdym punkcie nieciągłości 4. Asymptoty
(a) Pionowe (b) Ukośne w ±∞
5. Pochodna f0(x) (a) Dziedzina (b) Znak
(c) Przedziały monotoniczności (d) Ekstrema lokalne
6. Druga pochodna f00(x) (a) Dziedzina
(b) Znak
(c) Przedziały wypukłości i wklęsłości (d) Punkty przegięcia
7. Tabela i wykres
Przykład: Zbadać przebieg zmienności funkcji f (x) = ln x2 Rozwiązanie: x
Dziedzina funkcji: D = (−∞, 0) ∪ (0, ∞) Funkcja jest ciągła na całej dziedzinie.
Dziedzina jest symetryczna, badamy parzystość f : f (−x) = ln(−x)2
−x = −ln x2
x = −f (x) Funkcja jest nieparzysta.
Wystarczy więc ją zbadać na zbiorze D1 = (0, ∞). Na przedziale (−∞, 0) wykres będzie symetryczny.
Miejsca zerowe: f (x) = 0 dla x = 1 Obliczamy granice:
lim
x→0+f (x) = lim
x→0+
ln x2
x = −∞
0+ = −∞
x→∞lim f (x) = lim
x→∞
ln x2 x =[
∞
∞] [H] lim
x→∞
2x x2
1 = lim
x→∞
2 x = 0 Asymptoty:
Z obliczonych wcześniej granic wynika, że funkcja ma asymptotę pionową x = 0 i poziomą y = 0 w +∞.
Badamy pierwszą pochodną:
f0(x) =
2x
x2x − ln x2
x2 = 2 − ln x2 x2 D0 = (0, ∞)
Rozwiązujemy nierówność f0(x) > 0 . Ponieważ mianownik jest dodatni:
2 − ln x2 > 0 2 − 2 ln x > 0 ln x < 1 x < e
Wniosek: Funkcja f (x) jest rosnąca na przedziale (0, e >, malejąca na przedziale < e, ∞), ma więc w x = e maksimum lokalne. Jest to jedyne ekstremum na D1.
Badamy drugą pochodną:
f00(x) = −2xx2x2− (2 − ln x2)2x
x4 = −6 + 2 ln x2 x3 D0 = (0, ∞)
Rozwiązujemy nierówność f00(x) > 0 . Ponieważ mianownik jest dodatni:
−6 + 2 ln x2 > 0
−6 + 4 ln x > 0 ln x > 32
x > e32
Wniosek: Funkcja f (x) jest wklęsła na przedziale (0, e32), wypukła na przedziale (e32, ∞), ma więc w x = e32 punkt przegięcia.
Tabela:
x 0+ ... e ... e32 ... ∞
f0(x) + 0 − −e13 −
f00(x) − − − 0 +
f (x) −∞ % 2e & 3e−3e & 0
Wykres: zaznaczamy punkty charakterystyczne z tabeli, rysujemy asymptoty, rysujemy wy- kres na D1, a następnie symetryczny na zbiorze (−∞, 0)
