WYK LAD Z ANALIZY ZESPOLONEJ z dn. 25.03.2020

WYK LAD Z ANALIZY ZESPOLONEJ z dn. 25.03.2020

Funkcje analityczne

A. Szeregi liczbowe Definicja

Szereg a₀ + a₁+ a₂ + . . . =P∞

n=0a_n o dowolnych wyrazach zespolonych nazywamy zbie˙znym do sumy s, gdy ciag sum cz_, astkowych s_{, n} =Pn

k=0a_n, n ∈ N, jest zbie˙zny do granicy s.

Definicja Szereg P∞

n=0a_n nazywamy:

i) bezwzglednie zbie˙znym je´_, sli P∞

n=0|a_n| jest zbie˙zny,

ii) warunkowo zbie˙znym je´sli jest zbie˙zny ale nie jest bezwglednie zbie˙zny._,

Twierdzenie

i) Je˙zeli szereg P∞

n=0a_n jest zbie˙zny, to lim_n→∞a_n = 0.

ii) Szereg bezwzglednie zbie˙zny jest zbie˙zny przy dowolnym uporz_, adkowaniu wyraz´_, ow i jego suma nie zale˙zy od porzadku wyraz´_, ow.

iii) Szereg P∞

n=0a_n, gdzie a_n= α_n+ iβ_n, jest zbie˙zny do sumy s = α + β wtedy i tylko wtedy, gdy szeregi P∞

n=0α_n i P∞

n=0β_n sa zbie˙zne tzn._, P∞

n=0α_n= α i P∞

n=0β_n= β.

Twierdzenie (Kryterium por´ownawcze) Je˙zeli dla prawie wszystkich wyraz´ow szeregu P∞

n=0a_n zachodzi nier´owno´s´c |a_n| ≤ A_n i szereg P∞

n=0A_n jest zbie˙zny, to szereg P∞

n=0a_n jest zbie˙zny bezwzglednie._, Twierdzenie (Kryterium d’Alemberta)

Szereg P∞

n=0a_n jest bezwzglednie zbie˙zny, gdy lim sup_{, n→∞}

an+1

an

< 1 oraz rozbie˙zny, gdy lim inf_n→∞

an+1

an

  > 1.

Twierdzenie (Kryterium Cauchy’ego) Szereg P∞

n=0a_n jest bezwzglednie zbie˙zny, gdy lim sup_{, n→∞} p|aⁿ _n| < 1 oraz rozbie˙zny, gdy lim sup_n→∞ p|aⁿ n| > 1.

Twierdzenie (Kryterium Dirichleta) Szereg P∞

n=0a_nb_n jest zbie˙zny, je´sli wyrazy a_n sa rzeczywiste, dodatnie i ze wzrostem n malej_, a_, do zera, a ciag sum cz_, astkowych szeregu_, P∞

n=0b_n jest ograniczony.

Przyk lad Szereg P∞

n=1 zⁿ

n jest zbie˙zny dla {z : |z| = 1, z 6= 1}, bo przyjmujac a_{, n}= _n¹, b_n = zⁿ, |z| = 1 i |1 − z| > η otrzymamy

|s_n| = |z + z²+ . . . + zⁿ| =    

z(1 − zⁿ) 1 − z

< 2 η,

a wiec za lo˙zenia kryterium Dirichleta s_, a spe lnione. Zauwa˙zmy, ˙ze ten szereg nie jest zbie˙zny_, bezwglednie dla z takich, ˙ze |z| = 1, poniewa˙z_, P∞

n=1

 ^z

n

n

=P∞ n=1

1 n = ∞.

B. Rodzaje zbie ˙zno´sci szereg´ow funkcyjnych Definicja

Niech D ⊂ C zbi´or (czesto otwarty lub obszar), f, _n : D → C ciag funkcji. Je˙zel ci, ag (f_{, n}(z)) jest zbie˙zny w ka˙zdym punkcie z ∈ D, to f (z) := lim_n→∞s_n(z) jest funkcja dobrze okre´_, slona w_, zbiorze D i nazywamy ja granic_, a ci_, agu (f_{, n}). Taki rodzaj zbie˙zno´sci nazywamy zbie ˙zno´scia_, punktowa._,

Zbie˙zno´s´c w D nazywamy jednostajna, je´sli_,

∀ ∃N () ∀n > N () ∀z ∈ D |f_n(z) − f (z)| < .

Warunek jednostajnej zbie˙zno´sci ciagu (f_{, n}) mo˙zna tak˙ze sformu lowa´c nastepuj_, aco:_,

∀ ∃N () ∀m, n, > N () ∀z ∈ D |f_m(z) − f_n(z)| < .

Definicja

Niech D ⊂ C zbi´or (czesto otwarty lub obszar), f_{, n} : D → C ciag funkcji._, Je˙zel ciag_, s_n:=Pn

k=1f_k(z) jest zbie˙zny w ka˙zdym punkcie z ∈ D, to s(z) := lim_n→∞s_n(z) jest funkcja_, dobrze okre´slona w zbiorze D i nazywamy j_, a sum_, a szeregu_, P∞

n=1f_n. Taki rodzaj zbie˙zno´sci nazywamy zbie ˙zno´scia punktow_, a._,

Szereg P∞

n=1f_n jest zbie˙zny jednostajnie na D , je´sli

∀ ∃N () ∀n > N () ∀z ∈ D |s_n(z) − s(z)| < .

Warunek jednostajnej zbie˙zno´sci szeregu P∞

n=1f_n mo˙zna tak˙ze sformu lowa´c nastepuj_, aco:_,

∀ ∃N () ∀m, n, > N () ∀z ∈ D |s_m(z) − s_n(z)| < .

Twierdzenie

Niech D ⊂ C zbi´or otwarty (lub obszar), fn : D → C ciag funkcji ci_, ag lych. Je˙zeli ci_, ag funk-_, cyjny (szereg funkcyjny P∞

n=1f_n(z)) jest zbie˙zny jednostajnie w D, to granica ciagu (suma_, szeregu) jest funkcja ci_, ag l_, a w D._,

Twierdzenie (Kryterium Weierstrassa) Szereg P∞

n=1f_n(z) jest zbie˙zny jednostajnie w zbiorze D ⊂ C, je´sli istnieje ciag liczbowy,

{a_n}^∞_n=1 taki, ˙ze ∀n ∈ N, |fn(z)| ≤ a_n i szereg P∞

n=1a_n jest zbie˙zny.

Definicja

Niech D ⊂ C, fn : D → C ciag funkcji. Szereg funkcyjny_, P∞

n=1f_n(z) nazywamy zbie˙znym niemal jednostajnie w zbiorze D, je´sli jest on zbie˙zny jednostajnie na ka˙zdym zwartym pod- zbiorze zbioru D.

C. Szeregi potegowe_, Definicja

Szeregiem potegowym o ´_, srodku w punkcie z₀ ∈ C nazywamy szereg postaci

∞

X

n=0

a_n(z − z₀)ⁿ, (0.1)

gdzie a_n∈ C.

Definicja

Promieniem zbie˙zno´sci szeregu potegowego (0.1) nazywamy kres g´orny zbioru tych liczb r, ˙ze dany szereg jest zbie˙zny w kole D(z₀, r) := {z : |z − z₀| < r}.

Wz´or Cauchy-Hadamarda

Niech dany bedzie szereg pot_, egowy (0.1) i_, lim sup

n→∞

p|an _n| = 1

R, (0.2)

gdzie 0 ≤ R ≤ ∞ (przyjmujemy, ˙ze ¹₀ = ∞, _∞¹ = 0). W´owczas szereg (0.1) jest zbie˙zny w kole (dysku) D(z₀, R) := {z ∈ C; |z − z0| < R, zwanym ko lem zbie˙zno´sci, i jest rozbie˙zny w C \ D(z0, R).

Dow´od

Niech 0 < R < ∞. Wtedy dla ka˙zdego  > 0 istnieje N ∈ N takie, ˙ze dla n ≥ N mamy

p|an _n| < 1/R + . Stad_,

|an(z − z0)ⁿ| < 1 R + 



|z − z0|

n

. (0.3)

Je´sli |z − z₀| < R, to  mo˙zna dobra´c tak ma le, ˙ze spe lniona bedzie nier´_, owno´s´c

 1 R + 



|z − z₀| = q < 1.

W´owczas z (0.3) wida´c, ˙ze wyrazy szeregu (0.1) dla n ≥ N sa majoryzowane przez wyrazy_, szeregu geometrycznegoP∞

n=0qⁿi w konsekwencji szereg (0.1) jest zbie˙zny, gdy |z − z₀| < R.

Z definicji granicy g´ornej wynika, ˙ze dla dowolnej liczby  > 0 istnieje taki podciag n_{, k}, ˙ze

nkq

|a_nk| > 1/R − .

Zatem

|a_nk(z − z₀)^nk| > 1 R − 



|z − z₀|

nk

. (0.4)

Je´sli |z − z₀| > R, to liczbe  mo˙zna dobra´_, c tak ma la aby (1/R − )|z − z_{, 0}| > 1. W´owczas z (0.4) wynika, ˙ze |a_nk(z − z₀)^nk| > 1, a w konsekwencji nie zachodzi warunek konieczny zbie˙zno´sci szeregu (0.1), wiec szereg ten jest rozbie˙zny dla C \ D(z_, 0, R).

Wniosek

Kryterium Cauchy-Hadamarda nie rozstrzyga zbie˙zno´sci szeregu potegowego na ∂D(z_{, 0}, R). To trzeba sprawdza´c oddzielnie.

Przyk lad

1. Szereg P∞

n=0zⁿ jest zbie˙zny w kole D(0, 1) = {z : |z| < 1}, poniewa˙z lim sup

n→∞

p|an _n| = 1 R = 1.

Je´sli |z| = 1, to szereg P∞

n=1zⁿ nie jest zbie˙zny, bo nie zachodzi warunek konieczny zbie˙zno´sci - wyraz zⁿ = e^inφ ma modu l r´owny 1, czyli nie da˙zy do zera._,

2. Szereg P∞ n=1

zⁿ

n² jest zbie˙zny w kole D(0, 1) = {z : |z| ≤ 1}, poniewa˙z lim sup

n→∞

n

s   

1 n²

= 1 R = 1 oraz ∀n ∈ N 

^z

n

n²

≤ _n¹2. (P∞ n=0

1

n² < ∞.) Zatem szereg jest zbie˙zny w kole i na brzegu.

3. Dla szeregu P∞

n=0nⁿzⁿ promie´n zbie˙zno´sci R = 0, poniewa˙z lim sup

n→∞

p|nn ⁿ| = lim sup

n→∞

n = ∞ = 1 R. Szereg jest zbie˙zny tylko dla z = 0.

Twierdzenie 4.7 (Abela) Je˙zeli szereg potegowy_, P∞

n=0a_nzⁿ jest zbie˙zny w punkcie z₁ 6= 0, to jest on bezwglednie zbie˙zny_, w kole D(0, |z₁|) = {z : |z| < |z₁|} oraz jest zbie˙zny jednostajnie w ka˙zdym kole D(0, ρ), gdzie ρ < |z₁|.

Dow´od.

Poniewa˙z szereg P∞

n=0a_nz₁ⁿ jest zbie˙zny, to zachodzi warunek konieczny zbie˙zno´sci, czyli lim_n→∞a_nzⁿ₁ → 0. Zatem

∃M > 0 ∃N > 0 ∀n ≥ N |anz₁ⁿ| < M.

Stad wynika, ˙ze_,

∃M > 0 ∃N > 0 ∀n ≥ N ∀z |z| < |z1| ⇒ |anzⁿ| < M. (∗) Poka˙zemy, ˙ze szereg P∞

n=0|anzⁿ| jest zbie˙zny w D(0, |z1|) = {z : |z| < |z1|}. Mamy

|a_nzⁿ| =    

a_nz₁ⁿzⁿ z₁ⁿ    

= |a_nzⁿ₁|    

zⁿ zⁿ₁    

≤ M    

zⁿ z₁ⁿ    

= M qⁿ,

gdzie q :=

z z1

< 1. Poniewa˙z q < 1, szereg geometycznyP∞

n=1M qⁿjest zbie˙zny. Korzystajac_, z kryterium por´ownawczego otrzymamy, ˙ze szeregP∞

n=1a_nzⁿjest zbie˙zny bezwzglednie w kole_, D(0, |z₁|) = {z : |z| < |z₁|}.

Niech ρ < |z₁|. We´zmy z takie, ˙ze |z| ≤ ρ. Wtedy istnieje ρ₁ takie, ˙ze ρ < ρ₁ < |z₁|.

|a_nzⁿ| =    

a_nρⁿ₁zⁿ ρⁿ₁    

= |a_nρⁿ₁|    

zⁿ ρⁿ₁    

≤ M pⁿ, gdzie p :=

z ρ1

 < 1, gdzie |anρⁿ₁| < M z (*). Zatem z kryterium Weierstrassa szereg P∞

n=1a_nzⁿ jest zbie˙zny bezwglednie jednostajnie w kole D(0, ρ) = {z : |z| ≤ ρ}. Zatem_, w kole D(0, |z₁|) = {z : |z| < |z₁|} szereg potegowy jest zbie˙zny niemal jednostajnie._,

D. Twierdzenie o holomorficzno´sci sumy szeregu potegowego_,

Poni˙zsze twierdzenie zachodzi w analizie rzeczywistej. W tym przypadku robimy wyjatek i_, idowodnimy, je tak˙ze dla funkcji zespolonych.

Twierdzenie 4.8 (o holomorficzno´sci sumy szeregu potegowego)_, Je˙zeli promie´n R zbie˙zno´sci szeregu potegowego_, P∞

n=0a_nzⁿjest dodatni, to f -suma tego szeregu jest funkcja holomorficzn_, a w kole D(0, R) = {z : |z| < R} i dla ka˙zdego z ∈ D(0, R)_,

f⁰(z) =

∞

X

n=1

na_nzⁿ⁻¹.

(Szereg potegowy wewn_, atrz ko la zbie˙zno´sci mo˙zna r´_, o˙zniczkowa´c wyraz po wyrazie).

Dow´od

Napiszemy szereg pochodnych formalnych

∞

X

n=1

na_nzⁿ⁻¹.

Promie´n zbie˙zno´sci tego szeregu jest taki sam jak szeregu P∞

n=1a_nzⁿ, poniewa˙z lim sup

n→∞

pn

n|an| = lim sup

n→∞

p|an _n|.

Z Twierdzenia Abela wynika, ˙ze szereg P∞

n=1a_nzⁿ jest zbie˙zny jednostajnie, w ka˙zdym kole K(0, ρ), gdzie ρ < R. We´zmy z₀ ∈ D(0, R), gdzie |z₀| < ρ < R. Rozpatrzmy iloraz r´o˙znicowy

f (z) − f (z₀) z − z₀ =

∞

X

n=0

a_nzⁿ− z₀ⁿ z − z₀ =

∞

X

n=0

a_n zⁿ⁻¹+ zⁿ⁻²z₀+ . . . zz₀ⁿ⁻²+ zⁿ⁻¹₀
,

gdzie z ∈ D(0, R). Wyka˙zemy, ˙ze otrzymany szereg jest bezwglednie jednostajnie zbie˙zny_, (skorzystamy z tw. Weierstrassa).

a_n zⁿ⁻¹+ zⁿ⁻²z₀ + . . . zz₀ⁿ⁻²+ z₀ⁿ⁻¹


≤ |a_n|n|ρ|ⁿ⁻¹ je´sli |z| ≤ ρ. We´zmy ρ₁ takie, ˙ze ρ < ρ₁ < R. Wtedy szereg

∞

X

n=0

a_nρⁿ₁

jest zbie˙zny, zatem lim_n→∞a_nρⁿ₁ = 0. Stad istnieje M > 0 takie, ˙ze dla ka˙zdego n ∈ N,_,

|a_nρⁿ₁| ≤ M . Niech q := _ρ^ρ

1 < 1 oraz

|a_n|nρⁿ⁻¹ ≤ |a_n|nρⁿ₁ ρ ρ1

n

1 ρ ≤ M

ρ nqⁿ.

SzeregP∞ n=0

M

ρnqⁿjest zbie˙zny bo z kryterium Cauchy’ego wynika, ˙ze lim sup_n→∞ qⁿ

M ρnqⁿ = q < 1. Szereg P∞

n=0 M

ρnqⁿ potraktujemy jako majorante w twierdzeniu Weierstrassa. St_, ad_, szereg

∞

X

n=0

a_n zⁿ⁻¹+ zⁿ⁻²z₀+ . . . zz₀ⁿ⁻²+ z₀ⁿ⁻¹

jest bezwglednie jednostajnie zbie˙zny w otoczeniu z_, 0, a dok ladniej dla |z| ≤ ρ. Wtedy istnieje granica tego szeregu dla z → z₀. Zatem

f⁰(z₀) = lim

z→z0

f (z) − f (z₀)

z − z₀ = lim

z→z0

∞

X

n=0

a_n zⁿ⁻¹+ zⁿ⁻²z₀+ . . . zz₀ⁿ⁻²+ zⁿ⁻¹₀
=

∞

X

n=0

na_nz₀ⁿ⁻¹.

Czyli f jest holomorficzna w D(0, R).

Wniosek

Szereg potegowy ma pochodn_, a dowolnego rz_, edu:_,

∀k ∈ N f^(k)(z) =

∞

X

n=k

n(n − 1) . . . (n − k + 1)a_nz^n−k.

Otrzymane wnioski mo˙zna uog´olni´c na przypadek szereg´ow postaciP∞

n=0a_n(z − z₀)ⁿ. Twierdzenie

Je˙zeli funkcje f mo˙zna przedstawi´_, c w kole K(z₀, r) = {z : |z − z₀| < r} w postaci sumy szeregu potegowego_,

f (z) =

∞

X

n=0

(z − z₀)ⁿ,

to wsp´o lczynniki tego szeregu sa wyznaczone jednoznaczne i okre´_, slaja je wzory_, a_n = f⁽ⁿ⁾(z₀)

n! , n = 0, 1, 2, . . . Dow´od

Wstawiajac do wzoru na szereg za z punkt z_{, 0} otrzymamy f (z₀) = a₀. R´o˙zniczkujac wyraz po_, wyrazie dostaniemy

f⁰(z) = a₁+ 2a₂(z − z₀) + 3a₃(z − z₀)²+ . . .

Podstawiajac za z = z_, 0 otrzymamy, ˙ze f⁰(z0) = a1. Po n-krotnym zr´o˙zniczkowaniu dosta- niemy, ˙ze

f⁽ⁿ⁾(z) = n!a_n+ ˜a₁(z − z₀) + ˜a₂(z − z₀)²+ . . .

Dla z = z₀ dostaniemy, ˙ze f⁽ⁿ⁾(z₀) = n!a_n. Stad a_{, n} = ^f(n)_n!^(z0). E. Funkcje analityczne

Definicja

• Niech D ⊂ C obszar, funkcje f : D → C nazywamy analityczn_, a w punkcie z_{, 0} ∈ D je´_,sli istnieje ko lo D(z₀, R) ⊂ D takie, ˙ze f (z) =P∞

n=0a_n(z − z₀)ⁿ dla z ∈ D(z₀, r).

• Funkcje f : D → C nazywamy analityczn_, a w D je´_, sli dla ka˙zdego punktu z₀ ∈ D ist- nieje ko lo D(z₀, R(z₀)) takie, ˙ze D(z₀, R(z₀)) ⊂ D oraz istnieje szereg potegowy postaci_, P∞

n=0an(z0)(z − z0)ⁿ zbie˙zny w kole D(z0, R(z0)) taki, ˙ze f (z) =P∞

n=0an(z0)(z − z0)ⁿ dla z ∈ D(z₀, R(z₀)).

Ozn. A(D) oznacza zbi´or wszystkich funkcji analitycznych w D.

Z twierdzenia o holomorficzno´sci sumy szeregu potegowego wynikaj_, a nast_, epuj_, ace_, wnioski.

Wniosek

Zachodzi inkluzja A(D) ⊂ H(D).(!!!) Wniosek

Je˙zeli f ∈ A(D), to f posiada pochodne dowolnego rzedu._, Definicja 4.8

Iloczynem szereg´ow potegowych_, P∞

n=0a_n(z −z₀)ⁿi P∞

n=0b_n(z −z₀)ⁿnazywamy szereg potegowy_, postaci

∞

X

n=0

(a₀b_n+ a₁b_n−1+ . . . + a_nb₀)(z − z₀)ⁿ.

Twierdzenie (Twierdzenie Cauchy o mno ˙zeniu szereg´ow potegowych)_, Je˙zeli szeregi P∞

n=0a_n(z − z₀)ⁿ i P∞

n=0b_n(z − z₀)ⁿ sa zbie˙zne odpowiednio w ko lach K(z_{, 0}, r₁) i K(z₀, r₂), to ich iloczyn

∞

X

n=0

(a₀b_n+ a₁b_n−1+ . . . + a_nb₀)(z − z₀)ⁿ

jest zbie˙zny w kole D(z₀, r), gdzie r = min{r₁, r₂}.

Bez dowodu.

Twierdzenie

Je˙zeli f, g ∈ A(D), to f ± g ∈ A(D), f g ∈ A(D).

Bez dowodu.

Przyk lad

Rozwina´_,c f (z) = _1−z¹ w szereg wok´o l (a) punktu z₀ = ¹₂,

1

1 − z = 1

1

2 − (z −¹₂) = 2

1 − 2(z − ¹₂) = 2

∞

X

n=0

2ⁿ

 z − 1

2

n

zbie˙zny w kole D(¹₂,¹₂) = {z : |z − ¹₂| < ¹₂}.

(b) z₀ = −¹₂

1

1 − z = 2 3

1

1 − ²₃(z + ¹₂) = 2 3

∞

X

n=0

2ⁿ(z + ¹₂)ⁿ 3ⁿ zbie˙zny w kole K(−¹₂,³₂).

Uwaga

Promie´n zbie˙zno´sci szeregu jest wyznaczony przez odleg lo´s´c punktu z₀ - ´srodka szeregu od najbli˙zszego punktu nieholomorficzno´sci.

F. Twierdzenie Taylora

Uowodnimy, jedno z najwa ˙zniejszych twierdze´n analizy zespolonej. Twierdzenie to NIE zachodzi w analizie rzeczywistej!

Twierdzenie Taylora (o rozwijaniu funkcji holomorficznej w szereg Taylora) D ⊂ C, D-obszar. Je˙zeli funkcja f ∈ H(D), z0 ∈ D, D(z₀, r) ⊂ D, to f mo˙zna przedstawi´c w tym kole w postaci sumy szeregu potegow_, ego_,

f (z) =

∞

X

n=0

c_n(z − z₀)ⁿ i c_n= 1 2πi

Z

∂D(z0,r)

f (ζ)

(ζ − z₀)ⁿ⁺¹dζ, gdzie ∂D(z₀, r) jest zorientowany dodatnio.

Dow´od

Niech z₀ ∈ D, D(z₀, r) = {z : |z − z₀| < r} takie, ˙ze D(z₀, r) ⊂ D. Z twierdzenia o wzorze ca lkowym Cauchy dla z ∈ D(z₀, r) zachodzi

f (z) = 1 2πi

Z

∂D(z0,r)

f (ζ)

(ζ − z)dζ (0.5)

(patrz Rys. 7- w dodatkowym pliku). Poniewa˙z z ∈ D(z₀, r), to istnieje ρ takie, ˙ze |z − z₀| <

ρ < r = |ζ − z0| (patrz Rys. 8- w dodatkowym pliku). Wyra˙zenie _ζ−z¹ przedstawimy jako sume szeregu pot_, egowego o ´srodku w punkcie z_{, 0} (analogicznie jak w przyk ladach wy˙zej), tzn.

1

ζ − z = 1

(ζ − z₀) − (z − z₀) = 1 (ζ − z₀)

1



1 −^z−z_ζ−z⁰

0

 = 1 ζ − z₀

∞

X

n=0

 z − z₀ ζ − z₀

n

, (0.6)

kt´ory jest zbie˙zny jednostajnie na dysku D(z₀, ρ), poniewa˙z modu ly wyraz´ow tego szeregu sa_, nie wieksze ni˙z_, P∞

n=0 ρⁿ

rⁿ⁺¹. Podstawmy rozwiniecie (0.6) do (0.5), ca lkuj_, ac wyraz po wyrazie_, (korzystamy z faktu, ˙ze szereg jest zbie˙zny jednostajnie. W analizie zespolonej, podobnie jak w analizie rzeczywistej, szereg zbie˙zny jednostajnie mo˙zna ca lkowa´c wyraz po wyrazie) otrzymamy

f (z) = 1 2πi

Z

∂D(z0,r)

∞

X

n=0

(z − z₀)ⁿ (ζ − z₀)ⁿ⁺¹f (ζ)

! dζ =

∞

X

n=0

 1 2πi

Z

∂D(z0,r)

f (ζ) (ζ − z₀)ⁿ⁺¹dζ



(z − z₀)ⁿ.

Czyli f (z) = P∞

n=0c_n(z − z₀)ⁿ, gdzie c_n = 1

2πi Z

∂D(z0,r)

f (ζ)

(ζ − z0)ⁿ⁺¹dζ n = 0, 1, 2, . . . .

Wniosek

Z twierdzenia Taylora wynika, ˙ze H(D) ⊂ A(D).(!!!) Uwaga

Z twierdzenia o holomorficzno´sci sumy szeregu potegowego wynika, ˙ze A(D) ⊂ H(D), nato-_, miast z Twierzenia Taylora wynika, ˙ze H(D) ⊂ A(D). Zatem H(D) = A(D). To kluczowy wynik Analizy Zespolonej 1.

Uwaga

Poniewa˙z wsp´o lczyniki szeregu Taylora sa wyznaczone jednoznacznie zatem_, c_n= f⁽ⁿ⁾(z₀)

n! oraz c_n = 1 2πi

Z

∂D(z0,r)

f (ζ)

(ζ − z0)ⁿ⁺¹dζ,

to

f⁽ⁿ⁾(z₀) = n!

2πi Z

∂D(z0,r)

f (ζ)

(ζ − z₀)ⁿ⁺¹dζ.

Wynika stad nast_, epuj_, ace twierdzenie._,

Twierdzenie (o uog´olnionym wzorze ca lkowym Cauchy’ego)

Je˙zeli funkcja f jest holomorficzna wewnatrz obszaru jednosp´_, ojnego D i na jego brzegu ∂D,

∂D jest konturem, to dla ∀z ∈ D

f⁽ⁿ⁾(z) = n!

2πi Z

∂D

f (ζ) (ζ − z)ⁿ⁺¹dζ, gdzie n = 0, 1, 2, . . . .

Uwaga

Funkcja holomorficzna w obszarze D ma w tym obszarze pochodne dowolnie wy- sokiego rzedu._,

Wynika to z faktu, ze f jest suma szeregu pot_, egowego, a dla takich funkcji udowodnili´smy_, istnienie pochodnych dowolnego rzedu._,

Uwaga

Je˙zeli f (z) = u(x, y) + iv(x, y) jest holomorficzna w obszarze D, to funkcje u i v maja po-_, chodne czastkowe dowolnie wysokiego rz_, edu._,

G. Znaczenie i zastosowanie wzor´ow ca lkowych Cauchy

• zastosowanie teoretyczne: wz´or ca lkowy Cauchy by l wykorzystany do dowodu Twier- dzenia Taylora, ˙ze funkcja holomorficzna jest analityczna

• zastosowania praktyczne: do liczenia pewnego typu ca lek tzn.

Z

∂D

f (ζ)

(ζ − z)ⁿ⁺¹dζ = f⁽ⁿ⁾(z)2πi n! .

Podamy teraz kilka przyk lad´ow zastosowania uog´olnionego wzoru ca lkowego Cauchy. Niech C(z₀, r) := {z ∈ C : |z − z0| = r}, D(z₀, r) := {z ∈ C : |z − z0| < r}. (W rozwiazaniach_, zada´n prosze pisa´_, c z jakich twierdze´n Cauchy korzystamy oraz sprawdza´c, ˙ze spe lnione sa za lo ˙zenia tych twierdze´_, n).

Przyk lad 1 Obliczy´c

Z

C(0,3)

e^iπz (z − 1)³dz.

Niech D(0, 3) := {z : |z| < 3}, K+ := ∂D⁺ = C(0, 3). Zauwa˙zmy, ˙ze D(0, 3) jest jed- nosp´ojny a funkcja f (z) = e^iπz jest holomorficzna w D(0, 3). Skorzystamy z twierdzenia o uog´olnionym wzorze ca lkowym Cauchy’ego dla f i n = 2. Zatem

Z

C(0,3)

e^iπz

(z − 1)³dz = 2πi

2! e^iπz
00

|z=1 = i(π)³.

Przyk lad 2 Obliczy´c ca lke_,H

Γ e^z

(z²−4)²dz, gdzie Γ⁺₁ = {z : |z−2| = ¹₂} = C(2,¹₂) jest krzywa zo-_, rientowana dodatnio (podaj_, e w zadaniach r´_, o˙zne oznaczenia, kt´ore wystepuj_, a w podr_, ecznikach)._, Ponadto, je´sli w zadaniach nie jest zaznaczone inaczej, to przyjmujemy, ˙ze krzywe zamkniete_, po kt´orych ca lkujemy sa zorientowane dodatnio._,

Odpowied´z

Funkcja podca lkowanie nie jest holomorficzna w punktach z₁ = 2 i z₂ = −2. Do zbioru D(2,¹₂) = {z : |z − 2| < ¹₂} nale˙zy tylko punkt z₁. Zatem korzystajac ze wzoru ca lkowego_, Cauchy’ego mamy

I

Γ⁺₁

e^z

(z²− 4)²dz = I

Γ⁺₁

e^z

(z − 2)²(z + 2)²dz

= I

Γ⁺₁ e^z (z+2)²

(z − 2)²dz = 2πif₁⁰(2) = e²πi 16 , gdzie f1(z) = _(z+2)^ez 2 ∈ H(D(2,¹₂)) i D(2,¹₂) jest jednosp´ojny.

Przyk lad 3 Obliczy´c ca lke_, H

Γ e^z

(z²−4)²dz, gdzie Γ⁺₂ = {z : |z + 2| = ¹₂} = C(−2,¹₂) jest krzywa_, zorientowana dodatnio._,

Odpowied´z

Funkcja podca lkowa nie jest holomorficzna w z1 = 2 i z2 = −2. Do zbioru D2 = {z :

|z + 2| < ¹₂} = D(−2,¹₂) nale˙zy tylko punkt z₂. Zatem korzystajac ze wzoru ca lkowego_, Cauchy’ego mamy

I

Γ⁺₂

e^z

(z²− 4)²dz = I

Γ⁺₂

e^z

(z − 2)²(z + 2)²dz

= I

Γ⁺₂ e^z (z−2)²

(z + 2)²dz = 2πif₂⁰(−2) = 3e⁻²πi 16 ,

gdzie f₂(z) = _(z−2)^ez 2 ∈ H(D₂) oraz D₂ jest jednosp´ojny.

Przyk lad 4 Obliczy´c ca lke_, H

Γ e^z

(z²−4)²dz, gdzie Γ⁺₃ = {z : |z| = 4} jest krzywa zorientowan_, a_, dodatnio.

Odpowied´z

Funkcja podca lkowa ma dwa bieguny z₁ = 2 i z₂ = −2, oba dwukrotne. Do zbioru D₃ = {z : |z| < 4} nale˙za oba bieguny z_{, 1} i z₂. Zatem korzystajac z twierdzenia Cauchy’ego dla_, obszar´ow wielosp´ojnych mamy

I

Γ⁺₃

e^z

(z²− 4)²dz = I

Γ⁺₁ e^z (z+2)²

(z − 2)²dz + I

Γ⁺₂ e^z (z−2)²

(z + 2)²dz

=e²πi

16 +3e⁻²πi 16 ,

,

gdzie Γ⁺₁ i Γ⁺₂ maja obiega´_, c tylko jeden punkt w kt´orym f NIE jest holomorficzna, musza by´_, c zawarte we wnetrzu Γ_, ⁺₃ i by´c roz laczne (!). Np. Γ_, ⁺₁ = C(2,¹₂), Γ⁺₂ = C(−2,¹₂). Wtedy f1(z) =

e^z

(z+2)² ∈ H(D(2,¹₂)), f2(z) = _(z+2)^ez 2 ∈ H(D(−2,¹₂)). Obie kule sa obszarami jednosp´_, ojnymi.

Przyk lad 5 Obliczy´c ca lke_, H

Γ e^z

(z²−4)²dz, gdzie Γ⁺₄ = {z : |z| = 1} = C(0, 1) jest krzywa_, zorientowana dodatnio._,

Odpowied´z

Do zbioru D4 = {z : |z| < 1} = D(01) nie nale˙zy ˙zaden z punkt´ow z1 i z2. Zatem korzystajac_, z podstawowego twierdzenia Cauchy’ego dla obszar´ow jednosp´ojnych mamy

I

Γ⁺₄

e^z

(z²− 4)²dz = 0, poniewa˙z f ∈ H(D₄) a D₄ jest jednosp´ojny.

Przyk lad 6 Obliczy´c ca lke_, H

Γ

 e^z

z²+¹₄ + _(z−i)^{sin z}3 + z cos z

dz, gdzie Γ jest krzywa zorientowan_, a_, dodatnio o r´ownaniu {z ∈ C : |z − i| = 2} = C(i, 2).

Odpowied´z Zauwa˙zmy, ˙ze funkcja podca lkowa nie jest holomorficzna w punktach puktach z₁ = i

2, z₂ = −i

2, z₃ = i.

Korzystamy z twierdzenia ca lkowego Cauchy’ego dla obszar´ow wielosp´ojnych. Zatem I

Γ

 e^z

z²+¹₄ + sin z

(z − i)³ + z cos z

 dz

= Z

C(ⁱ₂,¹₄) e^z (z+ⁱ₂)

(z −₂ⁱ)dz + Z

C(⁻ⁱ₂ ,¹₄) e^z (z−₂ⁱ)

(z + ₂ⁱ)dz +

Z

C(i,₁₀¹)

(sin z)⁰⁰ (z − i)³dz +

Z

C(i,2)

z cos zdz = ...doko´nczy´c/sprawdzi´c

=2πi e^i/2

i − e^−i/2 i + 1

2(− cos i)

 .

Po prawej stronie r´owno´sci do pierwszej i drugiej ca lki stosujemy wz´or ca lkowy Cauchy, do trzeciej uog´olniony wz´or ca lkowy Cauchy a do czwartej podstawowe twierdzenie Cauchy.

Twierdzenie 7.10 (odwrotne do podstawowego tw. ca lkowego Cauchy)(udowodni l Morera)

D ⊂ C, D-obszar jednosp´ojny. Je˙zeli funkcja f ∈ C(D) i dla ka˙zdego konturu K ⊂ D Z

K

f (z)dz = 0,

to f ∈ H(D).

Dow´od

Niech K bedzie konturem zawartym w obszarze D takim, ˙ze_, R

Kf (z)dz = 0. Chcemy skorzy- sta´c z twierdzenia o istnieniu funkcji pierwotnej. W wersji podanej funkcja pierwotna by la zdefiniowana nastepuj_, aco F (z) :=_, Rz

z0f (ζ)dζ, przy czym ca lkowali´smy po odcinku lacz_, acym_, punkty z0 i z. Wiemy, ˙ze w obszarze jednosp´ojnym dwie krzywe o tym samych ko´ncach sa_, homotopijne a ca lki wzd lu˙z tych krzywych sa sobie r´_, owne. Teraz w definicji funkcji pierwotnej odcinek o ko´ncach z₀ i z zastepujemy krzyw_, a g ladk_, a. Zatem twierdzenia o istnieniu funkcji_, pierwotnej wynika, ˙ze istnieje F ∈ H(D) taka, ˙ze F⁰(z) = f (z) dla z ∈ D. Poniewa˙z F jest holomorficzna, to z twierdzenia Taylora/ uog´olnionego wzoru ca lkowego Cauchy wynika, ˙ze F⁰ jest tak˙ze funkcja holomorficzn_, a w obszarze D. Poniewa˙z F_, ⁰ = f , to f ∈ (D).